关于多维Beurling-Ahlfors算子的范数

加权Lebesgue空间上的Hilbert变换、里斯变换和Beurling-Ahlfors算子的算子的精确估计

Sharp estimates for the commutators of the Hilbert, Riesz transforms and the Beurling-Ahlfors operator on weighted Lebesgue spaces

我们证明了Hilbert变换、Riesz变换和Beurling变换的算子在加权Lebesgue空间L2（w）上的范数与BMO函数b的A2-特征相关，而不是已知的算子本身的线性相关.我们知道，这类交换子的算子范数可以由交换子的范数通过适当的Haar移位算子控制，并证明了这类交换子的估计.对于与希尔伯特变换对应的移位算子，我们使用贝尔曼函数方法，然而现在有一类Haar移位算子的一般定理，可以用来推导类似的结果。我们利用这个一般定理得到了里斯变换和Beurling-Ahlfors算子的相应结果。然后我们可以外推到Lp（w），结果对于1 < p < 1是尖锐的。

尖锐的高阶可积性理论，第一部分：Beurling--Ahlfors 变换的 $L^p$ 范数

Sharp Higher Integrability Theory, Part I: The $L^p$-norm of the Beurling--Ahlfors transform

本文证实了 Iwaniec 1982 年关于 Beurling--Ahlfors 变换 $L^p$ 范数的猜想，给出了 $p\geq 2$ 与 $1<p\leq 2$ 时的精确值。

$L^p$中向量值和矩阵值乘子的精确下界估计

Sharp Lower bound estimates for vector-valued and matrix-valued multipliers in $L^p$

我们用两种不同的方法推广了乘数的概念，并推广了Geiss，Montomery-Smith和Saksman最近的一个结果。首先，我们考虑乘子的形式是一个向量作用于一个标量函数。利用这种方法，我们计算了Ahlfors-Beurling算子的实部的二次扰动的$L^p$算子范数的精确下界估计.其次，我们考虑矩阵值乘子，得到了一个新的证明，证明了Ahlfors-Beurling算子的$L^p$算子范数在p^*-1下有界。

关于奇异积分与鞅变换

On singular integral and martingale transforms

研究了向量值奇异积分算子范数与向量值鞅变换范数的线性等价性。特别地，证明了巴拿赫空间X的UMD（p）常数等于Beurling-Ahlfors奇异积分算子作用在平面上X值L^p空间上的实部（或虚部）的范数.此外，用线性等价代替等式，发现这是偶乘子的典型性质。对奇乘子和希尔伯特变换给出了相应的结果。

Beurling-Helson型定理的定量估计

Quantitative estimates in Beurling--Helson type theorems

我们考虑圆$\mathbb T$上的函数$f$的空间$A_p(\mathbb T)$，使得傅立叶系数序列$\fu{\f}=\{\fu{\f}(k), ~k \in \mathbb Z\}$属于$l^p, ~1\leq p<2$ . $A_p(\mathbb T)$上的范数由$\|f\|_{A_p}=\|\fu{\f}\nolinebreak\|_{l^p}$定义。本文研究了$\|e^{iλφ}\|_{A_p}$作为$|λ|\rightarrow \infty, ~λ\in\mathbb R,$的范数对$C^1$ -光滑实函数$φ$在$\mathbb T$上的增长率.所得结果对$A_p(\mathbb T)$空间中的变量变换问题有自然的应用。

Beurling-Helson定理的定量形式

Quantitative version of Beurling-Helson theorem

证明了单位圆上任意连续函数f，使得序列e^{in f}，n= 1，2，.具有小的Wiener范数e^{in f} A = o（\frac{\log^{1/22} |n|}{(\log \log |n|)^{3/11}}），是线性的.在素数p的情况下，得到了子集Z_p的特征函数的Wiener范数的下界.

Quantitative aspects of the Beurling--Helson theorem: Phase functions of a special form

We consider the space $A(\mathbb{T}^d)$ of absolutely convergent Fourier series on the torus $\mathbb{T}^d$. The norm on $A(\mathbb{T}^d)$ is naturally defined by $\|f\|_{A}=\|\widehat{f}\|_{l^1}$, where $\widehat{f}$ is the Fourier transform of a function $f$. For real functions $φ$ of a certain special form on $\mathbb T^d, \,d\geq 2,$ we obtain lower bounds for the norms $\|e^{iλφ}\|_A$ as $λ\rightarrow\infty$. In particular, we show that if $φ(x, y)=a(x)|y|$ for $|y|\leqπ$, where $a\in A(\mathbb{T})$ is an arbitrary nonconstant real function, then $\|e^{iλφ}\|_{A(\mathbb{T}^2)}\gtrsim |λ|$…

Beurling-Helson型定理中的估计多维案例

Estimates in Beurling--Helson type theorems. Multidimensional case

我们考虑$m$维环面$\mathbb T^m$上的函数$f$的空间$A_p(\mathbb T^m)$，使得傅立叶系数序列$\hat{f}=\{\hat{f}(k), ~k \in \mathbb Z^m\}$属于$l^p(\mathbb Z^m), ~1\leq p<2$ . $A_p(\mathbb T^m)$上的范数由$\|f\|_{A_p(\mathbb T^m)}=\|\hat{f}\|_{l^p(\mathbb Z^m)}$定义。我们研究了在$\mathbb T^m$上的$C^1$ -光滑实函数$φ$的范数$\|e^{iλφ}\|_{A_p(\mathbb T^m)}$作为$|λ|\rightarrow \infty, ~λ\in\mathbb R,$的增长率（作者在前面研究了一维情况）。我们得到的较低的估计与空间$A_p(\mathbb R^m)$有直接的类似。

第二阶里斯茨变换的离散类比

Discrete analogues of second-order Riesz transforms

本文研究了第二阶里斯茨变换的离散类比的\ell^p范数，构造了新的离散里斯茨变换并探讨其与经典算子的关系。

Quantitative weighted estimates for rough homogeneous singular integrals

We consider homogeneous singular kernels, whose angular part is bounded, but need not have any continuity. For the norm of the corresponding singular integral operators on the weighted space $L^2(w)$, we obtain a bound that is quadratic in the $A_2$ constant $[w]_{A_2}$. We do not know if this is sharp, but it is the best known quantitative result for this class of operators. The proof relies on a classical decomposition of these operators into smooth pieces, for which we use a quantitative elaboration of Lacey's dyadic decomposition of Dini-continuous operators: the dependence of constants on…

多线性分数次有界平均振荡算子理论 I：稀疏控制、稀疏 $T1$ 定理、非对角外推、定量加权估计——针对广义交换子

The multilinear fractional bounded mean oscillation operator theory I: sparse domination, sparse $T1$ theorem, off-diagonal extrapolation, quantitative weighted estimate -- for generalized commutators

本文在球基测度空间上引入并研究了多线性分数次有界平均振荡算子及其广义交换子，建立了稀疏控制与稀疏 $T1$ 定理，并在多线性分数次权下获得了多种加权不等式与非对角外推框架。