Mean Curvature Flow and Bernstein-Calabi Results for Spacelike Graphs
Guanghan Li, Isabel M. C. Salavessa
本文综述了我们在伪黎曼积的类空图子流形上的工作，即Heinz-Chern和Bernstein-Calabi的结果以及中曲率流，并应用于黎曼流形之间映射的同伦。
This is a survey of our work on spacelike graphic submanifolds in pseudo-Riemannian products, namely on Heinz-Chern and Bernstein-Calabi results and on the mean curvature flow, with applications to the homotopy of maps between Riemannian manifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Bernstein type theorems for spacelike stationary graphs in Minkowski spaces
对于Minkowski空间中的整类空平稳二维图，在W-函数或全（高斯）曲率的有界性假设下，建立了Bernstein型定理.这些结论包含了经典的三维欧几里得空间中极小曲面的Bernstein定理和三维Minkowski空间中类空极大曲面的Calabi定理.
Complete Spacelike Hypersurfaces in Generalized Robertson-Walker and the Null Convergence Condition. Calabi-Bernstein problems
研究了广义Robertson-Walker时空中的常中曲率类空超曲面，它们是空间抛物覆盖的（即其纤维F是一个泛覆盖为抛物的（非紧）完备黎曼流形），并且满足零收敛条件.特别是，我们提供了适当的数学和物理假设下的几个刚性结果。我们特别注意GRW时空是爱因斯坦的情况。作为应用，给出了一些Calabi-Bernstein型结果.
A Bernstein theorem for complete spacelike constant mean curvature hypersurfaces in Minkowski space
得到了Minkowski空间中完备类空常平均曲率超曲面到双曲空间的Gauss映射的梯度估计。作为应用，我们证明了一个Bernstein定理，即如果Gauss映射的像是从一侧有界的，则类空常平均曲率超曲面一定是线性的。这个结果推广了B. Palmer和Y.L.其中他们假设高斯映射的像是有界的。我们还证明了四维空间中具有平行平均曲率向量的类空完备曲面的Bernstein定理。
Constant mean curvature spacelike hypersurfaces in Lorentzian warped products and Calabi-Bernstein type problems
本文在适当的几何假设下，给出了Lorentz翘曲积中完全抛物型常中曲率类空超曲面的唯一性和不存在性结果.由于这个参数的研究，我们得到了非常普遍的唯一性和不存在的结果，一个大家庭的一致椭圆EDP的，所以解决了卡拉比-伯恩斯坦问题在一个广泛的家庭的时空。
Calabi affine maximal surfaces and centroaffine Bernstein problems
研究受卡拉比计算启发，通过正交标架场和科达齐方程对特殊卡拉比仿射极大曲面等进行局部分类，构造出新的完整曲面，所建完整中心仿射极值超曲面解决了李 - 李 - 西蒙提出的五个中心仿射伯恩斯坦问题。
Calabi-Bernstein type results for critical points of a weighted area functional in $\mathbb{R}^{3}$ and $\mathbb{L}^{3}$
研究加权面积泛函临界点，证明R^3中高斯映射位于开半球紧子集的完备[φ,e3]-极小曲面的Calabi-Bernstein型及非存在性结果，并给出L^3中类空[φ,e3]-极大曲面的一般非存在性结果及有界φdot时的Calabi-Bernstein型结果。
Minimal spacelike surfaces and the graphic equations in R^4_1
本文研究了Bernstein定理在四维Minkowski向量空间型的极小类空曲面上的推广，得到了一类具有非零Gauss曲率的极小类空曲面。这是两个椭圆型非线性方程组的整解类，它是$\mathbb R^3$的极小图方程的推广。因此，我们证明了所谓的伯恩斯坦性质一般不适用于$\mathbb R^4_1$中的图形类空曲面的情况。此外，我们还明确地得到了共轭极小类空曲面，并给出了广义柯西-黎曼方程局部解连续扩张的必要条件.
Bernstein-type theorem for constant mean curvature surfaces in the isotropic 3-space
针对各向同性三维空间$\boldsymbol{\text{I}}^3$中的常平均曲率曲面，通过证明其高斯曲率值分布定理，得到了对应常平均曲率图的伯恩斯坦型定理，拓展了该领域的理论成果。
Compact spacelike surfaces whose mean curvature function satisfies a nonlinear inequality in a 3-dimensional Generalized Robertson-Walker spacetime
研究了广义Robertson-Walker时空中中曲率函数满足自然非线性不等式的类空曲面。证明了此类紧致类空曲面的唯一性和不存在性。在非参数的情况下，新的Calabi-Bernstein型问题解决的结果。
Spacelike hypersurfaces in twisted product spacetimes with complete fiber and Calabi-Bernstein-type problems
本文研究了含完全纤维的扭曲乘积时空$I\times_f F$中的类空超曲面。给出了保证全局双曲性的几个条件，以及$I\times_f F$中每个类空超曲面成为简单翘曲积所需的关系。当假设纤维是封闭的（紧的且无边界的）且周围时空具有适当的膨胀行为时，得到了常中曲率超曲面的不存在性结果.在同样的假设下，给出了紧致极大超曲面的一个特征，并对全脐超曲面的中曲率作了适当的限制。本文还描述了具有一维洛伦兹纤维的$I\,{ }_{f}\!\!\times F$形式的扭曲乘积时空中的极大超曲面。最后，计算了纤维上类空图的中曲率方程，并证明了一些Calabi-Bernstein型结果.我们还包括在附录中的一些已知的共形几何的结果，描述了相关的张量和运营商的作用下的共形映射在伪黎曼背景下的转换。
Calabi-Bernstein results for maximal surfaces in Lorentzian product spaces
本文建立了浸入$M^2\times\mathbb{R}_1$型Lorentz乘积空间的极大曲面的新的Calabi-Bernstein结果，其中$M^2$是连通的黎曼曲面，$M^2\times\mathbb{R}_1$被赋予Lorentz度量$<,>=<,>_{M}-dt^2$ .特别地，当$M$是具有非负高斯曲率$K_M$的黎曼曲面时，我们证明了$M^2\times\mathbb{R}_1$中的任何完备极大曲面必是全测地的。此外，如果$M$是非平坦的，我们得出结论，它必须是一个切片$M\times\{t_0\}$，$t_0\in\mathbb{R}$（这里的“完全”通常意味着，从环境洛伦兹度规在最大曲面上导出的黎曼度规是完全的）。我们证明了同样的情况下，如果最大的表面是完整的关于度量诱导从黎曼产品$M^2\times\mathbb{R}$。这使得我们也给一个非参数版本的卡拉比-伯恩斯坦定理的整个极大图在$M^2\times\mathbb{R}_1$，在相同的假设下，$K_M$。此外，我们还构造了反例，证明了在没有假设$K_M\geq 0$的情况下，我们的Calabi-Bernstein结果不再成立。这些例子是通过最小和最大图之间的对偶结果构造的。
Generalized Calabi correspondence and complete spacelike surfaces
本文构造 Riemannian 与 Lorentzian Killing 浸没间给定平均曲率图的孪生对应，推广 Calabi 对应，并用于研究完备类空曲面的模空间。
Improvement of the Bernstein-type theorem for space-like zero mean curvature graphs in Lorentz-Minkowski space using fluid mechanical duality
Calabi的Bernstein型定理证明了Lorentz-Minkowski空间$\boldsymbol L^3$中的中曲率为零的整图是类空平面。利用欧氏空间$\boldsymbol E^3$中极小曲面与Lorentz-Minkowski空间$\boldsymbol L^3$中极大曲面之间的流体力学对偶性，给出了Bernstein型定理的一个改进.更精确地说，我们证明了$\boldsymbol L^3$中的一个中曲率为零的整图是一个平面，它不允许类时点（即一个图只包含类空点和类光点）。
Bernstein-type theorem for zero mean curvature hypersurfaces without time-like points in Lorentz-Minkowski space
Calabi和Cheng-Yau的Bernstein型定理证明了Lorentz-Minkowski $(n+1)$ -空间$\boldsymbol R^{n+1}_1$中只允许类空点的整零中曲率图是超平面。最近，第三和第四作者证明了超曲面在退化类光点处的直线定理。利用这一点，我们改进了Bernstein型定理，证明了$\boldsymbol R^{n+1}_1$中仅由类空点或类光点组成的整中曲率图是超平面.这是第一、第三和第四作者以前关于$n=2$的结果的推广。
On maximal hypersurfaces in Lorentz manifolds admitting a parallel lightlike vector field
本文研究了常中曲率类空超曲面，特别是满足类时收敛条件的p-波时空中的极大超曲面。证明了不存在常中曲率不为零的紧致类空超曲面，并证明了每个紧致极大超曲面都是全测地的。此外，我们还将经典的Calabi-Bernstein定理推广到这类pp波时空。
Three Bernstein type theorems for hypersurfaces with zero Gaussian curvature
本文研究了具有零高斯曲率的凸超曲面在欧几里得和闵氏背景下，证明了在特定条件下这些超曲面必须为超平面，并通过例子说明了额外条件的重要性。
Rigidity and non-existence of spacelike submanifolds with causal mean curvature vector field in spacetimes and the Cauchy problem in General Relativity
给出了时空中类空子流形的不存在性和刚性的新的一般结果，其中时空的中曲率是面向时间的因果向量场。这些结果适用于广泛的一类时空，其中包括全球双曲时空，静止时空，共形静止时空和PP波时空等。此外，应用广义相对论中的柯西问题。最后，在超曲面的情况下，我们也得到了重要的后果，在几何分析，解决新的Calabi-Bernstein和狄利克雷问题的黎曼流形。
Notes on Chern's Affine Bernstein Conjecture
完备仿射极大曲面有两个著名的定理，一个是E.卡拉比，另一个给党卫军。陈大约十年前，通过研究相关的欧拉-拉格朗日方程，用不同的方法解决了这两个问题。本文综述了陈省身猜想的两个证明，特别是补充了文[L-X-S-J]中遗漏的辅助材料的证明细节。我们在引言中描述了相关背景。我们的调查是合适的，作为一个报告，最近的发展和技术，在某些蒙日-安培方程的研究。
Graphic Bernstein Results in Curved Pseudo-Riemannian Manifolds
我们推广了Albujer和Alías的Bernstein型结果，对于形式为$Σ_1\times \mathbb{R}$的弯曲Lorentz乘积3-流形中的极大曲面，推广到高维和余维。我们考虑$M$是一个具有平行平均曲率的完备类空图子流形，它由截面曲率分别为$K_1$和$K_2$的两个黎曼流形$(Σ_1^m, g_1)$和$(Σ^n_2, g_2)$之间的映射$f: Σ_1\to Σ_2$定义.我们采用伪黎曼乘积度量$g_1-g_2$作为$Σ_1\times Σ_2$。在曲率条件$\mathrm{Ricci}_1 \geq 0$和$K_1\geq K_2$下，证明了若$M$的第二基本形式满足可积性条件，则$M$是全测地线，若$\mathrm{Ricci}_1(p)>0$在某点是切片.对于有界的$K_1$，$K_2$和双曲角$θ$，我们得出$M$必是极大的.若$M$是极大曲面且$K_1\geq K_2^+$是极大曲面，则证明了$M$是全测地曲面，无需进一步的假设.此外，$M$是一个切片，如果在某个点$p\in Σ_1$，$K_1(p)> 0$，如果$Σ_1$是平坦的，$K_2<0$在某个点$f(p)$，那么$f$的图像位于$Σ_2$的测地线上。
A survey on Bernstein-type theorems for entire graphical surfaces
本文综述欧几里得与Lorentz-Minkowski空间中图曲面的Bernstein型定理，涵盖极小图、Heinz型平均曲率估计、常平均曲率图及Calabi-Bernstein定理。
Complete centroaffine extremal hypersurfaces and centroaffine Bernstein conjecture
本文通过构造两类完全中心仿射极值超曲面，反驳了中心仿射Bernstein猜想，表明在欧氏完备性（$n\ge2$）和中心仿射完备性（$n\ge3$）下该猜想均不成立。
Some aspects of the global geometry of entire space-like submanifolds
证明了伪欧几里得空间中整类空子流形的Bernstein定理，作为推论，得到了Monge-Ampere方程整体解的Calabi-Pogorelov定理的一个新证明.
Dual quadratic differentials and entire minimal graphs in Heisenberg space
在具有4维等距群的Lorentz齐性空间$\mathbb{L}(κ,τ)$中，定义了具有常中曲率的类空曲面的全纯二次微分，它与黎曼空间$\mathbb{E}(κ,τ)$中的Abresch-Rosenberg微分对偶，并得到了一些结果.一方面，我们给出了Heisenberg空间中Bernstein问题的一个简短证明，并给出了具有相同微分的整图族的一个2-参数共形变形的几何描述。另一方面，我们证明了Heisenberg空间中的整极小图具有负Gauss曲率。
On the conformal duality between constant mean curvature surfaces in $\mathbb{E}(κ,τ)$ and $\mathbb{L}(κ,τ)$
本调查文件的主要目的是收集一些结果有关卡拉比型对偶发现Hojoo李之间的某些家庭（类空）图与常数中曲率黎曼和洛伦兹齐次3流形等距群的4维。对偶是共形的，交换了中曲率和丛曲率，我们将通过给出一个更一般的关于共形浸入的陈述来重温它。这将表明，在$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$中的具有中曲率$\frac{1}{2}$的曲面或海森堡空间中的极小曲面的理论中的某些特征，根据它们的对偶洛伦兹对应物，具有很好的几何解释。我们将简要地讨论一些应用，如Heisenberg空间中整个极小图的梯度估计或完全类空曲面的存在性，我们还将统一处理对偶关于环境等距的行为。最后，在最后一节中提出了一些开放性问题。
Parabolicity of maximal surfaces in Lorentzian product spaces
本文建立了浸入Lorentz积空间$M^2\times\mathbb{R}_1$的极大曲面的抛物性准则，其中$M^2$是具有非负高斯曲率的连通黎曼曲面，$M^2\times\mathbb{R}_1$被赋予Lorentz乘积度量$<,>=<,>_M-dt^2$ .特别地，作为我们的主要结果的应用，我们推导出星形整环$Ω\subseteq M$上的每一个极大图都是抛物的。这使我们能够给出另一种证明的非参数版本的Calabi-Bernstein结果的整个极大图在$M^2\times\mathbb{R}_1$。
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