Questions about determinants and polynomials
Steve Fisk
本文讨论了系数为实根多项式系数行列式的多项式的实根性的几个问题。我们还考虑了矩阵推广为全正矩阵的一些问题，即全稳定矩阵和全上矩阵。
We discuss several conjectures about the real-rootedness of polynomials whose coefficients are determinants of coefficients of a real-rooted polynomial. We also consider some questions about matrices generalizing totally positive matrices, namely totally stable matrices and totally upper matrices.
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Catalan numbers, Hankel determinants and Fibonacci polynomials
这（部分暂时）文件起源于研究汉克尔决定因素的卷积权力的Catalan数和Narayana多项式。这导致了一些汉克尔行列式签署加泰罗尼亚数的价值是倍数的斐波那契数和一些汉克尔行列式签署中央二项式系数的价值是倍数的卢卡斯数。大多数证明是计算，但我们也包括一个组合由于基督教Krattenthaler。最后，我们制定了一些建议。
Positivity of Toeplitz determinants formed by rising factorial series and properties of related polynomials
本文证明了用升因子和任意对数凹序列表示的多项式的麦克劳林系数的正性。在研究升阶乘级数的对数幂律时，自然会出现这些多项式。我们提出了几个插图有关的零点和系数的推广形式的多项式。我们也考虑多项式的生成函数是由上升阶乘级数形成的高阶Toeplitz行列式。我们对这些多项式作了三个证明。所有提出的假设都得到了数字证据的支持。
Let $p_n(x)$, $n=0,1,\dots$, be the orthogonal polynomials with respect to a given density $dμ(x)$. Furthermore, let $dν(x)$ be a density which arises from $dμ(x)$ by multiplication by a rational function in $x$. We prove a formula that expresses the Hankel determinants of moments of $dν(x)$ in terms of a determinant involving the orthogonal polynomials $p_n(x)$ and associated functions $q_n(x)=\int p_n(u) \,dμ(u)/(x-u)$. Uvarov's formula for the orthogonal polynomials with respect to $dν(x)$ is a corollary of our theorem. Our result generalises a Hankel determinant formula for the case where …
Hankel determinants of linear combinations of moments of orthogonal polynomials, II
本文提出了一个将正交多项式矩的线性组合的 Hankel 行列式表示为正交多项式行列式的公式，给出了四种不同证明及两个应用，涵盖奇异情形计算与经典组合序列的线性递推。
Slater determinants of orthogonal polynomials
证明了正交多项式关于非负Borel测度的对称化Slater行列式可以表示为另外两类多项式的Hankel行列式的常数倍，也可以表示为Selberg型积分.应用包括正行列式的多项式的几个变量和詹森多项式及其衍生物的整个功能。
Hankel determinants of harmonic numbers and related topics
本文从正交多项式的角度对Hilbert矩阵的已有结果进行了综述，并计算了调和数的Hankel行列式及相关问题。
Using continued fraction expansions of certain polygamma functions as a main tool, we find orthogonal polynomials with respect to the odd-index Bernoulli polynomials $B_{2k+1}(x)$ and the Euler polynomials $E_{2k+ν}(x)$, for $ν=0, 1, 2$. In the process we also determine the corresponding Jacobi continued fractions (or J-fractions) and Hankel determinants. In all these cases the Hankel determinants are polynomials in $x$ which factor completely over the rationals.
Determinant approach to the 2-Iterated q-Appell and mixed type q-Appell polynomials
本文引入了2-迭代q-Appell族。某些2-迭代q-Appell和混合型q-特殊多项式被认为是这个家庭的成员。得到了与这些多项式有关的数。建立了2-迭代q-Appell族和2-迭代及混合型q-Appell多项式的行列式定义。利用Matlab软件绘制了不同指数值下的2-迭代q-Appell多项式和混合型q-Appell多项式的图，并研究了指数n一定时这些多项式的根.最后，给出了这些多项式实零点的近似解。
Wronskian type determinants of orthogonal polynomials, Selberg type formulas and constant term identities
令$(p_n)_n$是关于测度$μ$的正交多项式的序列。设$T$是作用在多项式$\PP$的线性空间中的线性算子，对所有多项式$p$，满足$\dgr(T(p))=\dgr(p)-1$.然后，我们构造一个多项式序列$(s_n)_n$，依赖于$T$但不依赖于$μ$，使得朗斯基型$n\times n$行列式$\det \left(T^{i-1}(p_{m+j-1}(x))\right)_{i,j=1}^n$等于$m\times m$行列式$\det \left(q^{j-1}_{n+i-1}(x)\right)_{i,j=1}^m$，直到乘法常数，其中多项式$q_n^i$，$n,i\ge 0$由$q_n^i(x)=\sum_{j=0}^nμ_j^is_{n-j}(x)$定义，$μ_j^i$是测度$μ$的某些广义矩。对于$T=d/dx$，我们恢复了一个定理Leclerc扩展了著名的卡林和Szeg \H o身份的汉克尔决定因素，其条目是超球面，Laguerre和Hermite多项式。对于一阶差分算子$T=Δ$，我们得到了经典离散正交多项式的Casorati行列式的一些非常优美的对称性。我们还表明，对于某些运营商$T$，上述第二个行列式可以重写的Selberg型积分，并为某些运营商$T$和某些家庭的正交多项式$(p_n)_n$，这些决定因素之一（或两者）也可以重写为某些多元洛朗展开式的常数项。
Invariant properties for Wronskian type determinants of classical and classical discrete orthogonal polynomials under an involution of sets of positive integers
给定一个非负整数的有限集合$F=\{f_1,\cdots ,f_k\}$和一个经典的离散正交多项式族$(p_n)_n$（Charlier，Meixner，Krawtchouk或Hahn），我们考虑Casorati行列式$\det(p_{f_i}(x+j-1))_{i,j=1,\cdots,k}$ .本文证明了当集合$F$被$I(F)=\{0,1,2,\cdots,\max F\}\setminus \{\max F-f:f\in F\}$改变时，这类Casorati行列式的一个很好的不变性质.这种对称性与正交多项式关于经典离散测度的某些Christoffel变换的高阶差分方程的存在性有关。通过传递到极限，这一不变性质被扩展到以Hermite，Laguerre和雅可比多项式为元素的Wronskian型行列式。
Positivity of Turán determinants for orthogonal polynomials
正交多项式$p_n$满足Turán不等式，如果对$n\ge 1$和对正交区间内的所有$x$都满足$p_n^2(x)-p_{n-1}(x)p_{n+1}(x)\ge 0$.给出了正交多项式满足Turán不等式的一般判据.这产生了已知的经典正交多项式的结果，以及新的结果，例如，为$q$ -超球面多项式。
The polynomials $p_n$ orthogonal on the interval $[-1,1],$ normalized by $p_n(1)=1,$ satisfy Turán's inequality if $p_n^2(x)-p_{n-1}(x)p_{n+1}(x)\ge 0$ for $n\ge 1$ and for all $x$ in the interval of orthogonality. We give a general criterion for orthogonal polynomials to satisfy Turán's inequality. This extends essentially the results of \cite{szw}. In particular the results can be applied to many classes of orthogonal polynomials, by inspecting their recurrence relation.
Exceptional Charlier and Hermite orthogonal polynomials
利用Charlier多项式的Casorati行列式，对每个正整数的有限集$F$，构造了一个多项式序列$r_n^F$，$n\in σ_F$，它们是二阶差分算子的本征函数，其中$σ_F$是非非负整数的无限集，$σ_F \varsubsetneq \NN$ .对于某些有限集$F$（我们称之为容许集），我们证明了多项式$r_n^F$，$n\in σ_F$，实际上是例外的Charlier多项式，也就是说，此外，他们是正交的，完全关于一个积极的措施。通过引入极限，将Charlier多项式的Casorati行列式转化为Hermite多项式的Wronskian行列式。对于容许集，这些朗斯基行列式原来是例外的埃尔米特多项式。
In this paper we investigate algebraic, differential and asymptotic properties of polynomials $p_n(x)$ that are orthogonal with respect to the complex oscillatory weight $w(x)=e^{iωx}$ on the interval $[-1,1]$, where $ω>0$. We also investigate related quantities such as Hankel determinants and recurrence coefficients. We prove existence of the polynomials $p_{2n}(x)$ for all values of $ω>0$, as well as degeneracy of $p_{2n+1}(x)$ at certain values of $ω$ (called kissing points). We obtain detailed asymptotic information as $ω\to\infty$, using recent theory of multivariate highly oscillatory in…
Hankel Determinant Approach to Generalized Vorob'ev-Yablonski Polynomials and their Roots
广义Vorob'ev-Yablonski多项式是由Clarkson和Mansfield在研究第二类Painlevé族的有理解时引入的。我们提出了新的Hankel行列式的身份，这些特殊的多项式的平方舒尔多项式。作为恒等式的一个应用，我们分析了广义Vorob'ev-Yablonski多项式的根，并给出了在\cite{CM}中数值观察到的高度正则模式的边界曲线的公式。
A determinant approach for generalized $q$-Bernoulli polynomials and asymptotic results
本文针对生成函数含 Jackson q-类似 Bessel 函数的三族广义 q-伯努利多项式，给出其行列式表示、大 n 渐近结果及整函数展开定理，并举例说明。
Exceptional Hahn and Jacobi orthogonal polynomials
利用Hahn多项式$(h_n^{α,β,N})_n$的Casorati行列式，对每一对正整数有限集的$\F=(F_1,F_2)$，构造了二阶差分算子的本征函数多项式$h_n^{α,β,N;\F}$，$n\in σ_\F$，其中$σ_\F$是某个非负整数集，$σ_\F \varsubsetneq \NN$ .当$N\in \NN$和$α$，$β$，$N$和$\F$满足适当的容许条件时，我们证明了多项式$h_n^{α,β,N;\F}$关于正测度（例外哈恩多项式）也是正交完备的.通过极限传递，将Hahn多项式的Casorati行列式转化为Jacobi多项式的Wronskian型行列式$(P_n^{α,β})_n$ .在适当的条件下，$α$，$β$和$\F$，这些Wronskian型行列式原来是例外的Jacobi多项式。
Exceptional Meixner and Laguerre orthogonal polynomials
利用Meixner多项式$(m_n^{a,c})_n$的Casorati行列式，对每对正整数有限集$\F=(F_1,F_2)$，构造了一个多项式序列$m_n^{a,c;\F}$，$n\in σ_\F$，它们是二阶差分算子的特征函数，其中$σ_\F$是某个非负整数无限集，$σ_\F \varsubsetneq \NN$ .当$c$和$\F$满足一个适当的容许条件时，我们证明了多项式$m_n^{a,c;\F}$，$n\in σ_\F$，实际上是例外的Meixner多项式，也就是说，它们是正交的，关于正测度是完备的.通过极限传递，将Meixner多项式的Casorati行列式转化为Laguerre多项式$(L_n^α)_n$的Wronskian型行列式.在$\F$和$α$的容许条件下，这些朗斯基型行列式是例外的拉盖尔多项式.
Hadamard and Vandermonde determinants and Bernoulli-Euler-Lagrange-Aitken-Nikiporets type numerical method for roots of polynomials
本文发展了Euler-Lagrange方法，通过计算由函数$P'(z)/P(z)$的Taylor和Laurent级数系数构建的Hadamard行列式之比的极限，求解任意复多项式的所有根。
Zeros of large degree Vorob'ev-Yablonski polynomials via a Hankel determinant identity
本文给出了Vorob'ev-Yablonski多项式$\mathcal{Q}_n(x),x\in\mathbb{C}$平方的一种新的Hankel行列式表示.这些多项式是第二个潘勒韦方程$u_{xx}=xu+2u^3+α$的有理解的主要成分。作为新恒等式的一个应用，我们通过渐近分析与上述Hankel行列式相关的一组（伪）正交多项式，研究了$\mathcal{Q}_n(x)$作为$n\rightarrow\infty$的零分布。我们的方法再现了Buckingham和Miller \cite{BM}最近在相同背景下获得的结果，其中使用了PII方程的Jimbo-Miwa Lax表示及其渐近分析。
Extreme points of the Vandermonde determinant on the sphere and some limits involving the generalized Vandermonde determinant
在单位球面上，从直观和解析两方面分析了实元素范德蒙矩阵行列式的值。对于三维的一些广义范德蒙矩阵进行了可视化分析。给出了有限维单位球面上普通范德蒙德行列式的极值点作为重标Hermite多项式的根，并给出了多项式系数的递推关系.这些根的解析表达式也给出了3至7维。给出了最优化问题的一种变换，并讨论了一般Vandermonde矩阵与广义Vandermonde矩阵的极限关系。
Bounds on Tur{á}n determinants
设μ表示[-1，1]上的对称概率测度，（p_n）表示相应的归一化正交多项式，使得p_n（1）=1.本文证明了关于（1-x^2）dμ（x）的正交多项式的正规化Tur{á}n行列式Δ n（x）/（1-x^2）是n-1阶Tur{á}n行列式，其中Δ n=p_n^2- p_{n-1} p_{n+1}.我们用它来证明下和上界的正规化Tur{á}n行列式在区间-1<x<1。
On Gegenbauer polynomials and Wronskian determinants of trigonometric functions
本文推广Larsen关于正弦函数Wronskian行列式的结果，证明其可用Gegenbauer正交多项式表示，并给出基于递推关系和Darboux-Crum变换的两种证明。
New Determinant Expressions of the Multi-indexed Orthogonal Polynomials in Discrete Quantum Mechanics
在离散量子力学中构造了满足二阶差分方程的多指标正交多项式（Meixner型，小$q$ -Jacobi（Laguerre）型，（$q$ -）Racah型，Wilson型，Askey-Wilson型）.它们是正弦坐标$η(x)$（$x$是量子系统的坐标）中的多项式，并且用Casorati行列式表示，Casorati行列式的矩阵元素是$x$在不同点处的函数。利用形状不变性，我们导出了各种等价的行列式表达式，特别是矩阵元素是同一点$x$的函数的行列式表达式。除了（$q$ -）Racah情况外，它们只能用$η$表示，而没有明确的$x$依赖性。
Magnitude is an invariant of metric spaces with origins in category theory. Using potential theoretic methods, Barceló and Carbery gave an algorithm for calculating the magnitude of any odd dimensional ball in Euclidean space, and they proved that it was a rational function of the radius of the ball. In this paper an explicit formula is given for the magnitude of each odd dimensional ball in terms of a ratio of Hankel determinants of reverse Bessel polynomials. This is done by finding a distribution on the ball which solves the weight equations. Using Schröder paths and a continued fraction ex…
We study orthogonal polynomials and Hankel determinants generated by a symmetric semi-classical Jacobi weight. By using the ladder operator technique, we derive the second-order nonlinear difference equations satisfied by the recurrence coefficient $β_n(t)$ and the sub-leading coefficient $\mathrm{p}(n,t)$ of the monic orthogonal polynomials. This enables us to obtain the large $n$ asymptotics of $β_n(t)$ and $\mathrm{p}(n,t)$ based on the result of Kuijlaars et al. [Adv. Math. \textbf{188} (2004) 337-398]. In addition, we show the second-order differential equation satisfied by the orthogonal…
Orthogonal polynomials for the singularly perturbed Laguerre weight, Hankel determinants and asymptotics
本文研究了奇异扰动拉格朗日权重下的正交多项式，推导了其二阶微分方程及递推系数的渐进行为，并分析了零点性质及Hankel行列式的行为。
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