On the reversal of radial SLE, I: Commutation Relations in Annuli
我们的目标是找到径向SLE的可逆性，并证明全平面SLE的可逆性。为此，我们在具有一个标记边界点的双连通域上定义了环面SLE $(κ,Λ)$过程。本文导出了环SLE $Λ$过程满足对易关系的偏微分方程。如果$Λ$满足这个偏微分方程，那么利用耦合技术，我们能够构造一个全局交换耦合的两个环SLE $(κ,Λ)$过程。当满足更多条件时，在简并情形下，耦合仍然存在，这就变成了两个全平面SLE $_κ$过程的耦合。全平面SLE $_κ$的可逆性来自这种耦合以及这样的环SLE $(κ,Λ)$迹线在标记点处结束的假设。因此，我们得出结论，这种环SLE $(κ,Λ)$迹线的极限是径向SLE $_κ$迹线的反转。最后，我们得到了$Λ$的偏微分方程的一些特解。
2017-07-21 math.PR
Trivariate Hypergeometric Series Formulas for Pure Partition Functions of Multiple $3$-SLE$_κ$
Michigan State University（密歇根州立大学）
通过求解Möbius归一化的三变量问题，用三变量超几何级数显式构造了多重3-SLE_κ的彩虹和邻接两种基本链接模式的纯配分函数，覆盖了κ∈(0,8)和κ∈(0,6]的范围。
2026-08-18 math.PR
On the smoothness of the partition function for multiple Schramm-Loewner evolutions
考虑多重弦Schramm-Loewner演化（$SLE_κ$）曲线上的测度.我们建立了一个导数估计，并利用它给出了一个直接的证明，即如果$κ<4$，则分拆函数是$C^2$。
2017-10-02 math.PR
Conformal transformations and the SLE partition function martingale
我们提出了一个实现在共形场论（CFT）的局部有限共形变换固定一个点。当不动点是原点或无穷远点时，我们给出明确的构造。这两种情况都涉及到维拉索罗代数的Borel子代数的幂。我们用它来建立相干态表示，并推导出一个密切的模拟威克定理的维拉索罗代数。这允许计算共形配分函数在非平凡的几何形状，从上半平面去除外壳获得。然后将其应用于随机Loewner演化（SLE）。我们给出了严格的推导方程，以前获得的作者，连接随机Loewner方程的表示理论的维拉索罗代数。给出了一个新的证明，证明了该构造枚举所有多项式SLE鞅。当从上半平面移除的壳之一是SLE壳时，我们证明了配分函数是概率学家已知的著名的局部鞅，从而揭开了它的CFT起源。
2003-05-30 hep-th math-ph math.MP
SLE and its partition function in multiply connected domains via the Gaussian Free Field and restriction measures
通过高斯自由场和限制测度，明确构造了多重连通域中κ=4的SLE，并证明其配分函数有限。
2026-01-30 math-ph math.MP math.PR
Multiple SLEs for $κ\in (0,8)$: Coulomb gas integrals and pure partition functions
University of Michigan（密歇根大学）；Capital Normal University（首都师范大学）；Aalto University（阿尔托大学）；University of Bonn（波恩大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文研究了κ∈(0,8)的多重SLEs，通过Coulomb气体形式化与 conformal场论 的关系，推导了SLE分区函数的性质，并展示了纯分区函数的分析特性及与Coulomb气体积分的联系。
2026-10-06 math-ph math.MP math.PR
UST branches, martingales, and multiple SLE(2)
Institut des Hautes Études Scientifiques（高等科学研究所）
本文研究了均匀生成树中多个边界到边界分支的局部标度极限，发现其为局部多重SLE(2)过程，并通过鞅可观测性和分区函数收敛性进行了证明。
2020-07-09 math-ph math.MP math.PR
Uniform Spanning Tree in Topological Polygons, Partition Functions for SLE(8), and Correlations in $c=-2$ Logarithmic CFT
该论文通过Coulomb气体积分和超椭圆行列式给出拓扑多边形中均匀生成树Peano曲线的SLE(8)配分函数，并解释为中心荷-2对数共形场论的关联函数，揭示了其对数现象和融合规则。
2024-05-31 math-ph math.MP math.PR
Coupling of Gaussian free field with general slit SLE
我们考虑高斯自由场与狭缝全纯随机流的耦合，称为（$δ,σ$）-SLE，其中包含已知的SLE过程（弦，径向和偶极）作为特殊情况。在物理方面，我们研究了具有一个标量玻色场的自由边界共形域论，其中格林函数被假定具有某些一般的正则调和部分。我们建立这些模型允许耦合（$δ,σ$）-SLE，或等价地，当相关函数诱导本地（$δ,σ$）-SLE鞅（鞅观测值）。
2016-10-10 math-ph math.MP math.PR
Global and Local Multiple SLEs for $κ\leq 4$ and Connection Probabilities for Level Lines of GFF
本文涉及多重Schramm-Loewner演化（SLE）的分类。利用$κ\in (0,4]$构造了多重SLE $(κ)$的纯分拆函数，并将其与某些极值多重SLE测度联系起来，从而验证了[BBK 05，KP 16]中的一个猜想.我们证明了构造多个SLE的两种方法-[KL 07，Law 09 a]的全局构型构造和[BBK 05，Dub 07，Gra 07，KP 16]的局部生长过程构造-是一致的。在临界统计力学模型中，纯分拆函数与交叉概率密切相关。在$κ= 4$的特殊情况下，我们用显式公式证明了这些函数给出了交替边界数据的高斯自由场（GFF）能级线的连接概率。我们还表明，某些函数，称为共形块，产生多个SLE（4），可以自然地耦合到GFF与适当的边界数据。
2019-03-03 math-ph math.MP math.PR
Conformal welding of quantum disks and multiple SLE: the non-simple case
本研究将量子圆盘的共形焊接推广至非简单情形，基于SLE与刘维尔共形场论的联系构造了多重SLE，并证明了其配分函数的存在性与性质。
2025-10-15 math-ph math.MP math.PR
SLE and Virasoro representations: localization
我们考虑Virasoro最高权重表示的一些概率和分析实现。具体来说，我们考虑措施的路径连接点标记的边界（有边）黎曼曲面。这些Schramm-Loewner演化（SLE）型测度是通过在道路空间中局部化的方法构造的。它们的分拆函数（总质量）是Virasoro表示的最高权重向量，作用量由Virasoro均匀化给出。我们审查的形式主义Virasoro一致化，它允许定义一个典型的行动Virasoro发电机上的功能（或部分）的一个适当扩展的Teichmüller空间。然后，我们描述了建设家庭的措施，道路指标的标记加边黎曼曲面。最后，我们将这两个概念表明，后者的分拆函数产生一个最高的重量表示-商的可约韦尔马模-为前者。
2014-10-07 math-ph math.MP math.PR
Multi-time Loewner energy: rate function for large deviation
Tsinghua University（清华大学）
本文研究了半水母SLE和多径SLE的大偏差原理，引入多时间Loewner能量作为率函数，并推导了其边界扰动性质。
2026-02-24 math.PR
Hypergeometric SLE: Conformal Markov Characterization and Applications
本文研究具有共形马尔可夫性和对称性的简单随机曲线对的分类问题。我们给出了这类曲线的完整分类：共形马尔可夫性和对称性，并从中选出一个双参数随机曲线族--超几何SLE--记为hSLE $_κ(ν)$（对于$κ\in (0,4]$和$ν<κ-6$）.证明依赖于Dubédat的交换关系[Dub 07]和唯一性结果证明[MS 16 b]。分类表明，超几何SLE是交替边界条件下拓扑矩形中临界格点模型（已证明或证明为共形不变量）中界面唯一可能的尺度极限。我们还证明了hSLE的各种属性：连续性，可逆性，目标独立性，和条件法表征。作为副产品，我们给出了这些属性的两个应用。第一个是关于关键的伊辛接口。我们证明了具有交替边界条件的矩形中Ising界面的收敛性。这个结果首先由Izyurov在[Izy 15]中证明，但我们的证明是新的，它是基于hSLE的性质。第二个应用是多个SLE的所谓纯分拆函数的存在。在[KP 16]中证明了$κ\in (0,8)\setminus \mathbb{Q}$的这种存在，随后在[PW 17]中证明了$κ\in (0,4]$的这种存在。利用hSLE的性质给出了$κ\in (0,6]$存在性的新证明.
2018-02-24 math.PR
Off-Critical SLE(2) and SLE(4): a Field Theory Approach
利用它们与自由玻色子和自由辛费米子的关系，我们研究了SLE（4）和SLE（2）的非临界微扰。我们计算的Loewner方程描述的二维界面的源的非临界统计。在这两种情况下，我们表明，大规模无质量的配分函数的比例，表示为大规模和无质量拉普拉斯算子的正则化行列式的比例，是（本地）无质量接口的鞅。Loewner方程的随机源中的非临界漂移与这些比率的对数导数成比例。我们还表明，大量的关联函数是（局部）鞅的大量接口。在大规模SLE（4）的情况下，我们使用该属性来证明自由玻色子测度的因式分解。
2009-09-04 math-ph math.MP math.PR
Multiple Schramm-Loewner evolutions for conformal field theories with Lie algebra symmetries
我们提供了多个Schramm-Loewner演化（SLEs）来描述具有李代数对称性的临界晶格模型中多个界面的标度极限。模型的临界行为由Wess-Zumino-Witten（WZW）模型描述。在李群和直线上引入多重布朗运动，构造了具有附加李代数对称性的多重SLE。通过WZW模型中的关联函数所满足的SLE鞅，可以理解所得到的SLE与WZW模型之间的联系。由于SLE迹之间的相互作用，这些布朗运动具有漂移项，该漂移项由相应WZW模型的配分函数确定。作为一个具体的例子，我们将该公式应用于su（2）k-WZW模型.利用模型中的融合规则，我们推测在配分函数和SLE迹的拓扑不等价配置之间存在一一对应。此外，通过求解Knizhnik-Zamolodchikov方程，我们精确地计算了三重SLE迹的某些配置的发生概率（即交叉概率）。
2012-10-31 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
On Natural Measures of SLE- and CLE-Related Random Fractals
本文构造并证明了几种随机分形（即SLE割点、SLE边界接触点、CLE枢轴点和CLE地毯/垫片）上自然测度的上至常数唯一性.作为应用，我们还证明了本文中定义的自然测度（即CLE枢轴测度和垫片测度）与临界连续平面Bernoulli渗流中计数测度的离散模拟之间的等价性[Garban-Pete-Schramm，J. Amer. Math. Soc.，2013年]。虽然CLE地毯/衬垫的自然测度的存在唯一性已在[Miller-Schoug，arXiv：2201.01748]中得到证明，但本文通过CLE与LQG的耦合给出了不同的论证.
2022-05-04 math.PR
Multiple radial SLE($κ$) and quantum Calogero-Sutherland system
本文发展了多重径向SLE($\kappa$)系统理论，证明其由配分函数等价类刻画，并构造四族零向量方程解，对应量子Calogero-Sutherland哈密顿量的本征态。
2025-10-08 math-ph math.MP math.PR
Multiple backward Schramm--Loewner evolution and coupling with Gaussian free field
将后向Schram-Loewner演化（SLE）与具有边界微扰的自由边界高斯自由场（GFF）耦合，得到量子表面的共形焊接。基于量子曲面上多个标记边界点共形焊接的推广，我们提出了多个后向SLE的概念。为此，我们研究了两个向后Loewner链之间的交换关系，因此，我们发现，每个向后Loewner链的驱动过程中必须有一个漂移项的对数导数的分拆函数，这是由一个系统的Belavin-Polyakov-Zamolodchikov方程，使这些Loewner链是交换的。在此观察之后，我们定义了一个多向后SLE作为一个元组的相互交换向后Loewner链。紧接着，多重后向SLE中的每个后向Loewner链被获得为后向SLE的Girsanov变换。我们还讨论了多重后向SLE与具有边界扰动的GFF的耦合，发现分拆函数和边界扰动是唯一确定的，使得它们彼此耦合。
2021-01-30 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Massive SLE$_4$, massive CLE$_4$ and the massive planar GFF
本研究通过重加权标准耦合分布，构建了有质量GFF与有质量SLE$_4$、有质量CLE$_4$的耦合，证明了有质量CLE$_4$与强度1/2的有质量布朗环汤的关联，验证了Camia猜想，且三者分布均具共形协变性。
2024-03-06 math-ph math.MP math.PR
Coupling of radial multiple SLE with Gaussian free field, and the hydrodynamic limit
Chuo University（中央大学）；Aalto University（阿尔托大学）
本文研究径向多重SLE，证明其与GFF耦合当且仅当由圆型戴森布朗运动驱动，并给出该设定下流体动力学极限的明确描述。
2026-09-02 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Coset construction of Virasoro minimal models and coupling of Wess-Zumino-Witten theory with Schramm-Loewner evolution
Schramm-Loewner演化（SLE）是一种随机过程，它给出了分形曲线的有用描述。自它问世以来，人们对系统线性化与共形场论（CFT）之间的联系进行了大量的研究。在本文中，我们开发了一种新的方法耦合SLE与Wess-Zumino-Witten（WZW）模型$SU(2)$，CFT的一个例子，依赖于Virasoro极小模型的陪集构造。先前的工作[Bettelheim { \it et al.}，物理修订信函{ \bf 95}，251601（2005）]和[Alekseev { \it et al.}，Lett. Math. Phys. { \bf 97}，243-261（2011）]，其中$SU(2)$的广义SLE中的参数与相应的$SU(2)$ -WZW模型的水平相关。本工作揭示了如何选择参数的机制，并给出了一个简单的证明，在这些以前的工作中的结果，揭示了一个新的角度SLE/WZW耦合。
2018-09-25 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Classification of commutation relation for multi-radial SLE
Tsinghua University（清华大学）
本文对多径向SLE的局部交换关系进行分类，确定解空间维数及Ward参数，并构造正解基，揭示奇偶性差异，为SLE提供整体实现。
2026-09-18 math-ph math.AP math.MP
Multiple chordal SLE($κ$) and quantum Calogero-Moser system
本文研究带标记边界点的多重弦SLE($κ$)，利用共形场论Coulomb气体方法构造两类配分函数解，并证明其对应量子Calogero–Moser本征态。
2025-06-06 math-ph math.CV math.MP
Asymptotic of Coulomb gas integral, Temperley-Lieb type algebras and pure partition functions
本文研究Coulomb气体积分渐近性，利用Temperley-Lieb型代数的曲流矩阵证明多重SLE(κ)基态解的线性无关性，并据此构造纯配分函数。
2025-06-06 math-ph math.MP math.PR
Point Processes and Multiple SLE/GFF Coupling
在系列讲座中，我们将讨论随机点、曲线和曲面的概率定律。本文首先简要回顾了鞅、一维布朗运动（BM）和$D$ -维Bessel过程BES $_{D}$，$D \geq 1$的概念，然后研究了Dyson的含参数$β>0$的布朗运动模型DYS $_β$，它被认为是BES $_D$的多元扩展，关系为$β=D-1$ .其次，利用Hilbert函数空间的再生核，在单位圆盘和圆环上定义了高斯解析函数。作为GAF的零点，得到了决定点过程和永久决定点过程。然后，引入了带参数$κ>0$，SLE $_κ$的Schram-Loewner演化，它由${\mathbb{R}}$上的BM驱动，在上半复平面${\mathbb{H}}$上生成了随机曲线的一族共形不变概率律.我们认为SLE $_κ$是BES $_D$与关系$κ=4/(D-1)$的复合化。讲座的最后一个主题是多SLE $_κ$的构建，它由${\mathbb{R}}$上的$N$ -粒子过程驱动，并在${\mathbb{H}}$中生成$N$相互作用的随机曲线。我们证明了多重SLE/GFF耦合成立，当且仅当${\mathbb{R}}$上的驱动$N$ -粒子过程与DYS $_β$具有关系$β=8/κ$。
2022-08-12 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Boundary Partitions in Trees and Dimers
给定一个有限的可平面图，grove是一个生成森林，其中每个组成树都包含一个或多个指定的顶点（称为节点）。对于groves上的一致测度，我们计算了grove中不同可能节点连接的概率。这些概率仅取决于图的边界测量，而不取决于实际的图结构，即，概率可以表示为节点之间成对电阻的函数，或者等效地表示为节点上Dirichlet-to-Neumann算子（或响应矩阵）的函数。这些公式可以被比作广义（跨越森林）的卡迪的渗透交叉概率，并推广基尔霍夫公式的电阻。值得注意的是，当适当归一化时，连接概率实际上是矩阵项中的整数系数多项式，其中系数具有自然的代数解释并且可以组合计算。在所谓的双二聚体模型中也存在类似的现象：边界结点的连接概率是某些边界测量的多项式函数，并且作为形式多项式，它们是格罗夫多项式的特殊化。在采取标度限制，我们表明，双二聚体连接概率与高斯自由场中的轮廓线与某些自然边界条件相吻合。这些结果直接应用于多链SLE_2，SLE_8和SLE_4的连接概率。
2009-01-19 hep-th math.CO math.PR
Liouville quantum gravity: from random planar maps to conformal field theory
本文综述LQG如何作为随机平面地图标度极限的随机共形几何，并阐明其通过SLE/LQG耦合与Liouville CFT、二维量子引力及统计物理相联系的研究进展。
2025-10-18 math.PR
Conformal invariance of boundary touching loops of FK Ising model
在这篇文章中，我们展示了一个循环合奏的接口在FK伊辛模型在临界收敛，作为晶格网格趋于零，一个独特的共形不变的标度限制。离散循环合奏所描述的一个典型的树胶合的接口，然后示出收敛到一个树的分支SLE。该环系综包含无限多个环，因此我们的结果描述了无限多个环的SLE型过程的联合律，并给出了FK伊辛模型在界面随机几何意义下的满标度极限.本文中的其他一些结果是循环集合（或探索树的分支）的探索过程收敛到SLE $(κ,κ-6)$，$κ=16/3$，以及$4$标记点的此过程的推广收敛到SLE $[κ,Z]$，$κ=16/3$，其中$Z$指的是配分函数。后一个SLE流程不能写成SLE $(κ,ρ_1,ρ_2,\ldots)$流程，后者是最常考虑的SLE概括。
2019-06-30 math-ph math.MP math.PR
The Loewner difference equation and convergence of loop-erased random walk
当曲线由容量参数化时，我们重新讨论了环擦除随机游动（LERW）到SLE（2）的收敛性。我们构造了一个弦版本的LERW和弦SLE（2）的基础上的格林函数的LERW作为鞅观测和使用一个基本的离散时间Loewner“差分”方程的耦合。这种耦合不同于先前在此上下文中考虑的耦合。我们最近的工作（arXiv：1603.05203）对长度参数化的LERW收敛到Minkowski内容参数化的SLE（2）使用了这里构造的耦合的特定特征。
2017-04-09 math.CV math.PR
Brownian paths as loop-decorated SLEs
University of Vienna（维也纳大学）；École Normale Supérieure de Lyon（里昂高等师范学院）
通过将布朗循环汤中的循环按时间顺序添加到SLE$_2$路径上，得到具有平面布朗运动分布的连续路径，解决了Lawler和Werner的猜想。
2026-02-04 math-ph math.MP math.PR
Gaussian free fields coupled with multiple SLEs driven by stochastic log-gases
Miller和Sheffield在共形等价的条件下引入了虚曲面的概念，虚曲面是$\mathbb{C}$的单连通真子域对与其上的高斯自由场（GFF）的等价类。他们考虑的情况下，共形映射是由弦Schram-Loewner演变（SLE）。在本文中，我们构造了上半平面$\mathbb{H}$和$\mathbb{C}$的第一正交元$\mathbb{O}$上的GFF值过程，通过在每个区域上耦合一个GFF和一个随时间演化的多重SLE。证明了$\mathbb{H}$和$\mathbb{O}$上的GFF与多重SLE局部耦合，如果多重SLE分别由定义在$\mathbb{R}$上的Dyson模型和定义在$\mathbb{R}_+$上的Bru-Wishart过程驱动.我们得到对时间演化域和GFF值过程。
2021-07-14 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
