Relative entropies for convex bodies
我们介绍了一类新的（不一定是凸的）机构，并显示，除其他事项外，这些机构提供了另一个凸几何分析和信息论之间的联系。也就是说，它们给出了凸体的锥测度的相对熵及其极量和相关量的几何解释。这种解释首先由保里斯和维尔纳在$L_p$-质心体的背景下对对称凸体给出。在那里，相对熵在对某些表达式进行二阶展开后出现。现在，不需要对称性假设。此外，使用新的身体，已经一阶展开使相对熵出现。因此，这些物体比$L_p$-质心物体"更快"地检测凸体边界的细节。
2011-05-13 math.FA
On random intersections of two convex bodies. Appendix to: "Isoperimetry of waists and local versus global asymptotic convex geometries" by R.Vershynin
在“Isoperimetry of waists and local versus global asymptomatic convex geometries”一文中，证明了两个对称凸体K和L的良有界截面的存在性意味着随机旋转的K和L的交是良有界的.在本附录中，我们实现了该交点直径的多项式界限（截面尺寸的比率）。
2004-04-27 math.FA
Coverings by convex bodies and inscribed balls
设$H$是希尔伯特空间。对于闭凸体$A$，用$r(A)$表示包含在$A$中的球的半径的上确界。本文证明了，对于凸闭体$A \subset H$的每一个由凸闭体序列$A_n$，$n \in \N$构成的覆盖，有$\sum_{n=1}^\infty r(A_n) \ge r(A)$.看起来这个事实即使对于二维空间中的三角形也是新的。
2003-12-05 math.FA
Convex Bodies Associated to Tensor Norms
本文确定了$\mathbb{R}^d$中的凸体何时是$\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots\otimes\mathbb{R}^{d_l},$ $d=d_1\cdots d_l.$上合理交叉范数的闭单位球。我们称这些凸体为“张量体”。证明了其中唯一的椭球是欧几里得空间的Hilbert张量积的闭单位球。证明了$\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots \otimes \mathbb{R}^{d_l}$上保可分解向量的线性同构将张量体映射成张量体。这导致我们在它们之间定义一个Banach-Mazur型距离，并证明存在一个张量体的Banach-Mazur型紧。
2018-07-15 math.FA
The modified complex Busemann-Petty problem on sections of convex bodies
由于复杂的Busemann-Petty问题的答案在大多数维度上是否定的，很自然地会问，具有复杂超平面的复杂凸体的中心截面的（n-1）维体积上的条件允许比较n维体积。本文给出了截面函数的必要条件，以便在所有维数下得到肯定的答案。
2008-07-04 math.FA
Modified Busemann-Petty problem on sections of convex bodies
Busemann-Petty问题是关于具有较小中心超平面截面的$\mathbb{R}^n$中的原点对称凸体是否一定具有较小的$n$维体积。已知如果为$n\le 4$，则答案为肯定，如果为$n\ge 5$，则答案为否定。在这篇文章中，我们修改了原来的Busemann-Petty问题的假设，以保证在所有方面的肯定答案。
2004-10-22 math.FA
The geometry of p-convex intersection bodies
Busemann定理指出原点对称的凸体的交体也是凸的。本文给出了p-凸体的Busemann定理的一个版本。证明了p-凸体的交体对一定的q是q-凸的。此外，我们通过构造一个适当的例子讨论了上述结果的尖锐性。这个例子也用来说明K的相交体IK可以比K离欧几里得球远得多。最后，我们将这些定理推广到具有对数凹测度和$s$ -凹测度的一般测度空间
2011-01-07 math.FA
A remark on the diameter of random sections of convex bodies
得到了具有iid行的随机矩阵的核与给定凸体的交的欧氏直径的一个新的上估计。证明是基于一个小球的论点，而不是浓度，因此估计持有相对一般的矩阵合奏。
2013-12-12 math.FA
On uniform continuity of convex bodies with respect to measures in Banach spaces
设$μ$是可分巴拿赫空间$X$上的概率测度.如果$μ(\partial U)=0$，则子集$U\subset X$是$μ$ -连续的.本文研究了$X$中凸体的$μ$ -连续性和一致$μ$ -连续性，特别是球和半空间的$μ$ -连续性。$μ$ -连续性是研究巴拿赫空间中Glivenko-Cantelli定理的一个有趣的结果。回答一个问题F。Topsøe是给定的。
2012-08-31 math.FA
A hyperplane inequality for measures of unconditional convex bodies
本文证明了Bourgain关于无条件凸体体积的超平面不等式的一个不等式，它推广到任意测度。
2013-12-26 math.FA math.MG
Ellipsoids of maximal volume in convex bodies
包含在正四面体中的最大圆盘位于其面中。证明是密切相关的定理弗里茨约翰的特点椭球的最大体积包含在凸体。
1990-09-25 math.FA math.MG
Sections of convex bodies in John's and minimal surface area position
我们证明了几个估计的体积，平均宽度，和价值的威尔斯功能的部分凸体在约翰的位置，以及他们的极体。这些估计推广了一些著名的结果凸体在约翰的位置的情况下，低维部分，这主要是研究了立方体和正则单形。对中心对称凸体在极小曲面面积位置也给出了一些估计。
2020-12-18 math.FA math.MG
On volume distribution in 2-convex bodies
我们考虑凸性的凸性模是一致二次的凸集。首先，我们观察到几个有趣的关系不同的位置之间的这种“2凸”的机构，特别是，各向同性的位置是一个有限的体积比的位置，这些机构。其次，我们证明了高维2-凸体近似高斯的一维边缘。第三，我们改进了Schatten类空间L_p和S_p^m的子空间的迷向常数的某些界，其中1<p<=2。
2006-04-27 math.FA math.MG
On strict inclusions in hierarchies of convex bodies
设$\mathcal I_k$是$\mathbb{R}^n$（在Koldobsky意义下）中的凸$k$ -相交体类，$\mathcal I_k^m$是其$m$维中心截面都是$k$ -相交体的凸原点对称体类.我们发现1）$\mathcal I_k^m\not\subset \mathcal I_k^{m+1}$，$k+3\le m<n$，和2）$\mathcal I_l \not\subset \mathcal I_k$，$1\le k<l < n-3$。
2007-07-10 math.FA math.MG
Convex analysis in normed spaces and metric projections onto convex bodies
本文研究有限维赋范空间中关于凸体的度量投影和距离函数。为了这个目的，我们通过使用与给定范数相关联的勒让德变换，而不是通过标准的内积来识别向量空间及其对偶空间。这种方法重新解释了凸函数的各种性质，并导出了这些函数与所研究范数的几何性质之间的新关系。
2019-08-23 math.FA math.MG
The complex Busemann-Petty problem on sections of convex bodies
复杂的Busemann-Petty问题是关于$\C^n$中的原点对称凸体是否具有较小的中心超平面截面，其体积是否一定较小。我们证明了当$n\le 3$时，答案是肯定的，当$n\ge 4.$时，答案是否定的
2007-07-26 math.FA math.MG
Covering numbers and ``low $M^{*}$-estimate'' for quasi-convex bodies
本文给出了$\mathbb R$中对称拟凸体的随机比例截面和投影的覆盖数和直径的估计。这些结果是已知的凸的情况下，并发挥了重要作用的理论发展。由于对偶关系不能应用于拟凸情形，引入了新的成分，对凸情形也有了新的理解。
1996-05-20 math.FA math.MG
Valuations on Convex Bodies and Functions
本文介绍几何赋值理论，聚焦凸体与凸函数上的SL(n)不变及刚体运动不变赋值的分类结果。
2023-02-01 math.FA math.MG
The isotropy constant and boundary properties of convex bodies
令${\cal K}^n$是$\mathbb R^n$中所有凸体的集合，赋予Hausdorff距离。证明了若$K\in {\cal K}^n$在其边界的某点具有正的广义Gauss曲率，则$K$不是各向同性常数$L_K$的局部极大化算子.
2015-12-20 math.FA math.MG
Slicing inequalities for measures of convex bodies
我们考虑一个推广的超平面问题，以任意措施，而不是体积和部分的低维。我们证明了这一推广的无条件凸体和有界体积比的机构。对于任意对称凸体，在截面维数小于$λn$的条件下，证明了对于某些$λ\in (0,1).$，该常数仅依赖于$λ.$。最后，我们证明了对于某些测度，极小截面的行为可能不同于体积的情况。
2015-03-23 math.FA math.MG
On Klee's problem of convex bodies in Banach spaces
本文解决了Klee于1959年提出的无限维Banach空间中凸体一致逼近问题，给出了严格凸逼近的充要条件，并证明了可分或自反空间中的严格凸且光滑逼近，通过建立局部Lipschitz同构实现。
2025-10-08 math.CO math.FA
Extremal convex bodies for affine measures of symmetry
本文研究了基于质心到John椭球和Lowner椭球中心之一的距离的对称性度量。作者证明了所考虑的对称性测度的导出的上界的准确性。
2019-07-31 math.FA math.MG
On the complexity of the set of unconditional convex bodies
我们证明了对任何$t>1$，$\mathbb{R}^n$中的无条件凸体集合包含一个$t$分离的基数子集至少为$\exp \exp (C(t) n)$ .这意味着在$\mathbb{R}^n$中存在一个无条件凸体，除非$N > \exp(c(d)n)$，否则该凸体不能在距离$d$内通过具有$N$面的多面体的投影来近似。我们还表明，$t>2$，$\mathbb{R}^n$中的完全对称体的$t$分离集的基数不超过$\exp \exp (c(t) \log^2 n)$。
2015-08-20 math.FA math.MG
Shadow systems and volume of polar convex bodies
证明了凸体$K_t$的{ \em阴影系统}关于Santaló点的极体体积的倒数是$t$的凸函数.从而将Campi和Gronchi的结果推广到非对称情形。研究了体积的倒数是$t$的仿射函数的情况，并在一定条件下给出了其特征.我们应用这些结果证明了$\rd{d}$中至多有$d+3$顶点的多面体的精确逆Santaló不等式.
2008-07-14 math.FA math.MG
Stability of the reverse Blaschke-Santalo inequality for unconditional convex bodies
马勒猜想的问题是，在R^n中的对称凸体类中，立方体是否是一个物体与其极坐标的体积积的极小化子。与该猜想对应的不等式有时被称为逆Blaschke-Santalo不等式。该猜想是已知的二维和在几个特殊情况下。在类的无条件凸体，圣雷蒙德证实了猜想，和迈耶和赖斯纳，独立，特点的平等情况。本文给出了这些结果的一个稳定性版本，并证明了任意对称凸体只要充分接近于无条件体，就满足逆Blaschke-Santalo不等式.
2013-02-22 math.FA math.MG
Volume inequalities and additive maps of convex bodies
推广了凸体旋转缠绕可加映射的Brunn-Minkowski理论中经典不等式的类似结果。类比也证明了不等式的对偶Brunn-Minkowski理论的交织加性映射的星体。这些不等式推广了投影体和相交体的结果。作为推论，得到了极投影体体积的一个新的Brunn-Minkowski不等式。
2012-07-31 math.DG math.FA math.MG
A note on the spectral gap for log-concave probability measures on convex bodies
本文研究了凸体上对数凹概率测度的谱隙问题，提出了基于分布参数、维度、域几何特征和原点位置等量的显式下界，并通过经典与非经典例子验证了结果。
2024-03-26 math.FA math.PR
On Gaussian Marginals of Uniformly Convex Bodies
最近，Bo'az Klartag证明了任意凸体在大多数方向上都有高斯边缘。我们表明，Klartag的定量估计可能会改善许多一致凸体。这些包括幂类型为2的一致凸体和幂类型为$p>2$且具有某些附加类型条件的一致凸体。特别是，我们的结果适用于所有单位球的子空间的子空间的$L_p$为$1<p<\infty$。当$L_p$被$S_p^m$（$l_p$ -Schatten类空间）替换时，情况也是如此。我们还将所得结果推广到任意幂型$p$的一致凸体上，对于$2 \leq p < 4$ .这些结果是通过把身体（令人惊讶的）非各向同性的位置，并通过一个新的浓度的体积观察均匀凸体。
2008-04-05 math.FA math.MG math.PR
Non-uniqueness of convex bodies with prescribed volumes of sections and projections
我们表明，如果$d\ge 4$是均匀的，那么可以找到两个本质上不同的凸体，使其最大部分，中心部分，和投影的体积一致的所有方向。
2011-12-16 math.CA math.FA math.MG
Measure comparison and distance inequalities for convex bodies
我们证明了新版本的同构Busemann-Petty问题的两种不同的措施，并显示这些结果可以用来恢复切片和距离不等式。我们还证明了从任意凸体到$L_p$的子空间的单位球的外体积比距离的一个尖锐的上估计。
2019-12-02 math.CA math.FA
From valuations on convex bodies to convex functions
本文建立凸体赋值与凸函数赋值之间的几何框架，利用 McMullen 经典结果重新证明已知的 n-外延齐次赋值刻画，并给出 1-外延齐次赋值的新刻画。
2023-04-14 math.FA math.MG
A note on subgaussian estimates for linear functionals on convex bodies
本文给出了Klartag关于凸体上几乎亚高斯线性泛函存在性的一个结果的另一种证明。如果$K$是${\mathbb R}^n$中的凸体，体积为1，质心在原点，则存在$x\neq 0$使得对于所有$t\gr 1$都有$$|\{y\in K: |< y,x> |\gr t\|<\cdot, x>\|_1\}|\ls\exp (-ct^2/\log^2(t+1))$$，其中$c>0$是绝对常数。证明是基于对$L_q$ --$K$的质心体的研究。类似的结果适用于一般的对数凹措施。
2006-04-12 math.FA math.MG
Convex Bodies of Constant Width and Constant Brightness
1926年S. Nakajima（= A. Matsumura）证明了$\R^3$中任何具有恒定宽度、恒定亮度和$C^2$类边界的凸体都是球。我们证明了边界上的正则性假设是不必要的，因此球是唯一具有恒定宽度和亮度的凸体。
2003-06-30 math.DG math.FA math.MG
Rotation invariant Minkowski classes of convex bodies
Minkowski类是欧几里得空间Rn中的凸体空间的闭子集，它在Minkowski加法和非负变换下是闭的。Rn中的凸体是万有的，如果其支撑函数的球谐展开式包含所有阶的非零谐波。如果K是泛的，则稠密的凸体类M具有以下性质。存在凸体T1，T2使得M + T1 = T2，且T1，T2属于由K生成的旋转不变Minkowski类.证明了非中心对称的凸体K都有一个线性象，它任意接近于K，且是泛象。对中心对称凸体的结果作了修正。这样，S.阿列斯克是加强，并在同一时间给予更基本的证明。
2012-07-31 math.DG math.FA math.MG
f-Divergence for convex bodies
我们引入了来自信息论和统计学的f-散度概念，用于R^n中的凸体。证明了f-发散是SL（n）不变赋值，并建立了这些量的仿射等周不等式.我们证明了广义仿射表面积，特别是L_p Brunn-Minkowski理论的L_p仿射表面积是f-发散的特例。
2012-05-15 cs.IT math.FA math.IT
Centroids of sections of convex bodies and Lusternik-Schnirelmann category
本文利用Lusternik-Schnirelmann范畴理论，证明了在特定条件下凸体截面的质心属于边界。
2025-11-27 math.FA math.GT math.MG
