On the Liouville theorem for the Navier-Stokes and the Euler equations in $\Bbb R^N$
Dobgho Chae
由于（2.20）式中的第二个不等式不允许$R$的指数为负号，因而用这种方法不能得到（2.20）式中所要求的消元，故本文已被作者撤回。
This paper has been withdrawn by the author due to the fact that the negative sign of the exponent of $R$ in (2.20) is not allowed by the second inequality of (2.2), and thus the desired vanishing in (2.20) could not be obtained by this method.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Notes on the Liouville type problem for the stationary Navier-Stokes equations in $\Bbb R^3$
本文研究定常Navier-斯托克斯方程在$\Bbb R^3$中的Liouville型问题。我们推导出一个积分的渐近公式，涉及水头压力，$Q=\frac12 |v|^2 +p$，它的衍生物封闭的域上的水平表面$Q$。该公式为Navier-斯托克斯方程的解的平凡性提供了新的充分条件。
Existence of discretely self-similar solutions to the Navier-Stokes equations for initial value in $ L^2_{ loc}(\Bbb R^{3})$
本文证明了在$ L^2_{ loc}(\Bbb R^{3})$中的Navier-斯托克斯方程在$ \Bbb R^{3}\times (0,+\infty)$中存在正向离散自相似解.
On Liouville type theorems for the steady Navier-Stokes equations in $\Bbb R^3$
本文在$\Bbb R^3$中证明了定常Navier-斯托克斯方程的三个不同的Liouville型定理。在第一个定理中，我们在数学上改进了著名的$L^{\frac92} (\Bbb R^3)$结果。在第二个定理中，我们给出了一个关于水头压力$Q=\frac12 |v|^2 +p$的解（$v=0$）平凡的充分条件。这里的可积性条件与狄利克雷积分具有相同的标度性质。在最后一个定理中，我们提出了Fubini型条件，它保证了$v=0$。
On the Liouville type theorem for stationary compressible Navier-Stokes-Poisson equations in $\Bbb R^N$
本文证明了可压缩Navier-Stokes-泊松方程（NSP）和可压缩斯托克斯方程（NS）在$\Bbb R^N$，$N\geq 2$中定常解的Liouville型结果.在适当的可积性和解的一致有界性条件下，我们得出结论：$v=0$。在（NS）情形下，我们推导出类似的可积性条件意味着$\Bbb R^N$上的$v=0$和$ρ=$常数.这表明，如果我们对（NS），$v\to 0$和$ρ\to ρ_\infty >0$在空间无穷远处施加非真空边界条件，则$v=0$，$ρ=ρ_\infty$是解.
Global regularity for a model Navier-Stokes equations on $\Bbb R^3$
在$\Bbb R^3$上研究了一类非线性抛物型方程组的不定常型向量场。对Navier-斯托克斯方程的非线性项进行了修正，得到了新模型方程的非线性项。该系统具有与Navier-斯托克斯方程相同的标度性和伽利略不变性。对于这样的系统，我们证明了一个光滑的初始数据的全局正则性。
Liouville type of theorems for the Euler and the Navier-Stokes equations
证明了Navier-Stokes方程和Euler方程的弱解的Liouville型定理。特别地，如果压力满足$ p\in L^1 (0,T; L^1 (\Bbb R^N))$与$\int_{\Bbb R^N} p(x,t)dx \geq 0$，则相应的速度应该是微不足道的，即$v=0$对$\Bbb R^N \times (0,T)$。特别地，当$p\in L^1 (0,T; \mathcal{H}^1 (\Bbb R^N))$时就是这种情况，其中$\mathcal{H}^1 (\Bbb R^N)$是Hardy空间。另一方面，如果$p\in L^1 (0,T; L^1 (\Bbb R^N))$与$\int_{\Bbb R^N} p(x,t)dx <0$，我们在每个分量上有能量均分。类似的结果也适用于磁流体动力学方程。
Liouville type of theorems with weights for the Navier-Stokes equations and the Euler equations
研究了$\Bbb R^N$，$N\geq 2$上Navier-Stokes方程和Euler方程的Liouville型定理.具体地说，我们证明了如果弱解$(v,p)$对某些权函数$w_1(x)$和$w_2 (x)$满足$|v|^2 +|p| \in L^1 (0,T; L^1(\Bbb R^N, w_1(x)dx))$和$\int_{\Bbb R^N} p(x,t)w_2 (x)dx \geq0$，则解是平凡的，即$v=0$几乎处处在$\Bbb R^N \times (0, T)$上.类似的结果也适用于$\Bbb R^N$、$N\geq3$上的MHD方程。
Remarks on the Liouville type problem in the stationary 3D Navier-Stokes equations
在$\Bbb R^3$上研究了定常三维Navier-斯托克斯方程的Liouville型问题.具体地说，我们证明了，如果$v$是一个光滑的解决方案（NS）满足$ω={\rm curl}\,v \in L^q (\Bbb R^3) $的一些$\frac32 \leq q< 3$，和$|v(x)|\to 0$作为$|x|\to +\infty$，然后要么$v=0$上$\Bbb R^3$，或$\int_{\Bbb R^6} Φ_+ dxdy=\int_{\Bbb R^6} Φ_- dxdy=+\infty$，其中$Φ(x,y) :=\frac{1}{4π}\frac{ω(x)\cdot(x-y)\times (v(y)\times ω(y) )}{|x-y|^3} $，和$Φ_\pm:=\max\{ 0, \pm Φ\}$。证明中关键利用了方程的非线性项的结构。
Liouville type theorem for double Beltrami solutions of the Hall-MHD system in $\Bbb R^3$
本文针对 $\n\Bbb R^3$ 中稳态 Hall-MHD 方程的光滑双 Beltrami 解，证明在 $q\in[2,3)$ 的 $L^q$ 可积条件下解必为零，并涵盖 $B=0$ 时 Euler 方程的已有结果。
On the nonexistence of global weak solutions to the Navier-Stokes-Poisson equations in $\Bbb R^N$
本文在适当的密度、速度和力场势可积的假设下，证明了Euler-泊松方程和Navier-Stokes-泊松方程在$\Bbb R^N$，$N\geq 2$中定常弱解的不存在性.对于不定常Euler-泊松方程，我们在假定密度二阶矩在无穷远处具有时间渐近性的条件下，证明了该结果的不存在性。对于一类不定常Navier-Stokes-泊松方程，如果我们假设标准的能量不等式，就可以证明密度的这种渐近性态，因此在这种情况下，整体弱解的不存在性可以从更合理的假设得到.
Blow-up, zero $α$ limit and the Liouville type theorem for the Euler-Poincaré equations
本文研究了$\Bbb R^N$中的Euler-Poincaré方程。证明了$W^{2,p}(\Bbb R^N),$ $p>N$弱解的局部存在性，$H^k (\Bbb R^N)$，$k>N/2+3$经典解的局部存在性，以及爆破准则.对于零色散方程（$α=0$），我们证明了经典解的有限时间爆破。我们还证明了当色散参数为零时，弱解收敛到零色散方程的一个解$α\to0$，只要极限解属于具有$k>N/2 +3$的$C([0, T);H^k(\Bbb R^N))$.对于Euler-Poincaré方程的{ \em平稳弱解}，我们证明了一个Liouville型定理.也就是说，对于$α>0$，任何弱解$\mathbf{u}\in H^1(\Bbb R^N)$都是$\mathbf{u}=0$ ;对于$α=0$，任何弱解$\mathbf{u}\in L^2(\Bbb R^N)$都是$\mathbf{u}=0$。
Liouville-type theorems for the forced Euler equations and the Navier-Stokes equations
本文研究了$\Bbb R^N$中定常不可压Euler方程带力解的Liouville型性质。如果我们假设力的“单符号条件”，那么我们可以证明一个$C^1 (\Bbb R^N)$解$(v,p)$与$|v|^2+ |p|\in L^{\frac{q}{2}}(\Bbb R^N)$，$q\in (\frac{3N}{N-1}, \infty)$是平凡的，$v=0$。对于定常Navier-斯托克斯方程的解，满足$v(x)\to 0$作为$|x|\to \infty$，条件$\int_{\Bbb R^3} |Δv|^{\frac65} dx<\infty$比重要的D-条件$\int_{\Bbb R^3} |\nabla v|^2 dx <\infty$更强，但两者具有相同的标度性质，这意味着$v=0$。在附录中我们直接利用自相似欧拉方程重新证明了定理1.1（\cite{cha0}）。
Liouville Theorem for 2D Navier-Stokes equations in Half Space
本文证明了半空间中二维Navier-斯托克斯方程的弱有界古解的Liouville定理。
Remarks on Liouville type theorems for the 3D steady axially symmetric Navier-Stokes equations
本文研究了三维定常轴对称Navier-斯托克斯方程，在速度或涡量满足某些先验衰减假设的条件下，得到了Liouville型定理.
Regularity criteria and Liouville Theorem for 3D inhomogeneous Navier-Stokes flows with vacuum
本文研究了三维非齐次真空Navier-Stokes流，在Lorentz空间中，当光滑解$(ρ, \mathbf{u})$满足适当条件时，得到了正则性准则和Liouville型定理.
Remarks on Liouville Type Theorems for Steady-State Navier-Stokes Equations
在一定的假设下证明了定常Navier-斯托克斯方程的Liouville型定理。这些假设的动机的条件，出现在Liouvile型定理的热方程与给定的发散自由漂移。
A Liouville Type Theorem for Steady-State Navier-Stokes Equations
证明了定常Navier-斯托克斯方程的Liouville型定理。它是由带漂移的斯托克斯方程的相应定理推出的。漂移被认为属于某个Morrey空间。
Sufficient conditions on Liouville type theorems for the 3D steady Navier-Stokes equations
我们的目的是证明三维定态Navier-斯托克斯方程的Liouville型定理，条件是速度场属于某些Lorentz空间.相应的语句包含几个已知的结果作为一个特定的情况。
Liouville Type Theorem for Stationary Navier-Stokes Equations
证明了定常Navier-Stokes方程组在速度场整体属于$L_6$和$BM0^{-1}$的$R^3$中的光滑解必为零.
Conditional Liouville theorems for the Navier-Stokes equations
本文通过新方法证明了Navier-Stokes方程的条件Liouville定理，改进了速度反导数的假设条件。
On the Liouville type theorems for self-similar solutions to the Navier-Stokes equations
证明了Navier-斯托克斯方程自相似解的Liouville型定理。我们的一个结果推广了Nečas-Ružička-Šverak和Tsai以前的结果。利用Liouville型定理，我们还消除了Navier-斯托克斯方程的对称自相似爆破的情形，该方程的剖面属于具有$p> \frac{3}{2}$的$L^{p, \infty} (\Bbb R^3)$.
On the nonexistence of time dependent global weak solutions to the compressible Navier-Stokes equations
本文证明了在$\Bbb R^N, N\geq 3,$中等熵气体的可压缩Navier-斯托克斯方程整体弱解的不存在性，其中压力定律由$p(ρ)=aρ^γ, $ $a>0, 1<γ\leq \frac{N}{4}+\frac12$给出.在这种情况下，如果初始数据满足$\int_{\Bbb R^N} ρ_0 (x)v_0 (x)\cdot x dx >0$，则不存在满足可积性条件$ ρ|x|^2 \in L^1_{\mathrm{loc}} (0, \infty; L^1 (\Bbb R^N))$和$ v\in L^1_{\mathrm{loc}} (0, \infty; L^{\frac{N}{N-1}} (\Bbb R^N))$的有限能量整体弱解。
Wiener Algebras Methods for Liouville Theorems on the Stationary Navier-Stokes System
本文利用维纳代数方法，为不可压缩流体静止纳维-斯托克斯系统建立了利奥维勒定理的充分条件。
Remarks on a Liouville-type theorem for Beltrami flows
本文给出了一个简单、简短的初等证明：如果$v$是$\mathbb R^3$中能量有限的Beltrami流，则$v=0$ .在Beltrami流满足$v\in L^\infty _{loc} (\Bbb R^3) \cap L^q(\Bbb R^3)$与$q\in [2, 3)$，或$|v(x)|=O(1/|x|^{1+\varepsilon})$对于某些$\varepsilon >0$的情况下，我们提供了一个不同的，简单的证明$v=0$ .
Liouville theorems for the Stationary Navier Stokes equation on a hyperbolic space
三维定常Navier-斯托克斯方程在有限Dirichlet范数下的解是一个公开问题。本文在三维双曲空间上回答了类似的问题。我们还讨论了其他维度和更一般的流形。
Some Liouville theorems for stationary Navier-Stokes equations in Lebesgue and Morrey spaces
三维Navier-斯托克斯方程的Leray解的唯一性是一个具有挑战性的公开问题。本文将研究三维定常Navier-斯托克斯方程的这一问题，并在Lebesgue空间和Morrey空间的一些附加假设下，证明平凡解U = 0是唯一解。这种类型的结果被称为刘维定理。
Liouville-type theorems for steady solutions of the barotropic Navier--Stokes system
本文研究了静态正压 Navier--Stokes 系统零速度解的唯一性问题，建立了无界物理空间中的 Liouville 型定理。
On Liouville Type of Theorems to the 3-D Incompressible Axisymmetric Navier-Stokes Equations
Liouville型定理在研究三维Navier-斯托克斯方程整体正则性的Blow-up方法中起着关键作用。本文在对涡旋分量速度$u_θ$作适当的尺度不变性假设下，证明了三维轴对称带涡旋斯托克斯方程的Liouville型定理。已知$ru_θ$满足最大值原理。$u_θ$中的假设对于进一步研究三维不可压轴对称Navier-斯托克斯方程的整体正则性是自然和有用的。
A remark on the Liouville problem for stationary Navier-Stokes equations in Lorentz and Morrey spaces
定常Navier-Stokes方程斯托克斯方程的Liouville问题是一个具有挑战性的开放问题，最近已有一些研究成果。我们证明了这些方程的Liouville型定理，速度场属于某些Lorentz空间，然后在更一般的设置Morrey空间。我们的定理对应于改进的一些最近的结果在这个问题上，并包含一些著名的结果作为一个特殊的情况。
A Liouville theorem for the planer Navier-Stokes equations with the no-slip boundary condition and its application to a geometric regularity criterion
本文建立了半平面中Navier-斯托克斯方程在无滑移边界条件下向后整体解的Liouville型结果。没有对涡量和速度场的空间衰减作任何假设。我们用涡量方程代替原来的Navier-斯托克斯方程。作为应用，我们推广了三维半空间中Navier-斯托克斯方程在无滑移边界条件下的几何正则性准则。
A Liouville Theorem for Axi-symmetric Navier-Stokes Equations on $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{T}^1$
在$(-\infty, 0] \times (\mathbb{R}^2 \times \mathbb{T}^1)$上建立了轴对称不可压Navier-斯托克斯方程有界温和古解的Liouville定理.这是一个步骤，以完全解决猜想$(-\infty, 0] \times \mathbb{R}^3$，这是在\cite{KNSS}描述潜在的奇异性结构的柯西问题。
Remarks on the asymptotically discretely self-similar solutions of the Navier-Stokes and the Euler equations
我们研究了不可压Navier-Stokes方程和Euler方程的自相似型爆破。将离散（后向）自相似解和渐近自相似解的概念推广到局部渐近离散自相似解。我们证明了对于三维斯托克斯方程，如果爆破轮廓是属于$C^1(\Bbb R ; L^3(\Bbb R^3)\cap C^2 (\Bbb R^3))$的时间周期函数，则不存在这种局部渐近离散自相似爆破.对于三维欧拉方程，我们表明，渐近离散自相似爆破的情况下，排除了爆破的轮廓满足适当的可积性条件。
Relative decay conditions on Liouville type theorem for the steady Navier-Stokes system
本文在速度、压力和水头相对衰减的假设下，证明了$\Bbb R^3$中定常Navier-Stokes方程的Liouville型定理。更精确地说，我们证明了满足$u(x) \to 0$ as $|x|\to +\infty$和狄利克雷积分有限条件$\int_{\Bbb R^3} | \nabla u|^2 dx <+\infty $的定常Navier-Stokes方程的任何光滑解$(u,p)$是平凡的，如果$|u|/|Q|=O(1)$或$|p|/|Q| =O(1) $ as $|x|\to \infty$，其中$|Q|=\frac12 |u|^2 +p$是压头.
A Liouville type theorem for axially symmetric $D$-solutions to steady Navier-Stokes Equations
本文研究三维定常Navier-斯托克斯方程的轴对称$D$ -解.我们证明了如果速度$u$对$z$像$|x'|^{-(\frac{2}{3})^+}$一样均匀衰减，或者涡度$ω$对$z$像$|x'|^{-(\frac{5}{3})^+}$一样均匀衰减，则$u$为零。这里$|x'|$表示到轴的距离。
Logarithmic improvement of a Liouville-type theorem for the stationary Navier--Stokes equations
本文改进了 stationary Navier-Stokes 方程的 Liouville 定理，基于速度场在无穷远处的 $L^p$ 增长性质，引入对数因子提升结果。
On some Liouville Type Theorems for the Compressible Navier-Stokes Equations
本文证明了$d$维可压缩Navier-斯托克斯方程定常解的几个Liouville型结果.特别是，我们表明，当尺寸$d \geqslant 4$，自然要求$ρ\in L^{\infty} (\mathbbm{R}^d)$，$v \in \dot{H}^1 (\mathbbm{R}^d)$足以保证解决方案是平凡的。对于维度$d=2,3$，我们假设额外条件$v \in L^{\frac{3d}{d-1}}(\mathbb R^d)$。这改进了Chae（2012）的最近结果。
On local Type I singularities of the Navier-Stokes equations and Liouville theorems
我们证明了Navier-斯托克斯方程的适当弱解具有I型奇异性当且仅当存在一个满足I型衰减条件的非平凡的温和有界古解.主要的新颖性是在相反的方向，这是基于缩小的正则解产生一个奇异的想法。用类似的方法，我们证明了关于在$L^3$中有界的Navier-斯托克斯方程沿向后时间序列的古解的Liouville定理.
Liouville type theorems for stationary Navier-Stokes equations with Lebesgue spaces of variable exponent
本文研究稳态三维Navier-Stokes方程的Liouville型定理，通过变指数Lebesgue空间为弱解唯一性提供新的灵活性条件。
Liouville theorem of axially symmetric Navier-Stokes equations with growing velocity at infinity
在本文\cite{KNSS:1}中，作者提出了如下猜想：{ \it三维轴对称Navier-斯托克斯方程的任何有界古温和解是常数。}并在无旋的情况下证明了该解的存在性。本文的目的是改进他们的结果，允许该解决方案可以增长的权力小于1的距离，以原点。此外，我们将表明，这样的权力是最佳的证明刘维尔型定理，因为我们可以找到反例的Navier-斯托克斯方程，使刘维尔定理失败，如果解决方案可以线性增长。
New Liouville type theorems for the stationary Navier-Stokes equations
本文通过建立 Dirichlet 积分的频率空间新公式，证明 $\mathbb{R}^3$ 中稳态 Navier-Stokes 方程的新 Liouville 型定理，并推广至分数阶情形、解决 $s=5/6$ 的问题。
Liouville type theorems for 3D stationary Navier-Stokes equations in weighted mixed-norm Lebesgue spaces
本文研究了$3D$定常Navier-斯托克斯方程。在混合范数Lebesgue空间和加权混合范数Lebesgue空间中建立了几个关于解的Liouville型定理。特别地，我们证明了在混合范数Lebesgue空间中的一些充分条件下，定常Navier-斯托克斯方程的解恒为零。这一结果涵盖了重要的情况下，解决方案可能会衰减到零不同的速度在不同的空间方向，其中一些速度可能会显着缓慢。在非混合范数的情况下，结果恢复了可用的结果。在对解的支撑作了一些几何假设的情况下，本文还给出了加权混合范数Lebesgue空间中解的其它几个重要的Liouville型定理。为了证明这些结果，我们建立了Navier-斯托克斯方程的混合模和加权混合模估计的一些新结果.所有这些结果都是新的，可以在其他研究中使用。
Liouville theorems for the Navier-Stokes equations and applications
研究了Navier-斯托克斯方程的有界古解.这些都是为过去所有时间定义的解决方案。在两个空间维度，我们证明了这样的解决方案要么是常数或时间的函数，这取决于可采纳解的确切定义。一般的三维问题似乎超出了现有的技术，但部分结果可以得到的情况下，轴对称的解决方案。我们将这些结果应用到轴对称解的潜在奇点形成的一些情况。
Liouville-type theorems for steady Navier-Stokes system under helical symmetry or Navier boundary conditions
本文证明定常 Navier-Stokes 方程组在螺旋对称及板层 Navier 边界条件下的 Liouville 型定理，关键在于利用 Saint-Venant 型估计刻画非平凡解 Dirichlet 积分的增长。
Localized energy equalities for the Navier-Stokes and the Euler equations
设$(v,p)$是Navier-Stokes（Euler）方程在$\Bbb R^N\times (0, T)$，$N\geq 3$上的速度和压力的光滑解对。我们设置伯努利函数$Q=1/2 |v|^2 +p$。在适当的无穷远衰变条件下，我们证明了对几乎所有定义在$(0, T)$上的$α(t)$和$β(t)$，存在\bqn && \int_{\{α(t)< Q(x,t)<β(t)\}}（1/2 \frac{\partial}{\partial t} |v| ^2 + v| ø| ^2）dx =ν \int_{Q(x,t)= β(t)}| \nabla Q| dS && {1.7 in}-ν \int_{Q(x,t)= α(t)}| \nabla Q|其中$ø=$旋度$v$是涡度。这表明，在伯努利函数的两个能级之间的每个压缩区域中，除了由于拟能引起的能量耗散之外，能量通过具有较高能级的能级超曲面流入该区域，并且能量通过具有较低能级的能级超曲面流出该区域。通过$α(t)\downarrow\inf_{x\in \Bbb R^N} Q(x,t)$和$ β(t)\uparrow\sup_{x\in \Bbb R^N} Q(x,t)$，我们恢复了著名的能量等式，$ 1/2\frac{d}{dt} \int_{\Bbb R^N} |v|^2=-ν\int_{\Bbb R^N} |ø|^2 dx.$…
Liouville type theorems for the fractional Navier-Stokes equations without the integrability condition of velocity in $\mathbb{R}^3$
本文在速度无需可积性条件下，利用Lizorkin乘子定理和Coifman-McIntosh-Meyer型交换子估计，证明了三维分数阶Navier-Stokes方程在无穷远处一致趋于非零常向量的光滑解必为平凡解。
A short note on the Liouville problem for the steady-state Navier-Stokes equations
定常Navier-斯托克斯方程的平凡解（零解）的唯一性是一个有趣的问题，最近已有几篇研究成果。这些结果也被称为稳态Navier-斯托克斯方程的Liouville型问题。在$L^p-$空间的设置中，当$3\leq p \leq 9/2$时，已知这些方程的平凡解是唯一的。在本文中，我们将上述结果推广到参数$p$的其他值。更精确地说，我们证明了速度场必须为零，只要它属于具有$3/2<p<3$的$L^p -$空间。此外，对于$9/2<p<+\infty$值的大区间，我们还得到了关于负阶Sobolev空间$\dot{H}^{-1}$在附加假设下速度为零的部分结果.这最后一个结果有一个有趣的推论时，研究刘维尔问题的自然能量空间中的这些解决方案$\dot{H}^{1}$。
Liouville-type theorem for the stationary inhomogeneous Navier-Stokes equations
本文针对三维稳态非齐次 Navier-Stokes 方程，通过两次频率局部化获得 Dirichlet 能量局部公式，并据此估计 $u$ 与 $ρ$ 的不同频率部分，证明新的 Liouville 型定理。
Refined Liouville-Type Theorems for the Stationary Navier--Stokes Equations
研究三维 stationary Navier-Stokes 方程的光滑解，基于 Cho 等人的工作，引入新的积分性准则，证明当解的 $L^p$ 增长率在 $3/2 < p < 3$ 范围内有界时，解必须为平凡解。
On an almost sharp Liouville type theorem for fractional Navier-Stokes equations
研究了三维定常不可压分数阶Navier-斯托克斯方程解的存在性、Liouville型定理和正则性结果：在这种情形下，通常的Laplacian算子被其分数阶幂$(-Δ)^{\fracα{2}}$和$0<α<2$所取代.通过应用不动点论证，可以在索伯列夫空间$\dot{H}^{\fracα{2}}(\mathbb{R})$中得到弱解，如果我们增加一个额外的可积性条件，用Lebesgue空间表示，那么我们可以证明对于$α$的某些值，零函数是唯一的光滑解。对于$3/5<α<5/3$，附加的可积性条件几乎是尖锐的.此外，在$1<α<2$的情况下，在某些条件下建立了正则性的增益，然而，在$0<α\leq 1$的制度中的正则性的研究似乎是一个开放的问题。
Asymptotic behavior and Liouville-type theorems for axisymmetric stationary Navier-Stokes equations outside of an infinite cylinder with a periodic boundary condition
本文研究无限长圆柱外无旋、轴向周期的定常 Navier-Stokes 流，在广义有限 Dirichlet 积分条件下建立涡量逐点衰减估计，并证明 Liouville 型定理。
Notes on Liouville-type theorems for the 3D stationary Navier-Stokes equations
本文在变量 Lebesgue 空间框架下，扩展了 Chamorro 和 Vergara-Hermosilla 的 Liouville 型定理，发现两个新的非可忽略区域，使定理在某些 p(·) 假设下仍成立。
Saint-Venant Estimates and Liouville-Type Theorems for the Stationary Navier-Stokes Equation in $\mathbb{R}^3$
本文通过Saint-Venant型估计刻画非平凡解Dirichlet能量的增长，在关于速度场势函数$L^s$平均振荡增长或无穷远处压头相对衰减的较弱条件下，证明了$\mathbb{R}^3$中定常Navier-Stokes方程的两个Liouville型定理。
Liouville type theorems for stationary Navier-Stokes equations
本文证明了三维不可压Navier-斯托克斯方程在全空间、半空间或周期板上的光滑定常解必为零，条件是对某些$0 \le δ\le 1<L$和$q=6(3-δ)/(6-δ)$，$$\liminf_{R \to \infty} \frac 1R \|u\|^{3-δ}_{L^{q}(R<|x|<LR)}=0.$$.我们还证明了允许收缩半径比$L= 1+R^{-α}$的充分条件.类似的结果保持在一个板与零边界条件假设更强的衰减率。我们不假设速度的全局界。关键是在半径比$L$任意接近1的情况下估算环空中的局部压力。
Liouville-type theorems for Axisymmetric solutions to steady Navier-Stokes system in a layer domain
本文针对层状区域中稳态 Navier–Stokes 系统的轴对称解，在无滑移与 Navier 边界条件下，借助 Saint-Venant 型 Dirichlet 积分增长估计，证明了有界解和 D-解在出口宽度增长受限时的 Liouville 型平凡性结论。
Finite energy of generalized suitable weak solutions to the Navier-Stokes equations and Liouville-type theorems in two dimensional domains
引入广义合适弱解的概念，首先证明了Navier-斯托克斯方程的这类弱解的能量不等式在全空间$\mathbb{R}^n$上的有效性.虽然我们需要对压强有一定的增长条件，但我们可以把这类方程处理成除了初速度以外的无穷大能量。接下来我们处理二维无界区域中的涡度方程。在无穷远点渐近性态的一定条件下，证明了解的涡度及其梯度都是整体平方可积〔的〕。作为应用，得到了Loiuville型定理.
On Liouville type theorems for the stationary MHD and Hall-MHD systems
本文证明了$\Bbb R^3$中定态磁流体力学（MHD）系统的Liouville型定理。设$(v, B, p)$是$\Bbb R^3$中定常MHD方程的光滑解。证明了若存在光滑的矩阵值势函数${\bf Φ}$，${\bf Ψ}$，使得$ \nabla \cdot {\bf Φ} =v$和$\nabla \cdot {\bf Ψ}= B$，其$L^6$平均振荡在无穷大附近具有一定的增长条件，即$$-\!\!\!\!\!\int_{B(r)} |\mathbfΦ - \mathbfΦ_{ B(r)} |^6 dx + -\!\!\!\!\!\int_{B(r)} |\mathbfΨ- \mathbfΨ_{ B(r)} |^6 dx\le C r\quad \forall 1< r< +\infty,$$，则$v=B= 0$和$p=$为常数.在附加$$r^{-8}\int_{B(r)}|B-B_{B(r)}|^6dx\to 0\quad \mathrm{as}\quad r\to+\infty,$$的假设下，类似的结果也适用于霍尔-磁流体系统。
Liouville Theorems for Stationary Navier-Stokes Equations via the Radial Velocity Component
本文研究静止纳维-斯托克斯方程在三维空间中的李普希茨型结果，证明在仅对速度径向分量施加积分条件时，任何$\dot{H}^1(\mathbb{R}^3)$解都是平凡的，并在变指数设定中建立唯一性结果。
On Liouville type theorem for a generalized stationary Navier-Stokes equations
本文证明了非牛顿流体模型$\Bbb R^3$中广义定常Navier-Stokes方程组的Liouville型定理，其中Laplacian项$Δu$被相应的非线性算子$\bA_p( u)=\nabla \cdot ( |\bD(u)|^{p-2} \bD(u))$替换为$ \bD(u) = \frac{1}{2} (\nabla u + (\nabla u)^{ \top})$，$3/2<p< 3$.在$3/2< p\le 9/5$的情况下，我们证明了满足$ \liminf_{R \rightarrow \infty} |u_{ B(R)}| =0$的适当弱解$u\in W^{1, p}(\Bbb R^3)$是平凡的，即$u\equiv 0$。另一方面，对于$9/5<p<3$，我们将刘维尔型定理的条件强加于势函数：如果存在矩阵值势函数$\bV$使得$ \nabla \cdot \bV =u$，其$L^{\frac{3p}{2p-3}} $平均振荡在无穷远处具有以下增长条件，$$ \intmw_{B(r)} |\bV- \bV_{ B(r)} |^{\frac{3p}{2p-3}} dx \le C r^{\frac{9-4p}{2p-3}}\quad \forall 1< r< +\infty, $$则$u\equiv 0$。在Navier-斯托克斯方程的情况下，$p=2$，这改进了…
Improved Liouville theorems for axially symmetric Navier-Stokes equations
本文考虑不可压Navier-斯托克斯方程古解的Liouville性质。在二维和三维无旋轴对称情形下，证明了光滑古温和解的Liouville定理：当涡量场满足一定条件时，速度场$v$为常数，且$v$对空间变量为次线性，当$v$对空间变量为线性时，给出了反例.在二维和三维轴对称无旋情况下，涡量场分别满足$\lim\limits_{|x|\rightarrow +\infty}|w(x,t)|=0$和$\lim\limits_{r\rightarrow +\infty}\frac{|w|}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}=0$一致的条件。当解是轴对称的且有非平凡涡旋时，我们证明了如果$Γ=rv_θ\in L^\infty_tL^p_x(\mathbb{R}^3\times(-\infty,0))$其中$1\leq p<\infty$，则有界古温和解是常数.
A Liouville Theorem for the Axially-symmetric Navier-Stokes Equations
令$v(x, t)= v^r e_r + v^θe_θ+ v^z e_z$为三维不可压轴对称Navier-Stokes方程斯托克斯方程的解。用$b = v^r e_r + v^z e_z$表示径向-轴向矢量场。在$b$上的一般标度不变条件下，证明了量$Γ= r v^θ$在$r = 0$，$t = 0$上是Hölder连续的.作为应用，我们给出了Koch-Nadirashvili-Seregin-Sverak在\cite{KNSS}和Seregin-Sverak在\cite{SS}中关于Liouville性质的一个猜想的部分证明.作为另一个应用，我们证明了如果$b \in L^\infty([0, T], BMO^{-1})$，则$v$是正则的.这为Koch和Tataru在\cite{KochTataru}中提出的关于轴对称情形下Navier-斯托克斯方程的唯一性和正则性的一个开放性问题提供了答案。
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