关于赋值域上广义三项式的指标
On the index of generalized trinomials over Valued fields
查看机构详情
- Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文针对赋值域上的广义三项式，给出了其根的赋值环整闭性的显式充要条件，并应用于 $p$-adic 赋值情形，得到整除指标 $[\mathbb{Z}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ 的素数判据。
中文摘要 AI 辅助
设 $\nu$ 是域上具有赋值环 $R_\nu$ 的 Krull 赋值，其秩任意，并设 $\theta$ 是不可约多项式 $F(x)=(x^k+c)^m-ax^n\in R_\nu[x]$ 的根，其中 $1\leq n<km$。我们建立了 $R_\nu[\theta]$ 的整闭性的充分必要条件，这些条件明确地用系数 $a$、$b$ 以及整数 $m$、$n$ 和 $k$ 表示。特别地，当 $\nu$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的 $p$-adic 赋值时，我们的结果给出了确定整除指标 $[\mathbb{Z}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ 的素数的判据，其中 $K=\mathbb{Q}(\theta)$，$\mathbb{Z}_K$ 表示 $K$ 的整数环。
英文摘要
Let $ν$ be a Krull valuation of arbitrary rank on a field with valuation ring $R_ν$, and let $θ$ be a root of the irreducible polynomial $F(x)=(x^k+c)^m-ax^n\in R_ν[x]$ and $1\leq n<km$. We establish necessary and sufficient conditions for the integral closedness of $R_ν[θ]$, expressed explicitly in terms of the coefficients $a$, $b$, and the integers $m$, $n$, and $k$. In particular, when $ν$ is the $p$-adic valuation on $\mathbb{Q}$, our results yield criteria for determining the primes dividing the index $[\mathbb{Z}_K:\mathbb{Z}[θ]],$ where $K=\mathbb{Q}(θ)$ and $\mathbb{Z}_K$ denotes the ring of integers of $K$.
