On the Odlyzko-Stanley enumeration problem and Waring's problem over finite fields
我们得到了Odlyzko-Stanley计数问题的一个渐近公式。令$N_m^*(k,b)$为$k$ -子集$S\subseteq F_p^*$的数目，使得$\sum_{x\in S}x^m=b$。如果为$m<p^{1-δ}$，则存在常数$ε=ε(δ)>0$，使得|N_m^*（k，b）-p^{-1}{p-1 \choose k}| \leq {p^{1-ε}+mk-m \choose k}。此外，令$γ'(m,p)$表示不同的华林数$(\mod p)$，最小的正整数$k$，使得每个整数是$k$ -不同元素$(\mod p)$的m次幂之和。上面的界限意味着对于任何素数$p$和任何$m<p^{1-δ}$都有一个常数$ε(δ)>0$，如果$ε^{-1}<(e-1)p^{δ-ε}$，则$$γ'(m,p)\leq ε^{-1}.$$
2012-07-30 math.CO math.NT
The asymptotic formula for Waring's problem in function fields
设$\mathbb{F}_q[t]$是$\mathbb{F}_q$上的多项式环，$\mathbb{F}_q$是$q$元素的有限域，$p$是$\mathbb{F}_q$的特征。我们把$\widetilde{G}_q(k)$记为最小整数$t_0$，其性质是：对于所有的$s \geq t_0$，在$\mathbb{F}_q[t]$上的Waring问题中，关于$\mathbb{F}_q[t]$中多项式的$s$ $k$次幂和，有期望的渐近公式.对于每一个$k$不能被$p$整除，我们从Vinogradov型估计中得到一个小弧界，并得到$\widetilde{G}_q(k)$上的界，该界在$k$中是二次的，在某些特殊情况下实际上在$k$中是线性的，而在$k$中只有当$k < p$可用时才是指数的界。我们还获得了与渐近公式相关的细长例外集的估计。
2015-09-04 math.NT
Polynomial quotients: Interpolation, value sets and Waring's problem
对于奇素数$p$和整数$w\ge 1$，多项式行列式$q_{p,w}(u)$由$$ q_{p,w}(u)\equiv \frac{u^w-u^{wp}}{p} \bmod p ~~ \mathrm{with}~~ 0 \le q_{p,w}(u) \le p-1, ~~u\ge 0, $$定义，它是费马行列式$q_{p,p-1}(u)$的推广。首先，我们估计了有限域$\mathbb{F}_p$上给定多项式$f(x)$的$f(u)\equiv q_{p,w}(u) \bmod p$的元素$1\le u<N\le p$的个数。特别地，对于$f(x)=x$的情况，我们得到了多项式导数的不动点个数的界。其次，在研究将$\mathbb{F}_p$中的每个元素表示为多项式多项式的值之和所需的最小和项数（称为Waring数）的估计问题之前，我们证明了它们的值集大小的一些下界，然后利用这些下界，利用可加特征和的界和可加数论的结果证明了Waring数的一些界。
2014-02-09 math.NT
Warings problem for fields
用P（K，k）表示域K中元素的k次幂和，用P+（K，k）表示域K中元素的k次幂和。我们感兴趣的是决定是否存在整数w（K，k）和g（K，k）使得：a在P（K，k）中意味着a是至多w（K，k）的k次幂的和; a在P+（K，k）中意味着a是至多g（K，k）的完全正的k次幂的和。我们将证明，如果w（K，2）是有限的，并且假设k次幂在K中是稠密的（在定理3中明确描述的意义上），则w（K，k）对于k > 2也是有限的。证明是建设性的，但隐含的上界为w（K，k）是大的。这是意料之中的，因为证明方法并没有使用域K的任何深刻的算术或代数性质。
2013-03-20 math.NT
A cyclotomic approach to the solution of Waring's problem mod p
令$s_d(p,a) = \min \{k | a = \sum_{i=1}^{k}a_i^d, a_i\in \ff_p^*\}$为有限域F_p中的最小d次幂数，足以表示F_p^* 中的数a。然后，$$g_d(p) = max_{a in F_p^*} s_d(p,a)$$给出了模p的Waring问题的一个答案。我们首先引入分圆整数n（k，ν），然后允许只根据d阶分圆数（i，j）来陈述和求解模p的Waring问题。本文将高斯周期方程G（T）的倒数推广为Q[[T]]中的C-可微函数I（T），它也满足Z[[T]]中的I '（T）/I（T）.我们证明了一个\equiv -1 mod F_p^{*d}（经典的“Stufe”，如果d = 2）的特殊行为：这里（也只有这里）I（T）实际上是一个来自Z[T]的多项式，Z [T]是周期多项式的倒数。最后，我们利用Dickson编的已知分圆数，对d = 3和d = 4，都是素数p，给出了gd（p）的显式计算。
2007-03-23 math.NT
Waring Problem for Matrices over Finite Fields
本文证明有限域上所有矩阵可表示为两个k次幂之和，并推广至可逆、循环等情形，给出基于稳定子的判据。
2024-03-14 math.NT math.RA
Waring Problem for matrices over finite local rings
Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）
本文在有限局部环上研究矩阵的Waring问题，证明在特定条件下任何矩阵可表示为两个k次幂之和，并指出这两个条件是结果成立的必要条件。
2026-07-10 math.AC math.AG math.GR
Waring's problem for unipotent algebraic groups
在本文中，我们制定了一个类似的华林问题的代数群$G$。在字段级别上，我们考虑一个态射的品种$f\colon \mathbb{A}^1\to G$，并询问是否每个元素的$G(K)$是产品的有限数量的元素$f(\mathbb{A}^1(K)) = f(K)$。当$G$是幂幺的且$K$是非形式实的特征零域时，我们给出了肯定的回答.这个思想在积分层次上是相同的，除了必须使用模式，问题是是否$G(\mathcal{O})$的有限指数子群中的每个元素都可以写为$f(\mathcal{O})$的有界元素的乘积。当$G$是幂幺的且$\mathcal{O}$是全虚数域上的整数环时，我们证明了这一点.
2017-07-24 math.AG math.GR math.NT
Integers that are not the sum of positive powers
本文用计算技术改进Zenkin方法，解决5≤k≤9的广义华林问题，确定不能表示为j个正k次幂之和的整数集合，并推广到G(1,k)<j<g(1,k)的有限集。
2025-03-31 math.NT
Waring Problem For Triangular Matrix Algebra
本文研究有限域上三角矩阵代数的矩阵 Waring 问题，借助 Lang-Weil 估计证明大域中每个矩阵可表为三个 $k$ 次幂之和，在 $-1$ 为 $k$ 次幂时可降为两个。
2024-04-03 math.GR math.NT math.RA
Polynomial Values in Affine Subspaces of Finite Fields
本文对有限域的仿射子空间的多项式象问题，提出了一种新的研究方法，并得到了一些新的结果。我们改进和推广了以前的几个已知结果，并将这些结果的范围扩展到多项式的程度高于该领域的特点。这样的结果有广泛的应用范围类似于那些与他们的同行研究连续区间上的素域，而不是仿射子空间。在这里，我们只给两个直接的后果：约束的大小的交集的轨道的多项式动力系统与仿射子空间和华林问题的仿射子空间。这些结果是基于某种新类型的指数和的估计。
2014-10-31 math.NT
On the number of simultaneous solutions of certain diagonal equations over finite fields
本文给出了有限域上由对角方程族定义的一类方程组的$\mathbb{F}_q$-有理解的个数的显式估计和存在性结果。我们的方法依赖于所涉及的系统定义的品种的几何性质的研究。我们将这些结果推广到Waring问题和模素数同余解的分布。
2020-10-06 math.AG math.NT
On singularity properties of word maps and applications to probabilistic Waring type problems
本文研究了半单代数群和李代数上词映射的奇异性，推广了Aizenbud-Avni在换位子映射上的工作。给定自由李代数$\mathcal{L}_{r}$中的一个词$w$，对每一个半单李代数$\mathfrak{g}$导出一个词映射$φ_{w}:\mathfrak{g}^{r}\rightarrow\mathfrak{g}$.给定两个词$w_{1}\in\mathcal{L}_{r_{1}}$和$w_{2}\in\mathcal{L}_{r_{2}}$，我们定义并研究了相应词映射$φ_{w_{1}}*φ_{w_{2}}:=φ_{w_{1}}+φ_{w_{2}}:\mathfrak{g}^{r_{1}+r_{2}}\rightarrow\mathfrak{g}$的卷积。我们证明了对于任何词$w\in\mathcal{L}_{r}$的度$d$，和任何单李代数$\mathfrak{g}$与$φ_{w}(\mathfrak{g}^{r})\neq0$，一个得到一个平坦的态射减少纤维的有理奇点（简称（FRS）态射）后，$φ_{w}$的$O(d^{4})$自卷积。我们推导出对于任何半单代数群$G$，长度为$\ell$的群字映射在经过$O(\ell^{4})$自卷积后在$(e,\ldots,e)\in G^{r}$处变为（FRS）。我们进一步限定了李代数词映射纤维的喷流格式的维数，以及在$G=\mat…
2020-08-05 math.AG math.GR math.NT
Cayley Digraphs Associated to Arithmetic Groups
我们探索一种范式，它将数论，加法组合学和几何组合学中看似不同的领域联系在一起，包括经典的Waring问题，Furstenberg-Sárközy正密度整数集合中的平方定理，以及有限域中三角形（也称为$2$ -单纯形）的研究。在其他结果中，我们表明，如果$\mathbb{F}_q$是奇数阶$q$的有限域，那么$Mat_d(\mathbb{F}_q), d \geq 2$中的每个矩阵是一定（有限）数量的正交矩阵的总和，这个数量只取决于$d$，矩阵的大小，以及是否$q$是全等$1$或$3$（mod $4$），但独立于$q$，否则。
2018-08-20 math.CO math.NT
Exact evaluations and reciprocity theorems for finite trigonometric sums
我们评估在封闭形式的几类有限三角和。使用两种通用方法。第一个是新的，涉及的总和根的单位。第二个使用轮廓积分，并扩展了以前的方法使用的两个作者。还建立了某些三角和的互易定理。
2022-10-01 math.NT
