Divisor class groups of graded hypersurfaces
Anurag K. Singh, Sandra Spiroff
我们证明了如何利用有理系数Weil因子理论和Watanabe的相关结果得到除子类群的一些经典计算。
We demonstrate how some classical computations of divisor class groups can be obtained using the theory of rational coefficient Weil divisors and related results of Watanabe.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On associated graded modules of maximal Cohen-Macaulay modules over hypersurface rings-II
如果$(A,\mathfrak{m})$是一个维数为$d$的超曲面环，其维数为$e(A)=3$ .设$M$是一个具有$μ(M)=4$的MCM $A$ -模，则证明了$\depth{G(M)}\geq d-3$ .
The divisor class groups and the graded canonical modules of multi-section rings
我们将描述正规投射簇X的多截环的除子类群和分次标准模以及Weil除号子D_1，.在温和条件下，X上的D_s。在证明中，我们利用了Krull域的理论和Hashimoto等变扭逆函子。
On associated graded modules of maximal Cohen-Macaulay modules over hypersurface rings
设$(A,\mathfrak{m})$是一个维数为$d$的超曲面环，而$M$是一个MCM $A-$模，其上有红色的$(M)\leq 2$和$μ(M)=2$或$3$，则证明了深度为$G(M)\geq d-μ(M)+1$ .如果$e(A)=3$和$μ(M)=4$，那么在这种情况下，我们已经证明了深度为$G(M)\geq d-3$。接下来我们考虑当$e(M)=μ(M)i(M)+1$和证明深度$G(M)\geq d-1$。当$A = Q/(f)$，其中$Q = k[[X_1,\cdots, X_{d+1}]]$，然后我们给估计$\depth G(M)$在$M$的最小介绍。本文首次系统地研究了超曲面环上MCM模的相伴分次模的深度。
On associated graded modules of maximal Cohen-Macaulay modules over hypersurface rings
设$A=Q/(f)$是一个维数为$d+1$的完备正则局部环，对于某些$i\geq 2$和$M$，$f\in \mathfrak{n}^i\setminus\mathfrak{n}^{i+1}$是一个具有$e(M)=μ(M)i(M)+1$的MCM $A-$模，则我们证明了深度为$G(M)\geq d-1$ .如果$(A,\mathfrak{m})$是一个维数为$d$的完备超曲面环，它具有无穷剩余域和$e(A)=3$，则我们证明了$M$是一个MCM $A$ -模，它具有$μ(M)=2$或$3$，那么我们的深度为$G(M)\geq d-μ(M)+1$ .本文首次系统地研究了超曲面环上MCM模的相伴分次模的深度。
The cone of Betti diagrams over a hypersurface ring of low embedding dimension
给出了标准分次超曲面环k[x，y]/上Betti图锥的完整刻画，<q>其中q是齐次二次曲面.我们还提供了一个有限的算法分解贝蒂图，包括图的无限投射维数，到纯图。Boij-Soederberg理论完全描述了锥的Betti图在一个标准的分次多项式环，我们的结果提供了第一个例子的另一个分次环锥的Betti图是完全理解的。
The Hodge Numbers of Divisors of Calabi-Yau Threefold Hypersurfaces
证明了复曲面簇中Calabi-Yau三重超曲面的无平方因子的Hodge数的一个公式。欧几里得膜包裹因子影响IIB型弦论、M-理论和F-理论的卡-丘紧化的真空结构。确定除数$D$上的欧几里德膜的非微扰耦合需要计算费米子零模，这取决于霍奇数$h^i({\cal{O}}_D)$。设$X$是复曲面簇$V$中的光滑Calabi-Yau三重超曲面，$D$是$V$的无平方因子对$X$的限制.我们给出了组合数据下的$h^i({\cal{O}}_D)$公式。此外，我们构造了一个CW复形$\mathscr{P}_D$，使得$h^i({\cal{O}}_D)=h_i(\mathscr{P}_D)$ .我们描述了一个有效的算法，使第一次在大$h^{1,1}$的这种因子的层上同调计算成为可能。作为例子，我们用$h^{1,1}=491$计算了一类三重因子的Hodge数.我们的结果是一个系统的计算在Calabi-Yau超曲面的欧几里德膜超势的一步。
The reduced divisor class group and the torsion number
本文引入了正规Cohen--Macaulay分次域的约化除子类群及挠数，并针对正规仿射半群环进行了详细研究。
A finiteness property of graded sequences of ideals
给定一个光滑簇$X$上的分次理想序列（a_m），它具有有限的对数典范阈值，假设对每个m，X上都有一个因子E_m，它计算a_m的对数典范阈值，且因子E_m的对数偏差有界.我们证明了在这种情况下因子集E_m是有限的。
Homogeneity of zero-divisors, units and idempotents in a graded ring
本文受Kaplansky猜想启发，证明了分级环（尤其是monoid-rings）的若干重要结果，将群环 $K[G]$ 的Kaplansky零因子猜想推广至无挠群 $G$ 的 $G$-分级环情形。
Free divisors, blowup algebras of Jacobian ideals, and maximal analytic spread
自由因子是超曲面的一个重要分支，在过去的15年里得到了广泛的研究。我们的主要目标是引入四个新的齐次自由因子的家庭和调查中心方面的爆破代数的雅可比理想。例如，对于所有的家庭里斯代数和它的特殊纤维被证明是科恩-麦考利-一个理想的功能在爆破代数理论。此外，我们提出的问题时的雅可比理想的（不一定是免费的）多项式的解析传播是最大的，我们的工具，从上同调的渐近深度来描述这个属性。此外，作为应用，我们还给出了同态因子的一个理想理论同调准则，即，极映射是双有理的超曲面。
Classification of 2-dimensional graded normal hypersurfaces with $a(R)\le 6$
设k是任意特征的域，R = k[x，y，z]/（f）是分次正规超曲面.我们称（a，b，c; h）= deg（x，y，z;f）为R的类型，其中gcd（a，b，c）=1。则a-不变量a（R）由h -（a+b+c）给出。这种R（或f）的分类是由许多作者（阿诺德，齐藤，Wagreich，.）。本文利用正规分次环的Dolgachev-Pinkham-Demazure构造，利用交换环理论方法，对固定的a（R）满足$- 1 \le a(R) \le 6$的R的可能类型进行了分类.我们还表明，如果我们固定$a(R) \ge 0$，那么R的可能类型的数量是有限的。
Exact pairs of homogeneous zero divisors
设S是域k上的标准分次Artin代数.我们确定S的Hilbert函数的约束，这是由假设S包含一个确切的齐次零因子对。作为结果，我们证明了，如果S是一个压缩的水平代数，那么S不包含任何齐次零因子。
Betti numbers of the Frobenius powers of the maximal ideal over a general hypersurface
本文的主要目的是证明在正特征$p$中，对于度与$p$的奇偶性相反的三元超曲面的非常一般的选择，齐次极大理想的Frobenius幂的极小分解的周期尾中的分次贝蒂数的稳定性.我们还发现了一些矩阵分解的结构给出了解决方案。我们实现了这一点，通过开发一种方法，用于获得的程度的发电机的定义理想的$\mathfrak{c}$压缩Gorenstein Artin分次代数从它的脚柱度，其中$\mathfrak{c}$是Frobenius权力的齐次极大理想。作为应用，我们还利用齐次极大理想的Frobenius幂得到了超曲面环的Hilbert-Kunz函数以及超曲面环的逆元的Castelnuovo-Mumford正则性.
Determining the Betti numbers of $R/(x^{p^e},y^{p^e},z^{p^e})$ for most even degree hypersurfaces in odd characteristic
针对奇特征域上多数偶次超曲面，结合link-$q$-压缩多项式相关研究，确定了其极大理想弗罗贝尼乌斯幂商环的分次贝蒂数，并证明不同幂次商环在高同调次数下的贝蒂数仅差常数平移。
de Rham cohomology of $H^1_{(f)}(R)$ where $V(f)$ is a smooth hypersurface in $\mathbb{P}^n$
设$K$是特征为零的域$R = K[X_1,\ldots,X_n]$。设$A_n(K) = K<X_1,\ldots,X_n, \partial_1, \ldots, \partial_n>$是$K$上的$n^{th}$ Weyl代数.我们考虑的情况下，$R$和$A_n(K)$是通过给$°X_i = ω_i $和$°\partial_i = -ω_i$的$i =1,\ldots,n$（这里$ω_i$是正整数）。设置$ω= \sum_{k=1}^{n}ω_k$。设$I$是$R$中的分次理想。由结果由于Lyubeznik的局部上同调模块$H^i_I(R)$是完整的$A_n(K)$ -模块的每个$i \geq 0$。当$V(f)$是$\mathbb{P}^n$中的光滑超曲面（等价于$A = R/(f)$是孤立奇点）时，计算了$j \leq n-2$的de Rham上同调模$H^j(\mathbb{\partial}; H^1_{(f)}(R))$.
Cochordal zero divisor graphs and Betti numbers of their edge ideals
本文通过引入类型序列计算 cochordal 图边理想的分级 Betti 数，并分类了使 $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ 零因子图为 cochordal 的正整数 $n$，确定了其边理想的 Betti 数。
On the degree of the singular subscheme of hypersurfaces in ${\mathbb P}^n$
本文通过极小自由分解的Jacobian代数格雷德贝蒂数，给出超曲面奇异子方案的维数和次数的显式公式，并推导出格雷德贝蒂数需满足的新限制。
Homogeneity of zero-divisors, units and colon ideals in a graded ring
本文将Kaplansky零因子猜想和单位猜想推广至G-分次环，证明了全序群分次环中零因子、可逆元素及冒号理想的齐次性，并推广了McCoy和Armendariz的经典定理。
On factoriality of Cox rings
广义Cox构造将代数簇与一个显著的不变量--它的全坐标环或Cox环联系起来。本文给出了当簇的除子类群是自由生成的时Cox环的阶乘性的一个新证明。证明是基于一个概念的分级factorality。证明了如果除子类群有挠，则Cox环仍是阶乘分次的，但阶乘性可能丧失.
The implicit equation of a multigraded hypersurface
本文研究了有理映射$ϕ: X --> P^n$的象的隐式化问题，其中$T$是由其Cox环$R$定义的维数为$n-1$的复曲面簇.设$I:=(f_0,...,f_n)$是$R$的$n+1$齐次元素。我们将$ϕ$的基轨迹$V(I)$爆破，并用对称代数$Sym_R(I)$逼近这个爆破的Rees代数$Rees_R(I)$。在适当的假设下，我们提供了$Sym_R(I)$的$\Z.$的分辨率，由$X$的环面不变因子群$Cl(X)$分级，使得分级链的行列式$\det((\Z.)_μ)$给出了隐式方程的倍数，对于适当的$μ\in Cl(X)$。实际上，我们计算$Cl(X)$中的一个区域，该区域取决于选择$μ$的$Sym_R(I)$的正则性。我们还给出了可能出现在$\det((\Z.)_μ)$的其他因素的几何解释。当$X$是一个多投射空间时，给出了非常详细的描述。
Divisors on matroids and their volumes
代数几何中的经典体积多项式度量光滑射影簇上的充足（和nef）因子的次数。我们引入了拟阵的一个类似体积多项式，并给出了一个完整的组合公式。对于一个可实现拟阵，我们从而获得了一个显式的经典体积多项式的相关精彩紧化。然后，我们引入了一个新的不变量称为体积的拟阵作为其体积多项式的一个特殊的特殊化，并讨论了它的代数几何和组合性质的分次线性级数的射影空间的爆破。
Orlov's Equivalence and Maximal Cohen-Macaulay Modules over the Cone of an Elliptic Curve
我们描述了一种方法做计算与Orlov的等价性之间的有界导出范畴的某些超曲面和稳定范畴的分次矩阵分解的多项式描述这些超曲面。在代数闭域上光滑椭圆曲线的情形下，我们描述了秩为1的不可分解分次矩阵分解。由于每一个不可分解的极大Cohen-Macaulay模在完成一个光滑的三次曲线是分次的，我们得到明确的描述，所有不可分解的秩一矩阵因式分解这样的潜力。最后，我们解释了如何计算所有不可分解的矩阵分解的高秩与计算机代数系统的帮助。
Generalized Knörrer's Periodicity Theorem
设$A$是Noether Koszul Artin-Schelter正则代数，$f\in A_2$是$A$的中心正则元.商代数$A/(f)$通常称为（非交换）二次超曲面。本文利用Clifford变形研究了由张量积得到的二次超曲面。引入了单分次孤立奇点的概念，证明了若$B/(g)$是0型单分次孤立奇点，则极大Cohen-Macaulay模的稳定范畴的三角范畴$\underline{\text{mcm}}\,A/(f)\cong\underline{\text{mcm}}\,(A\otimes B)/(f+g)$是等价的.这个结果可以看作是Knörrer周期性定理的推广。作为应用，我们研究了非对易二次曲线$A/(f)$的双支覆盖$(A/(f))^\#=A[x]/(f+x^2)$.
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