Random walks pertaining to a class of deterministic weighted graphs
Thierry Huillet
在这篇文章中，我们试图分析和澄清一些有趣的计数问题与特定的热化加权图和随机游动符合这样的图之间的相互作用。
In this note, we try to analyze and clarify the intriguing interplay between some counting problems related to specific thermalized weighted graphs and random walks consistent with such graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Towards deterministic equations for Levy walks: the fractional material derivative
Levy行走是一种具有潜在时空耦合的随机过程。这种耦合惩罚了长跳跃，因此Levy行走给出了一个适当的随机描述的粒子的运动与宽跳跃长度分布。我们推导出一个广义动力学公式的利维行走中的分数等价的材料衍生物发生。我们的方法将是有用的动力学制剂的Levy行走在外力字段或相空间中的描述在连续时间随机行走或其相应的广义主方程是不太适合。
Optimum exploration memory and anomalous diffusion in deterministic partially self-avoiding walks in one-dimensional random media
考虑$N$点沿单一长度的线段随机分布。一个步行者探索这个无序的介质，根据一个部分自我回避的确定性行走。具有记忆$μ$的步行者从最左边的点离开，并且在每个离散时间步移动到在先前的$μ$步骤中未访问的最近点。我们已经得到了分析的概率$P_N(μ) = (1 - 2^{-μ})^{N - μ- 1}$，所有的$N$点被访问在这个开放的系统中，与$N \gg μ\gg 1$。在上述限值中评估的$P_N(μ)$的表达式即使对于小$N$也是有效的，并导致以$μ_1 = \ln N/\ln 2$为中心且宽度为$ε= e/\ln2$的过渡区域。对于$μ< μ_1 - ε/2$，步行者被困在循环中，不能完全探索系统。对于$μ> μ_1 + ε/2$，步行者探索整个系统。在这两种情况下，步行者呈现扩散行为。然而，在中间区域$μ\sim μ_1 \pm ε/2$中，步行者呈现异常的扩散行为。由于中间区域随着$\ln N$的增加而增加，并且其宽度是恒定的，所以对于一维大系统，获得了急剧的转变。步行者不需要具有其轨迹的全部记忆来探索整个系统，具有顺序$μ_1$的记忆就足够了。
Exact analytical calculation for the percolation crossover in deterministic partially self-avoiding walks in one-dimensional random media
考虑沿单位长度线段随机分布的$N$点。一个步行者探索这个无序的介质，根据一个部分自我回避的确定性行走。具有记忆$μ$的步行者从最左边的点离开，并且在每个离散的时间步移动到在前面的$μ$步骤中没有访问过的最近的点。使用开边界条件，我们已经计算了分析概率$P_N(μ) = (1 - 2^{-μ})^{N - μ- 1}$，所有$N$点被访问，与$N \gg μ\gg 1$。这种$P_N(μ)$的近似表达式即使对于小的$N$和$μ$值也是合理的，正如蒙特卡罗模拟所验证的。我们证明了临界记忆$μ_1 = \ln N/\ln 2$的存在。对于$μ< μ_1 - e/(2\ln2)$，步行者被困在循环中，不能完全探索系统。对于$μ> μ_1 + e/(2\ln2)$，步行者探索整个系统。由于中间区域随着$\ln N$的增加而增加，并且其宽度是恒定的，所以对于一维大系统，获得了急剧的转变。这意味着步行者不需要完全记忆其轨迹来探索整个系统。相反，具有$\log_{2} N$阶的存储器就足够了。
Deterministic walks in random media: evidence of generic scale invariance
考虑一维和二维（d = 1，2）点的随机集上的确定性行走。点（"城市"）随机地散布在R ^d中，遵循均匀分布。一个步行者（一个“游客”），在每一个时间步，去最近的邻居城市，在过去的τ步还没有访问过。每一个初始的城市导致一个由一个瞬态部分和一个最终的p-循环吸引子组成的轨迹。研究了过渡时间、p-圈和每个吸引子的城市数的分布。数值计算表明，瞬态时间（d = 1，2）服从泊松律，衰减依赖于$τ$，而p-循环密度（d = 2）服从幂律D（p）\propto p ^{-α（τ）}.对于大的τ，折射率趋向于α~5/2。对于d = 1的情形给出了一些解析结果。由于幂律是鲁棒的，并且不依赖于自由参数，因此该系统呈现“通用标度不变性”。动物的探索行为和其他地方的最小化问题的应用建议。
I. Territory covered by N random walkers on deterministic fractals. The Sierpinski gasket
我们解决的问题，评估的数量$S_N(t)$访问的不同网站的时间t由N个非相互作用的随机步行者都最初放置在一个网站上的确定性分形格。对于广泛的一类分形，其中Sierpinski垫片是一个典型的例子，我们提出，在短时间的紧凑制度和大N，$S_N(t) \approx \hat{S}_N(t) (1-Δ)$，其中$\hat{S}_N(t)$是一个半径为$R [\ln (N)/c]^{1/ u}$的超球内的网站的数量，R是一个单一的随机步行者的均方根位移，并且u和c确定对于大的r/R值，$1-Γ_t({\bf r})$（到时间t单个随机步行者已经访问站点${\bf r}$的概率）衰减得有多快：$1-Γ_t({\bf r})\sim \exp[-c(r/R)^u]$。对于本文所考虑的确定性分形，$ u =d_w/(d_w-1)$，$d_w$是随机行走维数。校正项$Δ$被表示为$\ln^{-n}(N) \ln^m \ln (N)$中的一个系列（具有$n\geq 1$和$0\leq m\leq n$），其被明确给出直到n=2。Sierpinski垫片的数值模拟结果与解析表达式吻合较好。校正项$Δ$对$S_N(t)$的最终值有很大的贡献，即使N的值相对较大。
Deterministic walks in random networks: an application to thesaurus graphs
在由欧几里得空间中的N个随机分布的地点组成的景观中，步行者（“游客”）去最近的一个在最后τ步中没有被访问过的地点。这个过程导致的轨迹组成的瞬态部分和最终的周期为p的循环吸引子。旅游步行呈现普遍的方面，相对于τ，可以在广泛的网络，可以被视为有序邻域图。作为一个例子，我们表明，由同义词词典定义的图共享一些统计特性的低维（d=2）欧几里德图，很容易区分随机图。该方法利用了聚类系数和平均最小分离长度的互补信息。
Random and deterministic walks on lattices
粒子在晶格上的随机行走是研究扩散过程微观机制的经典范例。在确定性行走中，空间和时间的角色可以颠倒，微观动力学可以产生完全不同类型的行为，如定向传播和组织，这似乎是一类重要系统中遇到的一般行为。经典和不那么经典的步行在晶格上的各个方面进行了审查，重点是可以通过晶格动力学方法处理的物理现象。
The influence of memory in deterministic walks in random media: analytical calculation within a mean field approximation
考虑由随机分布的点组成的随机介质，使得距离之间没有相关性。这是随机链接模型，它是欧几里得随机点结构的高维极限（平均场近似）。在随机链接模型中，在离散的时间步，步行者移动到最近的网站，这还没有访问在最后$μ$步骤（内存），产生一个确定性的部分自我回避步行（游客步行）。分析得到了具有记忆$μ= 2$的步行者所探索的点的个数$n$的分布，以及瞬时和周期的联合分布。这一结果能够解释$μ= 1$（无记忆，由极值统计驱动）和$μ= 2$（有记忆，由组合统计驱动）之间的探索行为的突然变化。在$μ= 1$情况下，热力学极限$(N \gg 1)$中的平均新访问点正好是$<n > = e = 2.72 ...$，而在$μ= 2$情况下，访问点的平均数量$<n>$与$N^{1/2}$成比例。此外，该结果允许我们稳定具有$μ=2$的随机链路模型和具有$μ=0$的随机映射（不相关的来回距离）之间的等价性，以及瞬态时间为零的情况与非零瞬态时间相比的急剧变化。
Intricate dynamics of a deterministic walk confined in a strip
我们研究了一个确定性行走局限在一个狭窄的二维空间随机填充点状目标的动力学。在每一步中，步行者访问之前没有访问过的最近的目标。复杂的动态观察到在一些中间值的域宽度，当漂移时，步行执行长间歇性向后偏移。随着宽度的增加，从弹道运动的过渡到一个弱的非遍历制度的证据显示，其特征在于突然反转的漂移速度的概率随时间缓慢衰减，作为$1/t$在领先的顺序。漂移持续时间，首次通过时间和未访问的目标的动态遵循幂律分布。对于参数值低于这个标度制度，观察到的“野生”离群值的形式，在密切关系的概率分布中的对数振荡的存在下的missory模式。我们讨论了这个模型和几个不断发展的生物系统之间的联系。
Analytical Results for the Statistical Distribution Related to Memoryless Deterministic Tourist Walk: Dimensionality Effect and Mean Field Models
Consider a medium characterized by N points whose coordinates are randomly generated by a uniform distribution along the edges of a unitary d-dimensional hypercube. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go to the nearest point which has not been visited in the preceding μsteps (deterministic tourist walk). Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of t steps (transient) and a final periodic part of p steps (attractor). The neighborhood rank probabilities are parameterized by the normalized in…
Equivalence of Deterministic walks on regular lattices on the plane
我们考虑正方形，三角形和六边形的二维格上的确定性行走。在每种情况下，在每个位置都有一个散射体，它可以处于两种状态之一，迫使步行者转向他/她的直接右边或左边。在步行者被散射之后，散射体改变状态。具有散射体排列的晶格是一种环境。我们表明，只有两个环境中的散射规则是内射，镜子或旋转，在三个晶格。在六角晶格上，B. Z. Webb和E. G. D.科恩证明，给定步行者的初始位置和速度以及一种类型的散射体，镜子或旋转器的环境，存在另一种类型的环境，使得在两种环境中的步行是等效的，这意味着他们在相同的时间步骤访问相同的站点。我们证明了等价的散步广场和三角形格，并包括一个证明的等价性的散步六边形格。证明是基于两个几何的晶格和结构的散射规则。
Random walks interacting with evolving energy landscapes
我们介绍了一个能量非均匀系统的扩散模型。一个无规步行者在自旋-S伊辛组态上移动，通过最近邻相互作用在晶格上产生能量景观。底层的能量环境也通过适当地将步行者与自旋晶格耦合而变得动态。事实上，当步行者在最近的邻居站点上跳跃时，它可以翻转相关的自旋，实现伊辛系统的扩散动力学。因此，行走偏向于高能量区域，即集群之间的边界。此外，引入的耦合涉及，相对于普通的扩散定律，有趣的修正取决于温度和自旋幅度。特别是，它们提供了发生在磁晶格上的相变的进一步特征。
Understanding deterministic diffusion by correlated random walks
具有运动点粒子的低维周期性散射体阵列是研究确定性扩散的理想模型。对于这样的系统，扩散系数通常是在控制参数变化下的不规则函数。在这里，我们提出了一个系统的计划，如何近似确定性扩散系数的这种相关的随机游动。我们将这种方法应用到两个简单的例子，这是一个一维映射的线和周期性的洛伦兹气体。从合适的格林-久保公式，我们评估他们的参数依赖的扩散系数的近似层次。这些近似精确地收敛，产生一个简单的解释，这些不规则的扩散系数的动力学相关性方面的结构。
Random Walks on deterministic Scale-Free networks: Exact results
研究了一类确定性无标度网络上的随机游动问题，该网络的度序列为指数为$γ=\log 3/\log2$的幂律。我们发现不同的第一次通过现象的确切结果，特别是，我们计算的概率第一次返回到主枢纽。这些结果允许导出精确的解析表达式的平均时间首次到达主枢纽，其领先的行为是由$τ\sim V^{1-1/γ}$，其中$V$表示的结构的大小，和平均值是在一组均匀分布在所有其他网站的图形的起始点。有趣的是，这个过程被证明是特别有效的。我们还讨论了该结构的热力学极限和一些局部拓扑性质。
Occupation time statistics for non-Markovian random walks
本文基于广义主方程与反向 Feynman–Kac 方程，研究含随机重置的非马尔可夫连续时间随机游走的区间占据时间和半占据时间统计，并验证反正弦定律及模拟一致性。
Quenched Averages for self-avoiding walks and polygons on deterministic fractals
研究了有限分歧指数的确定性分形格上的有根自回避多边形和自回避游动。这种格上的不同点是不等价的，根开行走W_n（S）和n步根自回避多边形P_n（S）的个数依赖于根S。我们利用分形上的精确递归方程，确定了格点S上P_n（S）和W_n（S）的母函数。这些用于计算S的不同位置上的平均值$< P_n(S)>, <W_n(S)>, <log P_n(S)>$和$<log W_n(S)>$。我们发现，连接常数$μ$，和回转半径指数$ν$是相同的退火和淬火的平均值。然而，$<log P_n(S)> ~ n log μ+ (α_q -2) log n$和$<log W_n(S)> ~ n log μ+ (γ_q -1)log n$，其中指数$α_q$和$γ_q$取与退火情况不同的值。这些被表示为有限维矩阵的随机乘积的李雅普诺夫指数。对于3-单纯形晶格，我们的数值估计给出了$ α_q \simeq 0.72837 \pm 0.00001$ ;和$γ_q \simeq 1.37501 \pm 0.00003$，与退火值$α_a = 0.73421$和$γ_a = 1.37522$进行比较。
Directed random walks on hierarchic trees with continuous branching: a renormalization group approach
研究了层次树上的有向随机游动。调查了两起案件：具有连续分支的确定性树上的随机变量，以及通过随机分支过程构造的树上的随机变量。本文导出了随机变量在树链环上服从二项分布、泊松分布和复合泊松分布的分枝模型的重整化群（偏微分）方程。这些重整化群方程是一类新的一维反应扩散方程。
Explicit determination of mean first-passage time for random walks on deterministic uniform recursive trees
确定网络中随机游动的平均首次通过时间（MFPT）是一个理论上的挑战，也是物理学界最近相当感兴趣的话题。根据MFPT、有效电阻和图拉普拉斯特征值之间的关系，本文首先解析地研究了一类生长树状网络的所有节点对之间的MFPT，我们称之为确定性均匀递归树（DURTs），因为它的一个特殊情况是著名的均匀递归树的确定性版本。通过特殊构造DURT得到的Laplacian谱的递推关系，精确地确定了感兴趣的量。分析结果表明，对于节点数为$N$的大型网络，DURTs中所有节点对之间的MFPT变化为$N \ln N$。其次，我们研究了一个特定的网络上的DURTs的陷阱，专注于一个特殊的情况下，与固定的陷阱定位在一个节点具有最大程度。我们精确地确定了平均捕获时间（ATT），它被定义为从所有节点到陷阱的FPT的平均值。与MFPT的缩放相反，ATT的领先行为是$N$的线性函数。有趣的是，我们发现，ATT的陷阱问题的行为有关的陷阱的位置，这是在比较分形T-图的陷阱的现象，虽然两个网络表现出树结构。最后，我们相信，该方法可以打开的方式来精确计算的MFPT和ATT在广泛的确定性介质。
Bloch-like waves in random-walk potentials based on supersymmetry
布洛赫定理是一个重要的里程碑，它确立了晶体带隙的原理。虽然人们曾经认为带隙只能在布洛赫定理的周期性和长程相关的条件下形成，但这种限制被非晶介质和准晶的发现所推翻。虽然网络和液体模型已经被建议用于解释无序介质中的布洛赫波，但这些基于搜索具有带隙的随机网络的方法在确定性地产生带隙方面失败了。在这里，我们揭示了一个确定性的路径随机行走潜力的带隙应用超对称性的波动方程的概念。受等谱性的启发，我们遵循与以前的方法相反的方法：我们将有序转化为无序，同时保留带隙。我们的方法使带隙的形成在极端无序的潜力类似于布朗运动，也允许调整的相关性，同时保持相同的带隙，从而创建一个家庭的潜在的“布洛赫样本征态”。
Persistence effects in deterministic diffusion
在表现出确定性扩散的系统中，扩散系数的总参数依赖性通常可以用随机游走模型来理解。如果相关性的衰减足够快，人们可以忽略记忆效应，并根据量纲参数近似扩散系数。通过连续包括一个和两个步骤的记忆对这种近似的影响，我们检查的效果“持久性”的扩散系数的扩展的二维台球桌，并显示如何正确地考虑这些影响，使用行走中，一个粒子经历跳跃在不同的方向与概率，取决于它们来自哪里。
Continuous Time Random Walks with Internal Dynamics and Subdiffusive Reaction-Diffusion Equations
我们制定的广义主方程的一类连续时间随机游动的存在下，一个规定的确定性的连续过渡之间的演变。这个公式是通过一个对流扩散和跳跃扩散计划举例说明。基于这个主方程，我们还推导出亚扩散化学物种的反应扩散方程，使用平均场近似。
Quantum Diffusion-Limited Aggregation
虽然经典随机游动已经被研究了很多年，但关于它们的量子类似物量子随机游动的研究才刚刚开始。已经运行和分析了这两种类型的行走的许多模拟，并且通常都很好理解。关于经典随机游动的一个更重要的性质的研究，即它们在扩散限制聚集中建立分形结构的能力，特别值得注意。然而，直到现在才开始在量子随机运动方面进行研究。对随机游动及其所构建的结构的研究在材料科学中有着各种各样的应用。由于所有过程本质上都是量子的，因此考虑扩散限制聚集的量子变体是很重要的。认识到薛定谔方程和经典的随机游动都是扩散方程，就有可能把它们联系起来进行比较。使用两个方程相似的参数，我们运行了各种模拟聚集粒子。我们的研究结果表明，粒子按照薛定谔方程运动可以产生分形结构，很像经典的无规行走。此外，这些量子扩散限制聚集体的分形维数在1.43和2之间变化，取决于初始波包的大小。
Greedy adaptive walks on a correlated fitness landscape
我们研究了在长度为$L$的二进制基因型序列上定义的适应度景观上的单倍体无性种群的适应性。我们考虑贪婪的自适应行走，其中人口移动到最适合的所有单突变邻居的当前基因型，直到达到一个局部的适应度最大。景观是粗糙的富士山型，这意味着分配给序列的适应值是随机和确定性分量的总和。随机分量是独立同分布的随机变量，确定性分量随到参考序列的距离线性变化。确定性适应度梯度$c$是在不相关随机景观（$c = 0$）和有效加性景观（$c \to \infty$）的极限之间内插的参数。当随机适应度分量从Gumbel分布中选取时，得到了贪婪行走步数分布的显式表达式，并证明了当起点足够接近参考序列时，行走长度随适应度梯度的强度非单调变化.随机适应度分量的一般分布的渐近结果得到使用极值理论，它被发现，步行长度达到一个非平凡的极限为$L \to \infty$，不同于其值为$c=0$和$c = \infty$，如果$c$是缩放与$L$在一个适当的组合。
Escape rates for rotor walk in Z^d
转子游动是随机游动的确定性模拟。我们研究了它在Z^d上的常返性和瞬态性质。如果n个粒子依次从原点开始执行转子行走，我们表明逃逸的数量（即，永不返回原点）在维度d>=3中为n阶，在维度2中为n/log（n）阶。
Walks on Apollonian networks
我们对确定性阿波罗网络（DAN）和随机阿波罗网络（RAN）上的随机游动进行了比较研究。我们进行计算机模拟的平均首次通过时间，平均返回时间，均方位移，和网络覆盖的无限制随机游动。证明了DAN和RAN上的扩散都是次线性的。讨论了不同策略下的搜索效率以及底层网络拓扑结构对算法动态性的影响。与人们的直觉相反，它表明，自避免随机游走，这已被验证为无标度和小世界网络的搜索的最佳策略，是不是最好的策略，在热力学极限的DAN。
Two-dimensional random walk in a bounded domain
在最近的一封信中，Ciftci和Cakmak [EPL 87，60003（2009）]表明，有界域中的二维随机行走，其中穿过边界的行走者返回到原点附近的基弧，具有确定性规则，可以产生规则模式。我们的数值计算表明，返回的步行者沿着基曲线的累积概率分布函数是魔鬼的楼梯，这可以解释从这些步行映射到一个非线性随机映射。非平凡概率分布函数（PDF）是CCRW的一个普遍特征，其特征在于PDF边界曲线的分形维数d=1.75（0）。
The random walk of an electrostatic field using parallel infinite charged planes
我们表明，它是可能的，以产生一个随机行走的静电场通过几个平行的无限带电平面，其中的表面电荷分布可以是$\pmσ$。我们制定了这个随机过程的问题，通过使用速率方程的最可能的值为静电场根据静电边界条件的适当的转移概率。当电荷分布不确定时，我们的模型产生了随机律。得到了静电场强度的概率分布、静电力的平均值和能量密度。
Singularity of Levy walks in the lifted Pomeau-Manneville map
本文发现提升的PM映射产生超扩散与随机LWs匹配仅在Lebesgue测度为零的参数处成立，并揭示老化对其扩散性质有深刻影响，证明确定性与随机扩散的匹配非平凡。
Winning quick and dirty: the greedy random walk
作为一种快速完成游戏的策略，我们研究了一维随机游动，其中步长在每次返回原点时确定性地增加。当第k次返回后的步长等于k时，行走的位移x随时间线性增长。渐进地，位移的概率分布是|x| /t的纯指数衰减函数。在时间t，行走逃离大小为L的有界区域的概率E（t，L）在长时间极限E（t，L）~ L/t^2中代数衰减。因此，平均逃逸时间<t>~ L ln L，而<t^n> ~ L^{2n-1}（n>1）。当第k次返回之后的步长缩放为k^alpha$（对于alpha>0）时，导出相应的结果。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。