Algebraic number fields generated by an infinite family of monogenic trinomials
对于$\mathbb{Z}\lbrack X\rbrack$中的单演三项集$P(X) = X^3\pm 3rbX-b$的无限族，确定了由$P(X)$的零$θ$生成的立方数域$L = \mathbb{Q}(θ)$及其Galois闭包$N = L(\sqrt{d(L)})$的算术不变量.本文证明了循环三次相对扩张$N/K$的导体$f$（其中$K = \mathbb{Q}(\sqrt{d(L)})$表示$N$的唯一二次子域）的形式为$3^eb$ with $e\in\lbrace 1,2\rbrace$，其中包含关于$L$中的本原模糊主理想、格极小和独立单位的陈述.确定了与$L$共享公共判别式$d(L_i) = d(L)$的非同构三次域$L_1,\ldots,L_m$的个数$m$。
2022-04-09 math.NT
Trinomials defining quintic number fields
给定一个五次数域$K/\mathbb{Q}$，我们研究了根在$K$中的不可约三项式，即$x^{5} + ax + b$形式的多项式的集合。我们证明了存在亏格四曲线$C_{K}$，其有理点与这样的三项式双射.该曲线$C_{K}$映射到定义在数域上的椭圆曲线，并且使用该映射，我们能够（在某些情况下）使用椭圆曲线Chabauty确定$C_{K}$上的所有有理点。
2015-12-31 math.NT
A note on the stability of trinomials over finite fields
域$K$上的多项式$f(x)$称为稳定的，如果它的所有迭代在$K$上都是不可约的。本文研究了有限域上的三项式的稳定性。特别地，我们证明了如果$f(x)$是二元域$\mathbb{F}_2$上的偶次三项式，则$f(x)$是不稳定的。我们证明了奇特征的有限域上某些幺三项式族的类似结果。这些结果是对解决关于有限域上多项式的不稳定性的一个猜想而得到的，该域的次数可被其所对应的域的特征整除。
2018-10-07 math.NT
Discriminants of Fields Generated by Polynomials of Given Height
我们得到了一元不可约多项式的数量上界的$\mathbb Z$上的固定程度$n$和增长的高度$H$，它的根之一所产生的字段有一个给定的判别式。我们通过两种互补方法计算多项式判别式的无平方部分来接近它。进而，这导致由次数为$n$且高度至多为$H$的多项式的根生成的域的不同判别式的数目的下界。我们还给出了判别式中给定无平方部分的有界高三项式个数的一个上界，改进了I. E. Shparlinski（2010）.
2021-11-17 math.NT
Discriminant and Integral basis of sextic fields defined by x^6+ax+b
设$K=\mathbb Q(θ)$是一个代数数域，$θ$是属于$\mathbb{Z}[x]$的一个不可约三项式$f(x)=x^6+ax+b$的根.对每个素数$p$，根据素数幂除$a,~b$和$f(x)$的判别式，计算出$p$除$K$的判别式的最高幂.对于每个素数$p$，给出了$K$的一个显式$p$ -整基，并给出了由这些$p$ -整基得到$K$的一个整基的方法，并举例说明.
2020-11-29 math.NT
Monogenic fields arising from trinomials
如果根$θ$具有$\mathbb{Z}[θ]$是$\mathbb{Q}(θ)$中的整数的全环的性质，我们称多项式单演。考虑三项式$x^n + ax + b$和$x^n + cx^{n-1} + d$的两个族。对于任何$n>2$，我们证明了这些家庭是单演无限经常，并给出了一些积极的密度的系数。当$n=5$或6和判别式的某个因子是平方自由的，我们使用Montes算法建立的充要条件的monogeneity，照明Jakhar，Khanduja，和Sangwan使用其他方法给出的更一般的标准。一路上，我们评论的等价性的某些方面的蒙特斯算法和戴德金的指数准则。
2021-05-10 math.NT
The Irreducibility and Monogenicity of Power-Compositional Trinomials
次数为$N$的多项式$f(x)\in {\mathbb Z}[x]$称为\emph{monogenic}，如果$f(x)$在${\mathbb Q}$上不可约，并且$\{1,θ,θ^2,\ldots ,θ^{N-1}\}$是${\mathbb Q}(θ)$的整数环的基，其中$f(θ)=0$。定义${\mathcal F}(x):=x^m+Ax^{m-1}+B$。在这篇文章中，我们确定了$m$，$A$和$B$上的条件集，使得幂复合三项式${\mathcal F}(x^{p^n})$对所有整数$n\ge 0$和给定的素数$p$是单基因的。此外，我们还证明了这种三项式${\mathcal F}(x)$的无限族的实际存在性。
2022-04-16 math.NT
Monogenic trinomials and class numbers of related quadratic fields
本文研究形如 $x^N+Ax+B$ 的单基因三项式，通过其判别式的无平方因子约数 $δ$ 考察相关二次域 ${\mathbb Q}(\sqrtδ)$ 的类数可除性。
2025-11-07 math.NT
On index divisors and monogenity of certain number fields defined by trinomials
令$K$是由一元不可约三项式$F(x) = x^n+ax^{m}+b \in \Z[x]$的根$þ$生成的数域。本文研究了$K$问题。更准确地说，我们提供了一些明确的条件$a$，$b$，$n$，和$m$的$K$是不是单基因的。作为应用，我们证明了存在由$n=2^r\cdot3^k$定义的三项式定义的非单演数域的无限族，其中$r$和$k$是两个正整数.我们还给出了由三项式定义的非单演六次数域的无限族。文末给出了一些实例。
2022-03-24 math.NT
On common index divisors and monogenity of certain number fields defined by trinomials of type $x^{2^r}+ax^m+b$
该研究利用$p$-进牛顿多边形技术与Ore指数定理，分析$x^{2^r}+ax^m+b$型三项式定义数域的单基因性，给出非单基因的显式条件，构造出自身非单基因但根生成单基因数域的三项式族，并辅以计算示例。
2024-09-16 math.NT
Monogenic Cyclic Quartic Trinomials
本文证明了恰好存在三个形如 $x^4+bx^2+d$ 且 Galois 群为四阶循环群的单生成三项式。
2024-04-27 math.NT
On monogenity of certain number fields defined by trinomials
设$K=\Q(θ)$是由一元不可约三项式$F(x) = x^n+ax+b \in \Z[x]$的复根$þ$生成的数域。关于由三项式定义的数域的单整性有大量的文献，Gaál研究了由三项式定义的六次数域的多重单整性。Jhorar和Khanduja研究了$\Z[þ]$的积分闭性。但如果$ \Z[þ]$不是整闭的，则Jhorar和Khanduja的结果不能回答$K$的单纯性.本文利用牛顿多边形技术，研究了$K$的单正则性问题.更准确地说，当$\Z_K \neq \Z[þ]$，我们给出了充分条件$n$，$a$和$b$的$K$是不是单基因的。对于$n\in \{5, 6, 3^r, 2^k\cdot 3^r, 2^s\cdot 3^k+1\}$，我们明确给出了这类数域的非单演无穷族。最后，我们通过一些计算实例来说明我们的结果。
2021-09-17 math.NT
On non-monogenic number fields defined by trinomials of type $x^n +ax^m+b$
本文研究了由 $x^n+ax^m+b$ 型三项式定义的数域的非单生性问题，给出了判定非单生成的显式条件，并证明了存在无限族的非单生成数域。
2022-03-15 math.NT
A Swan-like Theorem
Richard G.斯旺在1962年证明了三项式x^{8 k} + x^m + 1且8 k> m有一个偶数不可约因子，因此不能是不可约的。事实上，他发现奇偶性的一些不可约的因素，任何平方免费三项式在F_2[x]。我们证明了一个结果，是类似的精神。即，设n是奇数，f（x）= x^n + Sum_{i in S} x^i + 1在F_2[x]中，其中S子集{i：i奇数，i < n/3}并{i：i = n（mod 4），i < n}证明了若n = +-1（mod 8）则f（x）有奇数个不可约因子，如果n = +=3（mod 8），则f（x）有偶数个不可约因子。这有一个应用程序的问题找到多项式基地{1，a，a^2，. F_{2^n}的a^{n-1}}，使得对于所有1 <= i < n，Tr（a^i）= 0。
2004-08-17 math.NT
On common index divisors and monogenity of of the nonic number field defined by a trinomial $x^9+ax+b$
该研究针对由三项式$x^9+ax+b$定义的九次数域，给出了素公共指标因子的充要条件，确定了无穷多非单一九次数域参数族，并辅以数值例子验证理论结果。
2023-03-08 math.NT
The Number of Solutions to the Trinomial Thue Equation
本文研究了方程$|F(x,y)| = 1$的整数对解的个数，其中$F(x,y) \in \mathbb{Z}[x,y]$是一个不可约的（在$\mathbb{Z}$上）二元形式，其次数为$n \geqslant 3$，且恰好有三个非零和项.特别是，我们改进了埃默里托马斯的明确的上界的数量的解决方案，这个方程。例如，当$n \geqslant 219$，我们表明，有不超过32个整数对解决方案，这个方程时，$n$是奇数和不超过40个整数对解决方案，这个方程时，$n$是偶数，托马斯的工作，其中他表明，有不超过38个这样的解决方案时，$n$是奇数和不超过48个这样的解决方案时，$n$是偶数的改进。
2023-01-27 math.NT
On the index of generalized trinomials over Valued fields
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
本文针对赋值域上的广义三项式，给出了其根的赋值环整闭性的显式充要条件，并应用于 $p$-adic 赋值情形，得到整除指标 $[\mathbb{Z}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ 的素数判据。
2026-09-25 math.NT
Generalized Wieferich primes and monogenic trinomials
Cedar Crest College（雪松crest学院）；Shippensburg University（希彭斯堡大学）
该研究将关于x^(2p)+2x^p+2单基因性与Wieferich素数关联的结论，推广到特定条件下的多项式x^(2n)+bx^n+b，拓展了单基因三项式的判定相关成果。
2026-08-03 math.NT
Generalized Wall-Sun-Sun primes and monogenic power compositional trinomials
对于正整数$a$和$b$，我们令$[U_n]$是由\[U_0=0,\quad U_1=1\quad \mbox{and} \quad U_n=aU_{n-1}+bU_{n-2} \quad \mbox{ for $n\ge 2$},\]定义的第一类Lucas序列，令$π(m):=π_{(a,b)}(m)$是$[U_n]$模整数$m\ge 2$的周期长度，其中$\gcd(b,m)=1$。我们定义一个\emph{$(a,b)$-Wall-Sun-Sun prime}为素数$p$使得$π(p^2)=π(p)$ .当$(a,b)=(1,1)$时，这种主$p$简称为\emph{Wall-Sun-Sun prime}。我们说一个次数为$N$的一元多项式$f(x)\in {\mathbb Z}[x]$是\emph{monogenic}，如果$f(x)$在${\mathbb Q}$上不可约，并且\[\{1,θ,θ^2,\ldots, θ^{N-1}\}\]是${\mathbb Q}(θ)$的整数环的基，其中$f(θ)=0$。令$f(x)=x^2-ax-b$和$s$为正整数。然后，在对$a$、$b$和$s$作一定限制的情况下，证明了\[f(x^{s^n})=x^{2s^n}-ax^{s^n}-b\]的单生性与正整数$n$无关，且仅由$s$是否有素因子是$(a,b)$-Wall-Sun-Sun素数决定…
2023-02-19 math.NT
On the existence of large degree Galois representations for fields of small discriminant
设$L/K$是数域的Galois扩张.证明了${\rm Gal}(L/K)$的不可约复表示的最大次数的两个下界，其中最大次数的下界是以Artin猜想和广义黎曼假设为条件的.当$[K : \mathbb{Q}]$很小时，并且$L$有小的根判别式时，我们的界是非平凡的，可以概括为这样的域不能是“太阿贝尔的”。"
2014-07-28 math.NT
A Connection Between the Monogenicity of Certain Power-Compositional Trinomials and $k$-Wall-Sun-Sun Primes
我们说一个次数为$N$的一元多项式$f(x)\in {\mathbb Z}[x]$是单演的，如果$f(x)$在${\mathbb Q}$上不可约，并且\[\{1,θ,θ^2,\ldots, θ^{N-1}\}\]是${\mathbb Q}(θ)$的整数环的基，其中$f(θ)=0$。令$k$是正整数，并且令$U_n:=U_n(k,-1)$是由\[U_0=0,\quad U_1=1\quad \mbox{and} \quad U_n=kU_{n-1}+U_{n-2} \quad \mbox{ for $n\ge 2$}.\]定义的第一类卢卡斯序列$\{U_n\}_{n\ge 0}$。$k$ -Wall-Sun-Sun素数是素数$p$，使得\[U_{π_k(p)}\equiv 0 \pmod{p^2},\]，其中$π_k(p)$是$\{U_n\}_{n\ge 0}$模$p$的周期的长度。设${\mathcal D}=k^2+4$为$k\equiv 1 \pmod{2}$，${\mathcal D}=(k/2)^2+1$为$k\equiv 0 \pmod{2}$。假设$k\not \equiv 0 \pmod{4}$和${\mathcal D}$是无平方数的，并令$h$表示${\mathbb Q}(\sqrt{\mathcal D})$的类号。令$s\ge 1$是整数，使得对于$s$的每个…
2022-11-27 math.NT
Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants
考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。
2018-01-12 math.NT
Discriminant and integral basis of pure nonic fields
设$K = \Q(θ)$是一个代数数域，$θ$满足有理数域$\Q$上的一个不可约多项式$x^{9} - a$，$\Z_K$表示$K$的代数整数环.在这篇文章中，我们提供了每个素数的确切的幂，它划分$\Z_K$中的子群$\Z[θ]$的指数。进一步，我们对每个素数$p$给出了$K$的一个$p$ -整基.这些$p$ -积分基导致$K$的整基的构造，并用实例说明。
2022-12-12 math.NT
A construction of polynomials with squarefree discriminants
对任意整数n >= 2和任意非负整数r，s（其中r+2s = n），给出了无穷多个整数系数具有无平方判别式且恰有r个实根的一元n次不可约多项式的无条件构造.这就产生了n次数域、签名（r，s）、伽罗瓦群S_n和无平方判别式;我们也可以强制判别式与任何给定的整数互质。在[-N，N]范围内用判别式产生的场的数目至少为c N^（1/（n-1））。一个推论是，对于每个n \geq 3，无穷多个二次数域处处容许其正规闭包具有伽罗瓦群A_n的非分歧n次扩张.这推广了Yamamura的结果，他处理了n = 5的情况，以及Uchida和Yamamoto的结果，他们允许一般的n，但不控制真实的地方。
2011-05-04 math.NT
Discriminants of Chebyshev Radical Extensions
设t是任意整数，固定一个奇素数。设Phi（x）= T_ell^n（x）-t表示n次切比雪夫多项式移位t的n重复合.如果这个多项式是不可约的，令K = bbq（theta），其中theta是Φ的根。一个定理的戴德金的一个条件t的K是单演的。对于其他的t值，我们应用Montes算法得到K的判别式公式，并计算整数环O_K的基元。
2013-06-07 math.NT
Squarefree values of polynomial discriminants I
我们确定的一元整数多项式的密度给定的程度$n>1$，有squarefree判别，特别是，我们证明了第一次，这种多项式的密度较低是积极的。同样地，我们证明了一元整数多项式$f(x)$的密度是正的，并且实际上是由$ζ(2)^{-1}$给出的，其中$f(x)$是不可约的，$\mathbb Z[x]/(f(x))$是其分数域上的整数环。从我们的方法还可以得出，有$\gg X^{1/2+1/n}$单演数域的程度$n$有相关的伽罗瓦群$S_n$和绝对判别小于$X$，我们推测，在这个下界的指数是最佳的。
2021-12-31 math.NT
On the monogenity of quartic number fields defined by $x^4+ax^2+b$
本文研究了由不可约三项式 $x^4+ax^2+b$ 的根生成的四次数域的单生性，刻画了 $Z[α]$ 整闭的条件，给出了 $p=2,3$ 时整除公因子的最高幂次，并证明了此类域中仅存在唯一的幂整基生成元。
2024-02-15 math.NT
On the number of cubic orders of bounded discriminant having automorphism group $C_3$, and related problems
对于二元二次型$Q$，我们考虑了$\mathrm{SO}_Q$在二维向量空间上的作用。这种表示可能产生了一个非不可约的预齐次向量空间和一个其基础群不是半单的共正则空间的最简单的非平凡例子。我们表明，这种表示的非退化整数轨道是在自然双射的订单立方领域具有固定的“格子形状”。此外，这种对应关系是保持判别式的：在这种表示中，元素的不变多项式的值与相应的三次阶的判别式一致。我们使用这种解释的积分轨道来解决三个经典风格的计数问题有关的三次订单和领域。首先，我们给出了具有有界判别式和非平凡自同构群的三次阶个数的一个渐近公式。更一般地说，我们给出了具有有界判别式和任何给定晶格形状的三次阶数的渐近公式（即，简化迹形式，直到缩放）。通过一个筛子，我们也计数立方领域的有界判别式的整数环具有给定的晶格形状。我们发现，特别是，在立方订单（分别。场），该形状在判别式$D$的二元二次型的类群$\mathrm{Cl}_D$中是等分布的。作为副产品，我们还获得了一个渐近公式的三次域的有界判别式的数量有任何给定的二次预解域。
2013-08-07 math.NT
The Chebotarev density theorem for function fields -- incomplete intervals
我们证明了一个Polya-Vinogradov型的变化的Chebotarev密度定理的功能域上的有限域有效的“不完整的间隔”$I \subset \mathbb{F}_p$，提供$(p^{1/2}\log p)/|I| = o(1)$。应用程序包括密度的结果不可约三项在$\mathbb{F}_p[x]$，即数量的不可约多项式在集合$\{ f(x) = x^{d} + a_{1} x + a_{0} \in \mathbb{F}_p[x] \}_{a_{0} \in I_{0}, a_{1}\in I_{1}}$是$\sim |I_{0}|\cdot |I_{1}|/d$提供$|I_{0}| > p^{1/2+ε}$，$|I_{1}| > p^ε$，或$|I_{1}| > p^{1/2+ε}$，$|I_{0}| > p^ε$，并类似地当$x^{d}$是取代任何一元度$d$多项式在$\mathbb{F}_p[x]$。在上述假设下，我们还可以确定因子分解类型的分布，并发现它与对称群$S_{d}$中置换的循环类型的分布一致。
2020-07-04 math.NT
On index divisors and monogenity of certain number fields defined by $x^{12}+ax^m+b$
本文讨论了由一元不可约三项式$F(x)=x^{12}+ax^m+b\in \mathbb{Z}[x]$和$1\leq m\leq11$定义的数域的单整性问题.给出了数域$K$不是单演的关于$a$、$b$和$m$的充分条件.特别是，对于$m=1$和每一个合理的素数$p$，我们的特点时，$p$划分指数的$K$和我们提供了一个部分的答案问题$22$ Narkiewicz \cite{Nar}这些号码字段。计算实例说明了我们的结果。
2022-11-08 math.NT
Moments of Dirichlet $L$-functions with prime conductors over function fields
我们计算了$\mathbb{F}_q[x]$上具有素导体的二次Dirichlet $L$ -函数族的二阶矩，当判别式的阶数趋于无穷大时，得到其中一个低阶项.我们还得到了一个渐近公式与首阶项的$L$ -函数的导数的平均值相关联的二次扭曲的固定椭圆曲线在$\mathbb{F}_q(t)$由一元不可约多项式，这使我们能够证明，存在一元不可约多项式，使相应的扭曲椭圆曲线的解析秩等于$1$。
2019-09-02 math.NT
DISCRIMINANT and integral basis OF $\mathbb{Q}(\sqrt[12]{a})$
本文研究了由 $x^{12}-m$ 定义的代数数域 $K$ 的整基问题，确定了各素数 $p$ 下子群 $\Z[θ]$ 在 $O_K$ 中指数的最高 $p$ 次幂与 $p$-整基，进而构造出 $K$ 的整基，并给出了无平方因子情形下整基的充要条件。
2023-04-01 math.NT
The index of certain nonic number fields defined by $x^9+ax^2+b$
本文计算了由首一不可约三项式 $x^9+ax^2+b$ 定义的九次数域 $K$ 对每个有理素数的指数分量，刻画了该族数域的指数 $i(K)$，并指出若其不为1则数域非单生，最后给出了计算实例。
2023-10-20 math.NT
p-adic root separation and the discriminant of integer polynomials
研究固定次数和有界高度的整数多项式的p-adic根分离问题，以及判别式被素数幂整除的计数问题，证明了存在大量具有几乎素数幂判别式的不可约多项式。
2026-06-23 math.DS math.NT
The index of the septic number field defined by $x^7+ax^5+b$
本文研究由不可约三项式 $x^7+ax^5+b$ 生成的七次数域，证明其指数只能为 $1$、$2$ 或 $4$，从而回答 Narkiewicz 问题 22，并给出数域非单基因的充分条件。
2023-03-16 math.NT
On the index divisors and monogenity of certain nonic number fields
本文研究由三项式 $x^9+ax+b$ 的根生成的九次数域，刻画了素数整除其指数 $i(K)$ 的条件并给出指数的素数幂分解，从而部分回答了 Narkiewicz 问题 22，并指出指数非 1 时数域非单基因。
2023-07-06 math.NT
Conductor-discriminant inequality for hyperelliptic curves in odd residue characteristic
本文证明了在特征不为2的奇剩余特征下，离散赋值域上超椭圆曲线的导子与判别式之间的不等式，将Artin导子的负值与特殊纤维不可约分支数量由判别式赋值上界控制，推广了前人工作。
2023-10-04 math.AG math.NT
The Moments and statistical Distribution of Class number of Primes over Function Fields
我们研究的时刻和分布的$L(1,\x_P),$，其中$\x_P$变化的二次字符相关的不可约多项式$P$的次数$2g+1$在$\mathbb{F}_q[T]$作为$g\to\infty$。在本文的第一部分中，我们计算的积分矩的类数$h_{P}$与二次函数领域的主要判别式$P$，这是通过适应功能字段设置的一些以前的结果进行了Nagoshi在数域设置。本文的第二部分通过引入一种随机欧拉积，计算了$L(1,\x_P)$在大均匀值域内的复矩，并研究了类数的统计分布。本文的第二部分是基于最近的结果进行了Lumley处理时，平方自由多项式。
2020-10-28 math.NT
A lower bound for the rank of a universal quadratic form with integer coefficients in a totally real number field
我们证明了，如果$K$是一个单演的，原始的，全实数域，其中包含每个签名的单位，那么存在一个下界的秩定义在$K$的整数泛二次型。特别是，我们扩展了Blomer和Kala的工作，证明了存在无穷多个完全实立方数域，它们没有一个给定秩的通用二次型。对于单位范数为负的实二次数域，证明了泛二次型的最小秩随数域判别式的增长而趋于无穷大。这些结果来自于对交错多项式的研究。具体来说，我们表明，只有1000多个不可约的首一多项式有关的原始数字段的一个给定的程度，有界数量的交错多项式。
2018-08-04 math.NT
Monogenic Fields from Polynomial Compositions with Applications
Indian Institute of Technology Madras（印度理工学院马德拉斯分校）；Ashoka University（阿肖克大学）
本文研究了通过多项式组合构造单基因域的条件，并探讨了其在构造非平方自由判别式多项式及分析相关微分方程中的应用。
2026-10-30 math.NT
Arithmetic Aspects of Number Fields Generated by Polynomial Families
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）；Indian Institute of Technology Madras（印度理工学院马德拉斯分校）；Ashoka University（阿肖卡大学）
研究多项式族生成数域的算术特性，推导判别式公式，建立单生成性条件，并探讨其在伽罗瓦群中的应用。
2026-02-23 math.NT
