Connectedness of fibers beyond semitoric systems I: the non-degenerate case
Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia sede Medellín（哥伦比亚国立大学麦德林校区数学学院）；Department of Mathematics, University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学系）
本文研究了扩展复杂度一$T$-空间的可积系统纤维连通性，证明在非退化高奇异点条件下，纤维连通性与稳定化连通性及动量映射性质密切相关。
2026-02-17 math.DS math.SG
Semitoric Families on Pentagon Spaces
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文通过插值两个托里克类型的半托里克系统，构造了新的五边空间上的半托里克过渡族，展示了不同微分类型空间上的过渡族结构。
2026-02-27 math.DS math.SG
Semitoric families
半系统是一类四维可积系统，其中一个积分生成全局$S^1$作用;这些系统由Pelayo和Vu Ngoc根据五个辛不变量进行分类。我们介绍和研究的可积系统，这是一个固定的$S^1$ -行动，是可积的所有，但许多值的参数的单参数家庭，与发展战略的目标，找到一个可积系统相关的一个给定的部分列表的可积不变量。我们还列举了可能的行为，这些家庭在参数值，他们是不平凡的，提供的例子说明几乎所有可能的行为，它描述了可能的限制，一个固定的$S^1$ -行动的平凡系统。此外，我们介绍了自然的概念，在这种情况下，爆破和爆破，调查如何在这些操作下的行为，并使用它来证明，每个Hirzebruch表面承认一个delicioric家庭与某些理想的不变量，这些家庭是相关的delicioric极小模型程序。最后，我们给出了几个显式的第一和第二Hirzebruch表面上的族，展示了各种可能的行为，这些家庭，其中包括新的族。
2022-02-15 math.SG
A family of compact semitoric systems with two focus-focus singularities
大约6年前，Pelayo和Vu Ngoc用五个不变量对非线性系统进行了分类。标准的例子是$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^2$上的耦合自旋振子和$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^2$上的耦合角动量，两者都只有一个焦点-焦点奇点。但到目前为止，还没有明确的例子，系统具有一个以上的焦点-焦点奇点，这是在这个分类的意义上的分类。本文引入了$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^2$上的一个六参数可积系统族，并证明了在一定的参数范围内，它是一个紧的可积系统，且恰好具有两个焦点-焦点奇点。由于扭曲指数是光学不变量之一，与不同焦点之间的关系有关，本文为扭曲指数的进一步研究提供了系统。
2018-10-14 math.DS math.SG
Connectedness of fibers beyond semitoric systems II: ephemeral singular points
Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia sede Medellín（哥伦比亚国立大学麦德林校区数学学院）；Department of Mathematics, University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学系）
本文放宽了非退化假设，引入短暂退化奇异点，证明更广泛的可积系统纤维连通性，扩展了前人结果。
2026-05-14 math.DS math.SG
Survey on recent developments in semitoric systems
本文综述半环面系统的最新研究进展，梳理了Pelayo与Vu Ngoc的分类基础后，重点介绍含参数半环面系统族的辛不变量显式计算、特定性质新例子构造两大方向的成果。
2019-09-25 math.DS math.SG nlin.SI
Families of four-dimensional integrable systems with $S^1$-symmetries
本文研究具有固定哈密顿 $S^1$-空间的四维可积系统单参数族，通过哈密顿-Hopf 分岔构造显式半环面与超半环面系统，推进半环面极小模型纲领，并在 $\mathbb{CP}^2$ 和所有 Hirzebruch 曲面上给出严格极小系统的显式模型。
2024-06-14 math.SG
The height invariant of a four-parameter semitoric system with two focus-focus singularities
本文针对含两个焦点-焦点奇点的四参数半环面系统，计算了其高度不变量（除多边形不变量外），并证明该不变量的两个分量以复杂方式编码了系统的对称性，推进了多参数半环面系统不变量的计算研究。
2020-06-27 math.DS math.SG nlin.SI
Classifying Toric and Semitoric Fans by Lifting Equations from ${\rm SL}_2({\mathbb Z})$
通过将矩阵方程从特殊线性群${\rm SL}_2({\mathbb Z})$提升到它在${\rm SL}_2({\mathbb R})$的泛覆盖中的原像，给出了一种研究四维环面簇的代数方法.用这种方法，我们恢复了二维复曲面扇的分类，并得到了它们的几何相似物的描述。作为对哈密顿系统的辛几何的应用，我们给出了四维复曲面可积系统模空间连通性的一个简洁证明，恢复了一个已知结果，并将其推广到具有固定数目的焦点-焦点的复曲面可积系统在同一扭曲指数类中的情形.特别地，我们证明了任何具有一个焦点-焦点奇点的非线性系统都可以连续变形为与光学Jaynes-Cummings模型同构的系统。
2018-02-22 math.AG math.DG math.GR
Geometric quantization of semitoric systems and almost toric manifolds
Kostant通过与前量子线丛的平截面层相关的上同调给出了与极化相关的实几何量子化模型。该模型适用于由可积系统和复曲面流形给出的实极化。在后一种情况下，上同调可以通过计算相关Delzant多面体内的整数点来计算。本文将Kostant的几何量子化推广到几何可积系统和几乎环面流形。在这些情况下，作用环面的尺寸小于流形尺寸的一半。特别地，我们计算了与几何量子化相关的上同调群，如果实极化是与四维中具有焦点-焦点型奇点的可积系统相关的极化。作为应用，我们确定模型的几何量子化的K3表面，自旋-自旋系统，球摆，和自旋振子系统在此计划下。
2017-05-23 math-ph math.MP math.SG
The twisting index in semitoric systems
本文研究半环面可积系统的扭转指标，给出其作用变量、Taylor 级数与同调环链解释，并首次计算含两个焦点-焦点点的广义耦合角动量族的扭转指标。
2024-01-08 math.DS math.SG
Symplectic invariants of semitoric systems and the inverse problem for quantum systems
大约十年前，简单的几何系统根据不变量的集合进行了分类，基本上是由一个凸多边形给出的，该多边形带有一些对应于焦点-焦点奇点的标记点。每个标记点被赋予标签，这些标签是系统的辛不变量。我们将回顾这些不变量的构造，并解释它们如何在不同的上下文中推广或应用。其中一个应用涉及量子可积系统和相应的逆问题，该问题询问可以在光谱中找到相关经典系统的多少信息。解决这个问题的一种方法是尝试计算谱中的不变量。我们将解释这是如何在最近实现的一些不变量的系统，并讨论一个开放的问题，在这个方向。
2020-02-13 math-ph math.MP math.SG
Towards Hypersemitoric Systems
本文综述了超半环系统这一新型有限维可积系统，介绍其定义、典型例子、与半环系统和环面系统的分岔关系，并概述其辛几何与谱理论的发展现状及与数学物理的联系。
2023-07-10 math.SG
The affine invariant of generalized semitoric systems
4-辛流形上的广义广义对偶系统F：=（J，H）：M --> R^2是一个可积系统，它的基本性质是F是一个真映射，它的正则值集是连通的，J生成一个S^1-作用且不一定是真的.这些系统可以表现出焦点-焦点奇点，这对应于F的纤维拓扑多捏环面。图像F（M）是一个奇异仿射流形，它在其内部包含一组独特的孤立点：F的焦点-焦点值{（x_i，y_i）}。通过沿直线{x：=x_i}进行垂直切割，构造了一个同胚f：F（M）--> f（F（M）），它限制于远离这些垂直线的仿射同胚，推广了Vu Ngoc的一个构造. R^2中的集合Δ：=f（F（M））是（M，ω，F）的辛不变量，它编码了F的仿射结构。此外，Δ可以被描述为四种不同类型的平面区域的可数并集，其中每种类型被定义为具有各种属性（分段线性，连续，凸等）的两个函数的图之间的边界区域。如果F是一个复曲面系统，Δ是一个凸多边形（如Atiyah和Guillemin-Sternberg证明的），f是恒等式。
2013-07-29 math.GT math.SG
Symplectic classification of coupled angular momenta
耦合角动量是一族依赖于三个参数的完全可积系统，具有紧致的相空间。它们对应于两个量子角动量耦合的经典版本，它们构成了所谓的量子系统的基本例子之一。Pelayo和Vu Ngoc用五个辛不变量给出了一个代数系统的分类。这些不变量中的三个已经在文献中部分计算了一定的参数范围，以及对于固定的参数值选择的所谓泰勒级数不变量的线性项。在本文中，我们完成了分类，通过计算的多边形不变量，高度不变量，扭曲指数不变量，和高阶项的泰勒级数不变的整个家庭的系统。我们还分析了泰勒级数的系数相对于系统的三个参数的显式依赖性，特别是在Hopf分叉附近的焦点焦点变得退化。
2018-08-17 math.DS math.SG nlin.SI
On the affine invariant of simple hypersemitoric systems
本文研究超半轨系的仿射不变量，将其推广到托克系统和半轨系统，通过计算和绘制示例探讨其性质。
2026-04-10 math.DS math.SG nlin.SI
Symplectic geometry and spectral properties of classical and quantum coupled angular momenta
本文详细研究了一类由两个角动量以非平凡方式耦合而成的可积系统的辛几何。这些系统依赖于参数t $\in$ [0，1]，并根据其值表现出不同的行为。在一定的取值范围内，系统是无量纲的，我们计算了它的一些辛不变量。尽管这些不变量已经知道了将近十年，但据我们所知，这是在紧致流形上的非环面系统中计算它们的第一个例子（环面系统的唯一不变量是动量映射的图像）。在本文的第二部分中，我们构造了这个系统，计算了它的联合谱，并描述了如何使用这个联合谱来恢复关于辛不变量的信息。
2018-03-07 math-ph math.MP math.SG
Inverse spectral theory for semiclassical Jaynes-Cummings systems
量子哈密顿系统构成了一大类具有圆对称性的量子哈密顿可积系统，在过去的十年里受到了极大的关注。它们包括物理学家和数学家高度感兴趣的系统，如Jaynes-Cummings模型（1963），它描述了一个二能级原子与光腔的量子化模式相互作用，以及更一般的所谓Jaynes-Cummings类型的系统。本文考虑构成Jaynes-Cummings型量子可积系统的一对交换半经典算子的联合谱。我们证明，假设玻尔\-索末菲规则举行，如果这两个系统的联合频谱重合$\mathcal{O}(\hbar^2)$，那么系统是同构的。
2014-08-03 math.SG math.SP
First steps in symplectic and spectral theory of integrable systems
本文旨在建立一个统一的框架，了解有限维可积哈密顿系统的辛和谱理论的第一步。虽然很难知道完成如此庞大的分类任务的最佳方法是什么，但有可能挑出一些有希望的方向和初步问题。本文讨论了它们，并暗示了一个可能的路径，仍然松散定义，达到一个分类。它主要依赖于最近的进展有关可积系统只有非双曲和非退化的奇异性。这项工作起源于试图发展一种理论，旨在回答量子光谱学中的一些问题。尽管量子可积系统可以追溯到量子力学的早期，比如玻尔、索末菲和爱因斯坦的工作，但这个理论在当时并没有开花结果。在过去的四十年里，半经典分析与微局部技术的发展使得谱理论和辛几何之间不断地相互作用。本文的一个主要目标是强调与量子力学可积系统相关的辛问题，并提出解决这些问题的策略。
2013-06-01 math.DS math.SG math.SP
