Higher dimensional Moore bounds
Michael Goff
我们证明了单纯复形的面数的上界在其围长方面，类似于摩尔界从图论。我们的围长定义推广了图的通常定义。
We prove upper bounds on the face numbers of simplicial complexes in terms on their girths, in analogy with the Moore bound from graph theory. Our definition of girth generalizes the usual definition for graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Moore Bound for Regular Simplicial Complexes
本文推导正则单纯复形的Moore型上界，并基于最小度给出直径的对数下界。
The Moore bound for Spectral Radius
本文给出了给定阶、大小和围长的图的最大特征值的一个上界。
Bounds in radial Moore graphs of diameter 3
本文研究直径为3的径向摩尔图，分析其中心顶点数和状态的上界，并提出一族推测具有最大状态的径向摩尔图，为该类图的结构与性质研究提供基础。
An improved Moore bound for mixed graphs
混合图$G$可以包含（无向）边和弧（有向边）。本文给出了直径至少为3的混合图的最大顶点数的改进的Moore-like界。此外，给出了直径为3的所有最优$(1,1)$ -正则混合图的完全计数，从而证明了所提出的界一般不能被改进.
A Mixed Graph Achieving A Moore-like Bound
本文构造了一个阶为30的正则混合笼，在度为3、出度为1、围长为6时达到混合图的类摩尔界。
A Spectral Moore Bound for Bipartite Semiregular Graphs
设$b(k,\ell,θ)$是具有第二大特征值$θ$的$(k,\ell)$ -半正则二部图中$k$的最大顶点数.我们得到了一个上界的$b(k,\ell,θ)$为$0 < θ< \sqrt{k-1} + \sqrt{\ell-1}$。当存在具有特定参数的距离双正则图时，这个界是紧的，并且我们开发了距离双正则图的必要性质来证明这一点。
A revised Moore bound for mixed graphs
度-直径问题寻求找到具有给定（最大）度和直径的图的最大可能阶。众所周知，图达到最大可能值（摩尔界）是非常罕见的，但许多活动都集中在寻找新的例子图或家庭的图与订单接近边界尽可能。最近人们对这个问题很感兴趣，因为它适用于混合图，其中我们允许一些边是无向的，一些是有向的。Nguyen和Miller在2008年的一篇论文中导出了此类图的可能顶点数的上界。我们表明，直径大于三，这个界可以减少，我们提出了一个修正的摩尔界混合图，有效的所有直径和无向度和定向度的所有组合。
On total regularity of mixed graphs with order close to the Moore bound
无向度/直径和度/围长问题以及它们的有向类似问题在寻找有效的网络拓扑中已经研究了几十年。最近，这样的问题在混合图的设置中受到了很多关注，混合图即同时允许无向\emph{edges}和有向\emph{arcs}的网络。混合图的度/直径问题要求具有直径$k$、最大无向度$\leq r$和最大有向出度$\leq z$的网络的最大可能阶。寻找具有最小无向度$\geq r$和最小有向出度$\geq z$的最小可能$k$ -测地混合图也是一个有趣的问题。一个简单的计数参数揭示了一个自然界的存在，\emph{Moore bound}，在这样的图的顺序;一个图，满足这个限制是一个\emph{mixed Moore graph}。混合摩尔图只能存在于$k = 2$，即使在这种情况下，它是已知的，他们是极其罕见的。因此，它是有趣的，以寻找图的阶一远离摩尔界。这样的图一定是非正则的;一个更困难的问题是它们是否一定是完全正则的。对于$k = 2$，我们肯定地回答了这个问题，从而解决了López和Miret最近的一篇论文中提出的一个公开问题。我们还提出了部分结果较大的$k$。最后，我们把这些结果用于实际应用，证明了一个2-测地混合图的阶超过摩尔界的唯一性。
An improved Moore bound and some new optimal families of mixed Abelian Cayley graphs
我们考虑的情况下，混合图（有向和无向边）是凯莱图的阿贝尔群。在这种情况下，一些摩尔界导出的最大数量的顶点，这样的图可以达到。我们首先表明，如果我们知道更多关于生成集的某些元素的顺序的细节，这些界限可以得到改善。基于这些改进，我们提出了一些新的混合图族。对于每一个固定的度值，这些家庭有一个渐进的大数目的顶点的直径增加。在某些情况下，所获得的结果被证明是最佳的。
On the Total Regularity of Almost Mixed Moore Graphs
本文解决了几乎混合摩尔图的全正则性开放问题，证明了3个直径至少为3的已知几乎混合摩尔图是仅有的此类混合图，相关成果可应用于网络设计领域。
Bipartite biregular Moore graphs
具有$V=V_1\cup V_2$的二部图$G=(V,E)$是双正则的，如果对于$i=1,2$，稳定集$V_i$的所有顶点都具有相同的度$r_i$.本文对一类具有奇直径的图给出了一个改进的新的Moore界。这个问题是由Yebra，Fiol和Fàbrega在1983年提出的。此外，我们还构造了一些具有直径$d$和顶点数$N(r_1,r_2;d)$的二部双正则图，并给出了它们的谱。在直径为$d=3$、$4$和$5$的某些情况下，达到摩尔界的新图直到同构都是唯一的。
Cayley graphs of diameter two with order greater than 0.684 of the Moore bound for any degree
已知直径为2的图的顶点数不能超过$d^2+1$。本文给出了直径为2的Cayley图的阶的一个新的下界，其形式为$C(d,2)>0.684d^2$，对所有度$d\geq 360756$都有效.这个结果是目前已知的关于直径为2的Cayley图的阶数的结果的一个显著改进。
On networks with order close to the Moore bound
混合图的度/直径问题要求给定直径和度参数的混合图的最大可能阶。同样，\emph{degree/geodecity}问题涉及具有给定最小无向度和有向度的$k$ -测地混合图的最小阶;这是经典度/围长问题的推广。本文给出了具有给定直径或测地围长的混合图的阶的新界，并给出了有向和混合测地笼的新例子。特别地，我们证明了任何$k$ -测地混合图的测地围长必须为2且是完全正则的，从而证明了作者的一个猜想。
Asymptotically approaching the Moore bound for diameter three by Cayley graphs
最大度$d$和直径$k$的图的最大阶$n(d,k)$不能超过Moore界，对于$d\to\infty$和任何固定的$k$，Moore界具有$M(d,k)=d^k - O(d^{k-1})$的形式。已知的结果在有限几何上的广义$(k+1)$ -ε意味着，对于$k=2,3,5$，存在一个无限序列的值的$d$，使$n(d,k)=d^k - o(d^k)$。这表明，对于$k=2,3,5$，摩尔界可以渐近地接近，在这个意义上，$n(d,k)/M(d,k)\to 1$作为$d\to\infty$ ;此外，没有这样的结果是已知的任何其他值的$k\ge 2$。然而，相应的图是远离点传递的，似乎没有明显的方法将它们扩展到点传递图，给出相同类型的渐近结果。第二和第三作者（2012）通过直接构造证明了直径$k=2$的Moore界可以由Cayley图渐近逼近。随后，第一和第三作者（2015）表明，相同的结构可以从广义三角形的极性。通过对广义有极性四边形的关联图的极性子图所产生的自同构群的正则轨道的详细分析，证明了对于$d$的值的无限集合，存在度$d$、直径$3$和阶$d^3{-}O(d^{2.5})$的Cayley图.因此，直径$3$的摩尔界也可以由凯莱图渐近逼近。我们还表明，这种方法并不延伸到构建凯莱图的直径$5$广义六边形的极性。
Almost Moore and the largest mixed graphs of diameters two and three
几乎摩尔混合图\/}出现在度/直径问题的上下文中，作为一类极值混合图，在这个意义上，它们的阶比这种图的摩尔界小小于一个单位。它们的存在性问题已经被认为是直径$2$。在本文中，我们给出了直径为2和3的这些极值混合图的一个完整的刻画。我们还得到了一些其他直径的最佳结构。
Mixed Moore Cayley graphs
度-直径问题的目的是在给定直径和最大度的图中找到最大可能的顶点数。最近有很多兴趣在混合图的问题，我们允许无向边和有向弧的图。对于一个直径为2的图，其最大无向度为$r$，有向出度为$z$，一个简单的计数参数产生图的阶的上界$M(z,r,2)=(z+r)^2+z+1$。除了$r=1$的情况下，只有三个已知的例子，混合图达到这个界限是凯莱图，并有一个无限数量的可行对$(r,z)$的存在混合摩尔图与这些参数是未知的。我们使用组合的初等群理论参数和计算技术，以排除存在的混合凯莱图达到摩尔界的所有订单高达485的进一步的例子。
On new record graphs close to bipartite Moore graphs
互连网络的图形建模激发了对几个极值问题的研究，这些极值问题涉及图形的众所周知的参数（度、直径、围长和阶数），并要求其中一个参数的最优值，同时保持其他两个参数不变。在这里，我们集中在{ \em二部Moore图\/}，即二部图达到最佳顺序，固定的度/直径或度/围长。事实上，有很少的二部摩尔图表明放松的一些约束所隐含的二部摩尔界。首先我们研究{ \em局部二部Moore图}。我们发现在某些情况下，那些局部二部摩尔图的局部围长尽可能接近于一个二部摩尔图给出的局部围长。其次，我们构造了一类阶为$2(q^2+q+5)$，直径为$3$的$(q+2)$ -二部图，其中$q$是素数的幂.这些图获得了$q=9$的记录值，并提高了$q=11$和$q=13$的值。
Mutual visibility in Moore graphs and $(d,2)$-graphs with defect
研究Moore图和(d,2)-图的相互可见性数，推导代数条件并确定特定参数值，得出Hoffman-Singleton图的相互可见性数上限为20。
The non-existence of some Moore polygons and spectral Moore bounds
本文研究了某些Moore多边形不存在及谱Moore界限，确定了新的v(k,θ)值，并证明了相关猜想。
Isometric Cycles and a Generalization of Moore Graphs
该研究通过图的赤道长度、围长和最小度给出图阶数的下界，定义并刻画了达到下界的类Moore极图的结构性质，还推导了无C4图的相关阶数界并提出相关猜想。
On the packing chromatic number of Moore graphs
图$G$的\emph{packing chromatic number $χ_ρ(G)$}是最小整数$k$，对于该最小整数，存在顶点着色$Γ: V(G)\rightarrow \{1,2,\dots , k\}$，使得颜色$i$的任何两个顶点的距离至少为$i + 1$。对于$g\in \{6,8,12\}$，$(q+1,g)$ -Moore图是围长为$g$的$(q+1)$ -正则图，它是阶为$q$的对称广义$g/2$ -图的关联图.本文研究了$(q+1,g)$ -Moore图$G$的填充色数.对于$g=6$，我们给出了$χ_ρ(G)$的精确值。对于$g=8$，我们确定$χ_ρ(G)$在广义四边形的某些结构的交叉方面。对于$g=12$，当$q\ge 9$是奇素数幂时，我们给出了这个不变量的上下界。
The Hypergraph Moore Bound
研究Feige提出的超图摩尔界猜想，通过在由超图构建的菊池图中利用有色路径，采用多项式插值方法，给出了所有偶数k≥4时该猜想的简单证明，无多余多对数因子。
Abelian Girth and Girth
我们证明了一个图的阿贝尔围长至少是它的围长的三倍。本文证明了正则图的交换围长的一个类似的Moore界，其中图的度是固定的，顶点数是大的。我们的结论是，人们可以尝试改善固定度和许多顶点的图的摩尔界试图改善其类似的阿贝尔围长。
There are no excess one digraphs
本文证明了对于d,k≥2，不存在过剩一个有向图，补充了无向图不存在过剩一个图的结果。
A simple and sharper proof of the hypergraph Moore bound
超图的摩尔界是一个优雅的陈述，它描述了围长（最小圈或偶数覆盖（所有度都是偶数的子超图）中超边的数量）和尺寸（超图中超边的数量）之间的极端权衡。对于图（即，$2$ -一致超图），在Alon，Hoory和Linial的经典著作[AHL 02]中证明了紧到主导常数的界。Feige [Fei 08]对均匀超图$k>2$进行了适当的推广.在Guruswami、Kothari和Manohar最近的一项工作中，这个猜想被解决为在大小上增加了一个额外的$\log^{4k+1} n$因子[GKM 21]。他们的论点依赖于短偶覆盖的存在性和某个随机签名的菊池矩阵的谱之间的联系。他们的分析，特别是对于奇数$k$的情况，是非常复杂的。在这项工作中，我们提出了一个更简单，更短的证明超图摩尔界。我们的关键思想是使用一个新的重新加权的菊池矩阵和一个边缘删除步骤，使我们能够在[GKM 21]的分析中删除几个相关的步骤，例如菊池矩阵行的组合桶和使用Schudy-Sviridenko多项式浓度。我们更简单的证明也获得了更严格的参数：特别地，该论证给出了[AHL 02]的经典Moore界的新证明，没有损失（[GKM 21]中的证明损失了一个$\log^3 n$因子），并且对于所有$k>2$ -一致超图只损失了一个对数因子。在[GKM 21]中，我们的想法自然地扩展到产生一个更简单的证明，充分权衡强烈反驳光滑的约束满足问…
A Family of Dense Mixed Graphs of Diameter $2$
如果一个混合图的阶数接近Moore界，则称它是稠密的;如果没有一个混合图具有相同的参数和更大的阶数，则称它是最优的。我们提出了一个结构，提供了稠密的混合图的无向度$q$，有向度$\frac{q-1}{2}$和顺序$2q^2$，为$q$是一个奇素数权力。由于具有这些参数的混合图的Moore界等于$\frac{9q^2-4q+3}{4}$，因此这些混合图的缺陷是$({\frac{q-2}{2}})^2-\frac{1}{4}$。特别地，我们得到了一个已知的阶为$18$、无向度为$3$和有向度为$1$的混合Moore图（称为Bosák图）和一个新的阶为$50$、无向度为$5$和有向度为$2$的混合图，并证明了它是最优的.
A Spectral Proof of the Hypergraph Moore Bound
该研究通过Kikuchi矩阵的精确谱界，证明了Feige 2008年提出的超图Moore界猜想，给出了k-均匀超图存在小规模偶覆盖的边数阈值条件，相关谱方法还可应用于随机约束满足问题反驳。
Bipartite Biregular Cages and Block Designs
二部双正则$(n,m;g)$ -图$G$是具有度集$\{n,m\}$的偶数围长$g$的二部图，并且满足同一部集中的顶点具有相同度的附加性质.一个$(n,m;g)$ -二部双正则笼是一个二部双正则最小阶$(n,m;g)$ -图.在他们2019年的论文中，Filipovski，Ramos-Rivera和Jajcay给出了二分双正则$(n,m;g)$ -图的阶的下界，并将达到这些界的图称为{ \em二分双正则摩尔笼}。与著名的经典结果有关的存在$k$ -正规摩尔图的偶数围长$g = 6,8 $和$12$的存在的射影平面，广义四边形，广义六边形，我们证明了存在的$S(2,k,v)$ -施泰纳系统产生的存在的二分双正规$(k,\frac{v-1}{k-1};6)$ -摩尔笼。此外，在Steiner三元系的特殊情况下（即，在$k=3$）的情况下，我们完全解决了对所有整数$m\geq 4$的$(3,m;6)$ -二部双正则笼的存在性问题。考虑围长大于$6$和素数幂$s$，我们将广义多边形（四边形、六边形和八边形）的存在性分别与$(n+1,n^2+1;8)$、$(n+1,n^3+1;12)$和$(n+1,n^2+1;16)$ -二分双正则Moore笼的存在性联系起来.使用这种连接，我们得到改进的上界的订单的二部双正则笼周长$8$，$12$和$14$。
Asymptotically attaining the Moore bound
该研究解决固定直径下的渐近度-直径问题，证明Bollobás猜想，通过正则图$H_{k,q}$得到下界，并构造满足线图直径条件的图，渐近达到摩尔界。
A spectral version of the Moore problem for bipartite regular graphs
设$b(k,θ)$是连通二部$k$ -正则图的最大阶，其第二大特征值至多为$θ$ .本文对任意$0\leq θ< 2\sqrt{k-1}$，得到了$b(k,θ)$的一般上界.当存在度为$k$，次大特征值为$θ$，直径为$d$，围长为$g$的二部距离正则图，使得$g\geq 2d-2$ .对于$d$的某些值，存在无穷多个具有各种化合价$k$的这样的图。然而，对于$d=11$或$d\geq 15$，我们证明了不存在具有$g\geq 2d-2$的二部距离正则图。
On graphs with cyclic defect or excess
Moore界构成最大度$d$和直径$D=k$的图的阶的上界和最小度$d$和奇围长$g=2k+1$的图的阶的下界。缺少或超过$ε$的摩尔界限的图分别被称为{ \it graphs with defect or excess $ε$ }。虽然{ \it摩尔图}（具有$ε=0$的图）和具有缺陷或过量1的图几乎已经完全表征，但具有缺陷或过量2的图代表了广泛的未探索区域。缺陷（过量）为2的图满足等式$G_{d,k}(A) = J_n + B$（$G_{d,k}(A) = J_n-B$），其中$A$表示所讨论的图的邻接矩阵，$n$表示其阶，$J_n$表示其条目都是1的$n\times n$矩阵，$B$表示顶点不相交循环的并集的邻接矩阵，以及$G_{d,k}(x)$是具有整数系数的多项式，使得矩阵$G_{d,k}(A)$给出连接所述矩阵中的每对顶点的长度至多为$k$的路径的数目。graph.特别是，如果$B$是一个循环的顺序$n$的邻接矩阵，我们称之为相应的图\emph{graphs with cyclic defect or excess}，这些图是我们在本文中关注的主题。我们证明了不存在无穷多个这样的图。作为本文的重点，我们给出了具有奇数度$d\ge3$和循环亏损或循环过剩的图的个数的$O(\frac{64}3d^{3/2})$的渐近上界.这个界实际上是相当慷慨的，作为一种说明的方式，我们证…
The Distance Coloring of Graphs
设$G$是一个度最大的连通图$Δ\ge 3$ .研究了幂图$G^γ$的色数$χ_γ(G)$的上界。证明了$χ_γ(G) \leΔ\frac{(Δ-1)^γ-1}{Δ-2}+1=:M+1$具有相等性当且仅当$G$是Moore图.如果$G$不是摩尔图，并且$G$满足以下条件之一：（1）$G$是非正则的，（2）周长$g(G) \le 2γ-1$，（3）$g(G) \ge 2γ+2$，如果$γ\ge 3$，则连通度$κ(G) \ge 3$，如果$γ=2$，则$κ(G) \ge 4$，但$g(G) >6$，（4）$Δ$充分大于给定的数，仅取决于$γ$，则$χ_γ(G) \le M-1$。利用$G$邻接矩阵的谱半径$λ_1(G)$，证明了等式成立的$χ_2(G) \le λ_1(G)^2+1$当且仅当$G$是直径为2围长为5的星图或Moore图，而$χ_γ(G) < λ_1(G)^γ+1$当$γ\ge 3$ .
The maximum number of connected sets in regular graphs
本文通过构造基于Moore图的图族并结合线性代数方法，改进了正则图中连通集与支配连通集最大数量的指数行为下界，确定了小阶三次和四次图的精确最大值，并在特定猜想下改进了上界。
Less is Moore
本文提出一种精确搜索 Moore 图的算法，通过多种工程优化将 k=9 的搜索时间从 47.6 秒降至 17.9 秒，并验证了 k=57 时内存占用较小。
The average eccentricity of a graph with prescribed girth
设$G$是阶为$n$的连通图.顶点$v$的偏心率$e(v)$是从$v$到距$v$最远的顶点的距离。$G$的平均偏心率是$G$中所有偏心率的平均值。我们给出了$G$的平均偏心率的上界的阶$n$，最小度$δ$，周长$g$。另外，我们构造了一个图，证明了对于给定的$g$和$δ$，如果存在最小度$δ$和围长$g$的Moore图，则边界是渐近尖锐的.此外，我们表明，边界可以改善的图的大程度$Δ$。
Higher Dimensional Chain Conditions
该研究围绕高维链条件展开，基于理想的强饱和性质推导高维$Δ$-系统引理版本，证明多类偏序集满足该条件，并将其应用于拉姆齐理论，推导出相关划分假设。
On the spectrum and linear programming bound for hypergraphs
图的谱与许多图的参数密切相关。特别地，正则图的谱隙是图的价数与第二特征值之差，是连通度的一种代数测度，在扩张图理论中起着重要作用。在本文中，我们扩展了以前的工作，图和二部图，并提出了一个线性规划方法获得的上界的阶正则一致超图具有规定的不同的特征值。进一步，我们得到了正则一致超图的阶的一个一般上界，其中正则一致超图的第二特征值被给定值所限制。我们的结果改进和扩展了Feng-Li（1996）关于正则超图的Alon-Boppana定理和Dinitz-Schapira-Shahaf（2020）关于Moore或度直径问题的工作。我们还确定了对于多个参数$(r,u,θ)$，第二特征值至多为$θ$的$r$ -正则$u$ -一致超图的最大阶.特别地，正交表给出了对于每个充分大的$r$，第二特征值至多为$1$的最大超图的结构。此外，我们还证明了广义Moore几何在该阶和度的所有超图中具有最大的谱隙。
Exact Phase Transitions for Stochastic Block Models and Reconstruction on Trees
该研究通过树与图过程的新耦合方法及树上广播过程的精细分析，严格论证了随机块模型中q=3、q=4社区情形的Kesten-Stigum界相关猜想，明确了不同社区数量下的计算-统计差距与界的紧性特征。
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