Borsuk's conjecture for two-distance sets and its equivalent formulation for graphs
本研究利用图可作为双距离集嵌入欧氏空间的性质，给出双距离集下博苏克猜想的图论等价表述，介绍其未解决的维度范围，还探讨了图构造反例的思路与向s-距离集的推广。
2025-11-15 math.CO math.MG
Uniqueness of maximum three-distance sets in the three-dimensional Euclidean space
$d$维欧几里得空间中的子集$X$称为$k$距离集，如果在$X$中的两个不同点之间恰好存在$k$距离. Einhorn和Schoenberg证明了正二十面体的顶点是$\mathbb{R}^3$中直到同构的唯一的12点三距离集。本文证明了$\mathbb{R}^3$中12点三距离集的唯一性。
2013-09-09 math.CO math.MG
An upper bound for the size of $s$-distance sets in real algebraic sets
在最近的一份文件彼得罗夫和Pohoata开发了一种新的代数方法，结合了Croot-列夫-Pach引理从添加剂组合和西尔维斯特定律的惯性真正的二次型。作为应用，他们给出了$s$ -距离集（子集$\mbox{$ \cal A $}\subseteq {\mathbb R}^n$最多确定$s$不同距离）大小的Bannai-Bannai-Stanton界的简单证明。在本文中，我们推广了他们的工作，并证明了上界的大小$s$ -距离集在各种实代数集。这种方法得到了Delsarte-Goethals-Seidel在球面$s$ -距离集上的界的一个新的简短证明，并推广了Bannai-Kawasaki-Nitamizu-Sato在球面并上的$s$ -距离集上的界.在我们的论点中，我们使用彼得罗夫和Pohoata的方法与一些Gröbner基础技术。
2020-07-01 math.AC math.CO math.MG
A proof of a Dodecahedron conjecture for distance sets
欧几里得空间的有限子集称为$s$ -距离集，如果在该集合中两个不同点之间的欧氏距离恰好存在$s$值。本文证明了$\mathbb{R}^3$中所有5-距离集之间的最大基数为20，并且$\mathbb{R}^3$中的每个含有$20$点的$5$ -距离集都与正十二面体的顶点集相似。
2020-09-28 math.CO math.MG
Distance sets of well-distributed planar sets for polygonal norms
设X是二维赋范空间，BX是X中的单位球.讨论了当X包含一个距离集Delta满足估计的均匀分布集时，BX的极值点集必须有多大的问题|Δ \cap [0，N]|<CN^{3/2 -ε}。我们还给出了一个良分布集存在的充要条件，|Δ \cap [0，N]|< CN.
2004-05-01 math.CO math.MG
Few-weight codes over $\Bbb F_p+u\Bbb F_p$ associated with down sets and their distance optimal Gray image
设$p$为奇素数。本文构造了环$R=\Bbb F_p+u\Bbb F_p,u^2=0$上的$2(2p-3)$码类，这些码类与下集有关.我们计算的李重量分布的$2(2p-3)$类的代码时，下集是由一个单一的最大元素。利用$R$上线性码的Gray映射，我们找到了$p$元距离最优线性码的$2(p-1)$类.其中两人与格里斯默会合。
2020-01-20 cs.IT math.CO math.IT
Clustering in typical unit-distance avoiding sets
本文在平面中严格证明，稠密乃至典型的避免单位距离集合都会出现距离约为2的点对过度富集的聚类现象，并基于线性规划方法加以论证。
2024-07-06 math.CO math.MG
Upper bounds for $s$-distance sets and equiangular lines
度量空间中的点集称为$s$距离集，如果这些点之间的成对距离只允许$s$不同的值。具有标积$\{α, -α\}$，$α\in[0,1)$的集合的两距离球面集称为等角集。确定各种空间中$s$ -距离集的最大尺寸的问题在数学中有着悠久的历史。本文提出了一种新的方法，通过带状球函数来界定紧两点齐性空间中$s$距离集的大小。这个方法使我们能够证明$\mathbb{R}^n$，$n\geq 7$中的球形两距离集的最大尺寸是$\frac{n(n+1)}2$，对于某些$n=(2k+1)^2-3$，$k \in \mathbb{N}$可能有例外。我们还证明了具有$α=\frac 1 a$的等角集的普遍上界$\sim \frac 2 3 n a^2$，并利用这个界，证明了一个新的等角集在所有维度上的大小上界。最后，我们分类所有等角集达到这个新的界限。
2016-11-29 math.CO math.MG
On the density of sets avoiding parallelohedron distance 1
除了维数为1的平凡情况外，R^n的一个可测子集的最大密度是未知的。在本文中，我们考虑了一个与一个平铺空间的多面体相关联的距离的情况，其中集避免距离1很可能具有最大密度2^-n，正如Bachoc和Robins所证明的那样。我们证明，这是真的，为n = 2，并为Voronoprano区域的格An，n >= 2。
2017-08-01 math.CO math.MG
Constructions of Large m-Distance Sets on Triangular Lattice
本文研究三角晶格上的大型 m-距离集构造，分别通过前 m 个最小距离求最大团和利用六边形结构两种方法，并比较所得距离的重数。
2025-08-31 math.CO math.MG
On Pinned Falconer Distance Problem for Cartesian Product Sets: the Parabolic Method
本文针对笛卡尔乘积集的固定点Falconer距离问题，利用与特定抛物线结构相关的笛卡尔乘积集的新观察开展研究，在特定情形下改进了已有文献中的Falconer距离集阈值。
2025-03-18 math.CA math.CO math.MG
Maximal $2$-distance sets containing the regular simplex
欧几里得空间的有限子集$X$称为$m$ -距离集，如果$X$中两个不同点之间的距离数等于$m$。如果在保持$m$ -距离条件的同时不能将任何向量添加到$X$，则称$m$ -距离集$X$为最大.本文研究了向量加到正则单纯形上使得集合只有$2$距离的一个充要条件。我们构造了几个包含$d$维正则单形的$d$维极大$2$ -距离集.特别是，存在无穷多个最大的非球形$2$ -距离集，其中既包含正则单纯形，又包含强可解设计的表示。最大$2$距离集的大小为$2s^2(s+1)$，维数为$d=(s-1)(s+1)^2-1$，其中$s$是素数幂.
2020-07-27 math.CO math.MG
Cardinalities of k-distance sets in Minkowski spaces
一个度量空间的子集是一个k-距离集，如果点之间恰好有k个非零距离。我们猜想d维巴拿赫空间（或Minkowski空间）中的k-距离集至多包含（k+1）^d个点，且它们相等当且仅当单位球是平行六面体.我们解决这个猜想肯定的所有2维空间和空间的单位球是一个平行。对于一般空间，我们找到了k-距离集的各种较弱的上界。
2007-12-06 math.CO math.MG
On the distance sets spanned by sets of dimension $d/2$ in $\mathbb{R}^d$
该研究在全维数下对满足Hausdorff与packing维数相等的集合证明了Falconer距离集猜想的维数版本，给出低维及高维下距离集维数的显式估计，依赖的径向投影维新估计具独立价值。
2024-08-13 math.CA math.CO math.MG
Bounds on three- and higher-distance sets
度量空间M中的有限集X称为s-距离集，如果X中任意两个不同点之间的距离集的大小为s。s-距离集的主要问题是确定固定s和M的s-距离集的最大基数。本文改进了n-球面中s-距离集的已知上界，其中s= 3，4.特别地，我们确定了n=7和21的三距离集的最大基数。给出了S-距离集在Hamming空间和Johnson空间中的最大基数。
2011-04-19 math.CO
Number of bounded distance equivalence classes in hulls of repetitive Delone sets
两个Delone集是有界距离等价的，如果它们之间存在一个双射使得对应点的距离一致有界。有界距离等价是一种等价关系。我们证明了具有有限局部复杂度的重复Delone集的壳有一个等价类或不可数个等价类。在arXiv：2011.00106 [math.MG]中证明了一个非常相似的结果。
2021-01-17 math.CO math.DS math.MG
Sets of Complex Unit Vectors with Two Angles and Distance-Regular Graphs
我们研究{0，α}-集，它是$\mathbb{C}^m$的单位向量的集合，其中任意两个不同的向量有角0或α。我们研究了一些距离正则图，这些图利用Godsil和Roy的方法提供了{0，α}-集的新构造.我们证明了平坦向量的{0，α}-集的大小的界，并刻画了所有产生{0，α}-集的距离正则图在相等时满足界.
2013-06-13 math.CO
New upper bound for the cardinalities of $s$-distance sets on the unit sphere
我们用Fisher型不等式和线性规划界作为$S^{d-1}$上$s$ -距离集基数的上界。本文对任意$s$，给出了$S^{d-1}$上$s$ -距离集基数的一个新的上界.这个上界改进了Fisher型不等式，并且对于不适用于线性规划界的$s$ -距离集是有用的.
2010-04-28 math.CO
Spherical two-distance sets and graph eigenvalues
本文建立了球面二距离集与特定谱性质图的显式对应，并据此推导了球面二距离集最大大小的界。
2025-10-11 math.CO
On a generalization of distance sets
如果在$X$中的两个不同的点之间存在精确的$k$不同的距离，则在$d$维欧氏空间中的子集$X$被称为$k$距离集;如果对于$X$中的任何点$x$，在$x$和$X$中的其他点之间至多存在$k$不同的距离，则子集$X$被称为局部$k$距离集. Delsarte，Goethals和Seidel给出了费舍尔型上限的基数$k$距离集的领域在1977年。同样地，我们也能给出球面上局部$k$ -距离集的同样的界。本文的第一部分证明了：如果$X$是一个达到Fisher型上界的局部$k$ -距离集，则确定一个权函数$w$，$(X,w)$是一个紧权球形$2k$ -设计。这个结果意味着达到Fisher型上界的局部$k$ -距离集是$k$ -距离集。第二部分给出了球面上$k$ -距离集基数的一个新的绝对界。该上限对于$k$距离集是有用的，对于该距离集，线性规划界限不适用。第三部分讨论了欧氏空间中的局部两距离集。本文给出了欧氏空间中局部两距离集的基数的一个上界。证明了在$(d-1)$ -空间中存在一个达到Fisher型上界的球面二距离集等价于在具有多于$d(d+1)/2$点的$d$ -空间中存在一个局部二距离集而不是二距离集.我们还分类的最佳（最大可能的）本地两个距离集的尺寸小于8。此外，我们确定的最大基数的局部两个距离集的尺寸小于40的领域。
2009-12-10 math.CO
Spectral conditions for spherical two-distance sets
Sts. Cyril & Methodius International Foundation（圣西里尔与美多德国际基金会）；Foundation for support of children Mariyana Palanchova（Mariyana Palanchova儿童支持基金会）；MIT Math Department（麻省理工学院数学系）
本文研究了球面双距离集的谱条件，通过图谱分析确定其存在空间及最低维表示。
2026-02-03 math.CO math.MG
Intersections of sets of distances
我们隔离的自然数集$A,B$，保证一个非空的交集$Δ(A)\capΔ(B)\ne\emptyset$的相应的距离的相对大小的条件。这样的条件适用于一大类零密度集。我们还表明，欣钦的递归定理的一个变种持有所有无限集$A=\{a_1<a_2<...\}$与$a_n\ll n^{3/2}$。
2016-09-21 math.CO
Graphs and spherical two-distance sets
每个图G都可以嵌入到欧几里得空间中作为一个二距离集。G的欧几里得表示数是G可由这种嵌入表示的最小维数。我们考虑G的球面和J-球面表示数，并利用Caley-Menger行列式定义的多项式的重数给出了这些数的精确公式。本文的主要结果之一是由W.二距离集的Kuperberg型定理。
2018-07-14 math.CO math.MG
Few distance sets in $\ell_p$ spaces and $\ell_p$ product spaces
Kusner询问$n+1$点是否是$\mathbb{R}^n$中的最大点数，使得任何两个点之间的$\ell_p$距离$(1<p<\infty)$是$1$。我们提出了一个改进的最知名的上限时，$p$是大的$n$方面，以及一个推广的绑定$s$距离集。我们还研究了等边集的$\ell_p$和欧几里德空间，推导出上界的大小的等边集时$p=\infty$，$p$是甚至，并为任何$1\le p<\infty$。
2021-11-21 math.CO math.MG
Elias Bound for General Distances and Stable Sets in Edge-Weighted Graphs
本文提出了一个扩展的Elias界的最小距离的代码一般的离散字母表，可能是无限值的距离。该界是通过结合以前的扩展埃利亚斯界，介绍了布拉胡特，与扩展的界限以前介绍了作者的思想基础上的加拉格尔，Lovász和马顿。这个结果实际上可以解释为图容量上的埃利亚斯界和洛瓦兹界（或零误差）的统一，两者都被恢复为这里提出的一个的特殊情况。Berlekamp，Blahut和Piret的Elias绑定的以前的扩展被证明是包括作为我们的绑定的特殊情况。然后讨论了可靠性函数的应用。
2015-03-04 cs.IT math.CO math.IT
Gromov-Hausdorff distance between vertex sets of regular polygons inscribed in a given circle
本文研究圆内接正多边形顶点集在圆周度量下的 Gromov-Hausdorff 距离，完整解决了 m 可被 n 整除时 n 边形与 m 边形的情形，并给出到 2 边形和 3 边形的全部距离。
2022-10-18 math.CO math.MG
The density of sets avoiding distance 1 in Euclidean space
本文用指数因子改进了欧几里得空间中避1集密度的最佳渐近上界。这一结果是由一个分析界，这是一个类似的洛瓦兹θ数和一个组合的参数，涉及有限的子图的单位距离图的组合。进而，我们直接得到了欧几里得空间的可测色数的一个渐近改进。我们还收紧了4到24之间的维度的先前结果。
2015-01-29 math.CO math.MG
On sets with few distinct distances
人们普遍认为，在平面上的点集，确定几个不同的距离必须有一些特殊的结构。特别地，这样的集合被认为类似于晶格。本说明考虑用两种不同的方法来量化这一想法。首先，改进Hanson的结果（参见arXiv：1607.03442），证明了如果$P= A \times A$与$A \subset \mathbb R$和$P$确定$O(|A|^2)$不同距离，则$|A-A|=O\left(|A|^{2-\frac{2}{11}}\right)$。这一结果进一步证明了决定少数不同距离的卡氏积具有某种加性结构。其次，证明了如果$N$点的集合$P \subset \mathbb R^2$确定$O(N/\sqrt {\log N})$不同的距离，则存在反射$\mathcal R$和具有$|P'| =Ω( \log^{3/2} N)$的集合$P' \subset P$，使得$\mathcal R(P') \subset P$ .换句话说，具有几个不同距离的集合具有某种程度的自反对称性。
2016-11-16 math.CO math.MG math.NT
A counterexample to a conjecture of Larman and Rogers on sets avoiding distance 1
对于$n \geq 2$，我们构造了$\mathbb{R}^n$中单位球的可测量子集，该子集不包含距离为1的点对，并且其体积大于$(1/2)^n$乘以球的体积。这证明了Larman和Rogers在1972年提出的一个猜想是错误的。
2019-03-11 math.CO math.MG
Fourier analysis, linear programming, and densities of distance avoiding sets in R^n
本文给出了R^n中可测集的密度的新的上界，它避免了给定距离的有限集。新的界限来自于一个线性规划问题的解。我们应用这种方法得到了可测集的新的上界，它避免了2，.维中的单位距离，24.这给出了3维中可测色数的新下界，.，24.我们应用它得到一个新的，简短的证明的一个变种最近的结果布赫这反过来又推广定理Furstenberg，Katznelson，Weiss和Bourgain和Falconer关于避免许多距离。
2008-12-02 math.CA math.CO math.MG
On the Erdős-Falconer distance problem for two sets of different size in vector spaces over finite fields
我们考虑两个不同集合的Erdens-Falconer距离问题的有限域版本。在两个集合的大小一定的范围内，我们得到了严格的数量级的结果。
2012-11-21 math.CO math.NT
On distances and metrics in discrete ordered sets
离散偏序集可以通过几种方式转化为距离空间。距离函数可以满足或不满足三角不等式，并且对有限链的距离的限制可以符合或不符合在链中测量的自然高度差距离。对于半格，半模性条件确保了所考虑的距离的良好行为。这个条件是平凡的树满足，并在格它符合通常的半模性质。对于一大类距离函数，三角不等式等价于半模性。
2018-02-25 math.CO
On the Hausdorff dimension of pinned distance sets
我们证明了，如果$A$是一个博雷尔集在平面上的相等Hausdorff和包装尺寸$s>1$，那么一组固定的距离$\{ |x-y|:y\in A\}$有充分的豪斯多夫维数的所有$x$以外的一组豪斯多夫维数$1$（特别是，对于许多$x\in A$）。这验证了一个强大的变体法尔科纳的距离集猜想套相等的豪斯多夫和包装尺寸，端点$s=1$之外。
2018-01-26 math.CA math.CO math.MG
Star graphs: threaded distance trees and E-sets
建立星形图$ST_n$中的距离分布（$1<n\in\Z$），并且随后获得线索二叉树，该线索二叉树实现$ST_n$的定向，该定向的级别由到单位元置换的距离给出，这是通过修剪算法和随后的线索算法实现的。在这个过程中，$ST_n$的有效控制集的距离的分布被确定。
2010-11-15 math.CO
Distance-2 MDS codes and latin colorings in the Doob graphs
Doob图D（m，n）中的最大独立集类似于Hamming图中的距离为2的MDS码和拉丁超立方体。我们证明了这些集的特征，说明每一个这样的集合是半线性或可约的。作为相关对象，我们研究了D（m，n）中具有最大割（边边界）的顶点集，并证明了它们的结构。我们认为，两个类（最大独立集和最大割集）可以定义为类的完全正则集指定的2 × 2的商矩阵。值得注意的是，对于所考虑的类的集合，商矩阵的特征值是图的最大和最小特征值。对于D（m，0），我们证明了存在第三个，中间，类完全正则集具有相同的性质。
2019-08-27 cs.DM cs.IT math.CO
Semidefinite Programming Bounds For Spherical Three-distance Sets
球面三距离集是$\mathbb{R}^{n}$中单位向量的有限集合$X$，使得每对不同向量具有三个内积值。本文利用半定规划方法改进了多维球面三距离集的上界。我们在$\mathbb{R}^7$，$\mathbb{R}^{20}$，$\mathbb{R}^{21}$，$\mathbb{R}^{23}$，$\mathbb{R}^{24}$和$\mathbb{R}^{25}$中得到了较好的界.特别地，我们证明了球面三距离集的最大大小是$\mathbb R^{23}$中的$2300$。
2020-05-04 math.CO
A generalization of Gerzon's bound on spherical s-distance sets
本文利用线性无关多项式的方法，导出了球面s-距离集F的基数的一个上界，其中F中任意两个元素的不同内积之和为零。我们的结果推广了著名的Gerzon的范围为基数的等角球面集的一个显着更广泛的类的球面S-距离集。
2021-10-01 math.CO
On sets containing a unit distance in every direction
我们研究了$\mathbb{R}^2$中在每个方向上都包含单位距离的紧集的盒维数（这样的集合可能具有零豪斯多夫维数）。在其他结果中，我们表明，较低的盒维数必须至少是$\frac{4}{7}$，可以低至$\frac{2}{3}$。这在某种意义上量化了单位圆距离成为差集有多远。
2021-07-01 math.CA math.CO math.MG
Groups with few maximal sum-free sets
我们发现，在整数设置相反，几乎所有的偶数阶阿贝尔群$G$有指数更少的最大和自由集比$2^{μ(G)/2}$，其中$μ(G)$表示的大小，最大和自由集$G$。这证实了Balogh，Liu，Sharifzadeh和Treglown的猜想。
2018-11-14 math.CO math.NT
Intriguing sets in distance regular graphs
我们构造了一个无穷族的有趣的集，不紧的平面PG $(n,q)$，$n\ge 5$奇的格拉斯曼图，并表明，家庭的成员是最小的可能的例子，如果$n\ge 9$或$q\ge 25$。
2018-09-07 math.CO
Maximal $m$-distance sets containing the representation of the Johnson graph $J(n, m)$
我们对包含$m = 2, 3$的Johnson图$J(n, m)$的表示的$\mathbb{R}^{n-1}$中的最大$m$ -距离集进行分类.此外，我们确定了$n$和$m$使得Johnson图$J(n, m)$的表示作为$m$ -距离集不是最大的充要条件.此外，我们还对包含$J(n - 1, 2)$表示的$\mathbb{R}^{n-1}$中的最大二距离集进行了分类。
2012-09-02 math.CO
Constant rank-distance sets of hermitian matrices and partial spreads in hermitian polar spaces
本文通过埃尔米特矩阵的部分扩展集的相关概念和更一般的常秩距离集的概念来研究$H(2n-1,q^2)$的部分扩展。本文证明了有限域上线性常秩距离埃尔米特矩阵集的最大尺寸的一个严格上界，并由此证明了作为$H(2n-1,q^2)$部分扩展的辛半域扩展的极大性.我们证明了上界为常数秩距离集的偶数秩，构建这些大的例子，并构建最大的部分蔓延的$H(3,q^2)$的大小范围。
2013-06-04 math.CO
New bounds on the dimensions of planar distance sets
证明了平面集的距离集和钉扎距离集的维数的新界。在其他结果中，我们证明了，如果$A\subset\mathbb{R}^2$是一个Borel集的Hausdorff维数$s>1$，那么它的距离集的Hausdorff维数至少为$37/54\approx 0.685$。此外，如果$s\in (1,3/2]$，则在Hausdorff维数至多为$1$的例外$y$的集合之外，固定距离集合$\{ |x-y|:x\in A\}$具有Hausdorff维数$\ge \tfrac{2}{3}s$和至少为$ \tfrac{1}{4}(1+s+\sqrt{3s(2-s)}) \ge 0.933$的填充维数。这些估计改进了Bourgain，Wolff，Peres-Schlag和Iosevich-Liu对Hausdorff维数$>1$的估计.我们的证明使用了测量的多尺度分解，与以前的工作不同，我们能够选择受某些约束的尺度。这导致了一个组合问题，这是我们的方法的一个关键的新成分，我们完全解决了优化某些变化的Lipschitz函数。
2019-04-01 math.CA math.CO math.MG
Distance-regular graphs with a few $q$-distance eigenvalues
本文研究距离正则图的 $q$-距离矩阵在何时具有少数不同特征值，并主要集中于直径为 3 的情形。
2024-01-11 math.CO
On integer distance sets
提出新方法解决整数距离集经典问题，得出平面整数距离集的稀疏性或近共线/圆结构结论，进而推导出非共线集直径的近最优下界与特定限制下整数距离集大小的强上界。
2025-08-25 math.CO math.MG math.NT
Difference Sets with Few Character Values
已知的差集族可以细分为三类：具有Singer参数的差集、分圆差集和具有gcd $(v,n)>1$的差集。值得注意的是，所有已知的具有gcd $(v,n)>1$的差集都具有所谓的特征可分性。1997年，Jungnickel和Schmidt提出了用gcd $(v,n)>1$构造不满足此性质的差集的问题。为了解决这个问题，我们使用了具有三个非平凡特征值的差集作为候选集，并得到了一些必要条件。
2013-03-07 math.CO
Sets with few distinct distances do not have heavy lines
令$P$为平面中的一组$n$点，其确定至多$n/5$不同距离。我们证明了没有一条直线可以包含$P$的多个$O(n^{43/52}{\rm polylog}(n))$点。我们还显示了一个类似的结果矩形距离，相当于在闵可夫斯基平面的距离，其中一对点之间的距离是他们跨越的轴平行矩形的面积。
2014-10-07 math.CO
On distance sets, box-counting and Ahlfors-regular sets
我们得到了平面离散Ahlfors-正则指数集$s>1$的钉扎距离集（稠密子集）的计盒估计。作为推论，我们改进了Orponen最近的一个结果，证明了如果$A$是维数为$s>1$的Ahlfors正则集，则几乎所有$A$的钉扎距离集都具有较低的计盒维数$1$ .我们还表明，如果$A,B\subset\mathbb{R}^2$有豪斯多夫维数$>1$和$A$是Ahlfors-正则的，那么$A$和$B$之间的距离集已经修改了较低的计盒维数$1$，这使得$B=A$在不同的方向上改进了Orponen的结果，通过降低包装维数到修改的较低的计盒维数。证明涉及遍历理论的思想，依赖于CP过程和投影的理论。
2017-05-21 math.CA math.CO math.DS
On distinct distances in homogeneous sets in the Euclidean space
$d$维欧几里得空间中的$n$点的齐次集合对于常数$c(d)>0$至少确定$Ω(n^{2d/(d^2+1)} / \log^{c(d)} n)$不同的距离.在三维空间中，我们稍微改进了我们的一般界，并表明，一个均匀的$n$点集确定至少$Ω(n^{.6091})$不同的距离。
2005-12-08 math.CO
Odd-distance and right-equidistant sets in the maximum and Manhattan metrics
我们解决了两个相关的极端几何问题的$n-$维空间$\mathbb{R}^n_{\infty}$配备了最大度量。首先证明了$\mathbb{R}^n_{\infty}$中右等距点列的最大长度等于$2^{n+1}-1$。一个序列是右等距的，如果每一个点与所有后续点的距离相同。其次，我们证明了$\mathbb{R}^n_{\infty}$中具有成对奇数距离的最大点数等于$2^n$。我们也得到了部分结果的$n-$维空间$\mathbb{R}^n_1$与曼哈顿距离的问题。
2022-08-16 math.CO math.MG
Maximal $m$-distance sets containing the representation of the Hamming graph $H(n,m)$
在欧几里得空间$\mathbb{R}^d$中的集合$X$称为$m$ -距离集合，如果$X$中两个不同点之间的欧几里得距离的集合具有大小$m$。如果在$\mathbb{R}^d$中不存在矢量$x$使得$X$和$\{x\}$的并集仍然只有$m$距离，则称$\mathbb{R}^d$中的$m$距离集$X$是最大的。Bannai-Sato-Shigezumi（2012）研究了包含Johnson图$J(n,m)$的欧几里得表示的最大$m$ -距离集。在本文中，我们考虑同样的问题的汉明图$H(n,m)$。$H(n,m)$的欧几里德表示是$\mathbb{R}^{m(n-1)}$中的$m$距离集。我们证明了最大$n$是$m^2 + m - 1$，使得$H(n,m)$的表示不是最大的$m$ -距离集。此外，我们分类的最大$m$距离集，其中包含的表示$H(n,m)$为$m\leq 4$和任何$n$。我们还分类的最大$2$ -距离集在$\mathbb{R}^{2n-1}$，其中包含的表示$H(n,2)$的任何$n$。
2016-09-21 math.CO
Distance sets of universal and Urysohn metric spaces
度量空间$\mathrm{M}=(M;\de)$是{ \em齐性}的，如果对于$\mathrm{M}$的有限子空间到$\mathrm{M}$的子空间的每个等距$f$，存在$\mathrm{M}$到$\mathrm{M}$上的等距扩张$f$。一个度量空间$\boldsymbol{U}$是一个{ \em Urysohn}度量空间，如果它是齐次的、可分的和完备的，并且如果它等距嵌入每个可分度量空间$\mathrm{M}$和$\dist(\mathrm{M})\subseteq \dist(\boldsymbol{U})$。(With $\dist(\mathrm{M})$是$\mathrm{M}$中的点之间的距离的集合。）主要结果是：（1）Urysohn度量空间$\boldsymbol{U}$的集合$\dist(\boldsymbol{U})$的一个特征. (2)如果$R$是Urysohn度量空间的距离集，$\mathrm{M}$和$\mathrm{N}$是两个度量空间，具有任意基数，距离在$R$中，则它们不相交地合并为一个距离在$R$中的度量空间. (3)将$\dist(\mathrm{F})\subseteq \dist(\mathrm{M})$等距嵌入每个有限度量空间$\mathrm{F}$的齐次可分度量空间$\mathrm{M}$的完备化是齐次的。
2011-07-24 math.CO math.MG
Distance Graphs and sets of positive upper density in $\mathbb{R}^d$
本文给出了Bourgain关于在正上密度的$\mathbb{R}^d$的可测子集中寻找$k+1$点在一般位置上的配置的一个结果，当$d\geq k+1$到所有真$k$ -退化距离图时，这个结果是一个很好的推广.
2018-03-23 math.CA math.CO math.NT
Bounds on $s$-distance sets with strength $t$
欧几里得单位球面中的有限集$X$称为$s$ -距离集，如果$X$中任何两个不同元素之间的距离集的大小为$s$。如果$X$是球形$t$ -设计而不是球形$(t+1)$ -设计，我们说$t$是$X$的强度. Delsarte-Goethals-Seidel给出了$s$ -距离集的基数的绝对界。Neumaier和Cameron-Goethals-Seidel的结果表明，如果$X$是强度为2的球面2-距离集，则改进了已知的2-距离集的绝对界.在Krein参数满足一定条件的情况下，这个界也被看作是强正则图的界。在本文中，我们给出了两个推广，这一界的球形$s$ -距离集的强度$t$（更一般地说，$s$ -距离集的强度$t$在两点齐性空间），和$Q$ -多项式结合计划。首先，对任意的$s$和$s-1 \leq t \leq 2s-2$，我们改进了已知的具有强度$t$的球形$s$ -距离集的大小的绝对界.其次，在Krein参数满足一定条件的情况下，对任意的$d$，给出了$d$类的$Q$ -多项式结合方案的大小的绝对界.
2010-08-31 math.CO
