New Representations of Catalan's Constant, Apery's Constant and the Euler Numbers Obtained from the Half Hyperbolic Secant Distribution
本文利用半双曲正割分布及相关统计量，导出了卡塔兰常数、阿佩里常数的新积分与级数表示及其界，并得到欧拉数的积分表示。
2025-02-10 math.NT
An Apéry-like difference equation for Catalan's constant
本文通过创造性 telescoping 算法推导Catalan常数线性形式的二阶差分方程，提供快速计算新方法及连分数展开，并推广至ζ(4)。
2002-10-28 cs.NA math.CA math.NA
A note on products involving zeta(3) and Catalan's constant
在最近的一份文件卡奇和Tzerkirt给初等证明四个产品公式涉及zeta（3），π，和加泰罗尼亚的常数。他们表示，他们无法直接从Borwein和Dykshoorn于1993年引入的函数值推导出这些产品。我们在这里提供了这样的两个公式的证明。另外两个公式的直接证明是利用Adamchik的Borwein-Dykshoorn函数的推广。最后给出了Borwein-Dykshoorn函数在Xia于2013年提出的“参数化欧拉常数函数”下的表达式，它恰好是K.和T. 2010年的Hessami Pilehrood。
2014-04-27 math.NT
On two families of period integrals related to Catalan's constant
University of Winnipeg（温尼伯大学）
本文研究由Catalan常数混合动机构造产生的3参数周期积分族，证明其与Rivoal等人考虑的超几何周期积分族密切相关。
2026-09-23 math.NT
On Catalan Constant Continued Fractions
Ramanujan Machine项目检测与感兴趣的常量相关的新表达式，例如$ζ$函数值、$γ$和代数数（仅举几例）。特别是该项目列出了一些关于加泰罗尼亚常数$G= 0.91596559\ldots$我们展示了如何产生无限多的approaches。我们使用了一个特别的软件工具链和相当繁琐的数学开发。因为我们没有提供一个适当的同行评审证明的关系在这里，我们不要求他们是定理。
2022-11-18 cs.DM cs.SC math.NT
Are the Catalan Numbers a Linear Recurrence Sequence?
我们通过提供四个证明来否定地回答标题中的问题。
2021-07-22 math.CO math.NT
Positive rational series for reciprocal powers of Catalan's constant and Dirichlet beta values
University of North Texas（北德克萨斯大学）
该研究构建了两类Dirichlet beta函数倒数幂的正项级数，推导了系数公式与收敛性质，得到卡塔兰常数及π的倒数幂的正有理级数表达式。
2026-08-04 math.NT
Mixed motives and linear forms in the Catalan constant
University of Winnipeg（温尼伯大学）；University of Toronto（多伦多大学）；Chiba University（千叶大学）
本文通过构造混合动机，将Catalan常数作为周期，并利用该动机获得1和G的线性形式及其系数。
2026-09-01 math.AG math.NT
Improved rational approximations to Catalan's constant
University of Winnipeg（温尼伯大学）
本文在Rivoal等人工作的基础上，构造了新的显式有理逼近序列，将Catalan常数的逼近误差指数从0.52改进到0.62。
2026-09-23 math.NT
New Wallis- and Catalan-Type Infinite Products for $π, e$, and $\sqrt{2+\sqrt2}$
本文将Wallis的1655型$π/2$无穷乘积推广到$(π/K)\csc(π/K)$无穷乘积，并给出了$π/4, 2, \sqrt{2+\sqrt2}, 2π/3\sqrt3,$和其它常数的Wallis型乘积.证明使用一个经典的无穷乘积公式，涉及伽玛函数。我们还扩展加泰罗尼亚的1873年的无限产品的自由基$e$加泰罗尼亚型产品$e/4,\sqrt{e}$，和$e^{3/2}/2$。这里的证明使用斯特林公式。最后，我们找到了一个类似的$e^{2/3}/\sqrt3$的Pippenger 1980年的无限产品的$e/2$，我们猜想，他们可以推广到产品的一个权力的$e^{1/K}$。
2010-05-15 math.CA math.HO math.NT
Sums of powers of Catalan triangle numbers
在本文中，我们考虑组合数$C_{m, k}$为$m\ge 1$和$k\ge 0$，它统一了加泰罗尼亚三角形$ B_{n, k}$和$ A_{n, k}$的条目，参数$m$和$k$的适当值，即，$B_{n, k}=C_{2n,n-k}$和$A_{n, k}=C_{2n+1,n+1-k}$。事实上，其中一些数字是著名的加泰罗尼亚数字$C_n$，即$C_{2n,n-1}=C_{2n+1,n}=C_n$。给出了$C_{m,k}$的递推关系、线性和及交错和的新恒等式.之后，我们检查$C_{m,k}$的平方和和立方的和（以及交替和），从而检查$ B_{n, k}$和$ A_{n, k}$。特别是，这些等式之一解决了\cite{[GHMN]}中提出的一个开放问题。我们还提出了一些涉及调和数$H_n$和Catalan三角形数$C_{m,k}$的线性恒等式.最后，在最后一节中，新的开放问题和涉及$C_n$的身份被澄清。
2016-02-13 math.NT
Vacca-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative
我们推广著名的加泰罗尼亚型积分的欧拉常数的广义欧拉常数函数及其衍生物的值。利用这些整表示中出现的母函数，我们给出了广义Euler常数函数值的新的Vacca和Ramanujan型级数以及广义Euler常数函数及其导数值的Addison型级数.因此，我们得到了$\log\frac{4}π,$ $\frac{G}π$（其中$G$是Catalan常数）、$\frac{ζ'(2)}{π^2}$以及Somos常数和Glaisher-Kinkelin常数的基$B$有理级数.
2008-08-04 math.NT
Note On the Irrationality of the L-Function Constants L(s, X)
本文给出了β L函数的特殊值L（n，X）（n > 1）的无理性的统一证明。第一种情况n = 2似乎证实了加泰罗尼亚常数L（2，X）是一个无理数。
2012-10-12 math.NT
Hypergeometry inspired by irrationality questions
我们报告新的超几何结构的有理逼近Catalan的常数，$\log2$，和$π^2$，他们的连接与已知的，和潜在的“置换群“的结构。我们的主要算术成果是黎曼zeta函数在奇数处的值的一个新的部分无理数结果。
2018-08-05 math.CA math.CO math.NT
Evaluation of multivariate integrals based on a duality identity for the Stieltjes transform
一个详细的研究的二重积分表示的加泰罗尼亚常数，使我们能够确定一个对偶身份的斯蒂尔切斯变换的基础上。然后将这个对偶恒等式推广到任意维积分，并推导出几种特殊情况。在此过程中，我们还强调了与黎曼ζ函数的一些多元推广的关系。
2022-10-26 math.NT
Summatory relations and prime products for the Stieltjes constants, and other related results
Stieltjes常数$γ_k(a)$出现在Hurwitz zeta函数$ζ(s,a)$的Laurent展开式的常规部分。我们提出这些常数$γ_k(a)$的基本数学常数，如加泰罗尼亚常数方面的总结性结果，并进一步将它们与素数的有理函数的产品。我们提供的例子，无限系列的差异Stieltjes常数评估为体积双曲$3$ -空间。我们提出了一个新的级数表示的第一Stieltjes常数在合理的论点的差异。我们得到了$ζ(1/2)L_{-p}(1/2)$的表达式，其中对于素数$p>7$，$L_{-p}(s)$是某些$L$ -系列，以及值$ζ(1/2)$的显着紧界，$ζ(s)=ζ(s,1)$是黎曼ζ函数。
2017-01-19 math.CV math.NT
On the Connection Between Irrationality Measures and Polynomial Continued Fractions
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；Google Inc.（谷歌公司）
本文探讨了多项式连分数与无理数度量之间的联系，扩展了阿佩里工作，提出关于PCFs生成的DAs的一般结论和猜想，并应用于基本常数的逼近。
2024-03-22 math.NT
Identities inspired by the Ramanujan Notebooks, second series
一系列的公式都是由拉马努金笔记本[6]的启发。其中之一出现在笔记本II约泽塔（3）。这个公式启发了其他出现在1998年，2006年和2009年作者的网站上以及后来的文献[1][2][3]。新的公式π和加泰罗尼亚常数提出了一系列令人惊讶的近似。给出了Eisenstein级数的一组新的恒等式。所有公式都是实验上发现的，所以都是理论上的。提出了一种计算p（n）的新方法。
2011-03-14 math.NT
List of conjectural series for powers of $π$ and other constants
作者给出了完整的列表，他的系列的权力$π$和其他重要常数分散在他的一些公共文件或他的私人日记。该列表包含234个合理的地理序列。清单上有178个合理的$π^{-1}$系列，4个$π^2$系列，2个$π^{-2}$系列，4个$π^4$系列，2个$π^5$系列，3个$π^6$系列，7个$ζ(3)$系列，1个$πζ(3)$系列，2个$π^2ζ(3)$系列，1个$ζ(3)^2$系列，3个$ζ(3)^2$和$π^6$同时涉及的系列，1个$ζ(5)$系列，涉及$ζ(5)$和$ζ(2)ζ(3)$两者的三个系列，涉及$πζ(5)$和$π^3ζ(3)$两者的两个系列，涉及$ζ(7)$的三个系列，用于$K=L(2,(\frac{\cdot}{3}))$的三个系列，用于加泰罗尼亚常数$G$的一个系列，用于$πG$的两个系列，涉及$π^3G$和$π^2ζ(3)$两者的一个系列，用于$πK$的两个系列，涉及$L=L(4,(\frac{\cdot}3))$的两个系列，涉及$β(4)=L(4,(\frac{-4}{\cdot}))$的三个系列，$π^2\log a$和$a=2,3,(\sqrt5+1)/2$的四个系列。当且仅当有完整的身份证明时，一个序列的代码才加下划线。
2014-12-29 math.CA math.CO math.NT
Approximate expressions for mathematical constants from PSLQ algorithm: a simple approach and a case study
在本文中，我提出了一个简单的PSLQ代码，用于在一定的精度范围内寻找数学常数的最佳有理系数的零线性组合。作为一个例子，我探索近似表达式的Apéry常数$\,ζ{(3)} = \sum_{n\ge1}{\,1/n^3}$，无理数，没有确切的，有限的封闭形式的表达是已知的。为此，我选择了一个合适的搜索基础，由似乎与$\,ζ{(3)}$密切相关的数字组成，即$\,π$，$\,\ln{2}\,$，$\,\ln{(1+\sqrt{2}\,)}$和$G$（加泰罗尼亚常数）。考虑到合适的搜索基础，我找到了一个精确到小数点后21位的$\,ζ{(3)}\,$简单表达式，比之前最好的表达式精确三倍。由于这里提供的简短的\emph{Maple} $^\mathrm{TM}$代码可以很容易地用于研究其他常数，我决定提供它以鼓励读者进行自己的计算实验，以及在数值分析，数论或线性代数的项目中采用它。
2012-08-25 math.HO math.NT
On the interplay among hypergeometric functions, complete elliptic integrals, and Fourier-Legendre expansions
受我们以前关于超几何函数和parbelos常数的工作的启发，我们对广义完全椭圆积分、Fourier-Legendre（FL）级数展开和${}_p F_q$级数之间的相互作用进行了更深入的研究。我们通过使用如下概述的积分方法，为涉及调和数的新级数产生新的超几何变换和封闭形式的求值：让$K$表示第一类完全椭圆积分，对于合适的函数$g$，我们以两种不同的方式求值积分，例如$$ \int_{0}^{1} K\left( \sqrt{x} \right) g(x) \, dx $$：（1）通过将$K$展开为麦克劳林级数，可能在变换或变量变换之后，然后逐项积分;以及（2）通过将$g$展开为移位FL级数，然后逐项积分。使这两种方法产生的表达式相等通常会给我们新的封闭形式的求值，如在包含Catalan常数$G$ $$ \sum _{n = 0}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{H_{n + \frac{1}{4}} - H_{n-\frac{1}{4}}}{16^{n} } = \frac{Γ^4 \left(\frac{1}{4}\right)}{8 π^2}-\frac{4 G}π,$$ $$ \sum _{m, n \geq 0} \frac{\binom{2 m}{m}^2 \binom{2 n}{n}^2 }{ 16^{m + n} (m+n+1) (2…
2019-02-13 math.CA math.NT
A simpler proof of a Katsurada's theorem and rapidly converging series for $ζ{(2n+1)}$ and $β{(2n)}$
在最近关于偶狄利克雷β值的欧拉型公式（即$β{(2n)}$）的工作中，我导出了一类zeta级数的精确闭式表达式.从这个结果，我已经证明了两个家庭的zeta级数的封闭形式的总和。在本书中，我首先使用威尔顿的一个已知公式来证明这些假设。作为应用的例子，一些特殊情况下进行了探讨，产生快速收敛的系列表示的Apéry常数，$ζ(3)$，和加泰罗尼亚常数，$G = β(2)$。有趣的是，我们对$\,ζ(3)\,$的级数收敛速度比Apéry在他的非理性证明（1978）中使用的更快。此外，我们的系列$\,G\,$收敛速度比一个著名的发现Ramanujan（1915年）。最后，对Katsurada最近的一个定理给出了一个更简单、更直接的证明，它推广了上述结果。
2014-02-05 math.NT
Tweaking the Beukers Integrals In Search of More Miraculous Irrationality Proofs A La Apery
只有0次方的有理数，而有2次方的0次方的实数。因此，随机选择的实数是有理数的概率为0。然而，严格证明任何特定的、自然的、真实的常数是非理性的，通常是非常困难的，我们可以看到，仍然没有证据证明欧拉-马斯凯罗尼常数、加泰罗尼亚常数或泽塔常数是非理性的。受Frits Beukers对Aesthetan关于Zeta（2）和Zeta（3）的非理性的开创性证明的优雅演绎的启发，并大量使用算法证明论，我们系统地搜索了其他类似的积分，导致了非理性证明。我们发现了相当多的候选证明，包括Pi的平方根乘以Gamma（7/3）/Gamma（-1/6）和Gamma（19/6）/Gamma（8/3）除以Pi的平方根。
2021-01-20 math.CO math.NT
Icosahedron, exceptional singularities and modular forms
我们发现$E_8$ -奇异性方程具有两个不同的对称群和模参数化。一种是经典的二十面体方程，具有二十面体对称性，相关的模形式是五阶θ常数。另一个由群$\text{PSL}(2, 13)$给出，相关的模形式是$13$阶的θ常数。因此，我们表明，$E_8$不是唯一确定的二十面体。这解决了Brieskorn在他的ICM 1970年关于奇异球体、二十面体和$E_8$之间的神秘关系的演讲中提出的一个问题。同时，给出了Arnold的$A, D, E$问题的一个反例，从而解决了另一个相关的简单李代数与柏拉图体的关系问题.此外，我们还利用$13$阶θ常数对例外奇点$Q_{18}$、$E_{20}$和$x^7+x^2 y^3+z^2=0$进行了模参数化，第二奇点为Fermat-Catalan猜想的解提供了一种新的解析构造，并回答了Klein的一个问题.
2015-11-17 math.AG math.NT math.RT
The Ramanujan Challenge For AI
Technion（以色列理工学院）；Research Institute for Symbolic Computation, Johannes Kepler Universität Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学符号计算研究所）；Ghent University（根特大学）；Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）
提出一组用于评估人工智能数学技能的基本数学常数公式，含已知证明暂加密及未证明两类问题，旨在观察人工智能在这些问题上的表现。
2026-07-14 cs.AI math.HO math.NT
An Euler-type formula for $β(2n)$ and closed-form expressions for a class of zeta series
在最近的工作中，Dancs和He发现了$\,ζ{(2\,n+1)}$的欧拉型公式，$\,n\,$是一个正整数，其中包含一个他们不能简化为有限封闭形式的级数。与$ζ(2n)$相比，这个开放问题显示出更大的复杂性，$ζ(2n)$是$π^{2n}$的有理倍数。对于狄利克雷β函数，事情是“逆”的：$β(2n+1)$是$π^{2n+1}$的有理倍数，并且没有已知的$β(2n)$的封闭形式表达式。在这项工作中，我修改的Dancs-He方法，以获得一个欧拉型公式$\,β{(2n)}$，包括$\,β{(2)} = G$，加泰罗尼亚的常数。我还将产生的系列到zeta系列，从而产生新的确切的封闭形式的表达式一类zeta系列涉及$\,β{(2n)}$和有限数量的奇zeta值。给出了某个zeta级数的封闭表达式。
2011-09-23 math.NT
