Continuity of the SLE trace in simply connected domains
Christophe Garban, Steffen Rohde, Oded Schramm
我们证明了在任何单连通域$G$中的$SLE_κ$迹是连续的（除了可能在其端点附近），如果$κ<8$。我们还证明了关于调和测度的支撑的Makarov定理的一个SLE模拟。
We prove that the $SLE_κ$ trace in any simply connected domain $G$ is continuous (except possibly near its endpoints) if $κ<8$. We also prove an SLE analog of Makarov's Theorem about the support of harmonic measure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Continuity of radial and two-sided radial $SLE_κ$ at the terminal point
我们证明了径向$SLE_κ$和双侧径向$SLE_κ$在它们的终点是连续的。
Regularity of the SLE$_4$ uniformizing map and the SLE$_8$ trace
研究SLE_4统一化映射的连续模，证明其为( log δ^{-1} )^{-1/3 + o(1)}，并展示SLE_4不满足Jones-Smirnov条件。同时证明SLE_8的连续模为( log δ^{-1} )^{-1/4 + o(1)}，验证Alvisio和Lawler的猜想。
On the Continuity of SLE(κ) in κ
证明了对于几乎每一个布朗运动样本，当k在区间[0，κ_0）内变化时，对应的以容量为参数的SLE（κ）曲线都存在且在上确界范数下连续变化，其中κ_0=8（2- \sqrt{3}）=2.143.我们估计了曲线的κ-依赖连续模，并给出了上确界模随κ变化的连续模的估计.
Continuity in $κ$ in $SLE_κ$ theory using a constructive method and Rough Path Theory
关于$SLE_κ$迹线和图在$κ$中的连续性的问题在SLE研究中非常自然地出现。为了研究第一个问题，我们考虑SLE迹线的自然耦合：对于不同的$κ$值，我们使用相同的布朗运动。假设概率为1，$SLE_κ$连续依赖于$κ$是非常自然的。证明$SLE$在Carathéodory意义上是连续的是相当容易的，但证明$SLE$迹线在均匀意义上是连续的要困难得多。本文证明了对给定序列$κ_j\toκ\in (0, 8/3)$，几乎对所有布朗运动$SLE_κ$迹局部一致收敛. Friz、Tran和Yuan最近也用不同的方法得到了这个结果。在我们的分析中，我们提供了一个建设性的方法来研究的$SLE_κ$迹为不同的参数$κ\in (0, 8/3)$。该论点是基于一个新的动力学观点的近似SLE曲线驱动的曲线逐段平方根近似的布朗运动。第二个问题可以在粗糙路径理论的框架下自然地得到回答。利用这一理论，我们证明了由$\sqrtκB_t$驱动的倒向Loewner微分方程的解在参数$κ$中的$p$ -变分拓扑中从原点出发是连续的，对所有的$κ\in \mathbb{R}_+$
Continuity of Zero-Hitting Times of Bessel Processes and Welding Homeomorphisms of SLE$_κ$
我们考虑一类贝塞尔过程，它依赖于起始点$x$和维数$δ$，但由相同的布朗运动驱动。我们的主要结果是，几乎可以肯定的是，第一次一个进程击中$0$是共同连续的$x$和$δ$，提供$δ\le 0$。作为应用，我们证明了SLE（$κ$）焊接同胚在$κ$中对于$κ\in [0,4]$是连续的.我们这样做的动机是研究$κ$中SLE $_κ$的连续性这一众所周知的问题。在我们的证明的主要工具是随机游走的增量分布为无穷平均逆伽马定律。
Conformal field theory of dipolar SLE(4) with mixed boundary condition
我们在单连通区域中发展了一种偶极共形域论理论，它具有Dirichlet-Neumann边界条件和中心电荷边界条件。我们证明了偶极SLE（4）中具有一定边界值的高斯自由场OPE族中的场的所有相关函数都是鞅可观的。
Optimal Hölder Continuity and Dimension Properties for SLE with Minkowski Content Parametrization
我们利用这样的事实，即$κ\in(0,8)$从$\infty$到$\infty$通过$0$的双侧全平面Schramm-Loewner演化（SLE $_κ$）曲线$γ$可以由其$d$维Minkowski内容参数化，其中$d=1+\fracκ8$，并成为具有固定增量的指数$\frac 1d$的自相似过程。证明了对任意$α<\frac 1d$，这样的$γ$是局部$α$-Hölder连续的.在$κ\in(0,4]$的情况下，我们证明了$γ$不是局部$\frac 1d$ -Hölder连续的。我们还证明了，对于任何确定性闭集$A\subset \mathbb{R}$，$γ(A)$的Hausdorff维数几乎必然等于$d$乘以$A$的Hausdorff维数.
Conformal restriction: the chordal case
我们刻画和描述了一个给定的单连通平面域（比如说上半平面$\H$）的所有随机子集$K$，这些随机子集满足“共形限制”性质，即，$K$连接两个固定的边界点（比如0和$\infty$），并且条件保持在$\H$的单连通开子集$D$中的$K$的定律与$Φ(K)$的定律相同，其中$Φ$是从$\H$到$D$的共形映射，带有$Φ(0)=0$和$Φ(\infty)=\infty$。这个家庭的建设依赖于随机Loewner演化（SLE）过程的参数$κ\le 8/3$和共形映射下的失真。我们特别证明了SLE（8/3）是唯一满足共形约束的随机简单曲线，并把它与平面布朗运动和SLE（6）的外边界联系起来。
Almost sure multifractal spectrum of SLE
设$η$是光滑有界单连通域$D \subset {\mathbb C}$上的Schramm-Loewner演化（SLE $_κ$），且$ϕ$是${\mathbb D}$到$D \setminus η([0,t])$的连通分支的共形映射. $η$的多重分形谱是函数$(-1,1) \to [0,\infty)$，对于每个$s \in (-1,1)$，它给出点集$x \in \partial {\mathbb D}$的Hausdorff维数，使得$|ϕ'( (1-ε) x)| = ε^{-s+o(1)}$为$ε\to 0$。我们严格地计算a.s. SLE的多重分形谱，证实了Duplantier的预测。作为推论，我们证实了Beliaev和Smirnov对a.s.我们得到了一个新的a.s. $κ\leq 4$的SLE曲线的Hausdorff维数。我们的结果也适用于SLE $_κ(\underline ρ)$过程的一般向量的重量$\underlineρ$。
Quasi-Sure Stochastic Analysis through Aggregation and SLE$_κ$ Theory
我们研究了SLE $_κ$理论与准确定随机分析的元素，通过聚集。具体来说，我们展示了如何后者可以用来构建SLE $_κ$迹准肯定（即同时为一个家庭的概率测度与某些属性）为$κ\in \mathcal{K}\cap \mathbb{R}_+ \setminus ([0, ε) \cup \{8\})$，为任何$ε>0$与$\mathcal{K} \subset \mathbb{R}_{+}$一个非平凡的紧凑的间隔，即所有的$κ$是不是在一个邻域中的零，并从$8$不同。作为分析的一个副产品，我们用这种语言展示了在紧凑间隔中所有$κ$的SLE $_κ$迹线的$κ$连续性的一个版本，如上所述。
Multiple SLE type scaling limits: from local to global
我们考虑的集合$N$弦随机曲线从一个临界晶格模型上的平面图，在极限时，细网格图近似一个简单的连通域。我们定义和研究候选人这样的限制共形不变的随机曲线，通过迭代Loewner方程产生的集合。这些曲线是早期引入的局部多SLE初始段到全局多SLE曲线的自然"域马尔可夫扩展“。为了实现它们作为缩放限制，我们提供了两个先验结果，以保证离散随机曲线的预紧性，并允许促进离散域马尔可夫性质的缩放限制。这些结果基本上只需要输入某些交叉条件，非常类似于Kemppainen和Smirnov介绍的那些，他们允许通过经典SLE收敛证明的鞅策略识别标度极限。使用这些结果的例子与收敛证明在各种格模型。
Regularity of the Schramm-Loewner evolution: Up-to-constant variation and modulus of continuity
本文研究了SLE的正则性，确定了至常数变化和连续模的最优界，并证明了自然参数化由ψ-变化的细网格极限给出。
Commutation relations for SLE
Schramm-Loewner演化（SLEs）描述了平面内具有特定共形不变性性质的单参数生长过程族。例如，SLE可以在单连通域中定义简单的随机曲线。在本文中，我们感兴趣的问题有关的定义在一个域（即几个随机曲线）的几个SLE。特别是，一个推导出无穷小的交换条件，讨论一些基本的解决方案，研究可积性条件以下的交换，并显示如何解除这些无穷小的关系，在简单的情况下，全球的关系。本文还讨论了多连通域中的情形。
Reversed radial SLE and the Brownian loop measure
布朗环测度是在研究Schramm-Loewner演化（SLE）时提出的平面环上的共形不变测度。当域中的SLE曲线从内点演化时，自然会考虑到达曲线并离开域的循环，但它们的度量是无限的。我们表明，有一个相关的归一化量是有限的和不变的莫比乌斯变换下的平面。我们估计这个量时，曲线是小的和域简单连接。然后，我们使用这个估计证明了一个公式的Radon-Nikodym衍生物的反向径向SLE相对于全平面SLE。
SLE and the free field: Partition functions and couplings
Schramm-Loewner演化（$\SLE$）是平面单连通区域中的随机曲线;在这样的区域中的无质量（欧几里德）自由场是随机分布。两者都具有共形不变性的性质。本文探讨了这两个客体之间的某些关系。我们建立了不同版本的$\SLE$和自由场与适当的边界条件之间的配分函数的身份，这涉及$ζ$-正则化和Polyakov-Alvarez共形异常公式。我们继续建设的耦合$\SLE$与自由场，表明，在精确的意义上，弦$\SLE$是一个随机的“微分”方程驱动的自由场的解决方案。存在性，唯一性的法律，和路径的唯一性，这些SDES一般PDMATHAMO证明。
Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees
证明了单连通区域$D$中环擦除随机游动的标度极限等于$D$中的径向SLE（2）路.特别地，极限存在并且是共形不变的。证明了Jordan域上的一致生成树的标度极限是存在的，并且是共形不变的。假设域的边界是一条$C^1$简单闭曲线，同样的方法被用来证明均匀生成树Peano曲线的缩放极限是连接$A$端点的$D$闭包中的弦SLE（8）路径，其中树沿着边界上的适当弧$A$连接。这个结果的一个副产品是SLE（8）几乎必然是由一条连续路生成的。
Green's function for chordal SLE curves
对于域$D$中的弦SLE $_κ$（$κ\in(0,8)$）曲线，在不同点$z_1,\dots,z_n\in D$处取值的$n$点格林函数被定义为$$G(z_1,\dots,z_n)=\lim_{r_1,\dots,r_n\downarrow 0} \prod_{k=1}^n r_k^{d-2} \mathbb{P}[\mbox{dist}(γ,z_k)<r_k,1\le k\le n],$$，其中$d=1+\fracκ{8}$是SLE $_κ$的豪斯多夫维数，前提是极限收敛。在本文中，我们将证明这样的格林函数存在于任何有限数量的点。在此过程中，我们提供了格林函数的收敛速率和连续模。最后，我们给出了它们的上至常数界。
The configurational measure on mutually avoiding SLE paths
我们定义了多个弦SLE在一个简单的连接域，考虑一个自然的配置措施的路径。我们将展示如何构造这些措施，使他们共形协变，并满足一定的边界扰动和马尔可夫性，以及级联关系。作为构造的一个例子，我们直接导出了两条路情形下Fomin恒等式的标度极限，即证明了SLE（2）和布朗游程不相交的概率可以用游程击中矩阵的行列式给出.最后，我们定义了Z^2上自避免游动的单参数测度族--
Multiple chordal SLE($κ$) and quantum Calogero-Moser system
本文研究带标记边界点的多重弦SLE($κ$)，利用共形场论Coulomb气体方法构造两类配分函数解，并证明其对应量子Calogero–Moser本征态。
Two-curve Green's function for $2$-SLE: the boundary case
证明了对于$κ\in(0,8)$，若$(η_1,η_2)$是具有解析边界点$z_0$的单连通域$D$中的$2$-SLEPDMATHABMP对，则对于某个$α>0$，$\lim_{r\to 0^+}r^{-α} \mathbb{P}[\mbox{dist}(z_0,η_j)<r,j=1,2]$收敛于正数，称之为双曲线格林函数.指数$α$等于$\frac{12}κ-1$或$2(\frac{12}κ-1)$，这取决于$z_0$是否是$η_1$和$η_2$的端点之一。我们还得到了格林函数对乘法常数的收敛速度和精确公式。为了得到这些结果，我们构造二维扩散过程，并使用正交多项式来获得它们的转移密度。
Boundary behaviour of RW's on planar graphs and convergence of LERW to chordal SLE$_2$
本文研究了可平面图上的随机游动，给出了关于格点域上游动的调和测度的一些估计，这些估计对于证明LERW（loop-erased随机游动）到SLE（stochastic Loewner evolution）的收敛性是有用的.我们假设从图的固定顶点开始的行走满足Yadin和Yehudayoff [16]中的不变原理，其中LERW收敛到径向SLE是在这种设置下建立的。我们主要考虑的是弦的情况，其中随机游动开始于一个简单连通的网格区域的边界顶点，并通过预先指定的另一个边界顶点退出。本文的主要贡献是一个估计，它指出，条件行走的行程离开其初始点的内在邻域不“沿”边界，但通过一个内在的内部域的概率很高。基于这个结果，我们给出了收敛到弦SLE的证明，最近Suzuki [12]在极限中产生的域的边界上的解析性假设下证明了这个结果。
Two-curve Green's function for $2$-SLE: the interior case
$2$-SLE $_κ$（$κ\in(0,8)$）是单连通域$D$中的一对随机曲线$(η_1,η_2)$，连接两对边界点，使得在任何曲线上条件化，另一条是互补域中的弦SLE $_κ$曲线.本文证明了对任何$z_0\in D$，极限$\lim_{r\to 0^+}r^{-α_0} \mathbb{P}[\mbox{dist}(z_0,η_j)<r,j=1,2]$存在，其中$α_0=\frac{(12-κ)(κ+4)}{8κ}$存在.这种极限称为双曲线格林函数。我们发现的收敛速度和确切的格林函数的公式的超几何函数的乘法常数。对于$κ\in(4,8)$，我们还证明了$\lim_{r\to 0^+}r^{-α_0} \mathbb{P}[\mbox{dist}(z_0,η_1\cap η_2)<r]$的收敛性，其极限是一个常数乘以以前的格林函数。为了得到这些结果，我们工作的两个时间参数的随机过程，并使用正交多项式导出的二维扩散过程，满足一些系统的转移密度。
Loewner chains and Hölder geometry
Loewner方程提供了连续实值函数$λ_t$和某些半平面壳$K_t$的递增族之间的对应关系。本文研究了$λ_t$的具体分析性质与$K_t$的几何性质之间的确定性关系。然而，我们的动机来自随机Loewner方程（SLE $_κ$），其中相关函数$λ_t$是标度布朗运动，相应的域$\mathbb{H} \backslash K_t$是Hölder域。我们证明了：如果递增族$K_t$是由一条简单曲线生成的，且最终定义域$\mathbb{H} \backslash K_T$是一个Hölder定义域，则相应的驱动函数具有类似于布朗运动的连续模.非正式地说，这与SLE $_κ$曲线是简单的并且它们的互补域是Hölder的事实相反，当$κ< 4$。我们还研究了一个类似的问题以外的简单的曲线设置，这非正式地对应于SLE制度$κ> 4$。在这个过程中，我们建立了一般的几何标准，保证$K_t$有一个唇$(1/2)$驱动功能。
Interface scaling limit for the critical planar Ising model perturbed by a magnetic field
本文研究受外部磁场扰动的临界平面伊辛模型，证明当磁场标度为 δ^{15/8} 阶时界面收敛到有质量 SLE₃，并给出其 Radon-Nikodym 导数，同时刻画了磁场更弱或更强时界面分别收敛到 SLE₃ 或退化为边界弧的完整相变图景。
Conformal loop ensembles and the stress-energy tensor
本文给出了共形场论（CFT）作为共形圈系综CLE_κ中的局部“对象”的应力-能量张量的构造，其中κ的所有值在稀区8/3 < κ<= 4（对应于中心荷0 < c <= 1，并包括所有CFT极小模型）.我们提供了一个快速介绍CLE，一个数学理论的随机循环在简单的连接域与共形不变性的性质，由谢菲尔德和维尔纳（2006年）。我们认为它的扩展到更一般的区域的定义，并作出各种假设，需要为我们的建设和预期举行CLE在稀释制度。使用这个，我们确定的应力-能量张量的CLE的上下文中。这是通过推导CLE概率函数中单次插入的相关共形沃德恒等式，以及单连通域上的适当边界条件;它在共形映射下的性质，包括Schwarzian导数;以及它在“相对配分函数”方面的一点平均来完成的。“这个结构的一部分与作者Riva和Cardy（2006）在SLE_{8/3}的上下文中发现的结构具有相同的精神，但被广泛推广，后者只处理单连通双曲区域中中心荷为零的情况。我们不使用CLE概率测度的显式构造，而仅使用其定义和预期的一般性质。
Connectivity of the adjacency graph of complementary components of the SLE fan
本文研究单连通区域上高斯自由场流线扇的补集结构，证明其分量的邻接图几乎必然连通，并证明扇作为集合几乎必然唯一确定构造中使用的每条流线。
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