Computing the tree number of a cut-outerplanar graph
Natalia Vanetik
虽然图的荫度的概念在图论中是众所周知的，但很少有结果致力于覆盖图的边的树的最小数量，称为图的树数。
While the notion of arboricity of a graph is well-known in graph theory, very few results are dedicated to the minimal number of trees covering the edges of a graph, called the tree number of a graph.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Tree t-spanners in Outerplanar Graphs via Supply Demand Partition
一个无权图G的树t-T是一个生成树T，使得对于每两个顶点，它们在T中的距离至多是它们在G中的距离的t倍。给定一个无权图G和一个正整数t作为输入，树t-k问题是计算G的一棵树t-k（如果存在）。这个决策问题是已知的NP-完全，即使在限制类的未加权平面图。我们提出了一个线性时间减少从树的t-图的外平面图的供应需求树划分问题。在此基础上，我们得到了一个求解外平面图中树t-图的线性时间算法。因此，我们表明，最小值t的输入outerplanar图在n个顶点有一个树t-tube可以在O（n log n）的时间。
Pinning on Tight Cuts: Improved Algorithm and Bounds for Unsplittable Multicommodity Flows in Outerplanar Graphs
针对外平面图上的不可拆分多商品流问题，通过引入考虑实例全局参数的新技术，将容量超载因子α的上界从3.6改进到2，下界从1.01提升到4/3。
Completely Independent Spanning Trees in $k$-Outerplanar Triangulated Discs
本文证明每个3连通2-外平面三角剖分圆盘有两个完全独立生成树，并给出3连通3-外平面三角剖分圆盘存在两个完全独立生成树的充分条件，同时给出一个反例。
Listing spanning trees of outerplanar graphs by pivot-exchanges
本文提出了一种通过枢轴交换列出外平面图生成树的贪心算法，证明了连续生成树仅通过交换共享端点的边即可实现高效列举，并揭示了其与0/1-多面体上哈密顿路径的对应关系。
The Number of Spanning Trees of an Infinite Family of Outerplanar, Small-World and Self-Similar Graphs
本文给出了外平面、小世界、自相似图无限族的生成树个数的一个精确解析表达式。这个数是一个重要的图不变量，它与图的不同拓扑和动力学性质有关，如图的可靠性、同步能力和扩散性质。生成树的数目的计算是一项艰巨的任务，特别是对于大型图，因此有很大的兴趣，获得相关的无限图族的封闭表达式。我们还计算了图的生成树熵，并与平均度相同的图的生成树熵进行了比较。
Unit Disk Representations of Embedded Trees, Outerplanar and Multi-Legged Graphs
图$G$的单位圆盘相交表示（UDR）将图$G$的每个顶点表示为平面中的单位圆盘，使得两个圆盘相交当且仅当它们的顶点在$G$中相邻。具有相邻不相交圆盘的UDR称为单位圆盘接触表示（UDC）。我们证明了判定外平面图或嵌入树是否存在UDR是NP-困难的。我们进一步提供了一个线性时间可判定的卡特彼勒图，承认一个UDR的表征。最后，我们表明，它可以决定在线性时间，如果龙虾图承认一个弱的UDC，它允许非相邻顶点的磁盘之间的交叉。
Computing Minimum Cycle Bases in Weighted Partial 2-Trees in Linear Time
本文提出了一种线性时间算法，用于计算加权部分2-树中最小循环基（MCB）的隐式线性空间表示，即，树宽为2的图。隐式表示可以在与MCB的大小成比例的运行时间中显式化。我们的算法改进了Borradaile，Sankowski和Wulff-Nilsen [Min $st$ -cut Oracle for Planar Graphs with Near-Linear Preprocessing Time，FOCS 2010]的结果--它为所有平面图计算了MCB在$O(n \log^5 n)$时间上的隐式$O(n \log n)$空间表示--对于部分2-树的特殊情况，通过polylog因子。这种改进以前仅针对外平面图实现[Liu和Lu：Minimum Cycle Bases of Weighted Outerplanar Graphs，IPL 110：970- 974，2010]。
Localization game capture time of trees and outerplanar graphs
本文改进了树的定位捕获时间上界，并证明了外平面图子类的定位捕获时间猜想，同时提出了一种推广的定位游戏形式。
Supports for Outerplanar and Bounded Treewidth Graphs
本文研究非穿刺子图导出超图的稀疏支撑，证明外可平面图存在外可平面支撑，并给出有界树宽图上原始、对偶与交超图的树宽界及多项式构造算法。
Characterization of Minimum Cycle Basis in Weighted Partial 2-trees
对于一个加权外平面图，lex短圈的集合是一个最小圈基[Inf. Process. Lett. 110（2010）970-974 ]。在这项工作中，我们证明了lex短圈的集合是加权部分2-树（树宽为2的图）的最小圈基，这是外平面图的超类。
On packing chromatic number of subcubic outerplanar graphs
虽然最近已经证明了填充色数在次三次图类上是无界的，但是存在填充色数有限（并且很小）的子类。这些子类包括次立方树、基3 Sierpi{Einstein}ski图和六角格。根据外平面图的结构性质，给出了外平面图的渐近界，并确定了几类次三次外平面图的更清晰的界。
Outerplanar graph drawings with few slopes
我们考虑外平面图的直线外平面图，其中使用少量不同的边斜率，即表示边的线段平行于少量方向。我们证明了$Δ-1$边斜率对于每一个最大度为$Δ\ge 4$的外平面图都是足够的。这改进了$O(Δ^5)$的上界，该上界是针对平面部分3-树（外平面图的超类）而给出的。边界很紧：对于每一个$Δ\ge 4$，存在具有最大度$Δ$的外平面图，该外平面图在外平面直线图中需要至少$Δ-1$不同的边斜率。
Chromatic and flow polynomials of generalized vertex join graphs and outerplanar graphs
图的广义点并是通过将图的任意多个顶点连接到一个新的顶点而得到的。给出了一个求树的广义点并的色多项式的低阶多项式时间算法，并利用对偶性求出了任意外平面图的流多项式。我们还提出了封闭式的色和流多项式的顶点连接的集团和周期，也被称为“广义轮”图。
Directed Acyclic Outerplanar Graphs Have Constant Stack Number
该研究提出有向$H$-划分新技术，证明有向无环外平面图具有常数栈数，解决了多个相关猜想与问题，同时构造出栈数无界的有向无环2-树族反驳了另一猜想。
Non-branching tree-decompositions
我们证明了如果一个图有一个宽度至多为w的树分解，那么它有一个宽度至多为w的树分解，并具有某些理想的性质。我们将在随后的论文中使用这个结果来证明，每个2-连通图的大路径宽度有一个小同构的一个大的树与一个顶点连接到每个顶点的树或一个大的外平面图。
An FPT 2-Approximation for Tree-Cut Decomposition
图的树割宽度是由Wollan [J. Comb. Theory，Ser. B，110：47-66，2015]借助于树割分解定义的图参数。在某些情况下，树切割宽度似乎比树宽度更适合作为不变量，当有界时，可以加速解决棘手的问题。在设计有界树割宽度问题的算法时，重要的是要有一种参数化的方法来计算这个参数的精确值，或者至少是它的一些常数近似值.本文给出了一个计算树割宽度的参数化2-近似算法;对于输入$n$ -顶点图$G$和整数$w$，我们的算法或者确认$G$的树切割宽度大于$w$，或者返回树-$G$的切割分解，证明其树切割宽度至多为$2w$，时间为$2^{O(w^2\log w)} \cdot n^2$。在此之前的工作，没有建设性的参数化算法，甚至近似的，存在计算的树割宽度的图。作为罗伯逊和西摩的图次项系列的结果，只有决策算法的存在是已知的。
Outerplanar and Forest Storyplans
该研究证明判断图是否存在外平面图或森林故事规划为NP完全问题，修改已有FPT算法可适用，确定了对应图族并给出直线边故事规划的高效生成算法。
A 2-Approximation for the Bounded Treewidth Sparsest Cut Problem in FPT Time
在非均匀稀疏割问题中，我们给出一个供应图G和一个需求图D，两者都具有相同的节点集V。目标是找到V的一个割，该割使G的边上的总容量与D的交叉边的总需求之比最小化。本文研究了树宽有界的供给图的非均匀稀疏割问题。对于这种情况，Gupta、Talwar和Witmer [STOC 2013]获得了固定k的多项式运行时间的2-近似，并且是否存在与k无关的常数c的c-近似算法（在FPT时间内运行）的问题仍然悬而未决。我们对这个问题的回答是肯定的。我们设计了一个2-近似算法的非均匀稀疏割与有界树宽供应图，运行在FPT时间，当参数的树宽。我们的算法是基于四舍五入的线性规划放松的启发Sherali-Adams层次结构的最优解。与经典的Sherali-Adams方法相比，我们构建了一个松弛驱动的树分解的供应图，包括一组精心选择的提升变量和约束，以编码信息的子集的节点具有超恒定的大小，并在同一时间，我们有一个足够小的线性规划，可以解决FPT时间。
Improved Bounds for Track Numbers of Planar Graphs
图的轨迹布局由顶点着色和每个颜色类的总顺序组成，使得任何两个颜色类之间没有两条边交叉。图形的轨道数是图形的轨道布局所需的最小颜色数。本文改进了几类平面图的迹数的上下界。证明了平面图的迹数至多为$225$，平面$3$ -树的迹数至多为$25$ .然后证明了存在迹数为$5$的外平面图，从而得到了平面图的$8$的最佳下界.最后，我们研究了水平平面图，并收紧了弱水平图，Halin图和X树的轨道数的界。
Edge-Cuts and Rooted Spanning Trees
给出了确定k-尊重割的大小的封闭形式公式。此外，我们表明，对于任何k，的大小的k-尊重削减可以发现，只有使用的大小2-尊重削减。
Defective incidence coloring of graphs
定义了图的$d$ -亏损关联色数，推广了关联色数的概念，并确定了树、完全二部图、完全图和外平面图的关联色数.给出了构造这些图的最优$d$ -亏损关联着色的快速算法。
Pursuit-Evasion in Graphs: Zombies, Lazy Zombies and a Survivor
我们研究僵尸和幸存者，一个变种的游戏警察和强盗的图表。在这个版本中，唯一的幸存者扮演强盗的角色，并试图从扮演警察角色的僵尸中逃脱。僵尸被限制，在他们的回合中，总是沿着最短路径的边缘走向幸存者。设$z(G)$是在具有$n$顶点的图$G$上捕获幸存者所需的僵尸的最小数量。证明了存在简单多边形的外平面图和可见图使得$z(G) = Θ(n)$。我们还证明了存在最大度$3$外平面图使得$z(G) = Ω\left(n/\log(n)\right)$ .设$z_L(G)$为在图$G$上捕获幸存者所需的最小数量的懒惰僵尸（可以在轮到他们时保持静止的僵尸）。我们确定懒惰的僵尸比普通僵尸更强大，但比警察更强大。证明了连通外平面图的$z_L(G) = 2$。我们表明，$z_L(G)\leq k$树深度$k$连通图。这个结果意味着对于树宽为$k$的连通图，$z_L(G)$至多为$(k+1)\log n$，对于连通平面图至多为$O(\sqrt{n})$，对于亏格为$g$的连通图至多为$O(\sqrt{gn})$，对于不含$h$ -顶点子图的连通图至多为$O(h\sqrt{hn})$.当对手选择僵尸的初始位置时，我们对懒惰僵尸的研究结果仍然成立。
The Bidirected Cut Relaxation for Steiner Tree has Integrality Gap Smaller than 2
针对Steiner树问题，本文证明双向切割松弛（BCR）的整性间隙上界为1.9988，首次严格表明其优于恰好为2的自然无向松弛。
Linking and Cutting Spanning Trees
本文研究连通无向图的生成树问题。这个过程对于计算统计数据，即系统发育树是有用的。我们描述了一个马尔可夫链产生这些树。对于循环图，我们证明了这种方法显着优于现有的算法。对于一般的图，我们没有得到分析界，但实验结果表明，链仍然快速收敛。这也是由于使用了适当的快速数据结构而产生了有效的算法。为了约束链的混合时间，我们描述了一个耦合，我们分析循环图和模拟其他图形。
Labeling Schemes for Bounded Degree Graphs
研究了度有界的图的邻接标号方案$Δ= O(1)$ .特别是，我们提出了一个最佳的（添加剂常数）$\log n + O(1)$邻接标记计划有界度树。后者的计划是来自有界度外平面图的标签计划。我们的研究结果补充了最近获得的有界深度树[Fraigniaud和Korman，SODA 10]的类似界限，并可能为关闭树[Alstrup和Rauhe，FOCS 02]中邻接的长期差距提供新的见解。我们还提供了改进的标号计划有界度平面图。最后，我们利用组合数制给出了一个改进的有界度$Δ$与$(e+1)\sqrt{n} < Δ\leq n/5$的邻接标号方案。
Thin Trees via $k$-Respecting Cut Identities
本文提出$k$-尊重割恒等式机制，实现任意生成树细度的高效验证与精确证书计算，并在平面图及曲面图中给出更优的细度界限。
On objects dual to tree-cut decompositions
树割宽度（英语：Tree-cut width）是由Wollan引入的一个图参数，它在以下意义上类似于图上浸入顺序的树宽度：图的树割宽度在功能上等价于可以在其中找到的浸入墙的最大尺寸。在这项工作中，我们提出了一个变种的定义的树木切割宽度，功能上相当于原来的，但我们可以状态和证明一个严格的对偶定理，它自然定义的对偶对象：适当定义的荆棘和缠结。利用这一结果，我们还提出了一个游戏特征的树切割宽度。
On Separating Path and Tree Systems in Graphs
本文研究图的顶点分离路径与树系统概念，针对树、网格图、极大外平面图等不同图类，探讨其最小顶点分离路径（树）系统的规模。
A Menger-like property of tree-cut width
在1990年，Thomas证明了每个图都有一个最小宽度的树分解，并且还满足一个称为leanness的顶点连通性条件[A Menger-like property of tree-width：The finite case. Journal of Combinatorial Theory，Series B，48（1）：67-76，1990]。这个结果有许多用途，并已推广到其他几个分解。在本文中，我们考虑树割分解，这已被引入Wollan作为树分解的一个可能的边版本[图的结构不承认一个固定的浸入。Journal of Combinatorial Theory，Series B，110：47-66，2015]。我们表明，每个图承认树切割分解的最小宽度，另外满足边连通性条件类似于托马斯的精益。
Minors of two-connected graphs of large path-width
设$P$是一个顶点为$v$的图，使得$P\backslash v$是一个森林，$Q$是一个外平面图.证明了存在一个数$p=p(P,Q)$，使得路宽至少为$p$的2连通图有一个子同构于$P$或$Q$ .这个结果回答了Seymour的一个问题，并暗示了Marshall和Wood的一个猜想.证明是基于树分解的一个新的属性。
B1-EPG representations using block-cutpoint trees
在本文中，我们感兴趣的是在一个网格的路径的边缘交图，其中每一个路径有最多一个弯曲，称为B1-EPG图和Golumbic等人（2009年）首次提出。我们还考虑了B1-EPG的一个适当子类，L-EPG图，它只允许路径呈“L”形。我们证明了树的两个超类是B1-EPG（其中之一是仙人掌图）。另一方面，我们证明了块图是L-EPG，并提供了一个线性时间算法来产生L-EPG表示的泛化树。这些证明采用了一种新的技术，从以前的结果在该地区的基础上块割点树的各自的图形。
On Minimum Bisection and Related Cut Problems in Trees and Tree-Like Graphs
最小二分法（Minimum Bisection）是指将图的顶点集划分为两个大小相等的集合，同时最小化二分法的宽度（定义为这两个集合之间的边数）的NP-难问题。本文首先考虑树的最小二分法问题，证明了树的最小二分法宽度满足$T$。其次，我们推广到任意图与给定的树分解$(T,X)$，并给出了上界的最小二分法的宽度取决于$(T,X)$的结构。此外，我们表明，二分法满足我们的一般界限可以计算的时间成比例的编码长度的树分解时，后者作为输入。
Cut Tree Structures with Applications on Contraction-Based Sparsification
我们介绍了三种新的图$G$的割树结构，其中树的顶点集是$V(G)$的一个分区，树顶点的收缩满足稀疏化要求，保持各种类型的削减。最近，Kawarabayashi和Thorup \cite{Kawarabayashi2015a}提出了第一个确定性的近线性边缘连通性识别算法。在这个算法中的一个关键步骤是使用一个简单的图$G$的顶点子集的存在性，其收缩留下一个图的$\tilde{O}(n/δ)$顶点和$\tilde{O}(n)$（$n := |V(G)|$），使得所有的非平凡最小切割的$G$被保留。我们通过消除多对数因子来改善这一结果，也就是说，我们展示了一个基于收缩的稀疏化，它保留了$O(n/δ)$顶点和$O(n)$边缘，并保留了所有非平凡的最小割。我们补充这一结果给出了一个稀疏化，叶$O(n/δ)$顶点和$O(n)$边缘，使所有（可能不是最小）削减的大小小于$δ$被保存，通过使用收缩在第二个树结构。因此，我们有每个简单图有$O(n/δ)$ $δ$ -边连通分支，并且，如果它是连通的，它有$O((n/δ)^2)$非平凡的最小割。所有这些结果都被证明是渐近最优的。利用第三棵树结构，给出了一个新的\emph{pendant pairs}个数的下界.之前的最佳界限是由Mader在1974年给出的，他证明了每个简单图都包含$Ω(δ^2)$悬垂对。我们改进了这个结果表明，每个简单的图$G$与$δ\…
MaxSAT Evaluation 2020 -- Benchmark: Identifying Maximum Probability Minimal Cut Sets in Fault Trees
本文提出了一个MaxSAT基准集中在故障树的最大概率最小割集（MPMCSs）的识别。我们解决的MPMCS问题，通过将输入故障树转化为一个加权的逻辑公式，然后用于建立和解决一个加权偏MaxSAT问题。基准测试包括80个案例，具有不同大小和组成的故障树，以及每个案例的最佳成本和解决方案。
Characterizing Compatibility and Agreement of Unrooted Trees via Cuts in Graphs
决定是否有一个单一的树-一个超级树-总结了一系列无根树的进化信息是遗传学中的一个基本问题。我们考虑这个问题的两个版本：一致性和兼容性。在第一种情况下，超树需要精确地反映输入树所表现出的物种之间的关系。在第二种情况下，超树可以比输入树更精细。树的兼容性可以用一种特定的三角剖分在一个被称为显示图的结构中的存在来表征。或者，它可以被描述为一个弦图三明治问题的结构称为边标签相交图。在这里，我们表明，后者的表征产生一个自然的表征的兼容性方面的最小切割显示图，这是密切相关的分裂的兼容性。然后，我们得到一个表征协议。
Fault Tree Analysis: Identifying Maximum Probability Minimal Cut Sets with MaxSAT
在本文中，我们提出了一种新的基于MaxSAT的技术来计算故障树的最大概率最小割集（MPMCSs）。我们将MPMCS问题建模为加权部分MaxSAT问题，并使用并行SAT求解架构解决该问题。使用我们的开源工具获得的结果表明，该方法是有效的和高效的。
Local algorithms for Maximum Cut and Minimum Bisection on locally treelike regular graphs of large degree
给定一个度为$k$且顶点数为$n$的图$G$，我们考虑在多项式时间内计算一个近最大割或近最小二分法的问题.对于周长$2L$的图，我们开发了一个局部消息传递算法，其复杂度为$O(nkL)$，并且在所有$L$局部算法中达到了接近最优的切割值。该算法以最大割为中心，构造了一个$nk/4+ n\mathsf{P}_\star\sqrt{k/4}+\mathsf{err}(n,k,L)$值的割，其中$\mathsf{P}_\star\approx 0.763166$是自旋玻璃理论中Parisi公式的值，而$\mathsf{err}(n,k,L)=o_n(n)+no_k(\sqrt{k})+n \sqrt{k} o_L(1)$（下标表示渐近变量）则是最大值的割。我们的结果推广到局部树状图，即，删除一小部分顶点后围长变为$2L$的图。早期的工作建立了随机$k$ -正则图，典型的最大割值是$nk/4+ n\mathsf{P}_\star\sqrt{k/4}+o_n(n)+no_k(\sqrt{k})$。因此，我们的算法在这样的图上几乎是最优的。这个结果的一个直接推论是随机正则图在所有正则局部树图中具有几乎最小的最大割和几乎最大的最小二等分。这可以被看作是随机正则图的近Ramanujan性质的组合版本。
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