Upper bound on the number of collisions of pinned billiard balls
我们考虑“钉球”系统，即，具有固定位置和伪速度的球。伪速度的变化规律与运动球之间的全弹性碰撞速度的变化规律相同。对于不同的钉扎球对的可能的伪碰撞的时间选择在一个外生的方式。本文给出了$d$维空间中$n$钉扎球系统的最大伪碰撞次数的一个明确的上界。证明是基于对折叠的分析，即，将沿着折痕折叠一张纸的想法形式化的映射。本文证明了一个点的轨道的大小的上界。
2022-03-17 math.DS
What Do Bouncing Balls Tell Us About the Universe? A Journey into Billiard Systems
本文以台球系统为研究对象，探讨其在经典（如台球桌）和量子（如电子尺度）场景下的表现，分析不同桌形引发的规则周期性或混沌行为，揭示该简单系统对理解经典与量子尺度自然行为的基础价值。
2025-08-25 math.DS
Cutting sequence and Sturmian sequence in billiard
台球的获胜规则是将桌上的台球打入指定的球洞。我们试图研究台球的轨迹，这样我们就可以预测球的方向。对于合理的边坡，通过设置方环得到开挖顺序。通过剪切和翻转对切割序列进行简化，得到了轨迹斜率与切割序列之间的转换关系。对于不合理的斜坡，我们研究了斯特阶序列的一些性质，这有助于我们区分切割序列和斯特阶序列。总之，在不同坡度的情况下，我们采用不同的序列进行研究。
2022-10-09 math.DS
Capillary floating and the billiard ball problem
我们建立了毛细管之间的连接浮动在中性平衡和台球问题。这使我们能够减少问题的浮动在中性平衡在任何方向与规定的接触角无限均匀的圆柱体的问题有关台球焦散线的正交横截面。我们解决了台球问题。作为一个应用程序，我们描述了可能的接触角，并展示了一个无限的家庭真正的分析非圆形的圆柱体，浮动在中性平衡，在任何方向与恒定的接触角。
2010-12-11 math.DG math.DS
Computing Periodic Billiard Orbits in $L^p$ Balls via Newton's Method and Smale's $α$-Criterion
本研究提出一种结合牛顿法与Smale α准则的计算方法，可高效寻找并严格验证$L^p$球中的周期台球轨道，实验发现了远超伯克霍夫定理保证数量的轨道及相关结构规律。
2025-07-29 math.DS
First integrals of dense hard-ball gases
Mathematical Sciences Institute, Australian National University（澳大利亚国立大学数学科学学院）
本文针对Kozlov提出的台球系统动量多项式型首次积分的两个问题展开研究，明确了有界多面体台球积分的位置独立性，以及矩形箱硬球气体在碰撞图连通时首次积分与总动能多项式的关系。
2026-09-01 math.DS
Flow-invariant hypersurfaces in semi-dispersing billiards
这项工作的结果，从我们试图解决玻尔兹曼西奈的假说的遍历性硬球气体。硬球动力学研究中的一个关键要素是分析由退化轨迹（缺乏完全双曲性）组成的相空间中的特殊超曲面。我们证明了，如果一个流不变的超曲面$J$在相空间中的半分散台球有一个负的李雅普诺夫函数，那么体积的前向图像的$J$至少线性增长的时间。我们的证明是独立的玻尔兹曼-西奈假说的解决方案，我们提供了一个完整的和自足的论点在这里。
2006-03-15 math.DS
Rotating rod and ball
该研究针对平面上匀速旋转无限长杆与弹性碰撞小球的力学系统，证明了给定初值时运动的存在唯一性，划分出5种运动类型，并明确了碰撞间隔与碰撞点间距的渐近行为。
2023-11-04 math.DS
The first encounter of two billiard particles of small radius
我们证明了两个粒子在西奈台球桌的第一次碰撞的时间弱收敛到一个指数分布时，由粒子的半径的倒数重新缩放的时间。这一结果为研究硬球系统在稀有相互作用极限下的能量演化迈出了第一步。
2016-03-24 math.DS
Addendum to: Capillary floating and the billiard ball problem
我们比较了我们以前的论文中的浮动在中性平衡在任意方向的意义上的Finn-Young与文献中的阿基米德意义上的对应。我们补充一些个人和社会历史性质的评论。
2012-06-11 math-ph math.DG math.DS
The dynamics of digits: Calculating pi with Galperin's billiards
在Galperin台球游戏中，两个球与一堵硬墙碰撞形成一个模拟计算器，计算数字$π$的数字。这个经典的一维三体系统（计算硬壁）计算$π$在一个由两个粒子的质量比决定的基中的位数。这个基数可以是任何整数，但也可以是无理数，甚至基数可以是$π$本身。本文回顾了以前的结果Galperin台球，然后进一步推动这些结果。我们提供了一个完整的显式解决方案的球的位置和速度作为碰撞次数和时间的函数。我们证明，Galperin台球可以映射到一个两粒子Calogero型模型。我们确定了第二个动力学不变量的任何质量比，提供系统的可积性，并为特定的质量比序列，我们确定了第三个动力学不变量，建立超可积性。可积性使我们能够推导出一些新的精确结果的轨迹，我们应用这些解决方案来分析系统误差，发生在计算数字的$π$与Galperin台球，包括好奇的情况下，与无理数基地。
2020-04-04 math.DS
Stochastic Perturbations of Convex Billiards
本文考虑了具有$C^2$边界的严格凸台球桌，其动力学受到随机扰动。每次台球撞击边界时，它的反射角都有一个随机扰动。扰动分布对应于这样的物理情况，即表面不规则性的尺度小于但与反射物体的直径相当，或者台球不是完全刚性的。我们证明了，对于一大类这样的扰动所产生的马尔可夫链是一致遍历的，虽然这是不正确的一般。
2018-06-13 math.DS math.PR
Pinned Billiard Balls Simulation (WXML Autumn 2023 report)
本研究通过大量模拟探究两种固定台球构型的动力学特性，验证了半空间构型下能量长期集中于边界、平坦环面构型下速度分量为独立同分布正态且碰撞方向速度分量不相关的结论。
2023-12-19 math.DS math.PR nlin.CD
Elliptic non-degeneracy and spectral rigidity of classical billiards
该研究证明椭球上经典型Liouville台球桌的台球映射在椭圆不动点处非退化，并由此推导出一个谱刚性结果。
2024-01-29 math.DS math.SP
Physical Versus Mathematical Billiards: From Regular Dynamics to Chaos and Back
在标准（数学）台球中，一个点粒子在台球桌上均匀移动，并在边界上产生弹性反射。我们表明，在过渡从数学台球到物理台球，其中一个有限大小的硬球在同一台球桌上移动，几乎任何事情都可能发生。即非混乱的台球可能会变得混乱，反之亦然。此外，这两种转变都可以柔和地发生，即对于物理粒子的半径的任何（任意小的）正值，以及当物理粒子的半径必须超过某个严格的临界正值时通过“硬”转变。这样的转变可以局部地以及完全地（全局地）改变数学台球的相图。这些结果有些出乎意料，因为对于所有标准的台球例子，它们的动力学在从点粒子过渡到有限尺寸（“物理”）粒子之后保持绝对相同。此外，我们表明，动力学特性可能会改变几次时，颗粒的尺寸增加。
2019-03-27 math.DS
Nonholonomic billiards and bounded motion in cylinders
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Washington University（华盛顿大学）
本文提出非守恒弹跳系统作为非滑动弹跳系统的近似方法，通过数值案例研究探讨其在圆柱体内弹跳动力学中的应用。
2026-02-13 math-ph math.DS math.MP
Billiards with Bombs
在本文中，我们定义了一个变体的台球，其中球反弹周围的一个正方形网格擦除墙壁，因为它去。我们证明了存在周期隧道与任意大周期从任何可能的起点，存在非周期隧道从任何可能的起点，并有版本的问题，其中相同的起点和初始方向的结果在周期隧道任意大周期。我们猜想，存在的启动条件，不导致隧道，证明与模拟证据的猜想，并讨论了证明它的困难。
2015-06-01 math.DS
Periodic Orbits on Obtuse Edge Tessellating Polygons
无摩擦台球桌上的周期轨道是台球的分段线性路径，其开始和结束于具有相同入射角的相同点。原始周期轨道的周期是球在其轨道上恰好经过一次时撞击桌子一侧的次数。在本文中，我们发现和分类的周期轨道的形状为120-等腰三角形，60-菱形，60-90-120-风筝，和30-直角三角形的台球桌。在每一种情况下，我们使用图形生成的平面的边缘镶嵌（也称为平铺）将周期轨道展开为直线段，并导出其周期的公式，以初始角度和初始位置表示。
2021-04-07 math.DS
On Totally integrable magnetic billiards on constant curvature surface
研究了常曲率曲面上受恒定磁场影响的凸区域内台球运动。证明了如果台球映射是完全可积的，则其边界曲线必然是圆。这一结果是一个表现的所谓的霍普夫刚性现象，这是最近获得的经典台球常曲率表面。
2012-08-12 math.DG math.DS nlin.SI
Convergence of Rare Events Point Processes to the Poisson for billiards
我们表明，平面分散台球的返回时间分布是，在极限，泊松度量球几乎处处w.r.t. SRB措施。由于庞加莱返回映射是分段光滑的，但在分割元素的边界处变得奇异，因此最近关于返回时间的极限分布的结果不能应用，因为它们要求映射在任何地方都具有有界的二阶导数。我们首先证明泊松极限分布假设指数衰减的相关性。对于多项式衰减的相关性的情况下，我们诱导的子集上的诱导映射具有指数衰减的相关性。证明了原映射和诱导映射的极限返回时间统计量相同的一般定理。
2013-11-12 math.DS
Crossing Numbers of Billiard Curves in the Multidimensional Box via Translation Surfaces
本文研究两两可公度边长的 $n$ 维长方体中沿 $(1,\ldots,1)$ 方向运动的台球曲线，利用代数与数论方法将其交点数对应到约束满足问题的赋值数，证明任一点交点数为 $0$ 或 $2$ 的幂。
2024-12-09 math.CO math.DS
Numerical exploration of a hexagonal string billiard
在本文中，我们感兴趣的运动的球内的台球桌有一个特定的光滑曲线的限制。这张桌子属于台球家族，它们都可以通过一个共同的过程来绘制：所谓的园丁弦结构。经典的椭圆台球当然是这个家族中最重要的成员。因此，我们的六角弦台球与后者有许多共同的基本性质，但另一方面，也表现出一些本质上的区别，这一点并不奇怪。
2012-03-21 math-ph math.DS math.MP
Certain systems of three falling balls satisfy the Chernov-Sinai Ansatz
落球系统是一个具有光滑不变测度和几乎处处非零李雅普诺夫指数的自治哈密顿系统.近三十年来，它的遍历性问题仍然是开放的。我们在以下两个方面对三个具有特定质量比的下落球的侵蚀性猜想的解决做出了贡献：首先，我们证明了Chernov-Sinai猜想。其次，我们证明了存在大量的充分扩张点。特别令人感兴趣的是，对于上述特定的质量比，配置空间可以展开为台球桌，其中适当的对准条件成立。
2020-09-11 math.DS
Back to Boundaries in Billiards
本文针对孔洞位于台球桌边界上的开台球系统，证明了泊松极限律，涵盖Sinai台球、菱形台球、半分散台球及慢衰减相关的聚焦台球，揭示了边界孔洞情形下的稀有事件统计规律。
2024-03-31 math-ph math.DS math.MP
Certain systems of three falling balls satisfy the Chernov-Sinai ansatz
落球系统是一个具有光滑不变测度和几乎处处非零李雅普诺夫指数的自治哈密顿系统.近三十年来，遍历性问题仍然是开放的。本工作的主题是解决三个具有特定质量比的下落球的遍历性猜想。后者是执行以下三点：第一，我们证明了Chernov-Sinai的anomaly。第二，我们证明，有一个丰富的最小的扩展点，第三，我们解释说，适当的对齐条件仍然可以验证，实际上是逐点等价于Brachov的横截性条件。特别令人感兴趣的是，对于上述特定质量比，配置空间可以展开为台球桌，其中适当的对准条件成立。
2018-05-21 math.DS
On the limiting Markov process of energy exchanges in a rarely interacting ball-piston gas
我们分析了一个点粒子之间的弹性碰撞所产生的能量交换过程，局限于一个二维细胞与凸边界，和一个“活塞”，即一个线段，它沿着一个一维区间来回移动部分相交的细胞。该模型可以被认为是一个空间扩展的高维台球建模在一类混合材料表现出气体的动力学和固体的空间结构的热传输的基本构建块。利用启发式论证和数值分析，证明了在稀疏相互作用下，台球过程的能量交换收敛于马尔可夫跳过程，并得到了其生成元的表达式.
2016-07-15 cond-mat.stat-mech math.DS nlin.CD
Pensive billiards, point vortices, and the silver ratio
本文提出一类新的平面台球系统“沉思台球”，推广了冰球台球和涡旋台球，证明了其变分起源与辛结构不变性，研究了扭转映射条件与周期轨道存在性，并揭示了黄金比例与白银比例在涡旋背景下的出现。
2025-09-19 math-ph math.DS math.MP
Lagrangian split tori in $S^2 \times S^2$ and billiards
本文证明 $S^2 \times S^2$ 中分裂拉格朗日环面的哈密顿同痕分类等价于矩形台球问题，并据此解决拉格朗日填充数、环面空间拓扑及辛球嵌入像等问题。
2025-02-05 math.DS math.SG
Viterbo's conjecture for Lagrangian products in $\mathbb{R}^4$ and symplectomorphisms to the Euclidean ball
本文利用拉格朗日积的EHZ容量的广义Minkowski台球刻画，重新证明了$4$维Viterbo猜想对拉格朗日积（$\mathbb{R}^2$中的任意三角形）$\times$（$\mathbb{R}^2$中的任意凸体）成立，并将这一事实推广到拉格朗日积（$\mathbb{R}^2$中的任意梯形）$\times$（$\mathbb{R}^2$中的任意凸体）.在此基础上，我们分类的平等情况下，这个版本的维泰博猜想，并证明他们中的大多数可以被证明是symplectomorphic欧几里德球。作为一个副产品，我们证明了尖锐的收缩Minkowski台球/蠕虫问题不等式。此外，我们讨论了拉格朗日产品（任何凸四边形在$\mathbb{R}^2$）$\times$（任何凸体在$\mathbb{R}^2$），我们表明，维特博猜想的真理将遵循一个具有挑战性的欧几里德覆盖问题的正解。最后，我们表明，流相关的等式情况下的维泰博的猜想拉格朗日产品在$\mathbb{R}^4$ -这原来是凸多胞体-不是佐尔一般，但较弱的佐尔属性，即每一个特点几乎处处远离低维面是封闭的，行动最小化，不适用。
2022-09-21 math.DS math.MG math.SG
How to Simulate Billiards and Similar Systems
一个N分量的连续时间动态系统被认为是自主发展的所有时间，除了在离散的异步成对相互作用的情况下。例子包括混乱碰撞台球和战斗模型。一个新的有效的串行事件驱动算法描述模拟这样的系统。该算法不是维护和更新系统的全局状态，而是试图仅检查基本事件，即，组件交互。事件的处理在一个非递减的顺序的时间，新的相互作用的基础上，使用预积分方程的组件的演变检查的相互作用进行调度。如果分量在演化空间中足够均匀地分布，使得该空间可以被细分为小扇区，使得只有O（1）扇区和O（1）$分量在扇区的邻域中，则算法花费时间O（log N）来处理渐近最小值的事件。该算法使用一个简单的策略来处理数据：每个模拟组件只保持两个状态。该策略的快速数据存取保证了算法的实用效率。它的工作速度明显快于为该模型提出的其他算法。关键词：碰撞检测、密堆积、分子动力学、硬球、颗粒流
2006-07-28 cond-mat.mtrl-sci cs.DS math.DS
Singularities and nonhyperbolic manifolds do not coincide
我们考虑弹性碰撞硬球在平面$ν$ -环面（$ν\ge 2$）上的台球流，并证明了没有奇点流形甚至可以局部地与描述未来非双曲轨迹的流形重合。作为推论，我们得到了所有这类系统的遍历性（实际上是Bernoulli混合性），即Boltzmann-Sinai遍历性假设的验证.
2013-04-25 math-ph math.DS math.MP
