不含无限紧子集的伪紧群拓扑

预紧群拓扑的刻画序列

Characterizing sequences for precompact group topologies

阿贝尔群$G$上的预紧群拓扑$τ$称为{ \em单序列刻画}（简称{ \em ss-characterized}），如果在$G$中存在序列$\mathbf{u}= (u_n)$，使得$τ$是$G$上使$\mathbf{u}=(u_n)$收敛于零的最精细预紧群拓扑.证明了可度量化的预紧阿贝尔群$(G,τ)$是$ss$ -刻画的当且仅当它是可数的.对于可数无限阿贝尔群$G$上的可度量化预紧群拓扑$τ$，存在一个群拓扑$η$，使得$η$严格比$τ$细，且群$(G,τ)$和$(G,η)$具有相等的Pontryagin对偶群.本文给出了所有$ss$ -刻画的预紧阿贝尔群模可数$ss$ -刻画群的完整刻画，并由此得到：（1）没有无限伪紧阿贝尔群是$ss$ -刻画的. (2)$ss$ -刻画的预紧阿贝尔群是遗传不连通的.

On feebly compact paratopological groups

We obtain many results and solve some problems about feebly compact paratopological groups. We obtain necessary and sufficient conditions for such a group to be topological. One of them is the quasiregularity. We prove that each $2$-pseudocompact paratopological group is feebly compact and that each Hausdorff $σ$-compact feebly compact paratopological group is a compact topological group. Our particular attention concerns periodic and topologically periodic groups. We construct examples of various compact-like paratopological groups which are not topological groups, among them a $T_0$ sequenti…

准紧阿贝尔群类中的Pontryagin对偶与Baire性质

Pontryagin duality in the class of precompact Abelian groups and the Baire property

我们提出了一个广泛的自反，预紧，非紧，阿贝尔拓扑群$G$确定的三个要求。它们必须具有Baire性质，满足\textit{open refinement condition}，并且不包含无限紧子集。这种性质的组合保证了对偶群$G^\wedge$的所有紧致子集都是有限的。我们还证明了许多（非自反）预紧阿贝尔群是自反预紧阿贝尔群的等价群。这包括所有具有Baire性质的准紧几乎度量化群及其乘积。最后，给定一个紧阿贝尔群$G$，其权为$\geq 2^\om$，我们找到了$G$的适当稠密子群$H_1$和$H_2$，使得$H_1$是自反的伪紧的，而$H_2$是非自反的几乎可度量化的.

仿拓扑群上的振子拓扑及相关的数不变量

Oscillator topologies on a paratopological group and related number invariants

我们引入并研究了仿拓扑群上的振子拓扑，并定义了一些相关的数不变量。作为应用，我们证明了Hausdorff仿拓扑群$G$在$G$是3-振荡群的条件下存在一个弱Hausdorff群拓扑.一个拓扑群$G$是3-振荡群（分别是2-振荡），对于$G$的单位$e$的任何邻域$U$，存在$e$的邻域$V\subset G$，使得$V^{-1}VV^{-1}\subset UU^{-1}U$（分别$V^{-1}V\subset UU^{-1}$）。2-振荡仿拓扑群类包括所有坍缩仿拓扑群、所有幂零仿拓扑群、所有满足正律的仿拓扑群、所有仿拓扑SIN-群和所有饱和仿拓扑群（后者意味着对任何非空开集$U\subset G$，集合$U^{-1}$具有非空内部）。证明了每个完全有界的仿拓扑群$G$都是可数胞腔的，并且每个不可数共尾基数都是$G$的预胞腔.给出了一个饱和的仿拓扑群与它的镜像仿拓扑群不同构的例子，以及一个2-振荡的仿拓扑群的镜像仿拓扑群不是2-振荡的例子。

关于由集合族确定的群拓扑

On group topologies determined by families of sets

设$G$是阿贝尔群，$F$是$G$的向下子集族。I.Protasov和E.Zelenyuk描述了$G$上的最精细拓扑$\mathcal{T}$，在该拓扑下$F$收敛到$0$。特别是，它们的描述产生了$\mathcal{T}$是豪斯多夫的标准。然后，他们表明，如果$F$是一个可数子集$X\subseteq G$的余有限子集的过滤器，有一个更简单的标准：$\mathcal{T}$是豪斯多夫当且仅当对于每个$g\in G-\{0\}$和正整数$n$，有一个$S\in F$，使$g$不在于n倍和$n(S\cup\{0\}\cup-S)$。在本说明中，他们的证明适用于更大的一类家庭$F$。特别地，如果$X$是$G$的任何无限子集，$κ$是任何正则无限基数$\leq\mathrm{card}(X)$，并且$F$是基数子集$<κ$的$X$中的补集，则上述准则成立。然后，我们给出了一些负面的例子，包括可数向下定向集$F$的子集$\mathbb{Z}$不上述排序满足“$g\notin n(S\cup\{0\}\cup-S)$“的条件，但不诱导Hausdorff拓扑。最后，我们的一个版本，我们的主要结果为非交换$G$。

由T-序列确定的几乎极大几乎-周期群拓扑

Almost maximally almost-periodic group topologies determined by T-sequences

如果在$G$上存在Hausdorff群拓扑$τ$使得$a_n\stackrelτ\longrightarrow 0$，则群$G$中的序列$\{a_n\}$是{ \em $T$ -序列}。本文给出了阿贝尔群中序列是$T$ -序列的几个充分条件，并研究了Prüfer群$\mathbb{Z}(p^\infty)$中的特殊序列.我们表明，$p\neq 2$，有一个Hausdorff群拓扑$τ$上$\mathbb{Z}(p^\infty)$是由一个$T$序列，这是接近于最大几乎周期-换句话说，冯诺依曼根$\mathbf{n}(\mathbb{Z}(p^\infty),τ)$是一个非平凡的有限子群。特别是$\mathbf{n}(\mathbf{n}(\mathbb{Z}(p^\infty),τ)) \subsetneq \mathbf{n}(\mathbb{Z}(p^\infty),τ)$。我们还证明了有限交换群的任意无限族的直和存在一个由具有非平凡有限von Neumann根的$T$ -序列确定的群拓扑。

关于带有一个邻接紧理想的半群 $\boldsymbol{B}_{[0,\infty)}$ 上的局部紧移位连续拓扑

On locally compact shift continuous topologies on the semigroup $\boldsymbol{B}_{[0,\infty)}$ with an adjoined compact ideal

本文研究半群 $\boldsymbol{B}_{[0,\infty)}$ 在三种拓扑下邻接紧理想时的局部紧移位连续拓扑结构，证明理想要么为开子集，要么使半群成为紧半群。

有限正秩可分阿贝尔群上的SSGP拓扑

SSGP topologies on abelian groups of positive finite divisible rank

设G是一个阿贝尔群.对于G的子集A，Cyc（A）表示G的所有元素x的集合，使得由x生成的循环子群包含在A中，如果由Cyc（U）生成的G的最小子群在G中稠密，则称G具有子群生成性质（SSGP）. SSGP群是极小概周期群类的一个真子类。康福特和古尔德要求一个表征的阿贝尔群G承认SSGP群拓扑，他们解决了这个问题的有界挠群（其中有可分秩零）。Dikranjan和第一作者证明了一个无限可分秩的阿贝尔群允许一个SSGP群拓扑。在剩余的情况下，正有限可分秩，同一作者发现了一个必要条件G，以承认一个SSGP群拓扑，并要求如果这个条件也是充分的。我们肯定地回答了这个问题，从而完成了阿贝尔群的特征，承认SSGP群拓扑。

On the semigroup $\boldsymbol{B}_ω^{\mathscr{F}}$ which is generated by the family $\mathscr{F}$ of atomic subsets of $ω$

We study the semigroup $\boldsymbol{B}_ω^{\mathscr{F}}$, which is introduced in [O. Gutik and M. Mykhalenych, \emph{On some generalization of the bicyclic monoid}, Visnyk Lviv. Univ. Ser. Mech.-Mat. \textbf{90} (2020), 5--19], in the case when the family $\mathscr{F}$ of subsets of cardinality $\leqslant 1$ in $ω$. We show that $\boldsymbol{B}_ω^{\mathscr{F}}$ is isomorphic to the subsemigroup $\mathscr{B}_ω^{\Rsh}(\boldsymbol{F}_{\min})$ of the Brandt $ω$-extension of the semilattice $\boldsymbol{F}_{\min}$ and describe all shift-continuous feebly compact $T_1$-topologies on the semigroup $\m…

准紧阿贝尔群的商群的密度与权

Densities and Weights of Quotients of Precompact Abelian Groups

针对Banach-Mazur问题的拓扑群版本，研究准紧阿贝尔群商群的密度特征与权的最小基数及可能权值集合，给出相关基数结论、子集存在性结果，并构造反例解决了一个公开问题。

Markov's problem for free groups

We prove that every unconditionally closed subset of a free group is algebraic, thereby answering affirmatively a 76 years old problem of Markov for free groups. In modern terminology, this means that Markov and Zariski topologies coincide in free groups. It follows that the class of groups for which Markov and Zariski topologies coincide is not closed under taking quotients. We also show that Markov and Zariski topologies differ from the so-called precompact Markov topology in non-commutative free groups.

关于阿贝尔群子集的Kronecker-Weyl定理

A Kronecker-Weyl theorem for subsets of abelian groups

设N为非负整数的集合，T为循环群，c为连续统的基数.给定一个大小至多为2 ^c的阿贝尔群G和G的无限子集的可数族F，我们构造“Baire many”单态p：G --> T^c使得p（E）在{y in T^c：ny=0}中稠密，只要n在N中，E在F中，nE={0}且{x in E：mx=g}对G中的所有g和m是有限的，使得对N中的某个k，n= n-{1}。我们应用这一结果得到一个代数描述可数潜在的稠密子集的阿贝尔群，从而取得了重大进展的解决问题的马尔可夫回到1944年。我们的结果的一个特殊情况下产生一个肯定的答案Tkachenko和Yaschenko的问题。还提供了T^c、丢番图逼近、玻尔拓扑和玻尔紧化在群作用和离散流中的应用。

群论和Top偶中格式的一些性质

Some properties of schemes in group theory and Top couples

设G是群，H是由嵌入映射$G\rightarrow H$定义的G-群，在[12]中我们定义了$H$的正规子群子集上的拓扑，即所谓的素理想。在这项工作中，我们将这种拓扑推广到其他类别的群体。我们希望这样的拓扑定义新的有效的工具，以解决众所周知的问题群理论。本文研究了文[12]中定义的拓扑的性质，例如定义了点函子、维数等概念，并给出了一个伽罗瓦论的轮廓。