Monoidal transformations of singularities in positive characteristic
Angélica Benito, Orlando Villamayor
对于嵌入正特征光滑概形中的奇异超曲面，利用不变量定义了一系列么半群变换。最后通过算例说明了该方法对奇异性的改善。
A sequence of monoidal transformations is defined, in terms of invariants, for a singular hypersurface embedded in a smooth scheme of positive characteristic. Some examples are added to illustrate the improvement of singularities by this procedure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic
正特征奇点的分解问题可以重新表述如下：固定一个超曲面$X$，嵌入光滑概形，重点至多为$n$。设$X$的$n$ -变换序列是中心包含在$X$的$n$ -折叠点中的么半群变换及其连续严格变换的有限合成.开放问题（正特征）是证明存在$n$ -序列，使得$X$的最终严格变换没有重数点$n$（没有$n$ -折叠点）。在特征零中，这样的$n$ -序列分两步定义：第一步是将$X$变换为具有$n$ -折叠点的超曲面（在所谓的单项式情况下）。第二步是消除这些$n$ -折叠点（在单项式的情况下），这是通过一个简单的组合程序选择的中心。在这项工作中处理的不变量，使我们能够定义一个概念的强单项的情况下，平行的单项的情况下，在特征零：如果一个超曲面内的强单项的情况下，我们证明了一个决议可以实现组合的方式。
Resolution of Singularities of Germs in Characteristic Positive Associated with Valuation Rings of Iterated Divisor Type
本文证明了正特征的簇芽的超曲面奇点可以通过光滑子簇的中心的迭代么半群变换来解决，如果我们有一个迭代因子型的赋值环与该芽相关联.此外，我们介绍的基本概念，研究奇点的分解的芽，如空间芽，迭代解析monoidal变换与正规交叉，维尔斯特拉斯表示，减少序列，等等。
Monoidal and submonoidal surfaces, and Cremona transformations
本文研究 P³ 中含高重数直线的 monoidal 与 submonoidal 曲面，将其联系到直线汇和 Cremona 变换，并以现代方法重证经典结果，进而推广到任意维超曲面。
In the context of orientable circuits and subcomplexes of these as representing certain singular spaces, we consider characteristic class formulas generalizing those classical results as seen for the Riemann-Hurwitz formula for regulating the topology of branched covering maps and that for monoidal transformations which include the standard blowing-up process. Here the results are presented as cap product pairings, which will be elements of a suitable homology theory, rather than characteristic numbers as would be the case when taking Kronecker products once Poincaré duality is defined. We fur…
TokenBlowUp: Resolving Representational Singularities in LLM Token Spaces via Monoidal Transformations
本文针对LLM token嵌入空间中多义词的几何奇点导致表示不稳定的问题，提出基于概形论blow-up的TokenBlowUp框架，通过替换奇点构建去奇点化的几何空间，并证明其几何正则性，推动架构转向动态几何计算。
Hypersurface Singularities which cannot be resolved in Characteristic Positive
假设存在一个超曲面奇异性，且该奇异性不能用正特征的迭代么半群变换来解决。我们证明了，在超曲面奇点的定义函数集合中，我们可以找到一个满足很强条件的函数。根据这些条件，我们可以在上述假设下推出一个矛盾。此外，我们介绍的基本概念，研究奇点的分解的芽，如空间芽，迭代解析monoidal变换与正规交叉，维尔斯特拉斯表示，减少序列，等等。这是我在math.AG/9901048上的手稿“与迭代除数型赋值环相关的特征正中芽的奇点的分解”的部分内容的修订版。
Invariants of plane curve singularities and Newton diagrams
本文提出了一种求平面曲线奇异点$μ$、$δ$、$r$的不变量的交理论方法，这些不变量由Milnor公式$2δ=μ+r-1$表示.利用牛顿变换，我们给出公式$μ$，$δ$，$r$这意味着平面版本的著名定理的非退化奇点。
New Ideas for Resolution of Singularities in Arbitrary Characteristic
这是1999年在加拿大萨斯喀彻温大学举行的赋值论国际会议和研讨会论文集的手稿。我已经成功地表明，任何二维超曲面奇点的芽品种在任何特点，可以解决迭代monoidal变换的中心在光滑的子品种。二维情形的新证明依赖于新的思想。这一思想与阿比扬卡尔1956年的思想和李普曼1978年的思想有着本质的不同。如果我们进一步增加一些想法，似乎有可能将新的证明推广到更高维的情况。在这篇文章中，我试图解释我的新想法，而不是我在会议上解释的部分结果。
Dynkin diagrams and crepant resolutions of quotient singularities
设$V$是一个复向量空间，有限群$G$通过线性变换作用于其上.令$W = V \oplus V^*$为$V$与其对偶$V^*$的和。我们证明了如果商$W/G$允许光滑的可裂分辨，则子群$G \subset Aut V$是由复反射生成的。我们还得到了关于共轭$W/G$的光滑可裂分解的结构的一些结果，其中$W$是辛向量空间，$G \subset Aut W$是向量空间$W$的辛线性变换的有限群.
A Newtonian and Weierstrassian Approach to Local Resolution of Singularities in Characteristic Zero
本文给出了特征为零的域上奇点邻域内奇点的奇点的分解的初等算法。该算法由牛顿多面体的有限序列和单项式变换组成，并基于Weierstrass预备定理。这种方法需要这样的新方法，如典型的减少和合成的单项转换以及潜伏期和复苏的主要变量。主变量的阶数作为算法的递减奇异不变量，尽管有一些临时的增加。根据牛顿多面体法向量集的欧拉示性数所施加的拓扑约束，用归纳的方法构造了奇点邻域内的有限单位分解.
Singularities with Symmetries, orbifold Frobenius algebras and Mirror Symmetry
在此之前，我们介绍了Euler $G$ -Frobenius代数的对偶变换。利用这个变换，我们证明了互素幂的简单$A,D,E$奇点和Pham奇点是镜像自对偶的，其中镜像对偶是通过关于分次算子生成的对称群的轨道折叠和对偶化实现的.此外，我们还计算了与其他$G$-Frobenius代数的轨道折叠和奇异性相关的其他$G$-Frobenius代数.特别地，利用轨道折叠和对偶变换，我们为简单边界奇点$B_n$和$F_4$提供了一个镜像对。最后，我们将我们的结构与$r$自旋曲线，经典奇点理论和Dynkin图的折叠联系起来。
The MMP singularities of GIT versus Baily-Borel compactifications for the ball quotient case
本文研究球商情形下 GIT 与 Baily-Borel 紧化之间的双有理关系，证明非空排列会使非 log canonical 奇点变为 log canonical 奇点，并用多个模空间例证。
Polar Cremona Transformations and Monodromy of Polynomials
考虑与由\[ϕ_f=grad(f): D(f)\to \CP^n, (x_0:...:x_n)\to (f_0(x):...:f_n(x))\]定义的次数为$d$的任何非常数齐次多项式$f\in \C[x_0,...,x_n]$相关联的梯度映射，其中$D(f)=\{x\in \CP^n; f(x)\neq 0\}$是与$f$和$f_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$相关联的主开集。这个映射对应于极Cremona变换。在命题\ref{p1}中，我们在射影超曲面$V:f=0 $只有孤立奇点的假设下，给出了$ϕ_f$的次数$d(f)$的一个新的下界.当$d(f)=1$时，定理\ref{t4}给出了关于$V$的奇性的很强的条件.
In this work, we study a family of Cremona transformations of weighted projective planes which generalize the standard Cremona transformation of the projective plane. Starting from special plane projective curves we construct families of curves in weighted projective planes with special properties. We explain how to compute the fundamental groups of their complements, using the blow-up-down decompositions of the Cremona transformations, we find examples of Zariski pairs in weighted projective planes (distinguished by the Alexander polynomial). As another application of this machinery we study …
S-duality for surfaces with $A_n$-type singularities
证明了在最坏情况下具有$A_n$型奇点的任意代数曲面上的点的Hilbert格式的欧拉示性数线的生成级数可以用由整数值正定二次型和戴德金η函数确定的θ级数来描述.特别地，它是具有可能的半整数权重的亚纯模形式的傅立叶展开。其关键是应用Donaldson-Thomas型不变量的翻转变换公式计算3重上的二维扭层。
We prove that the local etale fundamental group of a strongly $F$-regular singularity is finite (and likewise for the étale fundamental group of the complement of a codimension $\geq 2$ set), analogous to results of Xu and Greb-Kebekus-Peternell for KLT singularities in characteristic zero. In fact our result is effective, we show that the reciprocal of the $F$-signature of the singularity gives a bound on the size of this fundamental group. To prove these results and their corollaries, we develop new transformation rules for the $F$-signature under finite etale-in-codimension-one extensions. …
Birational geometry of Calabi-Yau pairs and 3-dimensional Cremona transformations
本文提出框架研究 Calabi-Yau 对的双有理几何，特别关注三维射影空间中四次曲面上的奇点如何影响其双有理性质。
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