A Partial Order on Bipartite Graphs with n Vertices
Emil Daniel Schwab
本文研究了n阶二部图（X1，X2，E）的一个偏序，X1 UX 2 ={1，2，…，n}。这个偏序是以二部图为态射的三角范畴中对象的子图的自然偏序。
The paper examines a partial order on bipartite graphs (X1, X2, E) with n vertices, X1UX2={1,2,...,n}. This partial order is a natural partial order of subobjects of an object in a triangular category with bipartite graphs as morphisms.
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End-vertices of LBFS of (AT-free) bigraphs
字典式广度优先搜索（LBFS）是一种基本的图搜索算法，它有着广泛的应用，包括图类的识别、图参数的计算和特定图结构的检测。Rose，Tarjan和Lueker关于弦图的LBFS的端点的著名结果吸引了研究者去研究各类图的LBFS的端点，包括弦图、分裂图、区间图和星形无三重图（AT-free）.本文研究了二部图的LBFS的端点。我们发现，决定是否一个二分图的顶点是一个LBFS的端顶点是一个NP-完全问题。相反，我们刻画了无AT二部图的LBFS的端点。我们的刻画意味着判定无AT二部图的顶点是否是LBFS的端点的问题在多项式时间内是可解的。关键词：字典宽度优先搜索，端点，二部图，AT-自由，真区间二部图，特征化，算法。
Splitting vertices of bipartite graphs preserves de Bruijn-Erdős property
本文研究了二分图顶点分裂操作对德布鲁因-埃罗什属性的影响，证明该操作保持该属性。
On the Representation Number of Bipartite Graphs
词可表示图是一个简单的图$G$，它可以用$G$的顶点上的词$w$表示，使得$G$中的任何两个顶点相邻，当且仅当它们在$w$中交替。众所周知，可比较图的类-允许传递方向的图-正是可以由顶点排列的串联表示的图的类。二部图类是可比图的一个子类。确定可比较图的表示数是一个悬而未决的问题，证明了二部图在$n$顶点上的表示数至多为$n/4$ .在本文中，我们提出了一个多项式时间的重新标记算法，以产生一个字表示一个给定的二分图，这是一个串联的排列图的顶点。这样我们得到了二部图的表示数的一个上界，进而给出了二部图所对应的偏序集的维数的一个上界。
On interval edge-colorings of bipartite graphs of small order
如果使用所有颜色，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成整数区间，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的边染色是区间$t$ -染色。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.判定一个二部图是否是区间可着色的问题是NP-完全的。区间不可着色二部图的最小已知例子有$19$顶点。另一方面，已知在至多$14$顶点上的二部图是区间可着色的。在这项工作中，我们观察到几类小阶二部图具有区间着色。特别地，我们证明了所有在$15$顶点上的二部图都是区间可着色的。
Tight Cuts in Bipartite Grafts I: Capital Distance Components
本文是第一个从一系列的文件，提供了一个表征的最大包装的$T$ -削减二部图。给定一个连通图，一个偶数顶点的集合$T$，和一个最小$T$ -连接，可以定义一个边权重，从中可以定义顶点之间的距离。此外，给定一个称为根的指定顶点，顶点可以根据它们到根的距离进行分类，并且顶点的这种分类可以用于定义称为{ \em距离分量}的子图族。Sebö提供了一个定理，揭示了距离分量、最小$T$ -连接和$T$ -切割之间的关系。本文进一步研究了二部图中距离分量的结构。特别地，我们关注{ \em capital}距离分量，即包括根的距离分量。我们揭示了资本的距离组件的结构方面的$T$ -加入模拟的一般Kotzig-Lovász典型分解。
Ordering with precedence constraints and budget minimization
我们介绍了一个变化的调度优先约束问题，有应用程序的分子折叠和生产管理。给出了一个二部图$H=(B,S)$。$B$中的顶点被认为是商品或服务，必须是\emph{bought}才能在$S$中产生将是\emph{sold}的项目。从$j\in S$到$i\in B$的边表示生产$j$需要购买$i$。$B$中的每个顶点都有一个代价，而$S$中的每个顶点都会产生一些增益。我们的目标是获得一个顺序的$B\cup S$，尊重的优先约束，并最大化的最小净利润遇到的顶点进行处理。我们称这个最优值为二分图所需的\emph{budget}或\emph{capital}投资，并将我们的问题称为\emph{the bipartite graph ordering problem}。该问题等价于最近研究的NP完全分子折叠问题的一个版本[12]。分子折叠问题的工作集中在启发式算法和指数时间精确算法的未加权的问题，成本是$\pm 1$和限制时，从RNA折叠产生的图形。二部图目前的工作寻求精确的算法来解决二部排序问题。我们证明了一个算法，计算时间$O^*(2^n)$的最佳顺序时，$n$是在输入二分图的顶点数。我们的主要结果是一个一般的策略，可以用来找到一个最佳的二部图，满足某些性质的排序在多项式时间。我们将该技术应用于各种图形类，获得多项式时间的解决方案的二分图排序问题的二分置换图，平凡完美，合作二分图，树。
An FPT Algorithm for Bipartite Vertex Splitting
二分图对两个不相交的对象集之间的关系进行建模。它们具有广泛的应用，并且通常被可视化为2层绘图，其中每组对象被可视化为两条平行水平线之一上的一组顶点（点），并且关系由连接相应顶点的两条线之间的边（简单曲线）表示。这种图中的一个共同目标是使交叉点的数量最小化，然而，这在计算上是昂贵的，并且仍然可能导致具有太多交叉点的图，这些交叉点影响图的可读性。我们认为最近的方法来删除交叉点，在这样的可视化分裂顶点，其目标是找到最小数量的顶点被分裂，以获得一个平面图。我们表明，确定是否存在一个平面绘图后，分裂最$k$顶点是固定的参数在$k$易处理。
The Dilworth Number of Auto-Chordal-Bipartite Graphs
二部图B =（X，Y，E）的镜像（或二部补）mir（B）与B具有相同的色类X和Y，且X中的两个顶点x和Y中的两个顶点y在mir（B）中相邻当且仅当xy不在E中.一个二部图是弦二部图，如果它的导出子图中没有一个是至少有六个顶点的无弦圈。本文研究了弦二部图，其镜像也是弦二部图，我们称之为自弦二部图（简称ACB图）。我们描述了一些已知的图类，如区间和强弦图的关系，我们提出了几个特征的ACB图。证明了ACB图具有无界的Dilworth数，并刻画了具有Dilworth数k的ACB图.
Regular Bipartite Graphs And Their Properties
我们引入了一个新的符号表示标记的正则二部图的任意度。介绍了标号正则二部图和非标号正则二部图的计数问题。本文给出了一个计算具有指定顶点数的所有非同构2-正则二部图的一般算法，并给出了算法完备性的数学证明。为了可视化2 m个顶点的标记r-正则二部图并计算其自同构群，引入了m对称置换树的一种抽象。本文介绍了一种生成两个相容排列对应的划分的算法。利用自同构群与置换计数问题之间的关系，导出了对应于指定划分的相容置换个数的计算公式。
Sequences of radius $k$ for complete bipartite graphs
图$G$的\emph{$k$-radius sequence}是$G$的顶点序列（通常具有重复），使得对于$G$的每条边$uv$，顶点$u$和$v$在序列中的距离$k$内至少出现一次。$G$的最短$k$ -半径序列的长度由$f_k(G)$表示.我们给出了完全二部图的$f_k(G)$的一个渐近紧估计{它匹配一个下界，对所有二部图都有效}。我们还表明，确定$f_k(G)$的任意图$G$是NP-困难的每个常数$k>1$。
A polynomial kernel for vertex deletion into bipartite permutation graphs
本文研究了二分排列顶点删除问题的核化，证明该NP完全问题存在具有$O(k^{62})$个顶点的多项式核。
On some numerical characteristics of a bipartite graph
本文考虑了二部图顶点集上的一个等价关系。给出了等价类基数的一些数字特征。一个组合恒等式，这是在关系到所有的$g=\langle R_g \cup C_g, E_g \rangle$型的二部图的集合的这些特征的公式和证明，其中$V=R_g \cup C_g$是顶点的集合，$E_g$是图$g$，$ |R_g |=m\ge 1$，$|C_g |= n\ge 1$，$|E_g |=k\ge 0$，$m,n$和$k$是整数的边缘的集合。
On bipartite coverings of graphs and multigraphs
本文研究了图与多重图的二部覆盖容量问题，通过证明包含顶点$i$的最大独立集大小为$α_i$的$n$顶点图其覆盖容量下界为$\sum_i \log_2 (n/α_i)$，加强了Hansel等人的旧结果，并改进了Kim和Lee关于完全多重图覆盖容量的界。
Interval non-edge-colorable bipartite graphs and multigraphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。1991年Erdens构造了一个顶点数为27，最大度为13的无区间着色的二部图. Erd的反例是已知的最小（在最大度意义下）的非区间可着色的二部图. 1992年，Hansen证明了所有最大度不超过3的二部图都有区间着色。本文给出了区间非边着色二部图的一些构造方法。特别地，利用这些方法，我们构造了三个无区间着色的二部图，它们分别含有20，19，21个顶点，最大度分别为11，12，13.这部分地回答了[T. R.詹森湾Toft，Graph coloring problems，Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization，1995年，第204页]。我们也考虑类似的问题，二部多重图。
A tight relation between series-parallel graphs and Bipartite Distance Hereditary graphs
Bandelt和Mulder对二分距离遗传图的结构表征断言，这样的图可以从单个顶点开始并通过重复添加未决顶点或孪生顶点（即，与现有顶点具有相同邻域的顶点）。Dirac和Duffin对2-连通串-并行图的结构特征断言，可以通过串联或并行添加边从单个边开始归纳地构建此类图。在本文中，我们证明了当二部图被看作是图拟阵的基本图时，这两种结构是相同的结构。然后，我们应用该结果重新证明已知的结果，关于二部距离遗传图和串-平行图，自对偶外平面图的特点，最后，提供了一类新的多项式可解的整数多商品流的最大值的情况。
Kempe equivalence of almost bipartite graphs
本文研究几乎二部图的Kempe等价性问题，提出相关猜想并证明若干部分结果，同时指出该猜想后被Cranston和Feghali证明在一般情况下不成立。
On Computing the Galois Lattice of Bipartite Distance Hereditary Graphs
二部距离遗传图（BDH）是二部无多米诺图与二部弦图的交集。后两类图都有线性的许多极大biclies，这意味着存在多项式时间算法来计算相关的伽罗瓦格。对于一个有$n$边和$m$顶点的无多米诺骨牌图，这样的格确实可以在$O(m\times n)$最坏情况下建立。本文给出了BDH图的极大二分格个数的一个精确估计，并利用这个估计给出了计算BDH图的Galois格的一个最坏情况时间算法$O(m)$.利用BDH图的顶点邻域可以实现为树形图中的有向路这一事实，给出了输入图及其Galois格的$O(n)$最坏情况的时空编码，条件是Bandelt和Mulder构造序列的逆.
On one-sided interval edge colorings of biregular bipartite graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。与顶点$x$关联的边的颜色集合称为$x$的谱。连续整数的任意非空子集称为区间。如果图$x$的谱是区间图，则称图$G$的正常边$t$ -染色是点$x$的区间图.如果对任意的$x\in R_0$，$φ$是$x$中的区间，则称图$G$的正常边$t$ -染色$φ$是$G$的顶点子集$R_0$上的区间.我们称$G$的顶点子集$R$具有$i$ -性质，如果存在$R$上的区间$G$的真边$t$ -染色.若$G$是一个图，且其顶点的子集$R$具有$i$ -性质，则$R$上的$G$区间的$t$ -染色为真边的$t$的最小值记为$w_R(G)$ .本文对某些二部图，在$R$与图的一部分的所有顶点的集合重合的情况下，估计了这个参数的值。
Sampling 3-colourings of regular bipartite graphs
我们证明了，如果$\gS=(V,E)$是正则二部图，并且$\gS=(V,E)$的单奇偶子集的扩张是合理的，并且满足一定的局部条件（相邻顶点的邻域的并集不包含太多成对的非相邻顶点），并且如果$\cM$是$\gS$的真3-着色集合上的马尔可夫链，其在每一步更新至多$ρ|V|$顶点的颜色并且其平稳分布是均匀的，则对于足够大的$ρ\approx .22$和$d$，在$|V|$中（基本上）收敛到$\cM$的平稳性。特别是，如果$\gS$是$d$维超立方体$Q_d$（顶点集$\{0,1\}^d$上的图，其中如果两个字符串在一个坐标上不同，则两个字符串相邻），那么在$2^d/(\sqrt{d}\log d)$中，著名的Glauber（单点更新）动态向平稳性的收敛是指数级缓慢的。我们的主要结果的组合推论是，在一个均匀的3-着色的$Q_d$有一个指数小的概率（在$2^d$），有一个颜色$i$这样的比例的顶点的偶数子立方体着色$i$不同于比例的奇数子立方体着色$i$最多$.22$。我们的证明结合了电导参数与组合枚举方法。
Equistarable bipartite graphs
最近，Milanibrillary和Trotignon引入了等星图类，它是指没有孤立顶点的图，允许边上的正权，使得边的子集具有总权$1$当且仅当它形成极大星.基于等稳定图，构造了等稳定图的三个猜想的反例，特别是Orlin猜想，即每个等稳定图都是一般划分图.本文刻画了等星二部图。我们证明了一个二部图是可等标的当且仅当图的每一个$2$ -匹配延伸到覆盖度至少为$2$的所有顶点的匹配.作为这个结果的一个推论，我们得到Orlin猜想在二部图的线图的补类中成立。我们还连接equistarable图的三角形条件，已知的组合条件是必要的（但在一般情况下不充分）的equistability。证明了森林的线图的补图的三角形条件蕴含着一般可分性，并在二部图的线图的补图类中构造了一类三角形非等稳图.
The Minimality of the Georges-Kelmans Graph
1971年，Tutte在一篇文章中写道：“很容易猜想每个3-连通二部三次图都是Hamilton的”。受此启发，霍顿在96个顶点上构造了一个反例。在不同作者的一系列文章中，提出了几个较小的反例。这些图中最小的是一个50个顶点的图，由Georges和Kelmans独立发现。在这篇文章中，我们证明了没有更小的反例。由于文献中所有的非哈密尔顿3连通二部三次图都有循环4割即使它们的围长是6很自然地要问这是否是一个必要的先决条件。在这篇文章中，我们回答了这个问题的否定，并给出了一个无限族的非哈密尔顿循环5-连通二部三次图的结构。在1969年，Barnette给出了一个较弱的版本的猜想，说明3-连通平面二部三次图是哈密尔顿的。我们证明了Barnette猜想在至少90个顶点上是正确的。我们还报告说，搜索小的非汉密尔顿3-连通二部三次图没有发现任何亏格小于4。
Bipartite induced density in triangle-free graphs
证明了$n$顶点上任意最小度至少为$d$的无三角形图都含有最小度至少为$d^2/(2n)$的二部诱导子图.在$n$中，该值急剧上升至对数因子。相关地，我们证明了任何这样的无三角形图的分数色数至多是$n/d$和$(2+o(1))\sqrt{n/\log n}$的最小值为$n\to\infty$ .这是急剧上升到常数的因素。类似地，我们证明了任何这样的无三角形图的列表色数至多为$O(\min\{\sqrt{n},(n\log n)/d\})$ as $n\to\infty$。与此相关，我们也做了两个假设。第一，任何$n$顶点上的无三角形图的分数色数至多为$(\sqrt{2}+o(1))\sqrt{n/\log n}$和$n\to\infty$。第二，任何$n$顶点上的无三角形图的列表色数至多为$O(\sqrt{n/\log n})$为$n\to\infty$。
On 1-factorizations of Bipartite Kneser Graphs
构造二部Kneser图$H(v,t)$的显式1-因子分解是一个具有挑战性的公开问题，它包含$[v]:=\{1,\ldots,v\}$的所有$t$ -元和$(v-t)$ -元子集作为顶点，以及当一个顶点是另一个顶点的子集时任意两个顶点之间的一条边.在本文中，我们提出了一个新的框架来设计这样的1-因子分解，我们解决了一个非平凡的情况下，$t=2$和$v$是一个奇素数的权力。我们还重新审视了$v=2t+1$的两个经典结构-\emph{lexical factorization}和\emph{modular factorization}。我们给出了它们的简化定义，并研究了它们的内部结构。最后，设计了一个计算词法因子分解的优化算法。(An模因式分解的类似算法是平凡的。
A polynomial-time approximation algorithm for the number of k-matchings in bipartite graphs
我们证明了在一个给定的无向图$G$中的$k$ -匹配的数目等于相应的图$G_k$在偶数个顶点上的完美匹配的数目除以一个适当的因子。如果$G$是二分的，那么可以构造二分的$G_k$。对于二部图，这一结果意味着$k$ -匹配的数目具有多项式时间的近似算法。将上述结果推广到相应矩阵的积和式及积和式。
Extension complexity of stable set polytopes of bipartite graphs
多面体$P$的扩张复杂度$\mathsf{xc}(P)$是多面体中影响$P$投影的最小面数。设$G$是一个二部图，它有$n$顶点和$m$边，没有孤立点。设$\mathsf{STAB}(G)$是$G$的稳定集的凸包。很容易看出，$n \leqslant \mathsf{xc} (\mathsf{STAB}(G)) \leqslant n+m$。我们改进了这两个边界。对于上界，我们表明，$\mathsf{xc} (\mathsf{STAB}(G))$是$O(\frac{n^2}{\log n})$，这是一个改进时，$G$有二次许多边缘。对于下界，我们证明了当$G$是有限射影平面的关联图时，$\mathsf{xc} (\mathsf{STAB}(G))$是$Ω(n \log n)$.我们还提供了$3$ -正则二部图$G$的例子，使得$G$的边与稳定集矩阵具有大小为$|E(G)|$的愚弄集。
Crown graphs maximise the representation number of bipartite graphs
本文证明每个 N≥9 的二部图表示数至多为 ⌈N/4⌉，结合 Crown 图已知表示数，证实 Crown 图在同阶二部图中使表示数最大化的猜想，并在 Lean 4 中形式化验证。
On $P_5$-free Chordal bipartite graphs
一个二部图是弦二部图，如果它的每一个长度至少为6的圈都有一个弦.本文研究了无$P_5$弦二部图的结构，证明了这类图的顶点之间有一种特殊的序--巢邻序.进一步，利用这种序，我们给出了经典问题如Hamilton圈（路）和最长路的多项式时间算法，Hamilton路的两种变体包括Steiner路和最小叶生成树，并且我们得到了这些问题的多项式时间算法，这些问题也仅限于$P_5$ -free弦二部图.
FirstFit coloring process of random bipartite graphs and an online coloring lower bound in the random order model
该研究针对随机二分图的FirstFit着色过程，证明其在随机顺序模型下对二分图的颜色需求为n^Ω(1)，反驳了相关多对数期望颜色数的猜想，强化了FirstFit在低色数图上的不良表现结论。
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