Poisson structures of near-symplectic manifolds and their cohomology
通过证明在近辛几何上存在奇异Poisson结构，将Poisson与近辛几何联系起来。Poisson结构$π$定义在2-型$ω$的奇异轨迹$Z_ω$的管状邻域上，它的最大秩为4，在包含$Z_ω$的退化集上为零.我们计算了它的光滑Poisson上同调，它依赖于模向量场，并且它是有限维的。最后讨论了Poisson结构$π$与近辛4-流形上的过扭切触结构之间的关系。
2021-03-26 math.DG math.SG
The cohomology rings of abelian symplectic quotients
设$M$是一个辛流形，具有环面$T$的哈密顿作用.利用不动点和$M$的上同调环，给出了辛商$M//T$的有理上同调环的一个显式表达式.在一定的限制条件下，我们的公式适用于积分上同调。在某些情况下，这些方法使我们能够证明，约化空间的上同调是挠自由的。
1998-07-30 math.AG math.DG math.SG
Non-standard Symplectic Structures via Symplectic Cohomology
我们研究了如何辛上同调可用作辛结构的不变量，并调查这些结构的非唯一性刘维尔域，一个领域，在过去的十年中已经看到了很大的发展。值得注意的是，我们证明了存在无穷多个非标准辛结构的有限型刘维流形的尺寸$n\geq 6$。要做到这一点，我们建立了刘维域，莱夫谢茨纤维化，辛上同调的概念。
2014-11-29 math.SG
Topological quantum field theory structure on symplectic cohomology
我们构造了TQFT上的辛上同调和包装Floer上同调，可能扭曲的局部系统的系数，并证明了TQFT尊重Viterbo限制映射和规范的映射从普通上同调。我们还构造了辛上同调的包裹Floer上同调的模结构。这些建设产生新的应用辛拓扑有关的Arnol的弦猜想和确切的接触嵌入。证明了：若Liouville域M在精确凸辛流形X中有精确嵌入，且M的边界在X中可置换，则M的辛上同调为零，弦猜想对位于边界上的任意Lagrange可填充Legendrian成立. TQFT考虑了余切丛的辛上同调与自由闭路空间的同调之间的同构，从而恢复了弦拓扑的TQFT。最后，我们利用TQFT证明了辛上同调为零的充要条件是Rabinowitz Floer上同调为零。
2012-11-19 math.AT math.DG math.SG
Symplectic Cohomology and the Stability of J-Anti-Invariant Cohomology
本文研究了由T. J. Li和W. Zhang和L.- S. Tseng和S.- T.你。我们还证明了对于几乎所有与固定辛形式相容的结构J，J-反不变上同调的维数是常数。
2014-11-13 math.SG
Symplectic cohomology with support and aspherical perturbations
Imperial College London（帝国理工学院）
研究非球面辛流形紧致子集的辛同调，通过适当微扰辛结构，证明其上具有支撑的辛同调保持不变。
2026-07-28 math.SG
The $L_\infty$-structure on symplectic cohomology
我们构造了链级$L_\infty$ -结构，它扩展了辛上同调的李括号。
2019-12-31 math-ph math.DG math.MP
Cohomology and Hodge Theory on Symplectic Manifolds: I
在辛流形上引入了新的有限维上同调。每个展品莱夫谢茨分解，并包含一个独特的谐波代表在每个类。与每个上同调相关联的是纯粹定义在本原形式空间上的本原上同调。我们确定的拉格朗日和更一般的上同性子流形的原始上同调，对偶上同调链的元素的对偶电流。
2012-10-01 hep-th math.DG math.SG
A Serre type vanishing property of the twisted primitive cohomology
Peking University（北京大学）
本文证明了辛 manifold 的 twisted primitive cohomology 的 Serre 类消失性质，基于 Tseng 和 Zhou 的 symplectic flatness 下的消失性质，强调了在将复几何中 sheaf cohomology 的某些结果推广到辛几何中 primitive cohomology 时 symplectic flatness 的必要性。
2026-05-20 math.DG math.SG
Deformations of symplectic groupoids
我们描述了一个辛广群的变形上同调，并用它来研究变形通过莫泽路径方法，证明了一个辛广群版本的莫泽定理。我们的建设使用变形上同调的李群胚和乘法形式，我们证明，在辛的情况下，变形上同调的基础群胚和辛群胚有德拉姆模型的微分形式。我们使用de Rham模型，这是密切连接到Bott-Shulman-Stasheff二重复形，计算变形上同调在几个例子。我们计算它的适当辛群胚使用消失的结果，或者，为满足同调2-连通条件的群胚，我们计算它使用一个简单的谱序列。最后，在不作拓扑假设的情况下，我们构造了一个映射，将辛群胚的基本李群胚的可微上同调和形变上同调联系起来，并通过van Est映射将其与对应的李群胚联系起来。
2021-03-25 math.DG math.SG
Index bounded relative symplectic cohomology
本文利用有界指标接触形式，为具有有界指标边界的Liouville域构造谱序列，连接经典辛上同调与Calabi-Yau流形中的相对辛上同调。
2025-01-22 math.SG
Symplectic cohomology relative to a smooth anticanonical divisor
本文针对单调辛流形及光滑反典范除子，通过允许Floer圆柱与除子相交定义辛上同调的形式形变，并利用普通上同调计算之，同时描述其附加结构。
2024-08-20 math.SG
Intersection cohomology of $S^1$ symplectic quotients and small resolutions
利用原辛流形和不动点数据的$S^1$等变上同调，给出了辛商与圆的交上同调（作为一个有配对的分次向量空间）的两个显式公式.其关键思想是构造辛商的小分解。
1998-10-07 math.AG math.AT math.DG
Complex symplectic structures: deformations and cohomology
本文研究复辛结构在小形变下的保持性问题，给出保持的充分条件，并通过研究紧复辛流形的各种上同调获得其存在性的拓扑障碍。
2025-07-05 math.CV math.DG math.SG
Transfer maps in symplectic cohomology for convex symplectic domains
Jeonbuk National University（全北国立大学）；The University of Osaka（大阪大学）
本文在补集为精确的条件下，研究了凸辛域辛同调中转移映射的构造方法及其实现细节。
2026-10-12 math.SG
Quantum cohomology as a deformation of symplectic cohomology
证明了在一定条件下，正单调紧辛流形的量子上同调是单交叉辛因子的补的辛上同调的变形。我们还证明了刚性结果的骨架的除数补充。
2022-03-15 math.AG math.SG
Symplectic forms and cohomology decomposition of almost complex 4-manifolds
对于任何紧殆复流形$(M,J)$，最后两位作者在arXiv：0708.2520中定义了2次实de Rham上同调群$H^2(M, \mathbb{R})$的两个子群$H_J^+(M)$，$H_J^-(M)$。这些是可以分别用$J$ -不变、$J$ -反不变实$2-$形式表示的上同调类的集合。在这篇文章中，它表明，在4维这些子群诱导$H^2(M, \mathbb{R})$的上同调分解。这是一个具体的四维结果，因为它遵循菲诺和托马西尼最近的工作。当殆复结构被辛形式所驯服时，也建立了这些群的维数的一些估计，并给出了Donaldson问题的一个等价公式。
2011-04-14 math.DG math.SG
The cohomology ring of symplectic cuts
"辛割“构造[Lerman]从一个具有Hamilton圈作用的辛流形$M$中产生两个辛orbifolds $C_-$和$C_+$。利用$M$和$C_-$的有理上同调环计算了$C_+$的有理上同调环.
1998-10-13 math.AG math.AT math.DG
Disjoinable Lagrangian tori and semisimple symplectic cohomology
我们得到的拉格朗日嵌入在某些稳定的辛填充与半单辛上同调完成的限制。具有这些性质的流形可以通过将边界连通和运算推广到我们的设置来构造，并且与某些双有理运算有关，如blow-downs和flips。因此，存在许多非环面（非紧）单调辛流形，它们的包裹类范畴是适当的。
2019-12-08 math.AG math.DG math.SG
Super-rigidity of certain skeleta using relative symplectic cohomology
本文利用第二作者最近研究的相对辛上同调来理解辛流形的紧子集的刚性现象。作为应用，我们考虑了一个其补为Liouville流形的Calabi-Yau辛流形$M$中的辛交叉因子.我们表明，对于一个精心选择的刘维结构，骨架作为一个子集的$M$表现出强刚性的属性类似于超重子集的Entov-Polterovich。在此过程中，我们通过引入乘积和单位来扩展相对辛上同调的工具包。我们还开发了我们称之为的接触的辛技巧，关于行为的相对辛上同调的子集与接触型边界下添加一个刘维领。
2020-11-29 math.SG
The modular class of a regular Poisson manifold and the Reeb invariant of its symplectic foliation
证明了对于任意正则Poisson流形，存在从第一个叶上同调空间到第一个Poisson上同调空间的内射自然线性映射，该映射将辛叶理的Reeb类映射到Poisson流形的模类.这些类的黎曼解释将允许我们表明，一个正则泊松流形的辛叶是余维1是么模的当且仅当它的辛叶是黎曼叶。它允许我们也建设的例子，单模泊松流形和其他不unimodular。最后，我们证明了第一叶上同调是Morita等价的不变量。
2002-11-26 math.DG math.SG
Harmonic cohomology of symplectic fiber bundles
我们证明了具有闭Lefschetz纤维的辛纤维丛的全空间上的每一个de Rham上同调类，在Brylinski意义下都有Poisson调和表示.证明是基于一个新的特征封闭Lefschetz流形。
2010-04-13 math.SG
Non-contractible periodic trajectories of symplectic vector fields, Floer cohomology and symplectic torsion
对于闭辛流形$(M,ω)$，相容的几乎复结构$J$，1-周期时间依赖的辛向量场$Z$和同伦闭曲线类$γ$，我们在同伦类$γ$中定义了基于$Z$的1-周期轨迹的Floer复形.我们假设封闭的1-形式$i_{Z_t}ω$表示上同调类$β(Z):=β$，独立于$t$。我们将展示如何关联到$(M,ω,γ,β)$和两对$(Z_i,J_i)$，$i=1,2$与$β(Z_i)=β$的不变量，相对辛扭转，这是一个元素在怀特黑德组$Wh(Λ_0)$，诺维科夫环$Λ_0$与$(M,ω,Z,γ)$。如果上同调的Floer复杂的消失，或者如果$γ$是平凡的，我们得出一个不变的，辛扭转的任何对$(Z,J)$。证明了当$β(γ)\neq 0$，或当$γ$非平凡且$β$“小”时，Floer复形的上同调是平凡的，但辛挠率可以是非平凡的.利用第一个事实，我们得到了关于1-周期辛向量场的不可收缩1-周期轨线的结果。在这个版本中，我们将只证明封闭的弱单调流形的陈述，但注意，它们仍然是真的，因为制定了任意封闭辛流形。
2001-07-27 math.AT math.DG math.SG
Heavy sets and index bounded relative symplectic cohomology
该研究利用指标有界接触形式下的相对辛上同调检测重集，建立 SH-重性与重性的关系，并部分证明相关猜想。
2024-05-20 math.SG
Locality of relative symplectic cohomology for complete embeddings
完全嵌入是一个几何有界辛流形$Y$到另一个相同维数的几何有界辛流形$M$的辛嵌入$ι:Y\to M$。当$Y$满足一个附加的有限性假设时，我们证明了$Y$内的紧子集$K$的截断相对辛上同调与$M$内的像$ι(K)$的截断相对辛上同调是自然同构的.在$K$的挠指数有界的假设下，我们得到了相对辛上同调的同样结果。我们介绍了一种技术，用于构建完整的嵌入，我们称之为可积反手术。我们应用这些研究辛拓扑和镜像对称的辛簇流形和其他例子的辛流形奇异拉格朗日环面纤维满足一定的完备性条件。
2023-01-23 math.SG
The mod 2 cohomology of fixed point sets of anti-symplectic involutions
设$M$是一个紧致的连通辛流形，其Hamilton作用在一个紧致$n$维环面$G=T^n$上.设$σ$是与$G$ -作用相容的反辛对合. $M$的实轨迹是$X$，即$σ$的不动点集。Duistermaat使用莫尔斯理论，根据$M$的上同调，给出了$X$的普通上同调的描述。在$X$上有一个剩余的$\G=(\Zt)^n$作用，我们可以利用Duistermaat的结果，以及关于等变上同调的一些一般事实，证明一个类似于Duistermaat定理的等变类似。在某些情况下，我们也可以将Goresky-Kottwitz-MacPherson和Goldin-Holm的定理推广到实轨迹。
2003-09-10 math.AT math.DG math.SG
Quasimap Floer cohomology and varying symplectic quotients
我们使用准映射Floer上同调的辛变换来解决复曲面矩纤维的可扩展性的几个难题。例如，我们（i）提出了一个紧凑的Hamilton环面行动包含一个{ \em开}子集的不可位移轨道和余维4奇异集，部分回答了McDuff的问题，和（ii）确定可扩展性的大部分的时刻纤维的辛椭球。
2012-04-06 math.SG
Bigrading the symplectic Khovanov cohomology
本文通过全纯盘计数在辛Khovanov上同调上构造相对第二分次，并利用正合三角证明其与Khovanov同调的Jones分次在特征零域上相差整体移位同构。
2021-11-15 math.SG
$S^1$-equivariant relative symplectic cohomology and relative symplectic capacities
本文构造了$S^1$-等变相对辛上同调，并由此建立相对Gutt-Hutchings容量与相对辛（上）同调容量，证明它们能探测紧子集的可移位性和沉重性，且在凸性假设下前两者相等。
2024-10-04 math.SG
A vanishing property about the 1-filtered cohomology groups of (4n+2)-dimensional closed symplectic manifolds
本文证明(4n+2)维闭辛流形的1-过滤上同调偶数次部分维数为偶数，通过构造并变形斜伴随算子实现该消没性质。
2025-10-12 math.DG math.SG
Invariance of symplectic cohomology and twisted cotangent bundles over surfaces
我们证明了开凸辛流形的辛上同调是不变的，当辛形式经历的变形可能是非精确的和非紧支撑的，提供一个使用正确的局部系统的系数在Floer理论。作为一个样本应用程序以外的刘维尔设置，我们详细描述了辛上同调盘束的扭曲余切束的表面，我们推导出存在性结果的周期性磁测地线的表面上。特别是，我们证明了几何不同的轨道的存在性，利用辛上同调的BV-运营商的性质。
2020-05-08 math.SG
Oka and Alexander polynomials of symplectic curves and divisibility relations
Basque Centre for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）
本文研究了辛曲线的Oka和Alexander多项式，并证明了其在复射影平面上的可除性关系，同时给出了复杂代数曲线相关多项式的新证明。
2026-01-23 math.AG math.GT math.SG
Coeffective cohomology of symplectic aspherical manifolds
我们证明了一个推广的定理，证明了费尔南德斯，Ibanez，和德莱昂。利用这一结果，我们给出了满足紧致Kähler流形关于余有效上同调性质的非Kähler流形的例子.
2012-03-07 math.SG
Cohomology and Hodge Theory on Symplectic Manifolds: II
我们证明了辛流形上的外导数算子有一个自然的分解成两个线性微分算子，类似于复几何中的Dolbeault算子。这些算子将原始形式映射成原始形式，从而直接导致在辛流形上构造原始上同调。利用这些算子，我们引入了新的原始上同调，类似于复杂理论中的Dolbeault上同调。有趣的是，这些原始上同调的有限性直接来自椭圆复形。我们计算了已知的原始上同调的nilmanifold，并表明它们的尺寸可以根据类的辛形式。
2012-10-01 hep-th math.DG math.SG
Maurer--Cartan elements in symplectic cohomology from compactifications
本文研究 Liouville 域正规交叉紧化与辛上同调的关系，证明其在特定条件下给出 $L_\infty$ 结构的 Maurer–Cartan 元，并由此形变得到紧化的量子上同调。
2025-10-21 math.SG
Background Cohomology and Symplectic Reduction
本文研究紧李群在完备Kähler流形上的哈密顿作用，证明预量子线丛的背景上同调与辛约化可交换，即其不变部分同构于辛约化的通常Dolbeault上同调。
2024-11-04 math.SG
Primitive cohomology of degree 2 on compact symplectic manifolds
本文在紧几乎Kähler $2n$ -流形上定义了广义Lejmi $P_J$算子.如果$\dim\ker P_J=b^2-1$是纯的和完全的，我们得到$J$是$C^\infty$。此外，我们还研究了T. J. Li和W. Zhang和L.- S. Tseng和S.- T.闭辛$4$ -流形上的Yau。
2014-03-08 math.SG
Descent with algebraic structures for symplectic cohomology
本文针对紧子集的对合覆盖，建立并证明了考虑自然代数结构的辛上同调链层下降性质，并指出其在镜像对称中的作用。
2025-04-30 math.SG
A biased view of symplectic cohomology
这些是我在“数学的当前发展”会议（哈佛大学，2006年）上的演讲笔记。他们涵盖了各种各样的主题，涉及辛上同调。特别是，讨论（算法）辛和接触拓扑的分类问题。
2010-02-15 math.SG
Symplectic Boundary Conditions and Cohomology
在有边界的辛流形上引入了微分形式的新的边界条件。这些边界条件，依赖于辛结构，使我们能够写出椭圆边值问题的二阶和四阶辛拉普拉斯算子和建立霍奇理论的上同调的原始形式的流形上的边界。我们进一步使用这些边界条件来定义一个相对版本的原始上同调，并将原始上同调与边界流形上的Lefschetz映射联系起来。正如我们所示，这些原始形式的上同调可以区分某些Kähler流形的Kähler结构与边界。
2021-04-12 math.AP math.DG math.SG
A long exact sequence for symplectic Floer cohomology
长正合序列描述了两个拉格朗日子流形的Floer上同调如何变化，如果其中一个通过应用Dehn扭曲进行修改。我们在最简单的情况下给出一个证明（没有冒泡）。该文件包含了一定数量的材料，可能是独立的准确序列的兴趣：特别是，第1章涵盖了“辛皮卡德-莱夫谢茨理论”的一些细节，第2章包含了一般的TQFT设置Floer上同调。
2002-07-20 math.SG
Symplectic, Poisson, and contact geometry on scattering manifolds
我们引入散射-辛流形，流形与一种类型的最小退化泊松结构，是不是太严格，以便有一个大类的例子，但限制足够的标准泊松不变量是可计算的。本文将证明散射辛设置的潜力。特别地，我们构造了接触流形的强凸辛填充之间的散射辛球和散射辛胶接。通过给出散射辛流形的Poisson上同调的一个显式计算，我们还介绍了一种计算Poisson上同调的新方法。
2020-10-02 math.DG math.SG
Higher weight Gel'fand-Kalinin-Fuks classes of formal Hamiltonian vector fields of symplectic R^2
在D.Kotschick和S.Morita的“The Gel'fand-Kalinin-Fuks class and characteristic classes of transverse symplectic foliations”，arXiv：0910.3414，（2009年10月）中，2n平面上没有常数向量场的形式哈密顿向量场的相对Gel'fand-Kalinin-Fuks上同调群由两个参数表征，一个是度，另一个是权。并得到了权<= 10的2-平面的上同调群。本文对2-平面上的上同调群，利用Sp（2，R）-表示论成功地确定了权小于50的上链复形的维数，从而对欧拉示性数进行了处理.通过得到上边缘算子的具体矩阵表示，确定了权< 20的相对Gel'fand-Kalinin-Fuks上同调群.
2014-02-19 math.DG math.SG
A classification of star log symplectic structures on a compact oriented surface
给定一个紧定向曲面，我们对对数泊松双向量进行分类，其退化轨迹由平面上相交于一点的有限集直线局部建模。进一步，我们计算了这种结构的泊松上同调，并讨论了我们的分类和第二泊松上同调之间的关系。
2018-09-11 math.DG math.SG
Anti-symplectic involution and Floer cohomology
本文主要研究边界位于\emph{real}拉格朗日子流形上的伪全纯圆盘的模空间的定向，即辛流形上反辛对合$τ$的不动点集。引入了反辛对合$τ$的相对自旋结构$τ$的概念，研究了对合$τ$模空间上的取向的性质.我们也将其应用于实拉格朗日子流形的拉格朗日Floer理论的研究。特别地，我们研究了辛流形的$τ$ -不动点集的无障碍性，特别证明了它在Calabi-Yau流形上的无障碍性.同时我们还计算了$Λ_{0,nov}^{\Z}$上的$\R P^{2n+1}$的Floer上同调，给出了其Floer上同调与经典上同调不同构的一个例子.本文研究了辛流形的平方对角线的Floer上同调，从而在完全一般性的情况下严格构造了辛流形的量子Massey积.
2016-03-24 math.SG
The symplectic cohomology of magnetic cotangent bundles
利用\cite{Groman2015}中引入的紧致性的耗散方法，构造了磁余切丛的一族辛Floer上同调，对磁形式没有任何限制.作为应用，我们证明了如果$N$是闭流形，而$ σ$是非弱正合的磁形式，则由$ σ$确定的磁余切丛中的任一紧集的$ π_1$ -敏感Hofer-Zehnder容量是有限的.
2022-01-07 math.SG
Symplectic Flatness and Twisted Primitive Cohomology
本文引入了辛流形上联络和纤维丛的辛平坦性概念，提出了基于$A_\infty$-代数的扭曲微分复形的平坦性条件，并证明辛平坦联络是Yang-Mills联络的特殊子类，同时研究了其上同调及消没定理。
2022-08-25 math.AT math.DG math.SG
Barcode entropy and relative symplectic cohomology
本文研究了Liouville域K嵌入到辛流形M中的相对辛上同调的条形码熵，并建立了其与边界上Reeb流拓扑熵的定量联系。
2026-01-22 math.SG
Wall crossing for symplectic vortices and quantum cohomology
我们导出了复曲面流形的辛涡不变量的过壁公式。作为应用，我们给出了最小陈数至少为2的单调环面流形的量子上同调的Batyrev公式的一个证明。
2002-09-18 math.GT math.SG
Mayer-Vietoris property for relative symplectic cohomology
本文构造了一个基于Hamilton Floer理论的相对辛上同调不变量，将Novikov环上的模赋给闭辛流形的紧子集.我们证明了限制映射的存在性，并证明了一些基本性质。我们的主要贡献是确定一个自然的几何情况下，两个子集的相对辛上同调满足Mayer-Vietoris性质。这是定制的工作在一定的可积性假设，其中最弱的引入了一个新的几何对象称为障碍-粗略地说，一个参数家庭的秩2共各向同性子流形。证明使用变形参数，其中拓扑能量零（即常数）Floer解决方案是主要演员。
2020-05-16 math.SG
A characterization of heaviness in terms of relative symplectic cohomology
本研究刻画闭辛流形紧子集的heaviness性质，证明其等价于Novikov域上相对辛上同调非零，推导非heavy泊松可交换紧集的并仍非heavy的结论，还探讨superheaviness并给出部分结果。
2024-02-05 math.SG
Symplectic Harmonic theory and the Federer-Fleming deformation theorem
在这篇文章中，我们提出了一个几何测度理论的方法辛霍奇理论。特别地，我们应用几何测度论中的中心结果之一，Federerer-Fleming形变定理，以及微分流形上的正规流的上同调理论，建立了辛调和形式的一个基本性质。本文证明了在闭辛流形上，每一个正度的实本原上同调类都有一个在整个流形上不支集的辛调和表示.作为应用，我们用它来研究Thom类的辛调和表示的支集，并给出Guillemin提出的一个公开问题的完整解.
2013-09-29 math.DG math.SG
From symplectic cohomology to Lagrangian enumerative geometry
通过检测与Landau-Ginzburg势成镜像的辛上同调中的元素，我们在开辛流形上的Floer理论和Fano紧化中的全纯圆盘的计数几何之间建立了一座桥梁.我们也对待更高的Maslov指数版本的潜力。我们发现了高盘势和光滑反正则因子补的辛上同调环之间的关系（它们本身与闭弦Gromov-Witten不变量相关），并探索了Liouville域几何的其他几个应用.
2019-06-27 math.AG math.SG
The Z-graded symplectic Floer cohomology of monotone Lagrangian sub-manifolds
定义了一个整数分次辛Floer上同调和一个Fintushel-Stern型谱序列，它们是单调Lagrange子流形和正合同位素的新的不变量. Z-分次辛Floer上同调是通常的Z_Sigma（L）-分次Floer-Oh上同调的积分提升。证明了谱序列的Kunneth公式及其上的环结构，并通过谱序列由Lagrange子流形的上同调环结构导出了Z_Sigma（L）-分次Floer上同调环结构.利用Z-分次辛Floer上同调，我们给出了嵌入拉格朗日量的H_∞能量e_H（L）、拉格朗日量L的收敛谱序列的最小辛作用量σ（L）、最小Maslov指数σ（L）$ and the smallest integer k(L, phi$之间的一些相互交织的关系.
2004-09-19 math.GT math.SG
