Refined Enumeration of Halved Monotone Triangles and Applications to Vertically Symmetric Alternating Sign Trapezoids
半单调三角形是垂直对称交替符号矩阵（VSASM）的推广。我们提供了一个加权枚举的减半单调三角形相对于一个参数，概括的数量$-1$的VSASM。除此之外，这使我们能够建立一个垂直对称交替符号的生成函数。我们的结果主要是用常数项表达式表示的。对于证明，我们利用菲舍尔的方法的运营商公式作为一个关键工具。
2020-10-02 math.CO
Trivial Meet and Join within the Lattice of Monotone Triangles
研究了单调三角形格$(\mathfrak{M}_n,\le)$的逐点比较序.令$τ_{\min}$表示该格中的唯一极小元，而$τ_{\max}$表示唯一极大元。分别给出了具有最小下确界$τ_{\min}$（最大上确界$τ_{\max}$）的单调三角形$(τ_1,\ldots,τ_r)$的$r$ -元组的个数。渐近逼近$r|\mathfrak{M}_n|^{r-1}$为$n \to \infty$。因此，该事件很可能意味着其中一种PDMATHAMT是$τ_{\min}$（分别为$τ_{\max}$）。高阶误差项也进行了讨论。
2014-07-22 math.CO
Monotone triangles and 312 Pattern Avoidance
我们证明了一个自然的双射交替符号矩阵（ASM）的一个子类定义的条件相应的单调三角形，我们称之为无间隙条件和一个子类的完全对称的自互补平面分区定义的一个类似的条件相应的基本区或Magog三角形。我们证明，当限制到排列，这类ASMs减少到312-避免排列。这导致我们将排列上的模式回避推广到与ASM相关的一系列单词，我们称之为Gog单词。我们翻译的无间隙条件单调三角形到一个模式回避的条件上Gog的话相关联。我们估计的无间隙单调三角形的数量使用双射与p-分支。
2011-01-09 math.CO
Weak order: Alternating sign matrices, monotone triangles, and bumpless pipe dreams
University of California Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文证明了交错符号矩阵上弱序的两种定义等价，并给出了三种计算覆盖关系的方法，最后用无碰撞管道梦想刻画了弱序算子的纤维。
2026-06-12 math.CO
Refined enumerations of alternating sign matrices: monotone (d,m)-trapezoids with prescribed top and bottom row
单调三角形是一个三角形的平面整数数组，它沿行和对角线具有一定的单调性条件。它们的重要性主要是由于当将$(1,2,...,n)$规定为阵列的底行时它们对应于$n \times n$交替符号矩阵的事实。我们将单调$(d,m)$ --梯形定义为带有$m$行的单调三角形，其中$d-1$顶部行被删除。（这些对象也等价于某些部分交替符号矩阵。已知具有底行$(k_1,...,k_n)$的单调三角形的数目由$k_i$中的多项式$α(n;k_1,...,k_n)$给出。本文的主要目的是表明，单调$(d,m)$ -拟阵的数量与规定的顶部和底部行出现作为一个系数的特殊化$α(n;k_1,...,k_n)$的扩展关于一定的多项式基。这解决了一个概括最近的猜想罗米克和作者。除此之外，该结果还用于表示底部行为$(1,2,...,i-1,i+1,...,j-1,j+1,...,n)$的单调三角形的数量（通过标准双射，其也是具有给定的顶部两行的$n \times n$交替符号矩阵的数目），根据具有规定的顶部和底部行的$n \times n$交替符号矩阵的数目，并且通过用于后面的数目的Stroganov公式，提供用于第一数目的显式公式。（这种类型的公式首先由Karklinsky和Romik使用交替符号矩阵与六顶点模型的关系导出。
2009-07-02 math.CO
Arithmetic of marked order polytopes, monotone triangle reciprocity, and partial colorings
对于偏序集P，子偏序集A，和一个从A到实数的保序映射F，标记的顺序多面体参数化F到P的保序扩张。我们证明了函数计数整值扩张是F中的分段多项式，我们证明了一个倒序映射的互易性声明。我们应用我们的结果给出了由于Fischer和Riegler（2011）的单调三角形的组合互易性的几何证明，并且我们考虑了Herzberg和Murty（2007）的部分图着色的计数扩展的计数问题。
2014-07-18 math.CO math.MG
A simplified proof of the Johansson-Molloy Theorem using the Rosenfeld counting method
我们证明了任何具有最大度$Δ$的无三角形图的色数至多为$\left(1+o(1)\right)Δ/\log Δ.$
2021-11-11 math.CO
Strongly Regular Graphs with No Triangles
对于图中不含三角形的情形，给出了强正则图理论的一个简化形式。这导致（i）克莱因条件的直接证明，以及（ii）没有三角形的强正则图的特征，使得第二子成分也是强正则的。该方法还提供了一种有效的手段，列出可行的参数，这样的图。
2009-11-11 math.CO
The number of monotone trapezoids with prescribed bottom row
本文建立了具有指定底行的单调梯形数量的算子公式，推广交替符号矩阵，发现特殊情况下被消去的隐藏算子，涉及自由边界并揭示与共变代数的关系，提出相关猜想。
2025-02-13 math-ph math.CO math.MP
Cycles in triangle-free graphs of large chromatic number
二十多年前，Erdegans提出了~ \cite{E1}，证明了一个色数为$k \geq k_0(\varepsilon)$的无三角形图$G$包含至少$k^{2 - \varepsilon}$不同长度的圈，如$k \rightarrow \infty$ .本文证明了一个更强的事实：每一个具有色数$k \geq k_0(\varepsilon)$的无三角形图$G$都含有$(\frac{1}{64} - \varepsilon)k^2 \log k$连续长度的圈，并且有一个长度至少为$(\tfrac{1}{4} - \varepsilon)k^2 \log k$的圈.由于对于大的$k$，存在最多具有大致$4k^2 \log k$顶点的色数$k$的无三角形图，所以这些结果是紧到常数因子的.我们也给出了其他单调类中$k$ -色图的周长和不同圈长个数的新下界，特别是对于$K_r$ -free图和没有奇圈的图$C_{2s+1}$ .
2014-04-17 math.CO
A bijective proof of the ASM theorem, Part I: the operator formula
已知交替符号矩阵与降平面划分、全对称自补平面划分和交替符号三角形是等数的，但迄今为止还没有找到这些等价性的双射证明。在本文中，我们提供了第一个双射证明的单调三角形，这一直是主要的工具，几个非组合证明等等价的算子公式。在这个证明中，符号集和符号双射（signed bijections）起着重要的作用。
2019-10-09 math.CO
On the Triangle Inequality for the Jaccard Distance in Arbitrary Lattices
University of Craiova（克拉约瓦大学）
本文研究任意格上Jaccard距离的三角不等式，证明了满足特定条件时Jaccard距离满足三角不等式，给出必要条件，并探讨其在多计算领域的应用价值。
2026-08-20 cs.AI cs.DM math.CO
3-uniform monotone paths and multicolor Ramsey numbers
本文研究3-均匀单调路径超图，建立三角形多色拉姆齐数与相应超图拉姆齐数之间的指数级上下界关系，从而将Erdős关于三角形多色拉姆齐数是否指数增长的经典问题等价转化为超图拉姆齐数的指数增长问题。
2024-11-23 math.CO
Large subgraphs in rainbow-triangle free colorings
Fox-Grinshpun-Pach证明了不含彩虹三角形的$n$顶点上的完全图的每一个$3$ -着色都包含一个最多使用两种颜色的大小为$Ω\left(n^{1/3}\log^2 n\right)$的团，并且这个界紧到常数因子.我们表明，如果不是寻找大集团，只试图找到大色数的子图，可以做得更好。我们证明了每一个这样的着色都包含一个色数至少为$n^{2/3}$的$2$着色子图，并且这是最好的可能。我们进一步证明了对于固定正整数$s,r$与$s\leq r$，完全图的边在$n$顶点上的每一个$r$ -着色都包含一个子图，该子图使用最多的$s$颜色并且色数至少为$n^{s/r}$，这是最好的可能.福克斯-格林什潘-帕奇以前展示了这个结果的一个集团版本。作为一个直接推论，我们的结果，我们得到了一个推广的著名定理的Erdens-Szekeres，其中指出，任何序列的$n$号码包含一个单调的子序列的长度至少$\sqrt{n}$。我们证明了如果$n$顶点竞赛图的边的$r$着色不包含彩虹三角形，则在$n^{s/r}$顶点上存在$s$着色的有向路，这是最佳可能的。这就部分地回答了陆恭蕙的一个问题。
2016-12-01 math.CO
A new proof of the refined alternating sign matrix theorem
在1980年代早期，Mills，Robbins和Rumsey证明了一个简单的乘积公式，在1996年Zeilberger证明了$n \times n$交替符号矩阵的个数，其中第$i$列的顶部是1。我们给这个公式的另一种证明，使用我们的运营商公式的数量单调三角形与规定的底行。此外，我们还给出了某些0-1-（-1）矩阵的计数，推广了交替符号矩阵。
2005-07-13 math.CO
A ChatGPT-assisted Triangle Characterization of Affine Permutation Inversion Graphs
University of Washington（华盛顿大学）；The University of the South（南部大学）
研究借助ChatGPT给出仿射置换逆序图的新刻画，基于加权竞赛图三角形局部条件，带来识别逆序图和集的高效算法、有向路径权重界等，还给出新算法测试集合是否为仿射置换逆序集。
2026-07-13 math.CO
Constant term formulas for refined enumerations of Gog and Magog trapezoids
Gog和Magog拟阵是一类正整数阵列，它们分别推广了交替符号矩阵（ASM）和全对称自补平面划分（TSSCPP）。Zeilberger用常数项公式证明了（n，k）-Gog拟阵的个数与（n，k）-Magog拟阵的个数相同，从而为Mills、Robbins和Rumsey在1986年提出的一个猜想的弱版本提供了迄今为止唯一的证明。大约20年前，Krattenthaler推广了Gog和Magog拟阵，并提出了他们猜想的一个推广，最近Biane和Cheballah进一步推广了Gog拟阵，并提出了一个相关猜想。本文导出了广义Gog拟阵的各种精化计数的常数项公式，包括Krattenthaler和Biane与Cheballah所考虑的那些.为了这个目的，我们采用了一个结果的枚举截断单调三角形，这是反过来根据作者的运营商公式的数量单调三角形与规定的底行。作为一个副产品，我们还推广了单调三角形的算子公式，包括反数和互补反数的ASMs。利用基于不相交格路的经典方法和Lindström-Gessel-Viennot定理，导出了Krattenthaler猜想中的精化Magog梯形数的常数项公式和行列式公式.最后，我们回顾并部分扩展了一些现有的工具，这些工具可能有助于将Gogs的常数项公式与Magogs的公式联系起来，以最终证明上述假设。
2018-04-19 math-ph math.CO math.MP
There is no Heron triangle with three rational medians
本文通过新引理证明，若存在三边为整数的三角形，则必存在另一个非相似三角形具有相同性质，且证明不存在三整数中线的海伦三角形，仅六元素可为整数。
2026-07-06 math.CO math.MG
Enumeration of alternating sign triangles using a constant term approach
最近Ayyer、Behrend和作者提出了交替符号三角形（ASTs），并证明了n行交替符号三角形的个数与n × n交替符号矩阵的个数相等。我们证明了一个猜想Behrend上的一个精致的计数的AST相对于一个统计，显示出具有相同的分布列的唯一的1在顶行的ASM。该猜想的证明是基于AST的某个多元生成函数，该生成函数考虑了总和为1的列（1-列）的位置。我们还证明了一个奇怪的身份上的1列的AST的循环旋转。此外，我们讨论了我们的多元生成函数的关系，迪弗朗切斯科和Zinn-Justin的公式的数量与一个给定的链接模式相关联的完全包装的循环配置。我们的结果的证明采用了作者的算子公式的单调三角形的数目与规定的底行。这与Ayyer、Behrend和作者所使用的六顶点模型方法相反，并且由于精化的枚举隐含着未精化的枚举，本文还提供了一种可供选择的AST枚举的证明.
2018-04-10 math-ph math.CO math.MP
Simple formulas for constellations and bipartite maps with prescribed degrees
我们得到简单的二次递归公式计数二分映射表面上规定的程度（特别是，$2k$ -angulations），和星座。这些公式是已知的计算这些数字的最快方法。我们的工作是以前的作品可积的层次（2-Toda和KP），即Pandharipande递归Hurwitz数（证明由Okounkov和简化的Dubrovin-Yang-Zagier），以及公式的几个模型的地图（Goulden-Jackson，Carrell-Chapuy，Kazarian-Zopuy）的自然扩张。对于这些公式，我们还没有找到一个双射的解释。我们还包括一个单调单Hurwitz数的公式，以同样的方式导出。这些公式在作者与T. Budzinski建立了大亏格随机二部映射的双曲局部极限。
2019-10-31 math.CO
