Classical Dynamical Systems from q-algebras:"cluster" variables and explicit solutions
通过定义一组适当的集体变量，给出了一种求解具有余代数对称性的N体经典Hamilton系统运动方程显式解的一般方法，这些集体变量是基于余代数生成元上的余积映射的迭代.用这种方法明确地求解了几个由q-Poincare代数得到的N体动力学系统的例子：sl（2）Calogero-Gaudin系统的q-变形版本（q-CG），一个q-Poincare ' Gaudin系统和一个由（1+1）Poincare'代数的相同（非共边界）q-变形产生的Ruijsenaars型系统。同时，给出了所有这些系统作为同一三维可解李群上不同Poisson-Lie动力学的统一解释。
2003-07-08 math-ph math.MP math.QA
Gaudin Model, KZ Equation, and Isomonodromic Problem on Torus
本文给出了环面上等谱问题的一种构造方法。该构造从最近由Kuroki和Takebe在扭曲WZW模型的上下文中研究的XYZ Gaudin模型的SU（n）版本开始。在经典极限下，广义Gaudin模型的量子哈密顿量变为具有自然$r$ -矩阵结构的经典哈密顿量.这些哈密顿量被用来建立一个非自治的多时间哈密顿系统，这最终被证明是一个环面上的isomonodromic问题。这个isomonodromic问题也可以从扭曲WZW模型的KZ方程的椭圆模拟再现。最后，这个isomonodromic问题的几何解释讨论的语言的亚纯连接的模空间。
1997-12-05 hep-th math.QA nlin.SI
Uniqueness of higher Gaudin hamiltonians
对于任何半单李代数$\mathfrak{g}$，无限维pro-nilpotent李代数$\mathfrak{g}_-:=\mathfrak{g}\otimes t^{-1}\mathbb{C}[t^{-1}]$的泛包络代数包含一个大的交换子代数$\mathcal{A}\subset U(\mathfrak{g}_-)$ .这个子代数来自中心的普遍包络的仿射卡茨-穆迪代数$\hat{\mathfrak{g}}$在关键的水平，并引起建设更高的汉密尔顿的高丁模型（由于费金，弗伦克尔和Reshetikhin）。虽然没有明确的公式，一般已知的生成元$\mathcal{A}$，“经典的模拟”这个子代数，即相关的分次子代数的泊松代数$A\subset S(\mathfrak{g}_-)$，可以很容易地描述。本文证明了“经典”子代数$A\subset S(\mathfrak{g}_-)$是它的某些二次元的Poisson中心化子，并由此推出“量子”子代数$\mathcal{A}\subset U(\mathfrak{g}_-)$是由经典子代数的二次元空间唯一确定的.特别是，这意味着一些不同的高丁哈密顿（即Feigin-Frenkel-Reshetikhin的方法和Talalaev-Chervov的方法），给出了相同的交换算子族。证明使用了以前的论文math.QA/0608586中的一些思想。
2006-11-08 math.QA
Quantization of the Gaudin System
本文利用Y（gl（n））中已知的交换族Bethe子代数及其特殊极限构造Gaudin可积系统的量子化.给出了量子哈密顿量QI_k（u），k=1，…，n.在小阶k=1，...，3的结果与准经典的结果一致，即使在k=4的情况下也得到了量子修正。
2004-04-21 hep-th math.QA nlin.SI
$({\mathfrak{gl}}_M, {\mathfrak{gl}}_N)$-Dualities in Gaudin Models with Irregular Singularities
我们建立了具有不规则奇异性的量子Gaudin模型之间的$({\mathfrak{gl}}_M, {\mathfrak{gl}}_N)$ -对偶。具体地说，对于任何$M, N \in {\mathbb Z}_{\geq 1}$，我们考虑两个高丁模型：一个与李代数${\mathfrak{gl}}_M$相关，它在无穷远处有一个双极点，在复平面上有$N$极点，计算多重性，以及同一个模型，但$M$和$N$的角色互换。这两种模型都可以用Weyl代数来实现，即，自由玻色子;我们建立，在这种实现中，两个模型的运动积分的代数重合。在经典的水平上，我们建立了两个进一步的推广的对偶。首先，我们表明，也有一个自由费米子实现的对偶性。其次，在玻色子实现中，我们考虑了经典的分圆Gaudin模型与李代数${\mathfrak{gl}}_M$及其图自同构，具有一个双极点在无穷远和$2N$极点，计数重数，在复平面。我们证明了它与李代数${\mathfrak{sp}}_{2N}$的非分圆Gaudin模型是对偶的，在无穷远处有一个双极点，在复平面上有$M$单极点.在特殊情况下，$N=1$，我们恢复了著名的自对偶诺依曼模型。
2018-05-16 hep-th math.QA
Quartic Hamiltonians, and higher Hamiltonians at next-to-leading order, for the affine $\mathfrak{sl}_2$ Gaudin model
在这项工作中，我们将使用一个通用的程序来构建更高的局部哈密顿的仿射$\mathfrak{sl}_2$高丁模型。我们专注于第一个非平凡的例子，四次哈密顿。我们表明，通过直接计算，四次哈密顿之间的交换和二次哈密顿定义的模型。我们接着介绍了一个特定的次首阶半经典极限的模型。在这个极限下，我们能够写出更高的局部哈密顿算子的完整层次，并证明它们是可交换的。
2023-02-28 hep-th math.QA
On classical limits of Bethe subalgebras in Yangians
单李代数$\mathfrak{g}$的杨式$Y(\mathfrak{g})$可以看作是两个不同的Hopf代数的变形：泛包络代数$U(\mathfrak{g}[t])$和第一同余子群$\mathcal{O}(G_1[[t^{-1}]])$的坐标环。这两个代数都是通过在杨代数上取关于适当滤子的相关分次而从杨代数得到的。Bethe子代数形成依赖于伴随群$G$的群元素$C$的交换子代数的自然族。这些代数在基本表示的张量积中的图像给出了量子XXX海森堡磁链的所有积分。对于所有半单$C\in G$，我们将Bethe子代数的伴随分次描述为$U(\mathfrak{g}[t])$和$\mathcal{O}(G_1[[t^{-1}]])$中的子代数.证明了赋给$G$的单位元的Bethe子代数在$U(\mathfrak{g}[t])$中的伴随分次是$U(\mathfrak{g}[t])$的泛Gaudin子代数，它是从相应的仿射Kac-Moody代数的中心在临界水平上得到的.这将Talalaev的通用Gaudin子代数的生成元公式推广到任何类型的$\mathfrak{g}$。特别是，这表明高丁磁链的高哈密顿量可以在不涉及Feigin-Frenkel中心的情况下量子化。利用Bethe子代数的伴随分次的一般结果，计算了当$C$到非正则半单群元$C_0$时，对应于正则半单群元$C\in G$的Bethe子代数…
2021-03-10 math-ph math.MP math.QA
KZ equation, G-opers, quantum Drinfeld-Sokolov reduction and quantum Cayley-Hamilton identity
Gaudin型模型的Lax算子是经典水平上的1-形式。根据[Talalaev 04]（hep-th/0404153）中提出的量子化方案，很自然地将量子Lax算子视为连接;这种连接是Knizhnik-Zamolodchikov连接[ChervovTalalaev 06]（hep-th/0604128）的特殊情况。在本文中，我们找到了一个规范变换，产生的“第二规范形式”或“Drinfeld-Sokolov”形式。此外，自然对应于这种形式的微分算子精确地由Lax算子的量子特征多项式[Talalaev 04]给出（该算子被称为G-oper或Baxter方程）。这一观察允许以一种明显的方式将KZ和Baxter方程的解联系起来，并证明了无量纲KZ方程只有亚纯解。作为推论，我们得到了Gaudin型Lax算子的量子Cayley-Hamilton恒等式（包括一般gl（n）[t]情形）.所提出的构造为几何朗兰兹对应提供了新的思路。我们还讨论了它与Harish-Chandra同态的关系。
2006-08-09 hep-th math-ph math.MP
$(SL(N),q)$-opers, the $q$-Langlands correspondence, and quantum/classical duality
通过Gaudin模型的Bethe不等式方程的解与具有额外结构的射影直线上的算子联络之间的关系，给出了几何Langlands对应的一个特例.在本文中，我们描述了这种对应的变形为$SL(N)$。我们引入了一种差分方程形式的opers，称为$q$ -opers，并证明了XXZ模型的Bethe方程的非退化解与射影线上具有正则奇点的非退化扭曲$q$ -opers之间的$q$ -Langlands对应关系.我们证明了XXZ自旋链和三角Ruijsenaars-Schneider模型之间的量子/经典对偶性可以看作是$q$ -Langlands对应的一个特例.我们还描述了$q$ -算子在余切丛的等变量子$K$ -理论中的应用。
2020-09-09 hep-th math-ph math.AG
Relativistic Classical Integrable Tops and Quantum R-matrices
我们描述了由量子交换关系产生的典型的top-like可积系统和相应的Sklyanin代数。即使在经典水平上，Lax算子也可以用量子非动力学$R$矩阵表示，其中普朗克常量在Ruijsenaars和Schneider（RS）意义下扮演相对论形变参数的角色。可积系统（相对论性的顶部）被描述为多维欧拉顶部，和惯性张量的量子和经典的$R$ -矩阵。${\rm gl}_N$系统的一个特殊情况是规范等价于$N$ -粒子RS模型，而一个通用的陀螺与RS模型的自旋推广有关。量子$R$ -矩阵和经典Lax算子之间的简单关系被利用在两个方面。在椭圆情形下，我们用Belavin量子$R$矩阵来描述相对论经典陀螺。此外，通过非对易环面，我们研究了大$N$极限对应的相对论版本的非局部二维椭圆流体力学。相反，在理性的情况下，我们得到了一个新的${\rm gl}_N$量子有理非动力学$R$ -矩阵通过相对论顶部，我们得到了在一个不同的方式-使用RS Lax算子的因式分解形式和经典的辛Hecke（规范）变换。在${\rm gl}_2$的特殊情况下，量子有理$R$ -矩阵是11-顶点的。它以前被切雷德尼克发现。最后，我们描述了与所得到的$R$ -矩阵相关的可积自旋链和Gaudin模型。
2014-07-02 hep-th math-ph math.MP
Quantization of soliton systems and Langlands duality
我们考虑经典孤子可积系统的量子化问题，如KdV族，在一个一般形式主义的Gaudin模型与仿射Kac-Moody代数的框架。我们对有限维简单李代数的Gaudin模型的经验表明，在与仿射代数相关联的模型中，相互交换的量子哈密顿算子的公共本征值应该由与Langlands对偶仿射代数相关联的仿射算子编码。这使我们对孤子系统的量子哈密顿量的谱有了一些具体的预言。特别地，对于KdV系统，相应的仿射算子可以表示为具有谱参数的Schroedinger算子，并且在这种情况下，我们的预测与Bazhanov，Lukyanov和Zamolodchikov最近所做的预测相匹配。这表明，这个例子和其他最近发现的量子运动积分和微分算子之间的对应关系可以被看作是朗兰兹对偶的特殊情况。
2009-10-12 hep-th math.AG math.QA
Integrable deformations of oscillator chains from quantum algebras
利用sl（2，R）代数的非标准量子变形构造了N谐振子系统的一族完全可积非线性变形。给出了所有相关运动积分的显式表达式，并示出了由变形引入的相互作用的长程性质与底层的余代数结构有关。分析了这类系统的可分性和超可积性，并利用它们与经典角动量链的联系构造了XXX双曲Gaudin系统的一个非标准可积变形.
1999-11-03 math.QA nlin.SI solv-int
Long range integrable oscillator chains from quantum algebras
利用Heisenberg-Weyl、谐振子和$sl(2,\R)$余代数的Poisson实现，得到了定义$N$耦合振子经典力学系统的完全可积哈密顿量.通过考虑这些代数的量子形变，构造了这类系统的各种完全可积形变。给出了所有变形的哈密顿量和运动常数的显式表达式，并将相互作用的长程性质与底层的余代数结构联系起来。给出了由$sl(2,\R)$余代数导出的振子系统与角动量链之间的关系，得到了双曲Gaudin系统的一个非标准可积变形.
1998-05-08 math.QA nlin.SI solv-int
