We consider a U(2) Yang-Mills theory on M x S_F^2 where M is a Riemannian manifold and S_F^2 is the fuzzy sphere. Using essentially the representation theory of SU(2) we determine the most general SU(2)-equivariant gauge field on M x S_F^2. This allows us to reduce the Yang-Mills theory on M x S_F^2 down to an abelian Higgs-type model over M. Depending on the enforcement (or non-enforcement) of a "constraint" term, the latter may (or may not) lead to the standard critically-coupled abelian Higgs model in the commutative limit, S_F^2 -> S^2. For M = R^2, we find that the abelian Higgs-type model admits vortex solutions corresponding to instantons in the original Yang-Mills theory. Vortices are in general no longer BPS, but may attract or repel according to the values of parameters.
Supersymmetric Gauge Theories, Vortices and Equivariant Cohomology
我们构造了（p，0）-和（p，1）-超对称，1 <= p <= 4的二维规范理论与非线性西格玛模型物质的作用量.我们推导出这些模型的一大类的标量势。然后，我们证明了没有Wess-Zumino项的（2，0）和（4，0）-超对称模型的欧几里得作用量是有界的拓扑荷，其中涉及的Kahler形式的二维时空上的西格玛模型目标空间评估的等变扩展。我们给出了适当的规范理论耦合到非线性西格玛模型物质在更高的时空维度，现在涉及的西格玛模型目标空间的Kahler形式的等变扩展和规范场的第二陈特征标的欧几里得行动类似的界限。BPS位形是阿贝尔涡和非阿贝尔涡的概括。
本文构造了维数为$d>2$的模糊超球$S^d_Λ$，推广了[G. Fiore，F. Pisacane，J. Geom.Phys.132（2018），423-451]用于$d=1,2$。起始点是$\mathbb{R}^D$中的普通量子粒子，$D:=d+1$，受到旋转不变势阱$V(r)$的影响，该势阱在半径为$r=1$的球上具有非常尖锐的最小值。随后施加一个足够低的能量截止“冻结”径向激发，这使得只有有限维希尔伯特子空间$\mathcal{H}_{Λ,D}$可访问，并在它的坐标非交换{ \it à la Snyder}。此外，坐标算子生成整个代数的观测量$\mathcal{A}_{Λ,D}$，这原来是通过一个合适的不可约矢量表示的$Uso(D+1)$实现。这种构造不仅在$SO(D)$下是等变的，而且在完全正交群$O(D)$下也是等变的，并且使截止和阱的深度以自然数$Λ$增长，结果是模糊球的序列$S^d_Λ$收敛到$S^d$作为$Λ\to\infty$（其中人们在$S^d$上恢复普通量子力学）。
在非对易空间R^{2n}_theta x G/H上构造了Yang-Mills方程的显式BPS解和非BPS解.给定一个G-表示，通过对G/H上的一个特殊丛进行扭曲，得到了R^{2n}_theta x G/H上的一个G-等变联络的G-等变U（k）丛.这些空间上的U（k）Donaldson-Uhlenbeck-Yau方程在R^{2n}_θ上的特殊规范规范理论中化为涡旋型方程。Seiberg-Witten方程是一个特殊的例子。非对易BPS组态的部分等距，这是从一个等变的Atiyah-Bott-Shapiro建设制定。它们可以被解释为充满空间的膜-反膜系统中的D 0-膜。
Supersymmetric sigma models, gauge theories and vortices
本文研究了一维和二维超对称非线性西格玛模型。首先讨论了具有刚性超对称性的一维和二维西格玛模型的几何结构。对于一维情形，将超对称性提升到局域对称性，并引入了所需的规范场。找到了包含这些规范场的最一般的拉格朗日量，分析了系统的约束条件，并研究了它的狄拉克量子化。在下一章中，我们将介绍等变上同调，这将在后面的论文中用到。然后构造了（p，0）-和（p，1）-超对称$1 \leq p \leq 4$，二维规范理论与非线性西格玛模型物质的耦合作用量.这些模型的一大类的标量势推导。然后证明了不含Wess-Zumino项的（2，0）和（4，0）-超对称模型的欧几里得作用量是由拓扑荷所约束的，拓扑荷涉及在二维时空上计算的西格玛模型目标空间的Kahler形式的等变扩展.在更高的时空维度中，适当的规范理论耦合到非线性西格玛模型物质的欧氏作用量的类似的界限被给出，这涉及到西格玛模型目标空间的Kahler形式的等变扩展和规范场的第二陈特征标.结果表明，BPS位形是交换涡和非交换涡的概括。
Non-Abelian Vortices on Riemann Surfaces: an Integrable Case
我们考虑空间\times S ^2上的U（n+1）Yang-Mills瞬子，其中S ^2是亏格为g的紧致黎曼曲面.利用SU（2）-等变降维方法，我们证明了π \times S ^2上的U（n+1）瞬子方程等价于π上的非阿贝尔涡旋方程.这些方程的解由对（A，ψ）给出，其中A是群U（n）的规范势，ψ是群U（n）的基本表象中的希格斯场。我们将该模型与最近考虑的其他非阿贝尔希格斯模型进行了简要比较。然后证明了当g>1时，当ε \times S^2成为引力瞬子时，非阿贝尔涡旋方程是两个线性方程（拉克斯对）的相容条件，因此可以用可积系统的标准方法构造其解.
Bose-Einstein condensation and superfluidity on a fuzzy sphere
Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂系统物理研究所）；Institute for Theoretical Solid State Physics, IFW Dresden（德累斯顿亥姆霍兹中心IFW凝聚态理论物理研究所）；Max Planck Institute for Chemical Physics of Solids（马克斯·普朗克固体化学物理学研究所）
