Local well-posedness and low Mach number limit of the compressible magnetohydrodynamic equations in critical spaces
考虑了临界空间中多维等熵可压缩粘性磁流体动力学方程的局部适定性和低马赫数极限。首先建立了粘性磁流体动力学方程在大初值条件下解的局部适定性。然后研究了一般大数据下的低马赫数极限，证明了当马赫数趋于零时，可压缩磁流体动力学方程组的解收敛于不可压缩磁流体动力学方程组的解。此外，还得到了收敛速度的收敛速度。
2017-04-05 math.AP
Incompressible limit for the compressible flow of liquid crystals
在有界区域内研究了低马赫数下液晶可压缩流动与不可压缩流动之间的联系。特别地，当马赫数趋于零时，证明了可压缩液晶流的弱解收敛于不可压缩液晶流的弱解，即证明了有界区域上的弱解的不可压缩极限.
2011-08-24 math.AP
Convergence of the full compressible Navier-Stokes-Maxwell system to the incompressible magnetohydrodynamic equations in a bounded domain
本文建立了有界区域上完全可压缩Navier-Stokes-Maxwell方程组的强解关于马赫数和介电常数的一致估计。基于这些一致估计，我们得到了充分准备的数据的完全可压缩Navier-Stokes-Maxwell系统的不可压缩磁流体动力学方程的收敛性。
2015-04-05 math.AP
Incompressible Limit of the Compressible Nematic Liquid Crystal Flow
本文研究了R^N（N = 2，3）中具有周期边界条件的液晶可压缩流体力学流动的不可压缩极限。严格证明了可压缩方程组的局部（和整体）强解收敛于不可压缩方程组的局部（和整体）强解。此外，还得到了一定意义下的收敛速度。
2014-05-03 math.AP
Incompressible limit of the compressible non-isentropic magnetohydrodynamic equations with zero magnetic diffusivity
研究了具有零磁扩散率和一般初值的可压缩非等熵磁流体动力学方程组在全空间$\mathbb{R}^d$ $(d=2,3)$中的不可压极限.我们首先建立了经典解的存在性的时间间隔独立的马赫数。然后，通过导出一致的先验估计，我们得到了当马赫数趋于零时，解收敛于不可压缩磁流体动力学方程的解。
2011-11-12 math.AP
A blow-up criterion for strong solutions to three-dimensional compressible magnetohydrodynamic equations
研究一类粘性依赖于密度的可压缩磁流体动力学方程的初边值问题。结果表明，当初始密度远离真空时，当速度梯度满足$\|\nabla\mathbf{u}\|_{L^{2}(0,T;L^\infty)}<\infty$时，问题的强解整体存在。我们的方法依赖于精细的能量估计和椭圆估计。
2016-03-31 math.AP
Existence and uniqueness of low-energy weak solutions to the compressible 3D magnetohydrodynamics equations
证明了三维可压缩磁流体动力学（MHD）方程组弱解的存在唯一性。我们首先得到了具有小$L^2$ -范数的弱解的存在性，这些解可能在密度、压力、磁场和速度梯度上显示出余维1的间断。我们所考虑的弱解具有足够的正则性和结构性，使我们能够发展可压缩MHD方程的唯一性和连续相关性理论。我们的结果推广了可压缩Navier-斯托克斯方程中间弱解的结果.
2020-11-11 math.AP
Global large solutions and incompressible limit for the compressible flow of liquid crystals
本文在密度几乎不变和大体积粘性的假设下，研究了液晶可压缩流动的整体大解和不可压缩极限。该结果是基于傅里叶分析和涉及所谓的临界Besov范数。
2018-05-26 math.AP
Axisymmetric deformation of compressible, nearly incompressible, and incompressible thin layers between two rigid surfaces
本文给出了两刚性板或两刚性球约束下薄层轴对称变形的精确渐近解。这些解决方案是使用圣维南的原则和层薄作为唯一的假设。的解决方案是有效的，在整个范围内的泊松比，并允许区分可压缩，几乎不可压缩，不可压缩层。该分类涉及材料和几何参数。
2021-02-15 math.AP
Analytic current-vortex sheets in incompressible magnetohydrodynamics
本文研究了理想不可压缩磁流体力学中的电流涡面问题。更准确地说，我们证明了当地的时间存在性和唯一性的结果，分析初始数据使用柯西Kowalevskaya定理。
2017-06-27 math.AP
Uniqueness of the $1$D Compressible to Incompressible Limit
在等熵近似下，考虑一维两种不可混溶的可压缩流体。第一流体被第二流体包围并与第二流体接触。当第一流体的马赫数为零时，两种流体的耦合动力学结果为可压缩到不可压缩极限，并且已知满足ODE-PDE系统。下面提供了该极限的特征，以确保其唯一性。
2016-12-10 math.AP
Global Solutions of the Equations of 3D Compressible Magnetohydrodynamics with Zero Resistivity
证明了三维空间中零磁阻率可压缩磁流体力学方程组H^2解的整体存在性。在H^2模一个常数态中，初始数据取小值，初始密度为正且本质上有界。本文推广了Kawashima的结果。
2020-11-13 math.AP
Long time well-posedness of compressible magnetohydrodynamics boundary layer equations in Sobolev space
本文考虑二维可压缩磁流体力学（MHD）边界层方程解的长时间适定性。当初始数据是$\varepsilon$定常解的小扰动，且远场状态也是索伯列夫空间中该定常解附近的小扰动时，证明了解的寿命大于$\varepsilon^{-\frac43}$ .
2022-07-30 math.AP
On weak-strong uniqueness property for the full compressible magnetohydrodynamics flows
本文研究了完全可压缩磁流体力学流动的弱-强唯一性。磁流体动力学流动的控制方程由可压缩流体的完整Navier-Stokes系统表示，该系统由磁场和重力的存在引起的力增强，并具有描述磁场演化的附加方程。利用相对熵不等式，证明了当强解存在时，在相同的初始条件下，弱解与强解重合.
2013-01-15 math.AP
Energy conservation for the weak solutions to the equations of compressible magnetohydrodynamic flows in three dimensions
本文证明了三维可压缩磁流体动力学方程组的弱解在仅与密度和速度有关的条件下的能量守恒性。这项工作受到Yu [27]关于可压缩Navier-斯托克斯方程能量守恒的开创性工作的启发。我们的结果表明，即使考虑磁场，我们只需要一些正则性条件的密度和速度，如[27]，以确保能量守恒。
2019-06-25 math.AP
On the vanishing resistivity limit and the magnetic boundary-layers for one-dimensional compressible magnetohydrodynamics
本文考虑一维可压缩等熵粘性无阻磁流体动力学方程的初边值问题。建立了一般大数据下强解的整体适定性。此外，证明了电阻率消失极限的合理性，并分析了磁边界层的厚度。这些结果的证明是基于充分利用所谓的“有效粘性通量”，材料导数和方程的结构。
2015-05-14 math.AP
A blow-up criterion of strong solutions to the 2D compressible magnetohydrodynamic equations
建立了二维可压缩磁流体流动强解的爆破准则。该判据依赖于密度，但与速度和磁场无关。更准确地说，一旦强解爆破，密度的$L^{\infty}$范数趋于无穷大。特别地，允许溶液中的真空。
2015-01-22 math.AP
A blow-up criterion for the 3D compressible magnetohydrodynamics in terms of density
在$\R^3$中研究了三维可压缩磁流体动力学方程的初边值问题。利用密度和磁场建立了局部强解的爆破准则。也就是说，如果密度远离真空（$ρ= 0$）和质量浓度（$ρ=\infty$），并且如果磁场按照$L^\infty$-范数有界，则局部强解可以在时间上全局连续。
2012-07-10 math.AP
Incompressible Limit of a Compressible Liquid Crystals System
本文研究了可压缩液晶系统解的不可压缩极限。我们在整个空间$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$和$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$的一个有界区域上考虑问题的Dirichlet边界条件。这里的维数为$\mathbb{N}=2$或3。
2013-05-29 math.AP
Local strong solution to the compressible magnetohydrodynamic flow with large data
研究了零磁扩散率的三维可压缩磁流体等熵流动。由于磁场耗散的损失，消失的磁扩散率导致显著的困难。在大初值条件下，证明了局部时间强解的存在唯一性。强解的正则性弱于经典解。一个推广的Lax-Milgram定理和Schauder-Tychonoff型不动点的论点与新的技术和估计的强解。
2011-08-27 math.AP
Weak solutions to a full compressible magnetohydrodynamic flow interacting with thermoelastic structure
针对二维完全可压缩无电阻磁流体与线性热弹性壳的热耦合流固相互作用，本文综合运用区域延拓、算子分裂、解耦、界面惩罚和极限过程，证明了弱解存在性。
2025-06-07 math.AP
Compressible magnetohydrodynamics as a dissipative system
本文考虑了一般可压缩、粘性、导电导热流体在非保守边界条件下运动的完整方程组。我们证明了能量空间中有界吸收集的存在性和轨线的渐近紧性。作为推论，所有整体有界解的集合被确定为自然吸引子。边界条件引起的无界解的例子也进行了讨论。
2023-03-13 math.AP
Global strong solutions to the planar compressible magnetohydrodynamic equations with large initial data and vaccum
本文研究了具有大初值和真空的平面可压缩磁流体动力学方程组的初边值问题。当导热系数$κ(θ)$满足\begin{equation*} C_{1}(1+θ^q)\leq κ(θ)\leq C_2(1+θ^q) \end{equation*}，且$q>0$和$C_1,C_2>0$为常数时，证明了大强解的整体存在唯一性.
2017-04-05 math.AP
Stability of strong solutions to the full compressible magnetohydrodynamic system with non-conservative boundary conditions
本文针对具有非保守边界条件的完全可压缩磁流体动力学系统，定义了耗散测度值解，并证明了DMV-强唯一性原理，即DMV解与同初值强解一致。
2024-10-21 math.AP
Local well-posedness of compressible-incompressible two-phase flows with phase transitions
本文讨论了可压缩和不可压缩两相流的基本模型。两相流之间由$N-1$维欧几里得空间${\Bbb R}^{N-1}$（$N \geq 2$）上的一个近似平的界面所分隔。基于线性化问题的极大$L_p$ - $L_q$正则性定理，利用Banach不动点定理证明了该线性化问题的局部适定性.
2015-01-10 math.AP
Strong solutions to compressible-incompressible two-phase flows with phase transitions
本文考虑了在$N$维欧几里得空间的一般区域（如全空间、半空间、有界区域、外部区域）中可压缩-不可压缩两相流的相变自由边界问题。可压缩流体和不可压缩流体分别由紧致或非紧致的锐运动界面分离，并考虑了表面张力的影响。在该模型中，可压缩流体和不可压缩流体分别由Navier-Stokes-Korteweg方程和Navier-斯托克斯方程占据。本文证明了对于给定的$T > 0$，只要初始数据在其自然范数下较小，问题在最大$L_p - L_q$正则类中存在唯一的$(0,T)$强解.
2020-01-22 math.AP
Incompressible Magnetohydrodynamic Flow with Zero Resistivity
证明了不可压缩磁流体力学（MHD）系统在$\R^3$中Cauchy问题的局部和整体光滑解的存在性。我们还证明了不可压缩MHD系统的解可以作为相应可压缩系统的不可压缩极限而得到。我们应用了Lei-Liu-Zhou提出的提取弱耗散结构的方法。
2020-11-13 math.AP
Global regularity for the 3D compressible magnetohydrodynamics with general pressure
我们在$\mathbb{R}^3$中求解可压缩磁流体动力学方程组，并建立了仅用密度表示的局部强解爆破准则。也就是说，如果密度远离真空（$ρ= 0$）和质量浓度（$ρ=\infty$），则局部强解可以在时间上全局延续。结果概括和加强以前的意义上，有没有磁场存在的标准和假设的压力是显着放松。证明是基于三维可压缩MHD方程的一些新的先验估计。
2020-12-05 math.AP
Existence of martingale solutions and the incompressible limit for stochastic compressible flows on the whole space
本文给出了一类可压缩等熵Navier-Stokes方程组在任意随机力作用下的有限能量弱鞅解的存在性和渐近性.特别是，给定一个一般的非线性乘性噪声，我们建立了收敛到不可压缩系统的马赫数，代表的平均流速和声速之间的比率，接近零。
2017-05-03 math.AP
Local well-posedness to the 2D Cauchy problem of full compressible magnetohydrodynamic equations with vacuum at infinity
本文研究二维完全可压缩磁流体动力学方程组在全平面$\mathbb{R}^2$上的柯西问题，无穷远处密度为零。利用空间加权能量方法，在初始密度和初始磁场在无穷远处衰减不太慢的条件下，得到了局部强解的存在唯一性.注意，初始温度不需要在无穷远处缓慢衰减。特别是，在内部域和远场的真空状态是允许的。
2022-01-23 math.AP
On the ${\mathcal R}$-boundedness for the two phase problem with phase transition: compressible-incompressible model problem
本文利用与广义预解问题相对应的${\mathcal R}$ -有界解算子，证明了模型问题情形下具有相变的可压缩和不可压缩两相流的最大$L_q$正则性。这个问题产生于两相流运动的数学研究，该两相流具有由具有相变的尖锐界面分离的气相和液相。利用本文的结果，在\cite{S0}中，我们证明了可压缩和不可压缩两相流在有相变的尖锐界面上分离的自由边界问题的局部适定性。
2015-01-10 math.AP
Uniform regularity estimates and invisicid limit for the compressible non-resistive magnetohydrodynamics system
研究了在半平面内速度为无滑移边界条件的二维可压缩无阻磁流体力学（MHD）方程解的一致正则性估计.在初始磁场横向于边界的假设下，建立了小粘性系数可压缩MHD方程解的一致余法向能量估计.作为直接结果，我们证明了从粘性MHD系统到理想MHD系统解在$L^\infty$意义下的无粘极限。结果表明，在一定的物理范围内，横向磁场可以阻止边界层的产生。
2021-08-30 math.AP
Mathematical theory of compressible magnetohydrodynamics driven by non-conservative boundary conditions
本文提出了由大边界数据驱动的可压缩磁流体动力学方程弱解新概念，证明其在湍流非平衡状态下全局时间可解，并满足弱-强唯一性原则，且受恒星磁对流应用启发。
2023-04-02 math.AP
Well-Posedness of Free Boundary Problem in Non-relativistic and Relativistic Ideal Compressible Magnetohydrodynamics
本文研究了二维和三维非相对论性和相对论性理想可压缩磁流体力学的自由边界问题，其中等离子体-真空界面总压为零。在总压满足Rayleigh-Taylor符号条件下，我们证明了该非线性特征双曲问题解的局部时间存在唯一性。证明是基于在各向异性的索伯列夫空间的线性化问题的某些驯服估计和Nash-Moser迭代格式的修改。我们的结果在光速下是一致的，并且是第一个在运动边界上具有零总压的理想可压缩磁流体力学中自由边界问题的适定性结果.
2020-09-13 math.AP
Global weak solutions and incompressible limit of two-dimensional isentropic compressible magnetohydrodynamic equations with ripped density and large initial data
该研究在体积黏度适当大的条件下证明了带间断密度、大初始能量且允许内部真空的二维等熵可压缩磁流体动力学方程整体弱解的存在性，并首次得到其在大体积黏度下趋于非齐次不可压缩磁流体方程弱解的不可压缩极限。
2025-10-30 math.AP
Energy conservation for inhomogeneous incompressible and compressible Euler equations
研究了在环面或有界区域中具有一般压力律的非齐次不可压和可压Euler方程的能量守恒性。给出了弱解能量守恒的充分条件。通过利用适当的检验函数，密度的空间正则性在不可压缩情况下仅要求为$2/3$阶，在可压缩情况下仅要求为$1/3$阶.当密度为常数时，我们恢复了经典不可压Euler方程的已有结果。
2019-09-20 math.AP
Global Existence for Two Dimensional Compressible Magnetohydrodynamic Flows with Zero Magnetic Diffusivity
在二维空间中研究了具有零磁扩散率的可压缩磁流体力学柯西问题的整体时间经典解的存在性。线性结构是退化的双曲-抛物系统。解被构造为临界空间中恒定背景的小扰动。变形梯度的引入，以解耦之间的微妙的耦合流动和磁场。得到了速度的$L^1$耗散，密度和磁场的$L^2$耗散。
2014-05-01 math.AP
Weak and strong solutions of equations of compressible magnetohydrodynamics
本文对磁流体动力学系统的分析作一综述。首先，我们给出了一个帐户的建模假设。然后，利用重整化解的概念，得到了弱解的存在性结果。然后，在平衡态附近的强解的存在性进行了回顾，特别是Kawashima和Shizuta的方法。最后，强调了一维的特殊情况：使用拉格朗日坐标给出了一个更简单的系统，可以通过标准技术求解。
2015-09-18 math.AP
Global large solutions and incompressible limit for the compressible Navier-Stokes equations
本文研究了可压缩Navier-Stokes方程组在$\mathbb{R}^d$中的整体大解和不可压极限，并给出了$d\ge 2$ .我们的目标是扩展Danchin和Mucha（Adv. Math.，320，904- 925，2017）在$L^2$结构中的描述与在关键的$L^p$框架中的描述。结果表明，存在的整体大的解决方案，最初从大的高度振荡的速度场。
2019-04-09 math.AP
A priori Estimates for the Free-Boundary problem of Compressible Resistive MHD Equations and Incompressible Limit
本文在Sobolev空间中证明了具有Rayleigh-Taylor物理符号条件下的自由边界可压缩无粘磁流体力学方程组的先验估计.我们的能量估计在声速上是一致的。结果证明了自由边界可压缩电阻MHD方程的解收敛于自由边界不可压缩电阻MHD方程的解，即，不可压缩的极限关键的观察结果是，磁扩散与椭圆估计一起直接同时控制洛伦兹力、磁场和压力波。
2021-02-27 math.AP
On global-in-time weak solutions to the magnetohydrodynamic system of compressible inviscid fluids
研究了无粘可压缩流体在磁场相互作用下的运动。我们证明了初值问题在一个大的物理容许数据类的弱解类中是不适定的。我们还考虑了同样的问题，无粘导热流体，并显示相同的结果施加在磁场的某些限制。主要的工具是凸积分的方法，适用于欧拉系统的“可变系数”。
2019-03-05 math.AP
On the construction of solutions to the free-surface incompressible ideal magnetohydrodynamic equations
考虑了描述真空中等离子体运动的不可压缩理想磁流体动力学方程组的一个自由边界问题。磁场是切向的，总压力沿等离子体-真空界面消失。在自由面总压满足Taylor符号条件下，证明了该问题在索伯列夫空间中的局部适定性。
2016-09-22 math.AP
Incompressible limit of the non-isentropic ideal magnetohydrodynamic equations
研究了具有一般初值的可压缩非等熵理想磁流体动力学方程组$\mathbb{R}^d$（$d=2,3$）在全空间的不可压极限.我们首先建立了经典解的存在性的时间间隔独立的马赫数。然后，通过导出一致的先验估计，我们得到了当马赫数趋于零时，解收敛于不可压缩磁流体动力学方程的解。
2013-01-22 math.AP
Non-uniqueness for the hypo-dissipative compressible 3D magnetohydrodynamic equations
Fudan University（复旦大学）
针对一般压力律下的可压缩三维磁流体力学方程组，证明了在次粘性和次电阻率条件下弱解的非唯一性，并建立了理想MHD光滑解作为次耗散MHD弱解粘性消失极限的结论。
2026-06-23 math.AP
Two-phase compressible/incompressible Navier--Stokes system with inflow-outflow boundary conditions
我们证明了具有奇异压力的可压缩Navier-Stokes方程组的弱解的存在性，当密度达到其拥塞水平时，该方程组发生爆炸。这是一个初始值根据输运方程演化的量。然后，我们证明了“刚性压力”的限制引起的两相可压缩/不可压缩系统的拥塞约束描述的自由界面。本文给出了一般有界$C^2$域的边界速度和边界流入部分的密度值。边界条件的大小没有限制。
2022-02-07 math.AP
Global existence of strong solutions to the planar compressible magnetohydrodynamic equations with large initial data in unbounded domains
在一维无界区域内，考虑具有常粘性和常导热系数的平面可压缩磁流体动力学（MHD）流的方程。更准确地说，我们证明了大初始值的MHD方程的强解的整体存在性，满足与Kazhikhov的理论在有界区域（Kazhikhov 1987数学物理方程的边值问题（Krasnoyarsk））相同的条件。特别地，我们的结果将有界区域上的Kazhikhov初边值问题的理论推广到了无界的情形。
2020-09-18 math.AP
Existence, uniqueness and optimal decay rates for the 3D compressible Hall-magnetohydrodynamic system
本文研究了三维可压缩霍尔磁流体动力学系统的柯西问题。我们首先在临界Besov空间中建立了当初值接近稳定平衡态时系统强解的唯一全局可解性。此外，在一个适当的附加条件下，只涉及低频率的数据和$L^{2}$ -临界正则性框架，我们表现出最佳的时间衰减率构造的整体解决方案。证明依赖于应用傅里叶分析的混合抛物-双曲系统，并在一个细化的时间加权能量泛函。
2018-06-07 math.AP
Incompressible limit for compressible fluids with stochastic forcing
本文研究了在可压缩区域中，当马赫数趋于零时，由乘性随机强迫驱动的等熵Navier-Stokes方程组的渐近行为。我们的方法是基于最近发展的概念弱鞅解的原始系统，统一的界限来自调制能量不等式的随机模拟，并仔细分析声波。一个随机不可压Navier-Stokes方程组被确定为极限问题。
2016-01-12 math.AP
Global weak solutions of 3D compressible magnetohydrodynamic equations subject to large external potential forces with discontinuous initial data and vacuum
本文研究了在大外部势能力作用下，三维可压缩磁流体动力学方程的全球弱解存在性，考虑了不连续初始数据和真空状态，并通过有效粘性通量估计克服了边界和外部力带来的困难。
2025-12-22 math.AP
Compressible Navier-Stokes system : large solutions and incompressible limit
本文证明了具有任意大初速度$v\_0$和几乎常密度$\varrho\_0$的二维可压缩斯托克斯方程在大体积（体）粘性下的整体时间正则解的存在性.在附加的假设下，将结果推广到高维情形，即用$v\_0,$的无发散投影补充的经典不可压斯托克斯方程的强解是整体的.在关键的$\dot B^s\_{2,1}$ Besov空间框架中，在$R^d$与$d \geq 2$中检查系统。
2016-03-23 math.AP
A priori Estimates for the Compressible Euler Equations for a Liquid with Free Surface Boundary and the Incompressible Limit
本文证明了具有自由边界的可压缩Euler方程的一种新的能量估计，它具有边界部分和内部部分。这些可以被认为是Christodoulou和Lindblad [CL]中能量对可压缩情况的概括，并且不要求流体是无旋的。此外，我们表明，我们的估计实际上是均匀的声速。因此，我们得到了具有自由边界的可压缩Euler方程的解收敛到不可压缩方程的解，将Ebin [Eb]的结果推广到具有自由边界的情况。在不可压缩的情况下，我们的能量减少到[CL]中的能量，我们的证明特别给出了[CL]中估计的简化证明，并改进了误差估计。由于对于不可压缩的无旋液体的自由表面有小的数据的整体存在性的结果，我们的结果打开了长期存在的可能性，也为轻微的可压缩液体的自由表面。
2017-04-13 math.AP
Global weak solutions and incompressible limit to the isentropic compressible magnetohydrodynamic equations in 2D bounded domains with ripped density and large initial data
本文将等熵可压缩磁流体动力学方程的全局弱解存在性与不可压缩极限推广至带Navier-slip边界条件的二维有界凸区域，并获得了与体粘性系数无关的一致先验估计。
2025-11-01 math.AP
Global Classical Solutions to Full Compressible Magnetohydrodynamic System with Large Oscillations and Vacuum in 3D Exterior Domains
研究了三维外区域中的完全可压缩磁流体动力学系统。对于速度为滑移边界条件，温度为绝热边界条件，磁场为理想边界条件的初边值问题，在初值具有小能量但可能存在大振荡的条件下，建立了整体经典解的存在唯一性.特别地，初始密度和温度都允许为零。此外，还得到了该方程的经典解的大时间性态。
2022-10-17 math.AP
Boundary Layer Problems for the Two-dimensional Inhomogeneous Incompressible Magnetohydrodynamics Equations
本文研究了由二维密度相关的不可压磁流体力学（MHD）方程组导出的非均匀不可压MHD方程组边界层问题的适定性，在初始切向磁场不为零且密度是外部常流的超范数小扰动的假设下，在加权余正则索伯列夫空间中，利用能量方法建立了非齐次不可压MHD边界层方程的局部时间存在唯一性。作为一个副产品，可以获得的局部时间适定性的均匀不可压缩MHD边界层方程与任何大的初始数据。
2018-12-16 math.AP
