On rack cohomology
证明了Carter，Jelsovsky，Kamada和Saito给出的Rack，Quandle和退化上同调的贝蒂数的下界实际上是相等的.我们还计算了Carter、Elhamdadi和Saito引入的扭曲上同调的贝蒂数。我们也给出了一个第二上同调群的机架群论解释。
2004-10-15 math.QA
Parametric set-theoretic Yang-Baxter equation: p-racks, solutions & quantum algebras
Department of Mathematics, Heriot-Watt University（爱丁堡赫瑞-瓦特大学数学系）；Maxwell Institute for Mathematical Sciences（麦克斯韦数学科学研究所）
本文提出参数p-rack结构，通过参数扭曲构造杨-巴克斯方程解，并推导普遍R矩阵与代数同态的关系。
2026-01-11 math-ph math.MP math.QA
On the geometry and bounded cohomology of racks and quandles
本文研究 rack 与 quandle 的几何结构，在其连通分支上定义自然度量并关联内自同构群的双不变度量，同时提出有界上同调并证明内自同构群顺从时的消没定理。
2024-06-12 math.GR math.QA
Yang-Baxter Hochschild Cohomology
该研究提出并研究了2、3维辫子代数的Yang-Baxter Hochschild上同调理论，统一了两类上同调，证明第二上同调群分类无穷小形变，给出多类例子并推导高阶形变障碍。
2025-06-12 math.GT math.QA
Twisted Yang-Baxter sets, cohomology theory, and application to knots
该研究引入扭曲Yang-Baxter集并构建拓展的上同调理论，结合扭曲双广群上循环与Alexander编号构造纽结及曲面的状态和不变量，成功区分2-扭转纺三叶结与其反向构型，验证了方法有效性。
2024-06-20 math.GT math.QA
$f$-Racks, $f$-Quandles, their Extensions and Cohomology
本文引入并研究了$f$ -架和$f$ -量子的概念，它们是通过映射扭曲通常的等式恒等式而得到的.给出了低阶$f$ -quandles的一些关键构造、例子和分类。此外，我们定义了$f$ -架上的模，讨论了扩张，并定义了$f$ -quandles上的上同调复形。
2016-11-29 math.AT math.QA math.RA
Quantum Cocycle Invariants of Knots from Yang-Baxter Cohomology
University of South Florida（南佛罗里达大学）；Idaho State University（爱达荷州立大学）
本文基于杨-巴克斯特上同调的2-上循环，从形变理论视角引入纽结量子上循环不变量，证明其可解释拟群上循环不变量且在部分例子中更强，还推导了琼斯、亚历山大多项式并给出相关实例。
2026-08-28 math.GT math.QA
Surface Braid Invariants from Yang-Baxter Operators and Their Cohomology
University of South Florida（南佛罗里达大学）；Idaho State University（爱达荷州立大学）
本文提出利用Yang-Baxter算子通过辫子系统构造曲面辫子不变量，并借助图表使用其3-上循环，推广了quandle上循环不变量，讨论了闭包定义纽结曲面不变量的方法。
2026-10-08 math.GT math.QA
Self-distributive structures, braces & the Yang-Baxter equation
Heriot-Watt University（赫瑞-瓦特大学）；Maxwell Institute for Mathematical Sciences（麦克斯韦数学科学研究所）
本文研究了自分配结构、括号与Yang-Baxter方程的关系，探讨了rack和quandle的代数性质，以及与Baxter化反演集合论解相关的量子代数和可积性。
2025-05-21 math-ph math.MP math.QA
Deformation Cohomology for Braided Commutativity
本研究拓展Yang-Baxter Hopf上同调理论，用于研究辫子代数的辫子交换形变，分类其无穷小形变并给出高阶形变障碍，还详细分析了Hopf代数的辫子交换性并得到非平凡例子。
2025-02-23 math.GT math.QA
3-Lie Algebras, Ternary Nambu-Lie algebras and the Yang-Baxter equation
我们从二元李代数，$3$ -李代数，特别是三元Nambu-李代数的组合中构造三元自分配（TSD）对象。我们表明，所获得的结构满足类似的机架的可逆性属性。我们证明，这些结构产生杨巴克斯特运营商的张量积的基向量空间，并在定义适当的扭曲同构，我们得到的无限（框架）辫群的表示。我们考虑低维李代数的例子，其中三元括号是由二元括号的组合定义的，以及简单的$3$ -李代数。我们证明了所获得的杨-巴克斯特算子与转置算子不是规范等价的，并且我们考虑了变形算子以获得杨-巴克斯特方程的新解的问题。我们讨论的应用程序，这种变形过程的建设（框架）链接不变。
2022-10-12 math.GT math.QA
Homology of left non-degenerate set-theoretic solutions to the Yang-Baxter equation
本文研究了杨-巴克斯特方程的左非退化集合论解（=LND解），这类代数结构包括群、架和圈集.每个这样的解决方案都与一个架子（即，一个自我分配的结构），它抓住了它的主要属性。我们认为两个（co）同调论的LND解决方案，其中之一是以前已知的，在一个简化的形式，只为biracks。一个明确的同构这些理论之间的描述。对于组和机架，我们恢复他们的经典（上）同调，而循环集，我们得到新的建设。对于某种类型的LND解，包括quandles和非退化循环集，（共）同调分裂为退化和归一化部分。我们表示2-上循环我们的理论在群上同调，并在循环集的情况下，建立与扩展的连接。这导致建设周期集有趣的性质。
2016-09-20 math.KT math.QA
Quandle cohomology is a Quillen cohomology
我们证明了通常与rack和quandles相关的上同调群分别与rack和quandles代数理论的Quillen上同调群一致。我们还解释了这是如何使整个范围的工具，来与奎伦同调论，如长精确序列（传递性）和切除同构（平基变化）。
2018-05-18 math.AT math.CT math.KT
Cohomology of Frobenius Algebras and the Yang-Baxter Equation
在低维下，基于形变理论，类比于双代数的Hochschild上同调，建立了Frobenius代数的乘与余乘的上同调理论.具体计算提供了关键的例子。Skein理论的构造使用Frobenius代数的乘法和余乘法给出了杨-巴克斯特方程的解，并且使用2-上循环来获得由此获得的R-矩阵的变形。
2008-01-16 math.CT math.QA
Deformations of Yang-Baxter operators via $n$-Lie algebra cohomology
我们介绍了一个上同调理论的$n$ ary自分配对象的张量类别的向量空间，分类其无穷小变形。对于由$n$ -李代数得到的$n$ -ary自分配对象，我们证明了（$n$ -ary）李上同调自然地注入自分配上同调，并且在适当的附加假设下，我们证明了该映射是二阶上同调群的同构.这表明，自分布变形完全由李括号的变形分类。该理论在Yang-Baxter算子的研究中有重要的应用，因为自分配变形决定了由$n$元自分配结构导出的Yang-Baxter算子的非平凡变形.特别地，我们证明了从第二自分配上同调到相关的Yang-Baxter算子的第二上同调存在一个同态。证明了当一个具有平凡中心的李代数诱导出自分配结构时，得到一个单态。我们建立了一个变形理论的基础上同时变形，其中的余代数和自分配结构同时变形。我们证明了当李代数具有非平凡上同调时（例如对于半单李代数），其同时变形可能仍然是非平凡的，从而产生相应的Yang-Baxter算子变形.给出了低维情形下的例子和计算，完整地刻画了从所有$3$维非平凡实李代数（即Bianchi I-IX）和所有$3$维非平凡复李代数中得到的自分配对象的$2$ -上圈.
2022-08-16 math-ph math.GT math.MP
Virtual Yang-Baxter cocycle invariants
我们扩展了杨-巴克斯特上循环不变量的虚拟节点，通过增加杨-巴克斯特2-上循环与上同调理论相关的虚拟biquandle结构。这些不变量与经典的杨-巴克斯特上循环不变量的经典节点，但提供额外的信息，虚拟的节点和链接。特别地，它们提供了一种用于检测虚拟节点和链接的非经典性的方法。
2008-02-22 math.GT math.QA
Cohomology and Extensions of Relative Rota-Baxter groups
本文发展了 Relative Rota-Baxter groups 的扩张理论并引入其低维上同调群，建立了扩张等价类与第二上同调间的双射，并证明了双射情形下其与 skew left braces 上同调在二维同构。
2023-09-01 math.GR math.QA math.RA
A differential bialgebra associated to a set theoretical solution of the Yang-Baxter equation
对于杨-巴克斯特方程$(X,σ)$的一组理论解，我们定义了一个d.g.双代数$B=B(X,σ)$，包含半群代数$A=k\{X\}/\langle xy=zt : σ(x,y)=(z,t)\rangle$，使得$k\otimes_A B\otimes_Ak$和$\mathrm{Hom}_{A-A}(B,k)$分别是计算在\cite{CJKS}中定义的双quandle同调和上同调的同调和上同调复形，以及在rack-quandle情况下的上同调的其他推广（例如在\cite{CES}中定义的）。这种代数结构使我们能够显示存在的一个结合产品的上同调的biquandles，和一个比较地图与Hochschild（上）同调的代数$A$。
2015-11-19 math.QA
Yang-Baxter Equation and Related Algebraic Structures
本专著简明介绍了量子Yang-Baxter方程集合论解的代数理论，重点探讨skew braces、quandles、racks和Rota-Baxter群等核心结构的性质、相互关系及在结理论中的应用。
2025-06-29 math.GR math.GT math.QA
Solutions Of The Yang-baxter Equations From Braided-Lie Algebras And Braided Groups
我们得到了Artin辫子群在每个（超）-李代数或辫子-李代数的向量空间上以标准方式作用的R-矩阵或矩阵表示。同样的结果适用于任何（超）-Hopf代数或辫子-Hopf代数。我们恢复一些已知的表示，如那些相关的机架。我们还获得了新的表示，如一个非平凡的环$k[x]$的多项式在一个变量，被视为一个辫子线。用同样的方法得到了辫子群在$S^1$的补中的扩充Artin辫子群的表示.
1993-12-16 hep-th math.QA
Reflections to set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation
本文通过探索双射非退化解与导出解的联系，确定杨-巴克斯特方程的反射，简化了特定情况下的反射研究，扩展了对合非退化解的已有结果至更一般的解，并提供了定义反射的方法及小阶斜括相关的数值数据。
2025-05-01 math.QA
Generalized digroups, di-skew braces, and solutions of the set-theoretic Yang-Baxter equation
Università del Salento（萨伦托大学）
本文提出di-skew brace结构，证明广义digroup可生成集合论Yang-Baxter方程的非退化解，并通过半直积分解和平均算子提供具体实例。
2026-01-06 math.QA
An explicit description of the second cohomology group of a quandle
利用膨胀限制序列和Etingof与Graña关于架上同调的结果，给出了值在阿贝尔群中的有限不可分解quandles的2-上圈的一个明确的刻画.给出了几种应用。
2016-09-06 math.KT math.QA
Equivariant quantum cohomology and Yang-Baxter algebras
关于部分旗簇的量子上同调，有两种有趣的说法。第一个涉及到量子上同调的仿射李代数和仿射格拉斯曼的同调，第二个连接它与几何的x-ray品种。与仿射格拉斯曼主义的联系首先在彼得森未发表的作品中讨论，随后由林和下佐野证明。第二个发展是基于最近的工作Nekrasov，Shatashvili和Maulik，Okounkov有关的量子上同调的Nakajima品种与可积系统和量子群。在这篇文章中，我们探讨了最简单的情况下，格拉斯曼，这两种方法之间的关系。我们将称为恶性和密切步行者的可积系统的定义推广到等变环境，并证明了这些模型在仿射nil-Hecke环的一个特殊表示中有简单的表达式.我们比较这种表示与一个介绍了Kostant和库马尔和后来使用的彼得森在他的方法舒伯特演算。我们揭示了一个潜在的量子群结构的杨-巴克斯特代数，并将它们与Schur-Weyl对偶。我们还得到新的组合结果等变Gromov-Witten不变量，如一个明确的行列式公式。
2014-05-12 math-ph math.AG math.MP
A survey on deformations, cohomologies and homotopies of relative Rota-Baxter Lie algebras
本文综述了近年来引起人们极大兴趣的相对Rota-Baxter李代数的形变、上同调和同伦理论。利用Voronov的高阶导括号，可以得到一个$L_\infty$ -代数，它的Maurer-Cartan元是相对Rota-Baxter李代数.然后利用扭曲方法，得到控制相对\RB李代数变形的$L_\infty$-代数.同时，借助于扭曲$L_\infty$ -代数，还可以定义相对Rota-Baxter李代数的上同调.利用控制代数的方法，还可以引入与pre-Lie $_\infty$ -代数有密切联系的同伦相对Rota-Baxter李代数的概念。最后，我们简要地回顾了非零权相对Rota-Baxter李代数的形变、上同调和同伦理论。
2022-12-09 math-ph math.MP math.QA
A Wells type exact sequence for non-degenerate unitary solutions of the Yang--Baxter equation
已知圈集可以给出杨-巴克斯特方程的非退化酉解，线性圈集是这些代数系统的丰富形式。本文探讨了最近发展起来的线性圈集的上同调和扩张理论。我们得到一个四项精确序列有关的1-上循环，第二上同调和某些群体的自同构所产生的中心扩展的线性循环集。这是一个类似的确切序列群扩展已知由于井。我们还通过遗忘函子比较了线性圈集与其基础阿贝尔群的正合序列，并讨论了动力2-上圈的一般性。
2021-07-16 math.GR math.QA
Symbolic computation with finite biquandles
本文给出了一种由有限双四元数的矩阵表示计算系数为Q和Z_p的有限双四元数的第二Yang-Baxter上同调基的方法。我们还描述了一种方法，用于计算杨巴克斯特上循环不变量的一个有向的结或链接表示为一个有符号的高斯码。我们为这些算法的Maple实现提供了一个URL。
2007-09-02 math.GT math.QA
Perturbative Expansion of Yang-Baxter Operators
本文研究由李代数产生的 Yang-Baxter 算子的形变，将其高阶形变与李代数形变关联，证明可积形变给出完整微扰级数，并发现刚性李代数对应的 YB 算子第二上同调群可非平凡，提供非平凡 YB 形变的例子。
2024-03-14 math-ph math.GT math.MP
Deformations and homotopy theory of relative Rota-Baxter Lie algebras
我们确定的\emph{$L_\infty$-algebra}，控制相对Rota-Baxter李代数的变形，并表明它是一个扩展的dg李代数控制变形的基础LieRep对的dg李代数控制变形的相对Rota-Baxter运营商。因此，我们定义了相对Rota-Baxter李代数的{ \em上同调}，并把它与它们的无穷小变形联系起来。利用三角李双代数得到了一大类相对Rota-Baxter李代数，并在相应的形变复形之间构造了一个映射.接下来，引入了\emph{homotopy}相对Rota-Baxter李代数的概念。证明了一类同伦相对Rota-Baxter李代数与\emph{pre-Lie$_\infty$-algebras}密切相关.
2020-08-15 math-ph math.MP math.QA
Geometrization of solutions of the generalized classical Yang-Baxter equation and a new proof of the Belavin-Drinfeld trichotomy
从代数几何的角度研究了特征为0的域上中心单李代数中的经典杨-巴克斯特方程（CYBE）的广义解.特别是，我们使用射影曲线上李代数的上同调自由层来描述这样的解。这个框架导致了一个新的证明的Belavin-Drinfeld分解，它断言，在基域$\mathbb{C}$任何非退化的解决方案的CYBE是椭圆，三角或合理的。此外，我们还得到了特征为0的任意域上广义CYBE解的新的结构结果。例如，我们证明了这样的解决方案可以以适当的方式扩展到有理映射的产品的两条曲线。
2022-07-29 math.AG math.QA
Pre-Lie 2-bialgebras and 2-grade classical Yang-Baxter equations
本文建立严格pre-Lie 2-代数的Manin三元组、匹配对与双代数等价理论，引入2阶经典Yang-Baxter方程以构造pre-Lie 2-双代数和仿Kähler严格Lie 2-代数。
2025-03-18 math.QA
Mixed Bruhat operators and Yang-Baxter equations for Weyl groups
引入并研究了一类作用于外尔群$W$的算子族，并给出了相应类型的量子杨-巴克斯特方程的多参数解.我们的运营商推广的“量子Bruhat运营商”，出现在明确的描述的乘法结构的（小）量子上同调环的$G/B$。主要的组合应用涉及“倾斜Bruhat秩序”，一个分次偏序集，其唯一的极小元是一个任意选择的元素$w\in W$。(The普通的Bruhat阶对应于$w=1$的情况。）利用混合Bruhat算子，我们证明了这些偏序集是字典序可壳的，并且倾斜Bruhat序中的每个区间都是欧拉的。这推广了Verma，Bjorner，Wachs和Dyer的著名结果.
1998-05-18 math.AG math.CO math.QA
Noncommutative Poisson bialgebras
本文引入了非交换Poisson双代数的概念，建立了匹配对、Manin三元组与非交换Poisson双代数之间的等价关系。利用非交换Poisson代数的拟表示和相应的上同调理论，研究了上边界非交换Poisson双代数，引入了Poisson杨-巴克斯特方程. Poisson杨-巴克斯特方程的反对称解自然地给出了一个（上边界）非交换Poisson双代数。引入了非交换Poisson代数上的Rota-Baxter算子，更一般的O-算子和非交换预Poisson代数，并利用这些结构构造了Poisson杨-巴克斯特方程在某些特殊的非交换Poisson代数上的斜对称解.
2020-04-06 math-ph math.MP math.QA
R-Matrices, Yetter-Drinfel$'$d Modules and Yang-Baxter Equation
在第一部分中，我们回顾了杨-巴克斯特方程解的两个著名来源--R-矩阵和Yetter-Drinfel $'$ d（=YD）模--并将前者解释为后者的一个特例。我们表明，这一结果成立于更一般的情况下，弱R-矩阵，这里介绍。在第二部分中，我们继续探索YD模块结构的“编织”方面，展示了一个编织系统，编码来自YD模块定义的所有公理。使用YD系统的原始机器来研究这个构造的函子性和几种推广。作为推论，我们得到了YD模的张量积结构的一个概念性解释，以及YD模的形变上同调的一个推广。后一种同调论因此被纳入辫状同调的统一框架，其中包括Hochschild、Chevalley-Eilenberg、Gerstenhaber-Schack和quandle同调。
2013-08-19 math.CT math.KT math.QA
Deformation maps in proto-twilled Leibniz algebras
该研究在原斜纹莱布尼茨代数中引入形变映射以统一研究莱布尼茨代数上各类算子的上同调，构造了对应弯曲$L_\infty$-代数并给出相关算子的Maurer-Cartan刻画，还构建了控制算子及代数与算子同时形变的两个主控$L_\infty$-代数。
2024-10-07 math-ph math.KT math.MP
Deformations and their controlling cohomologies of $\mathcal{O}$-operators
$\mathcal{O}$ -算子在数学和物理学中有着广泛的应用，如可积系统、经典的杨-巴克斯特方程、准李代数和算子分裂等。本文根据变形理论的一般原理，建立了$\mathcal{O}$ -算子的变形理论。一方面，证明了在适当的分次李代数中，$\mathcal{O}$ -算子可以刻画为Maurer-Cartan元.一个给定的$\mathcal{O}$ -算子生成一个微分分次李代数，其Maurer-Cartan元刻画了给定的$\mathcal{O}$ -算子的变形.另一方面，从$\mathcal{O}$ -算子$T$中识别出一个具有表示的李代数，使得相应的Chevalley-Eilenberg上同调控制$T$的变形，从而可以看作是$\mathcal{O}$ -算子的André-Quillen上同调的类似.此后，研究了$\mathcal{O}$ -算子的无穷小变形和形式变形。特别是，Nijenhuis元素的概念被引入到平凡的无穷小变形的特点。利用新的上同调理论刻画了$\mathcal{O}$ -算子的形式变形和阶$n$变形的可拓性.给出了权为0的Rota-Baxter算子和反对称$r$ -矩阵的变形在经典杨-巴克斯特方程中的应用.对于反对称$r$ -矩阵，有一个独立的Maurer-Cartan特征的变形，以及一个类似的André-Quillen上同调控制的变形，这原来是等价的$\math…
2018-03-25 math-ph math.KT math.MP
Coprime extensions of indecomposable solutions to the Yang-Baxter equation
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, Université de Caen Normandie（卡昂诺曼底大学尼古拉·奥雷数学实验室）
该研究引入Yang-Baxter方程集合论解的扭扩张与互素扩张概念，证明不可分解解的互素扩张均可表为扭扩张，并借此结合已有结构定理完整刻画了阶为三个不同素数乘积的不可分解解，还讨论了相关上同调理论。
2025-04-08 math.GR math.QA math.RA
A combinatorial approach to noninvolutive set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation
本文用组合与代数方法研究杨-巴克斯特方程的非对合集合论解，重点刻画无平方解、极小性条件及广义强扭曲并结构，并证明相关编织幺半群与编织群的分裂性质。
2025-08-18 math.QA
Nijenhuis operators and mock-Lie bialgebras
本文通过推广匹配对、Manin三元组等概念，刻画了Nijenhuis mock-Lie双代数，并研究了其形式形变、阿贝尔扩张及与mock-Lie-Yang-Baxter方程的联系。
2025-01-19 math.QA math.RA
Deformation maps of quasi-twilled Lie algebras
Jilin University（吉林大学）
本文通过引入准双曲李代数，统一研究李代数各类算子的上同调与变形理论，提出两种变形映射类型，涵盖修正r矩阵、交叉同态、导子、同态、相对罗塔-巴克斯算子等，并给出其控制代数与上同调，拓展了现有结果并获得新结论。
2024-05-04 math-ph math.MP math.QA
