Rational curves and bounds on the Picard number of Fano manifolds
Carla Novelli, Gianluca Occhetta
证明了广义Mukai猜想对伪指标为$i_X \ge (\dim X +3)/3$的Fano流形$X$成立.对Fano四重和五重猜想给出了不同的证明。
We prove that Generalized Mukai Conjecture holds for Fano manifolds $X$ of pseudoindex $i_X \ge (\dim X +3)/3$. We also give different proofs of the conjecture for Fano fourfolds and fivefolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Boundedness of Q-Fano varieties of Picard number one
证明了对于每个$n$，Picard数为1且维数为$n$的Q-Fano簇的双有理有界性.我们不使用森理论。
Fano n-folds with nef tangent bundle and Picard number greater than n-5
证明了具有nef切丛且Picard数大于n-5的Fano n-折叠是有理齐次流形.
Endomorphisms of hypersurfaces of Fano manifolds of Picard number 1
证明了Picard数为1的非射影空间的Fano流形不存在次数大于1的自同态。Beauville证实了这一点的超曲面的射影空间。我们研究了Picard数为1的任意Fano流形的超曲面。
K-stability of Fano 3-folds of Picard rank 3 and degree 20
本文证明了满足明确普遍性条件的Picard秩3且度为20的光滑Fano三维簇的K-稳定性。
On locally factorial Fano fourfolds of Picard number two
本文分类了具有超曲面Cox环且允许三维环面有效作用的Picard数为2的局部析因Fano四重折叠。
Fano 5-folds with nef tangent bundles and Picard numbers greater than one
证明了具有nef切丛且Picard数大于1的光滑Fano 5-folds是有理齐次流形.
On the second exterior power of tangent bundles of Fano fourfolds with Picard number $rho(X)geqslant2$
本文对Picard数大于1且其切丛的第二外方幂是数值有效的Fano四重进行了分类。
On the existence of certain weak Fano threefolds of Picard number two
本文利用小反正则映射和对Picard数1的光滑Fano三重上的某些曲线进行爆破得到的预先分类的数值不变量，解决了Picard数2的光滑弱Fano三重的存在性问题，并给出了12种数值情形。
Rank two Weak Fano bundles on Fano threefolds of Picard rank one
本文对 Picard 秩为一的 Fano 三维流形上的秩二向量丛进行分类，确定其射影化为弱 Fano 的情形，并证明各类例子的存在性，同时给出在二次三维流形上的详细消解。
Fano manifolds having (n-1,0)-type extremal rays with large Picard number
我们对光滑Fano流形X进行分类，使其具有Picard数$ρ_X \geq 3$，使得存在极值射线，该极值射线具有将因子映射到点的双有理收缩。
Degrees of non-Gorenstein canonical Fano threefolds with Picard number one
研究了Picard数为一的非Gorenstein Q-极小canonical Fano三维簇的反canonical次数上界，得出最佳上界为200/3。
K-stability of Fano 3-folds of Picard rank 3 and degree 22
本文证明了满足非常显式一般性条件的Picard秩为3且次数为22的光滑Fano 3-fold的K-稳定性。
A note on the Picard number of singular Fano 3-folds
使用由C. Casagrande和作者的进一步发展，我们证明了具有孤立阶乘典型奇点的非光滑Fano 3重的Picard数至多为6。
On the Picard number of almost Fano threefolds with pseudo-index >1
我们研究了Gorenstein几乎Fano三重X的正则奇异性和伪指数> 1。我们证明了X的最大Picard数一般为10，如果X是Fano，则为3，如果X是环面，则为8。此外，我们的边界情况下的特征。在Fano情形下，证明了广义Mukai猜想成立.
On smooth Fano fourfolds of Picard number two
本文分类了具有一般超曲面Cox环且Picard数为2的光滑Fano四维簇。
Algebraic hyperbolicity of surfaces in Fano threefolds with Picard number one
本文研究皮卡数为1的一般法诺三重折叠中极一般曲面的代数双曲性，除加权超曲面中的曲面外，对其代数双曲性完成了完整分类。
One-nodal Fano threefolds with Picard number one
分类了Picard数为1的光滑Fano三维簇的所有1-节点退化，并揭示了其与更高Picard秩的光滑Fano三维簇及完全交簇投影之间的几何关系。
Landau-Ginzburg models for Fano threefolds of Picard rank one and exceptional collections
本文研究Fano三重积分Picard秩为一的Landau-Ginzburg模型，探讨其与例外集合的关系，并验证Homological Mirror Symmetry的预测。
A bound of lengths of chains of minimal rational curves on Fano manifolds of Picard number 1
本文研究了Picard数为1的Fano流形上连接两个一般点所需的极小有理曲线链的极小长度。特别地，我们给出了一个基本参数的长度的急剧界。作为应用，我们计算了维数< 8的Fano流形的长度。
On singular Fano varieties with a divisor of Picard number one
本文研究了具有Picard数1的有效素除子的轻度奇异Fano簇的几何。之后，我们解决复曲面品种的情况下。最后，我们讨论了余维为1的万有覆叠空间的极值压缩的提升。
Rationality over non-closed fields of Fano threefolds with higher geometric Picard rank
证明了特征为$0$的代数非闭域上Picard数$1$和大于$1$的几何Picard数的六种几何有理Fano三重中的五种的合理性准则.对于最后一种类型的三重，我们提供了一个单理性的标准，并证明了稳定的非理性的额外的假设。
Stability conditions on Fano threefolds of Picard number one
证明了倾斜倾斜稳定物体在Picard数1的每个Fano三重X上的拓扑Bogomolov-Gieseker型不等式.在Bridgeland稳定性条件的基础上，导出了D^b（X）上几何稳定性条件的一个开子集.我们还得到了X上斜坡半稳定层的Chern特征标的一个新的更强界。
Actions on the Picard group of smooth Fano threefolds
该研究对光滑法诺三维簇自同构群在其皮卡群上作用的可能像分类，同时探究了这类簇族皮卡群的第一群上同调，属代数几何领域的相关工作。
Fano manifolds obtained by blowing up along curves with maximal Picard number
已知在任意大于或等于4的维度上，通过在光滑射影簇中吹掉曲线而获得的Fano流形X的皮卡数至多为5。我们证明了Picard数达到最大当且仅当X是射影空间的爆破，该空间的中心由两点、连接它们的直线的严格变换和余维为2的线性子空间或二次曲面组成。这一结果是作为一个特殊类型的法诺流形分类的结果。
On K-moduli of Fano threefolds with degree 28 and Picard rank 4
本文研究次数28、Picard秩4的Fano三维簇的K-模，通过构造奇异环面K-多稳定Fano三维簇的代数形变，证明对应光滑Fano三维簇的K-模不可约分支为有理曲面。
Classification of full exceptional collections on smooth toric Fano varieties with Picard rank two
本文给出了Picard秩为2的光滑复曲面Fano三重和四重上的完全例外集的完全分类。为了更准确地说，我们给出了部分答案的猜想在\cite{Kuz}和\cite{LYY}：我们提供了所有的最大长度的例外集合，并证明它们实际上是完整的例外集合。
Uniqueness of equivariant compactifications of C^n by a Fano manifold of Picard number 1
设X是Picard数为1的$n$维Fano流形.我们研究X有多少种不同的方法可以等变紧复向量群C^n。Hassett和Tschinkel证明了当X = P^n且n \geq 2时，有许多不同的方法可以将X实现为C^n的等变紧化。我们的结果表明，射影空间是一个例外：在具有光滑VMRT的Picard数为1的Fano流形中，射影空间是唯一一个以多种方式等变紧化C^n的空间。这回答了Hassett-Tschinkel和Arzhantsev-Sharoyko提出的问题。
On the Picard number of Fano 6-folds with a non-small contraction
推广了S.向井的猜想说，如果$X$是一个Fano $n$ -fold，具有皮卡德数$ρ_X$和伪索引$i_X$，则$ρ_X(i_X-1) \leq n$，等式当且仅当$X \cong (\mathbb{P}^{i_X-1})^{ρ_X}$。本文证明了当$n=6$和$X$允许纤维型收缩或$X$不允许小收缩时，这个猜想成立.
Classification of Fano 4-folds with Lefschetz defect 3 and Picard number 5
设X是光滑的复Fano 4重数，rho（X）是它的Picard数.若X包含一个素除子D且rho（X）-rho（D）>2，则X是del Pezzo曲面的乘积，或rho（X）=5或6。在这种情况下，我们完全分类的情况下，rho（X）=5;有6个家庭，其中一个是新的。我们还推导了rho（X）>4的Fano 4-folds的分类，其中初等除数压缩将除数发送到曲线。
K-stable smooth Fano threefolds of Picard rank two
本文证明了皮卡秩为二的多个光滑法诺三维流形族具有K-稳定性，并给出了族2.5中满足明确一般性条件的流形也具有K-稳定性的结论。
Gorenstein Fano threefolds of Picard number one with a $\mathbb{K}^*$-action and maximal orbit quotient $\mathbb{P}_2$
本文分类了一类具有 $\mathbb{K}^*$ 作用和最大轨道商 $\mathbb{P}_2$ 的非环、$\mathbb{Q}$-因子、Gorenstein、Picard 数为一的 Fano 三维簇。
Classifying weak Fano toric varieties of Picard rank $3$
本文提出一种使用 Macaulay2 系统分类任意维数下 Picard 秩为 $3$ 的光滑弱 Fano 环面簇的方法，并显式给出了维数 $3$ 和 $4$ 的分类结果。
Unobstructedness of deformations of holomorphic maps onto Fano manifolds of Picard number 1
我们表明，满射态射到一个Fano流形皮卡德数1的变形是通畅的和刚性模的自同构的目标，如果各种最小有理切线的Fano流形是非线性或有限的。关于极小有理切线的多样性的条件对于Picard数为1的Fano流形的几乎所有已知例子都成立，除了射影空间。当最小有理切线的簇是非线性的时，证明是基于N. Mok和作者关于切映射的双有理性。当Fano流形的极小有理切线簇是有限的时，其关键思想是通过与极小有理曲线相关联的泛态射对给定的满射进行因式分解.
On Fano manifolds of Picard number one
K{ü}chle将Grassmannian上齐次向量丛的整体瓣的零轨迹所得到的Fano四重分类。令人惊讶的是，他的分类展示了两个家庭的四倍相同的离散不变量。库兹涅佐夫问这两种类型的四重是否是形变等价的。我们表明，答案是肯定的，在一个非常强的意义上，因为这两个家庭实际上是相同的！这种现象在更高的维度也会发生。
On the Picard number of divisors in Fano manifolds
设X是任意维数的复Fano流形，D是X中的素除子.我们考虑N_1（D）在N_1（X）中的象H在1-圈的自然推进下。我们证明了H在N_1（X）中的余维数c至多为8.此外，如果c>2，则X=SxY，其中S是Del Pezzo曲面，或者c=3并且X在Fano流形Y上的Del Pezzo曲面中具有平坦纤维化，使得X和Y的Picard数之差为4。我们给出了Fano 4-folds，伪指数>1的Fano簇，以及源为Fano的满射态射的应用，这些满射态射具有一些高维纤维或低维目标。
A type of the Lefschetz hyperplane section theorem on \Q-Fano 3-folds with Picard number one and $1/2(1,1,1)$-singularities
利用退化方法证明了一类Picard数为1且具有$1/2(1,1,1)$ -奇点的Q-Fano 3-折叠上的Lefschetz超平面截口定理.作为副产品，我们得到了一个新的例子，Calabi-Yau 3-fold $X$的皮卡德数为1，其不变量是$$(H_X^3, c_2 (X) \cdot H_X, {e} (X)) = (8, 44, -88),$$，其中$H_X$，$e(X)$和$c_2(X)$分别是$\Pic(X)$的充分生成元，拓扑欧拉特征数和第二陈类$X$。
Bounds on the Picard rank of toric Fano varieties with minimal curve constraints
研究了具有给定次数的极小有理曲线族的光滑复曲面Fano簇的Picard秩.我们讨论了陈福黄猜想的变种，并证明了他们的声明，恢复原来的猜想在足够高的维度的版本。我们还证明了新的情况下，原来的猜想在所有维度的高度。我们的主要工具来自Toric Mori理论和Fano多面体的组合数学。
Smooth Fano intrinsic Grassmannians of type $(2,n)$ with Picard number two
我们引入了内禀格拉斯曼的概念，它推广了著名的加权格拉斯曼。内禀格拉斯曼簇是一个正规投射簇，其Cox环由格拉斯曼簇$\mathrm{Gr}(d,n)$的Plücker理想$I_{d,n}$定义。给出了所有Picard数为2的$(2,n)$型光滑Fano内禀Grassmannian的完全分类，并证明了一个计算任意$n$的此类簇总数的显式公式.我们研究了它们的几何形状，证明它们满足藤田自由度猜想。
Fano threefolds in positive characteristic III
本文分类了正特征下Picard数至少为二以及Picard秩为二的原始Fano三维流形。
Fano 4-folds having a prime divisor of Picard number 1
我们给出了一个完整的分类光滑，复杂的投影Fano 4倍的皮卡德数3有一个素除子皮卡德数1。它们形成了28个不同的族，我们计算了主要的数值不变量，研究了反正则因子的基轨迹，并给出了合理性的评论。进一步，我们给出了一般成员的Kuranishi族的自同构群维数和基维数的一个上界。
On the Picard number of singular Fano varieties
设X是Q-阶乘Gorenstein Fano簇。假设X的奇点是正则奇点，且奇点非终结点所在的轨迹维数为零。设D是X的一个素除子.我们证明了rho_X - rho_D < 9（其中rho是Picard数）.此外，若rho_X - rho_D > 3，则存在从X到S x Y的有限态射，其中S是rho_S至多为9的曲面。作为一个应用，我们证明了，如果X的维数为3，则ρ_X至多为10.
On Fano manifolds of Picard number one with big automorphism groups
设$X$是Picard数为1的$n$维光滑Fano复簇.假设在$X$的一般点处的VMRT是光滑不可约且非退化的（如果$X$被具有索引$ >(n+2)/2$的线覆盖，则这成立）。证明了$\dim \mathfrak{aut}(X) > n(n+1)/2$当且仅当$X$同构于$\mathbb{P}^n, \mathbb{Q}^n$或${\rm Gr}(2,5)$ .此外，等式$\dim \mathfrak{aut}(X) = n(n+1)/2$仅在$X$同构于6维拉格朗日格拉斯曼${\rm Lag}(6)$或${\rm Gr}(2,5)$的一般超平面截面时成立。
Categorical Torelli theorems for higher Picard rank Fano double covers
本文证明了四类高Picard秩Fano双覆盖的范畴Torelli定理，包括Verra四维流形，通过将Fano三维流形的Kuznetsov组件等价性转化为其K3分支除子的导出等价性，从而得出Fano三维流形的同构性。
Fano deformation rigidity of rational homogeneous spaces of submaximal Picard numbers
研究了有理齐性空间在Fano变形下是否刚性的问题。换句话说，给定Fano流形的任意光滑连通族f：X -> Z，如果一个纤维双全纯于有理齐次空间S，那么f是否是S-纤维化？皮卡德第一号的情况在J. M. Hwang和N.莫对于更高Picard数的情形，我们注意到有理齐性空间G/P的Picard数小于或等于G的秩。最近A. Weber和J.A. Wisniewski证明了Picard数等于G秩的有理齐性空间G/P（即完备旗流形）在Fano变形下是刚性的。本文证明了有理齐性空间G/P在Fano变形下是刚性的，条件是G是ADE型单代数群，Picard数等于秩（G）-1，G/P不是F（1，2，P^3）或F（1，2，Q^6）的双全纯.簇F（1，2，P^3）是P^3中的射影直线和射影平面的标志集，F（1，2，Q^6）是6维光滑二次超曲面中的射影直线和射影平面的标志集。我们证明了F（1，2，P^3）有唯一的Fano退化，并明确地构造了它. F（1，2，Q^6）的可能Fano退化的结构也被明确描述。为了证明我们的刚性结果，我们首先证明了ADE型齐性空间的Fano变形刚性可以由适当的齐性子流形的这一性质所蕴涵。然后通过研究小Picard数的有理齐性空间的Fano形变刚性，完成了证明。作为一个副产品，我们还显示了其他流形，如F（0，1，...，k_1，k_2，k_2+1，.，n-1，P^n）和F（0，1…
A Kawamata--Miyaoka type inequality for Fano varieties of arbitrary Picard number
针对维数不小于2的Q-可分典范弱Fano簇，证明当Q-Fano指数不小于3时其满足Kawamata–Miyaoka型不等式，并给出Gorenstein典范Fano三维簇的Q-Fano指数取值范围。
Fano manifolds containing a negative divisor isomorphic to a rational homogeneous space of Picard number one
设$X$是$n$维复Fano流形$(n\geq 3)$ .假设$X$包含一个因子$A$，它同构于Picard数为1的有理齐性空间，使得余法丛$\mathscr{N}^*_{A/X}$在$A$上是充足的。基于Tsukioka，Watanabe和Casagrande-Druel的工作，我们给出了这种对$(X,A)$的完整分类。
Stability of the canonical extension of tangent bundles on Picard-rank-1 Fano varieties
本文研究Picard数为1的Fano簇上切丛典范扩张的斜率稳定性，证明在指数整除维数或维数加一时切丛稳定性蕴含典范扩张的（半）稳定性，并给出其在曲线稳定向量丛模空间上的应用推论。
Fano manifolds of Picard number one whose co-tangent bundle is algebraically completely integrable system and its endomorphisms
本文针对皮卡数为一的射影Fano流形，在其余切丛为代数完全可积系统且切丛非nef的条件下证明了非常数自同态必为同构的猜想，并构造了满足余切丛可积条件的射影Fano流形例子，从而为三个已有主要结果提供替代证明。
Families of smooth Fano fourfolds of Picard rank 1 without Bott vanishing
本文证明当前已知的 Picard 秩 1 指数 1 的光滑 Fano 四重族满足 χ(X,T_X)<0，结合指数>1 情形，表明除射影空间外所有已知 Picard 秩 1 的光滑 Fano 四重均不满足 Bott 消失，从而任何具有大于 1 次自同态的此类簇必为 P^4。
Semisimple quantum cohomology of some Fano varieties
给出了Picard秩为1的Fano簇的量子上同调半单性的充分条件。我们应用这些技术来证明新的半简单性结果的一些Fano品种的皮卡德秩1和大指数。我们也给出了Fano簇具有非半单小量子上同调但具有半单大量子上同调的例子。
Stable Ulrich Bundles on Fano Threefolds with Picard Number 2
本文研究了非本原Fano 3-folds上秩1和秩2稳定的Ulrich丛的存在性问题，这些非本原Fano 3-folds是将$\mathbb{P}^{3}$，$Q$（$\mathbb{P}^{4}$中的光滑二次曲面），$V_{3}$（$\mathbb{P}^{4}$中的光滑三次曲面）或$V_{4}$（$\mathbb{P}^{5}$中的两个二次曲面的完全交）沿一条光滑不可约曲线爆破得到的.我们证明了在$\mathbb{P}^{3}$中唯一允许Ulrich线丛的类是通过爆破亏格为3的6次曲线得到的一类。证明了在这类变形类的一般成员上存在具有$c_{1}=3H$的稳定秩二的Ulrich丛。
On anticanonical volumes of weak $\mathbb{Q}$-Fano terminal threefolds of Picard rank two
本文证明Picard秩为2的弱$\mathbb{Q}$-Fano terminal三维簇的反典范体积上界为72，并确定等号成立的唯一情形，为一般canonical Fano三维簇的最优上界问题提供了策略。
A Supplement to the anticanonical Volumes of weak $\mathbb{Q}$-Fano threefolds of Picard rank two
本文补充证明了Picard秩不超过2的弱Q-Fano三维簇的反典范体积要么不超过64，要么等于72且为特定射影丛，完善了先前结果。
Even and odd instanton bundles on Fano threefolds of Picard number 1
我们考虑了射影三维空间上瞬子丛概念的一个类似物，它由一类定义在Picard数为1的光滑Fano三重X上的秩为2的向量丛组成，根据K_X的奇偶性，它具有偶数或奇数行列式.我们首先构造了它们的模空间的一个良好的不可约分支。然后，当X的中间雅可比是平凡的，我们看看相关的单子，超行列式和网的二次曲面。我们还研究了X的中间Jacobian是非平凡的情况，即当X是P5中两个二次曲面的交时，将X上的瞬子丛与自然与X相关联的亏格2曲线上的高秩向量丛相关联.
The defect of Fano 3-folds
本文研究了终末Gorenstein Fano 3褶皱的缺陷。我确定了皮卡德秩1的终端Gorenstein Fano 3折叠缺陷的界限，该折叠不包含平面。给出了四次3-折叠的一般界，并指出了如何研究Picard秩为1的含有平面的终端Gorenstein Fano 3-折叠的亏损。
On Fano varieties with torus action of complexity one
在这项工作中，我们提供了有效的界限和合理的$\QQ$阶乘Fano品种的复杂性1环面行动和皮卡德数1取决于不变的尺寸和皮卡德指数的分类结果。这补充了以前的工作豪森，苏格尔和作者，其中的情况下，自由除子类群的秩一处理。
Optimal upper bound for degrees of canonical Fano threefolds of Picard number one
该研究针对皮卡数为1的Q-因子典型法诺三维簇，利用Kawamata-Miyaoka型不等式证明其(-K_X)^3的最优上界为72。
On the Picard Number of Fano 3-Folds with Terminal Singularities
本文证明了如下主要结果：设X是一个具有终端Q-阶乘奇点的Fano 3-fold，且X的Mori多面体不存在小的极值射线和Kodaira维数为1或2的面。则Picard数ρ（X）< 8。
$c_1$-cohomological rigidity for smooth toric Fano varieties of Picard number two
本研究针对Picard数为2的光滑环面Fano簇，验证了$c_1$-上同调刚性猜想，即若两簇的整上同调环有保$c_1$同构则簇同构，推进了代数几何领域相关刚性问题的研究。
Classification of products of Fano varieties with Picard number one
本文通过极端收缩证明不同分划对应不同构的多射影空间，将结果推广到皮卡丘数为1的法诺簇乘积，进而完成维数≥3的光滑二次曲面乘积的分类。
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