Dupin hypersurfaces in Lie sphere geometry
李球几何中的活动标架方法在球中Dupin超曲面的分类中产生了重要的结果。它有效的秘密是什么？答案出现在分类的非脐等参曲面的空间型几何。用活动标架的方法证明这一分类是一个初步的工作。同样的证明将杜宾的圆线分类在莫比乌斯几何中，最后分类在李球几何中，其中所有的非脐杜宾浸入都是彼此全等的李球。
2014-05-20 math.DG
Classifications of Dupin Hypersurfaces in Lie Sphere Geometry
这是一个调查的本地和全球的分类结果有关Dupin超曲面$S^n$（或${\bf R}^n$）已获得的背景下，李球几何。重点是与Dupin超曲面的等参超曲面领域的结果。随着这些分类结果，李球几何的许多重要概念，如曲率球，李曲率，和勒让德提升的$S^n$（或${\bf R}^n$）的子流形，详细描述。本文还包含了几个重要的Dupin超曲面的结构，具有某些特殊的性质。
2022-10-25 math.DG
Anisotropic isoparametric hypersurfaces in Euclidean spaces
本文给出了完备各向异性等参超曲面的一种分类，即，欧氏空间中具有常数各向异性主曲率的超曲面，这类似于欧几里得空间中等参超曲面的经典情形。另一方面，以B. Palmer，我们发现各向异性的等参超曲面与真Dupin超曲面理论一样，具有局部和整体两个方面。
2010-10-05 math.DG
Constructions of Compact Dupin Hypersurfaces with Non-constant Lie Curvatures
本文综述了单位球面中两类紧真Dupin超曲面的构造，证明其具有非常数Lie曲率，无法通过Lie球变换等价于等参超曲面，成为Cecil和Ryan1985年相关猜想的反例。
2025-10-01 math.DG
Austere Matrices, Austere Submanifolds and Dupin Hypersurfaces
受Bryant和Cartan工作启发，构造单位球面中三个平坦法丛austere子流形族，由此得到三个不可约真Dupin超曲面，否定回答Thorbergsson问题，并给出austere子空间维数上界。
2025-10-28 math.DG
Analyticity and tautness of smooth Dupin submanifolds
本文证明满足Dupin条件的光滑浸入欧氏超曲面局部实解析且半代数，并由此推出紧致嵌入超曲面具有紧致性。
2026-11-03 math.DG
Isoparametric hypersurfaces of conic Finsler manifolds
本文在锥Finsler空间中引入了等参函数和等参超曲面。我们发现，在锥Minkowski空间中，除了锥Minkowski超平面、锥Minkowski超球面和锥Minkowski柱体都是等参超曲面外，还可能存在其它等参超曲面，如螺旋面.此外，我们给出了具有常旗曲率的Kropina空间中的等参超曲面的完全分类。
2022-03-22 math.DG
Isoparametric hypersurfaces and their application to special geometries
等参超曲面及其在特殊几何中的应用
2009-06-11 math.DG
Recent progress in isoparametric functions and isoparametric hypersurfaces
本文综述了等参函数和等参超曲面的最新进展，主要是两个方面。(1)黎曼流形上的等参函数，包括奇异球面。存在和不存在将被考虑。(2)单位球面中嵌入极小超曲面第一特征值的Yau猜想。介绍了关于极小等参超曲面的Yau猜想的历史和进展。
2014-06-12 math.DG
Inhomogeneous isoparametric hypersurfaces in complex hyperbolic spaces
我们构造了复双曲空间中的非齐次等参实超曲面的例子。
2010-11-23 math.DG
Isoparametric hypersurfaces and hypersurfaces with constant principal curvatures in Finsler spaces
本文研究Finsler空间中等参超曲面与具有常主曲率的超曲面之间的关系。给出了具有非常旗曲率的Randers流形上具有（非）常主曲率的等参超曲面的一些例子。此外，我们构造了一个共形平坦的Randers流形的例子，它允许一族具有常数主曲率的非等参超平面。
2022-10-24 math.DG
Isoparametric hypersurfaces in complex hyperbolic spaces
对复双曲空间中的等参超曲面进行了分类。
2017-06-10 math.DG
Classification of isoparametric hypersurfaces in spheres with $(g,m)=(6,1)$
利用$(g,m)=(6,1)$对球面上的等参超曲面进行分类，从而改进了Dorfmeister和Neher的一个结果.
2015-08-05 math.DG
Equiaffine isoparametric functions and their regular level hypersurfaces
本文在仿射空间$A^{n+1}$上引入并研究了局部强凸等仿射等参超曲面和等仿射等参函数。受欧几里得空间$E^{n+1}$的启发，我们首先在$A^{n+1}$中引入等仿射平行超曲面的概念，得到了等仿射几何基本不变量的一些基本恒等式，然后定义等仿射等参超曲面为$A^{n+1}$中具有常仿射中曲率的等仿射平行超曲面族.最后，我们在$A^{n+1}$上引入了等仿射等参函数的概念，并证明了任何等仿射等参超曲面恰是某个等仿射等参函数的正则水平集。
2018-03-28 math.DG
Isoparametric hypersurfaces in Randers space forms
本文讨论了Randers空间型（N，F）中以（h，W）为导航基准的各向异性子流形和等参超曲面.我们发现关于BH-体积的（N，F）和（N，h）具有相同的等参超曲面，尽管它们的等参函数一般是不同的.这意味着Randers空间型中的等参超曲面的分类与黎曼情形中的分类是相同的。最后，给出了Randers空间型中等参函数的一些例子。
2020-04-11 math.DG
Spherical 2-Dupin submanifolds
证明了非超曲面的球面2-Dupin子流形与实、复、四元数或八元数射影平面的标准嵌入共形全等。我们还对空间型中的2-CPC子流形、2-脐子流形和弱2-脐子流形进行了分类。
2016-07-27 math.DG
Isoparametric Hypersurfaces in Minkowski Spaces
本文在Finsler流形中引入等参函数和等参超曲面，并给出了超正规函数是等参函数的充要条件。然后证明了具有$BH$ -体积的Minkowski空间中的超平面、Minkowski超球和$F^*$ -Minkowski柱（分别为. $HT$ -体积）形式都是分别具有一个和两个不同的常数主曲率的等参超曲面。此外，我们还给出了Randers-Minkowski空间中等参超曲面的一个完全分类，并构造了一个反例，证明了Wang在\cite{WQ}中的定理B在Finsler几何中不成立.
2015-07-15 math.DG
Dorfmeister-Neher's theorem on isoparametric hypersurfaces
用一种适用于重数为2的方法，给出了具有六个简单主曲率的等参超曲面的齐次性（Dorfmeister-Neher定理）的一个新的证明.
2008-04-22 math.DG
Null screen isoparametric hypersurfaces in Lorentzian space forms
本文对Robertson-Walker时空的零超曲面提出了屏蔽等参超曲面的概念。利用这种形式主义，我们得到的屏幕主曲率的零屏幕超曲面在洛伦兹空间型的Cartan恒等式，并提供了这样的超曲面的局部特征。
2017-11-21 math.DG
Isoparametric hypersurfaces induced by navigation in Lorentz Finsler geometry
利用以$(F,V)$为基准的导航过程，其中$F$是Finsler度量，并且光滑切向量场$V$处处满足$F(-V(x))>1$，可以导出Lorentz Finsler度量$\tilde{F}$。可以为$\tilde{F}$定义包含或不包含光滑测度的等参函数和等参超曲面。当导航基准面上的向量场$V$是位似时，证明了导航前后等参函数与等参超曲面之间的局部对应关系。利用这些对应，我们给出了Lorentz Randers型Funk空间上的等参函数和等参超曲面的一些例子.
2021-06-12 math.DG
Isoparametric hypersurfaces in Finsler space forms
本文通过对子流形的焦点、管和平行超曲面的研究，研究了Finsler空间型中的等参超曲面。证明了等参超曲面的焦点子流形是各向异性极小的，得到了可逆挠率为零的Finsler空间型中的Cartan型公式，并由此对不同主曲率的个数或重数进行了分类.
2020-03-27 math.DG
A Cartan type identity for isoparametric hypersurfaces in symmetric spaces
本文给出了紧致型和非紧致型对称空间中曲率适应的等参超曲面的Cartan型恒等式。这个恒等式是Cartan-D 'Atri恒等式在秩一对称空间中曲率适应的（=顺从的）等参超曲面的推广。利用Cartan型恒等式，证明了非紧型对称空间中的一类曲率适应的等参超曲面是Hermann作用的主轨道.
2013-09-30 math.DG
Dupin Submanifolds in Lie Sphere Geometry (updated version)
欧几里得空间$E^n$中的超曲面$M^{n-1}$是真Dupin，如果$M^{n-1}$上不同主曲率的数目是常数，并且每个主曲率函数沿其主叶理的每个叶都是常数.这篇论文最初发表于1989年（见下面的评论），它开发了一种方法，在李球几何的背景下，使用活动标架局部研究适当的Dupin超曲面。自那时以来，这种方法已有效地获得了几个分类定理的适当的Dupin超曲面。本文的更新版本包含原始论述以及T.Cecil在2020年发表的一些评论（如文中所示），这些评论描述了自原始版本以来该领域的进展，以及该领域中一些重要的未决问题。
2020-10-13 math.DG
Moment maps and Isoparametric hypersurfaces in spheres --- Hermitian cases
我们研究了球面中具有四个不同主曲率的等参超曲面与某些哈密顿作用量的矩映射之间的关系。本文考虑了由紧致不可约二秩Hermite对称空间的各向同性表示得到的等参超曲面。我们证明了这些超曲面的Cartan-Münzner多项式对于某些Hamilton作用可以写成矩映射的平方范数。证明是基于对称空间的结构理论。
2012-10-23 math.DG
Isoparametric hypersurfaces in Damek-Ricci spaces
我们在Damek-Ricci空间中构造了无数个等参超曲面族。我们利用广义Kahler角的新概念刻画了其中具有常数主曲率的情形。因此，一般来说，这些例子是不均匀的，并具有非恒定的主曲率。我们还发现了四元数双曲空间上的新的上齐性作用，以及Cayley双曲平面上的一类等参的具有常主曲率的非齐次超曲面.
2012-10-02 math.DG
Geometry of isoparametric hypersurfaces in Riemannian manifolds
在以前的工作中，我们研究了黎曼流形上，特别是奇异球面上的等参函数。其中的一个结果是：在闭黎曼流形的等参超曲面族中，至少存在一个极小等参超曲面。本文证明了当周围流形具有正的里奇曲率时，这种极小等参超曲面在族中也是唯一的。此外，我们还证明了Q.M.Wang（无证明）的定理D，该定理D断言完备黎曼流形上的等参函数的焦点子流形是极小的.进一步，我们研究了一般黎曼流形中具有常主曲率的等参超曲面。事实证明，在这种情况下，焦点子流形与标准球面中的子流形具有相同的性质，即，关于任何法线方向的形状算子具有公共的恒定主曲率。导出了包含里奇曲率和数量曲率的一些必要条件。
2012-10-09 math.DG
On Cartan's Examples of Isoparametric Hypersurfaces and Their Focal Submanifolds
本文综述了Cartan在1938-1940年间发表的四篇论文中关于等参超曲面及其焦点子流形的例子。
2026-02-16 math.DG
Isoparametric hypersurfaces in product spaces
本文刻画了积空间$ \mathbb{Q}^{2}_{c_{1}} \times \mathbb{Q}^{2}_{c_{2}}$中具有常主曲率的等参超曲面，其中$\mathbb{Q}^{2}_{c_{i}}$是具有常截面曲率的空间型$c_{i}$，对于$c_1 \neq c_2$ .
2022-09-19 math.DG
A Filtration for Isoparametric Hypersurfaces in Riemannian Manifolds
本文在$k=0,1,...,n$的$(n+1)$维黎曼流形中引入了$k$ -等参超曲面的概念.在复射影空间、复双曲空间甚至局部秩1对称空间中给出了许多基本的和有趣的结果（其中包括对齐性超曲面的分类）。
2013-12-18 math.DG
4-Dimensional Isoparametric Hypersurfaces of Index 2 in the Pseudo-Riemannian Space Forms
本文研究伪黎曼空间形式中指标2的等参超曲面，基于Petrov分类给出分类，提供实例，并证明某些情况下不存在复主曲率的此类超曲面。
2024-03-17 math.DG
Isoparametric hypersurfaces and complex structures
本文的主要目的是在单位球面中的某些等参超曲面上构造几乎复或复结构。结果，在$S^1\times S^7\times S^6$上和在第一陈类消失的$S^1\times S^3\times S^2$上建立了复结构。
2022-09-01 math.DG
Blaschke Isoparametric Hypersurfaces in the Conformal Space ${\mathbb Q}^{n+1}_1$}, II
设$x: \mathbf{M} \rightarrow {\mathbb Q}^{n+1}_1$是共形空间${\mathbb Q}^{n+1}_1$中的正则空间超曲面.我们对共形空间中具有平行Blaschke张量的超曲面进行了共形等价的分类。
2015-12-14 math.DG
A new structural approach to isoparametric hypersurfaces in spheres
球面上具有四个或六个不同主曲率的等参超曲面的分类还不完全。在本文中，我们开发了一种结构化的方法，可能有助于分类。而不是工作的等参超曲面家庭的领域，我们认为相关的拉格朗日子流形的真正格拉斯曼定向$2$ -平面在$\mathbb{R}^{n+2}$。我们获得了新的几何见解经典的不变量和身份的几何拉格朗日子流形。
2017-09-05 math.DG
Homogeneous and inhomogeneous isoparametric hypersurfaces in rank one symmetric spaces
通过对四元数双曲空间上的上齐一作用的分类，得到了上齐一作用在一秩对称空间上的分类，直到轨道等价为止。作为我们的证明的副产品，我们产生了无数的例子，非齐次等参家庭的超曲面与常数主曲率在四元数双曲空间。
2020-05-19 math.DG
Minimal hypersurfaces in spheres generated by isoparametric foliations
South China Normal University（华南师范大学）
本文通过等参叶分解构造了球面中由等参结构决定的更广泛拓扑类型的极小超曲面。
2026-03-04 math.DG
Isoparametric hypersurfaces of Riemannian manifolds as initial data for the mean curvature flow
我们证明了黎曼流形的等参超曲面在中曲率流作用下的演化，只要中曲率流的唯一性对初始数据和相应的环境空间成立，就可以在短时间内通过平行族的重参数化得到.作为应用，我们给出了一类允许具有常主曲率的超曲面的黎曼流形，这些超曲面不是等参超曲面。此外，对于一类环境空间，我们证明了以等参超曲面为初始数据的中曲率流所产生的奇点是I型奇点。我们应用我们的结果来描述等参超曲面的演变的中曲率流在周围空间的非常数截面曲率，如齐次3-流形$\mathbb{E}(κ, τ)$与四维等距群，和黎曼积$\mathbb{Q}^2_{c_1} \times \mathbb{Q}^2_{c_2}$的空间型。
2022-06-15 math.DG
The Euler characteristic of hypersurfaces in space forms and applications to isoparametric hypersurfaces
我们重新讨论了Allendoerfer-Weil关于常截面曲率流形中嵌入超曲面的欧拉示性数的公式，首先在演示[2]的技巧时重新证明了它，然后应用它获得了对等参超曲面的新的理解.
2021-04-10 math.DG
Isoparametric hypersurfaces and metrics of constant scalar curvature
证明了方程$Δu -λu + λu^q =0$在圆球$S^m$上非径向解的存在性，对于$q<2m/(m-2)$，并研究了用$λ$表示的非径向解的个数.我们证明了对于任何等参超曲面$M\subset S^m$，都存在解使得$M$是正则水平集（并且这种解的数量随着$λ$的增加而增加）。对于一般黎曼流形中的等参超曲面，我们也得到了类似的结果。这些解给出了黎曼积共形类上常数量曲率度量的多重性结果。
2013-09-02 math.DG
On the Work of Cartan and Münzner on Isoparametric Hypersurfaces
本文综述Cartan和Münzner关于实空间形式（特别是球面）中等参超曲面的基础理论，并简要介绍近期完成的球面等参超曲面分类。
2024-12-18 math.DG
On the Chern conjecture for isoparametric hypersurfaces
对于具有常平均曲率和常非负数量曲率的闭超曲面$M^n\subset S^{n+1}(1)$，本文证明了：如果$\mathrm{tr}(\mathcal{A}^k)$对于$\mathcal{A}$的形状算子$k=3,\ldots, n-1$是常数，则$M$是等参的.这个结果推广了de Almeida和Brito的关于$n=3$的\cite{dB90}定理到任意维数的$n$，强有力地支持了Chern猜想.
2022-05-11 math.DG
Isoparametric hypersurfaces with four principal curvatures, IV
证明了具有四个主曲率和重数对$(7,8)$的等参超曲面是Ozeki和Takeuchi构造的超曲面，或者是Ferus，Karcher和Münzner构造的超曲面.这就完成了球面中的等参超曲面的分类。嘉当在20世纪30年代末发起。
2017-06-05 math.DG
Robust index bounds for minimal hypersurfaces of isoparametric submanifolds and symmetric spaces
我们发现许多例子紧黎曼流形$(M,g)$的封闭极小超曲面满足一个下界的指数是线性的，在他们的第一个贝蒂数。此外，我们表明，这些界限仍然有效时，度量$g$替换为$g'$在附近的$g$。我们的例子$(M,g)$由某些球的极小等参超曲面、它们的焦点流形、$n\leq 17$的李群$SU(n)$和所有$n$的$Sp(n)$以及所有四元数格拉斯曼数组成。
2018-03-23 math.DG
Sphere-like isoparametric hypersurfaces in Damek-Ricci spaces
本文在Damek-Ricci空间中通过过度膨胀超球面构造新的球状等参超曲面族，连接测地球面与已知等参超曲面，并研究其齐次性和焦簇的全测地条件。
2024-01-01 math.DG
Isoparameteric hypersurfaces in a Randers sphere of constant flag curvature
本文研究了常旗曲率Randers球面$(S^n,F)$中的等参超曲面，其导航基准为$(h,W)$ .我证明了一个等参超曲面$M$的标准圆形球体$(S^n,h)$是相切的$W$保持等参$(S^n,F)$后的导航过程。这一发现提供了$(S^n,F)$中一类特殊的等参超曲面，它可以等价地描述为满足$-f$是超正规的等参函数$f$的正则水平集.除了$M$是OT-FKM型的重数为$(m_1,m_2)=(8,7)$的情况外，我对这些特殊的等参超曲面$M$及其周围度量$F$在$S^n$上进行了分类.对$(S^n,F)$中的所有齐次超曲面也给出了一个完整的分类。它们都属于这些特殊的等参超曲面。由于额外的$W$，不同主曲率的个数只能是1，2或4，即$(S^n,F)$的齐次超曲面比$(S^n,h)$的齐次超曲面少.
2017-05-04 math.DG
Construction of compact embedded $λ$-hypersurfaces via isoparametric hypersurfaces
South China Normal University（华南师范大学）
本文构造了任意非负λ下拓扑为S^1×M的闭嵌入λ-超曲面，其中M为等参超曲面，推广了先前结果并补全了Riedler构造的缺失情形。
2026-09-22 math.DG
Isoparametric hypersurfaces in symmetric spaces of non-compact type and higher rank
本文提出一种将子流形从欧几里得空间扩展到非紧型对称空间的新方法，构造出高秩对称空间中具有非严峻焦集的首批非齐次等参超曲面族。
2023-09-18 math.DG
On focal submanifolds of isoparametric hypersurfaces and Simons formula
球面中等参超曲面的焦点子流形都是极小Willmore子流形，大多数是A.Gray意义下的$\mathcal{A}$ -流形，但很少是Ricci-平行的（\cite{QTY}，\cite{LY}，\cite{TY3}）.本文利用Simons公式研究了焦点子流形的几何性质。通过对正规数量曲率的估计，证明了所有具有$g\geq3$的焦点子流形都不是正规平坦的。此外，我们还给出了焦点子流形中半平行子流形的一个完全分类。
2015-01-28 math.DG
Normal scalar curvature inequality on the focal submanifolds of isoparametric hypersurfaces
单位球面中的等参超曲面有两个焦点子流形。条件A在[CCJ 07]、[Chi16]和[Miy13]中的等参超曲面分类理论中起着至关重要的作用。本文确定了焦点子流形中满足条件A的点集$C_A$。结果表明，$C_A$中的点达到法向数量曲率$ρ^{\bot}$的上界（比DDVV不等式[GT 08]，[Lu 11]中的上界更尖锐）。我们还确定了满足$ρ^{\bot}$的两个下界的集合$C_P$（具有平行第二基本型的点）和$C_E$（具有爱因斯坦条件的点）.
2018-02-05 math.DG
Clifford Algebras and New Isoparametric Hypersurfaces
1.翻译托马斯·E。Cecil，Department of Mathematics and Computer Science，College of the Holy Cross，Worcester，MA 01610，USA; E-mail address：cecil@mathcs.holycross.edu 2.北京师范大学数学科学学院，数学与复杂系统实验室，北京100875。电子邮件地址：wjyan@mail.bnu.edu.cn
2011-12-13 math.DG
Isoparametric hypersurfaces with four principal curvatures revisited
文献[2]中球面上具有四个主曲率的等参超曲面的分类依赖于Ferus，Karcher和Münzner构造的一类等参超曲面的一个重要特征，即焦点子流形的第二基本形式张量的四组方程.文献[2]中的特征证明是一个非常长的外导数的计算，具有显着的取消，这是由等参超曲面是由超定的偏微分方程组偏微分方程组定义的思想所激发的。因此，足够多次的外辨应该为我们的结论收集足够的信息。尽管它的基本性质，计算的规模和令人惊讶的愉快的取消，使它有必要了解潜在的几何原理。在本文中，我们给出了一个概念性的，相当短的，证明的基础上Ozeki和竹内的Cartan-Münzner多项式的展开公式的特征。这四组方程的几何意义也变得清晰起来。
2008-03-09 math.DG
Ideal theory and classification of isoparametric hypersurfaces
球面上具有四个主曲率的等参超曲面的分类与交换代数有着深刻的相互作用，交换代数的抽象和全面的性质可能会掩盖微分几何学家对分类问题的洞察力，而分类问题涵盖了广泛的几何和拓扑。在本文中，我们努力弥合这一差距，走过的重要部分，交换代数中央的分类，这样的超曲面，所有必要的理想理论成分的方式，尽可能直观，激励和几何保持严谨。然后，我们解释了我们如何开发的技术方面的必然理想理论，有关等参超曲面与四个主曲率，分类做我们的论文~ \cite{CCJ}，~ \cite{Ch1}和~ \cite{Ch3}。
2014-05-23 math.DG
Para Blaschke isoparametric spacelike hypersurfaces in Lorentzian space forms
设$M^n$是$(n+1)$维洛伦兹空间形式$M^{n+1}_1(c)$中的$n$维无脐超曲面.在$M^{n+1}_1(c)$的共形变换群下的$M^n$的三个基本不变量是：称为共形$1$ -形式的$1$-形式，称为共形第二基本形式的对称$(0,2)$张量$B$，以及称为Blaschke张量的对称$(0,2)$张量$A$.所谓的para-Blaschke张量$D^λ=A+λB$，即$A$和$B$的线性组合，仍然是对称的$(0,2)$张量。如果共形$1$ -形式为零，且仿Blaschke张量的特征值为常数，则称类空超曲面为仿Blaschke等参类空超曲面.本文将仿Blaschke等参类空超曲面分类到$M^{n+1}_1(c)$的共形群下。
2017-02-19 math.DG
Isoparametric hypersurfaces in $\mathbb{S}^{n}\times \mathbb{R}^{m}$ and $\mathbb{H}^{n}\times \mathbb{R}^{m}$
Beijing Normal University（北京师范大学）；Hangzhou Normal University（杭州师范大学）
本文证明了 $\mathbb{S}^{n} imes \mathbb{R}^{m}$ 或 $\mathbb{H}^{n} imes \mathbb{R}^{m}$ 中的等参超曲面具有常角函数，并利用这一刚性完成了这些乘积空间中等参和齐次超曲面的完全分类，同时证明了等参超曲面具有常主曲率。
2026-03-17 math.DG
Isoparametric hypersurfaces with four principal curvatures
设$M$是球面$S^n$中具有四个不同主曲率的等参超曲面。Münzner证明了四个主曲率最多可以有两个不同的重数$m_1, m_2$，Stolz证明了这对$(m_1,m_2)$必须是$(2,2)$，$(4,5)$，或者等于由Ferus，Karcher和Münzner从Clifford代数的正交表示构造的FKM型等参超曲面的重数。本文证明了：若重数满足$m_2 \geq 3m_1 - 1$，则等参超曲面$M$必为FKM型.连同已知的结果高木的情况下$m_1 = 1$，和Ozeki和Takeuchi的$m_1 = 2$，这处理所有可能的对的多重性，除了10例，其中的分类问题仍然开放。该文件改进了先前存在的具有相同标题的预印本的结果，其中14个案件仍然开放。
2004-02-17 math.DG
