Finding paths of length k in O*(2^k) time
Ryan Williams
我们给出了一个随机算法，它可以在O（2^kpoly（n，k））时间内确定给定图是否有长度至少为k的简单路。
We give a randomized algorithm that determines if a given graph has a simple path of length at least k in O(2^k poly(n,k)) time.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Finding Two Edge-Disjoint Paths with Length Constraints
本文研究了无向图中两对顶点$(s_1,t_1)$和$(s_2,t_2)$的$(s_1,t_1)$ -路$P_1$和$(s_2,t_2)$ -路$P_2$的问题，使得$P_1$和$P_2$不共享边，且每个$P_i$的长度满足$L_i$，其中$L_i \in \{ \le k_i, \; = k_i, \; \ge k_i, \; \le \infty\}$ .我们把$k_1$和$k_2$作为参数，研究了当$P_1$和$P_2$中至少有一个有长度约束时上述问题的参数化复杂性（注意，$L_i = "\le \infty"$表示$P_i$没有长度约束）。对于$(L_1, L_2)$的九种不同情况，我们得到了其中七种情况的FPT算法。我们的算法使用随机划分支持一些结构性的结果。另一方面，我们证明了问题承认没有多项式核的所有九种情况下，除非$NP \subseteq coNP/poly$。
On the Parameterized Tractability of Packing Vertex-Disjoint A-Paths with Length Constraints
研究了具有长度约束的顶点不相交A-路径打包问题，证明了其在不同参数下的复杂性，并提供了相应的算法和内核。
A linear time algorithm for the next-to-shortest path problem on undirected graphs with nonnegative edge lengths
对于图$G=(V,E)$中的两个顶点$s$和$t$，次短路是一条$st$ -路，它的长度是严格长于最短路长度的所有$st$-路中最小的。在本文中，我们证明了，当图是无向的，所有的边长是非负的，可以在线性时间内解决的问题，如果从$s$和$t$到所有其他顶点的距离是给定的。该结果将之前的工作（DOI 10.1007/s 00453 -011-9601-7）推广到允许零长度边。
Line-distortion, Bandwidth and Path-length of a graph
本文研究了无权图的最小线失真和最小带宽问题，以及它们与Robertson-Seymour路分解的最小长度的关系。图的路分解的长度是分解中袋的最大直径。一个图的路长是它的所有路分解的最小长度。特别是，我们显示：- 如果图$G$可以嵌入到具有畸变$k$的线中，则$G$允许在$G$中具有直径至多为$k$的袋的Robertson-Seymour路径分解;- 对每一类路长有界的图，存在用于最小线失真问题的有效的常数因子近似算法和有效的常数-最小带宽问题的因子近似算法; -存在计算任意图的路长的有效的2-近似算法; -无AT图和某些交图族的路长至多为2;- 对于无AT图，存在最小线失真问题的线性时间8-近似算法和最小带宽问题的线性时间4-近似算法。
An $O(n \log n)$ time Algorithm for computing the Path-length Distance between Trees
树比较指标已被证明是一个宝贵的助手在重建和分析系统发育（进化）树。树木之间的路径长度距离是一个特别有吸引力的措施，因为它反映了树木形状的差异以及分支长度之间的差异。该距离等于所有分类单元对上，每棵树中连接它们的唯一路径长度之间的平方差之和。我们描述了一个$O(n \log n)$时间计算这个距离，广泛使用Brodal等人（2004）介绍的树分解技术。
Graph parameters that are coarsely equivalent to path-length
本文提出了几个与图路径长度粗略等价的图参数，并证明了图路径长度较小当且仅当满足若干等价条件，如以较小加性失真嵌入无权毛毛虫树、存在小半径圆盘截断任意三点间路径、具有较小参数的支配最短路径或支配对，以及图的某次幂为 AT-free 图等。
On the Computational Complexity of Length- and Neighborhood-Constrained Path Problems
在图中寻找路是一个基本的图论任务。在这项工作中，我们关心的是找到一条路径，它的长度和相邻的路径，即，在外部和事件的路径的顶点数的一些限制，在这里，我们考虑短和长的路径上的一侧，和小和大的邻居在另一侧-产生四个决策问题。我们证明了这四个问题都是NP-完全的，即使是在最大度很小的平面图中。此外，我们研究了所有四个变量时，参数化的约束$k$的路径的长度，约束$\ell$的大小的邻域，和$k + \ell$。
The directed 2-linkage problem with length constraints
有向图的{ \sc弱2-连接}问题要求给定有向图和顶点$s_1,s_2,t_1,t_2$，$D$是否包含一对弧不相交的路$P_1,P_2$，使得$P_i$是$(s_i,t_i)$ -路，这个问题对于一般有向图是NP完全的，但对于无圈有向图\cite{fortuneTCS10}是多项式可解的.最近证明了\cite{bercziESA17}：如果$D$在弧上具有权函数$w$，且满足所有边都具有正权，则当$D$中的两条路都必须是最短路时，弱2-链问题的变形有一个多项式算法.本文考虑单位权的情形，证明了对于每一对常数$k_1,k_2$，存在一个多项式算法来判定输入有向图$D$是否有一对弧不相交的路$P_1,P_2$，使得$P_i$是$(s_i,t_i)$ -路，且$P_i$的长度不大于$i=1,2$，其中$d(s_i,t_i)$表示最短$(s_i,t_i)$ -路的长度。除非指数时间假设（ETH）失败，否则没有多项式算法用于判定{ \sc弱2-链接}问题的解$P_1,P_2$的存在，其中对于某个常数$c$，每条路径$P_i$具有至多$d(s_i,t_i)+ c\log^{1+ε}{}n$的长度。我们还证明了{PDMATHAMM弱2-linkage}问题仍然是NP完全的，如果我们要求两条路径中的一条是最短路径，而另一条路径的长度没有限制。
A Bellman-Ford algorithm for the path-length-weighted distance in graphs
针对带权有限无环有向图，提出一种计算路径长度加权距离的新型Bellman-Ford类算法，明确纳入路径规模因素，搭建适配计算框架并说明使用约束与示例，可应用于欺诈检测场景的图分析。
Efficiently listing bounded length st-paths
自20世纪60年代初以来，人们一直在研究在图中列出$K$最短简单（无环）$st$ -路径的问题。对于具有$n$顶点和$m$边的非负加权图，最有效的解决方案是Yen和Lawler [Management Science，1971和1972]针对有向图的$O(K(mn + n^2 \log n))$算法，以及Katoh等人[Networks，1982]针对无向图的$O(K(m+n \log n))$算法，两者都使用$O(Kn + m)$空间。在这项工作中，我们考虑一个不同的参数化这个问题：而不是绑定的$st$路径输出的数量，我们绑定它们的长度。对于有界长度参数化，我们提出了新的非平凡算法匹配的经典算法的时间复杂度，但只使用$O(m+n)$空间。此外，我们提供了一个统一的框架，使两个参数化的解决方案-经典的$K$ -最短和新的长度有界路径-可以被看作是两个不同的遍历同一棵树，一个Dijkstra样和DFS样遍历，分别。
A simpler and more efficient algorithm for the next-to-shortest path problem
给定一个边长为正的无向图$G=(V,E)$和两个顶点$s$和$t$，次短路问题是在所有严格长于最短路长的$st$-路中寻找一条长度最小的$st$-路.在本文中，我们表明，该问题可以在线性时间内解决，如果从$s$和$t$到所有其他顶点的距离。特别地，我们的新算法对于一般图的运行时间为$O(|V|\log |V|+|E|)$，改进了以前对于稀疏图的运行时间为$O(|V|^2)$的结果，对于无权图、平面图和具有正整数边长的图的运行时间仅为线性时间.
Competitive Analysis of Online Path Selection: Impacts of Path Length, Topology, and System-Level Costs
针对自利用户在线到达通信网络时的路径选择问题，本文采用竞争分析，研究路径长度、拓扑及系统级成本对算法竞争比和社会福利的影响。
Finding Paths and Cycles in Graphs
一种多项式时间算法，它以顶点对（开始，结束）的形式检测所有长度的所有路径和循环。
Finding k-Dissimilar Paths with Minimum Collective Length
最短路径计算是道路网络中的一个基本问题。然而，在许多现实世界的场景中，仅仅确定最短路径是不够的。本文研究了寻找具有最小集合长度的k-不相似路径（kDPwML）问题，其目的是计算从源s到目标t的一组路径，使得所有路径两两至少相差θ，且路径长度之和最小.我们引入了一个精确的算法kDPwML问题，迭代所有可能的S-T路径，同时采用两种修剪技术，以减少昂贵的计算成本。为了实现可扩展性，我们还定义了一个更小的简单的单通路径集，我们适应kDPwML查询的两个算法来覆盖这个集合。我们对真实道路网络的实验分析表明，在所有路径上迭代是不切实际的，而在一组简单的单通路路径上迭代可以导致可扩展的解决方案，只有一个小的权衡结果的质量。
Finding A Path Of Length k: An Expository
本文综述了图中长度为 k 的简单路径的存在性与计数问题的研究现状，系统梳理了相关方法与结果。
High Dimensional Cluster Analysis Using Path Lengths
提出了一种适用于高维空间的数据聚类的层次化方法（$N_{_{D}}>3$）。首先将数据集简化为较小的分区集（多维箱）。使用多种聚类技术，包括谱聚类，然而，也引入了基于彼此连接的分区之间的路径长度的新技术。一个视线算法也被开发用于聚类。一个测试银行的12个数据集具有不同的属性是用来暴露每种技术的优点和缺点。最后，讨论了一个强大的聚类技术的基础上达成共识的多种方法，克服个别发现的弱点。
RALL - Routing-Aware Of Path Length, Link Quality, And Traffic Load For Wireless Sensor Networks
物联网（IoT）应用场景的多样性和普遍性为当前和未来的互联网带来了新的应用视角。无线传感器网络为物联网通信模式的发展提供了关键设备，例如收集各种信息的传感器以及路由和MAC协议。然而，这种类型的网络具有很强的功耗和传输容量限制（低速无线链路和受干扰）。在这种情况下，有必要开发基于网络资源的优化利用实现更有效通信的解决方案。本文提出了一种多目标路由算法，命名为路由感知路径长度，链路质量和流量负载（RALL），试图平衡三个目标：最小化瓶颈，最小化路径长度，并避免低质量的链路。在考虑传输速率、开销、延迟和功耗时，RALL会产生良好的性能。
On martingale tail sums for the path length in random trees
对于几乎必然收敛于随机变量$X$的鞅$(X_n)$，序列$(X_n - X)$称为鞅尾和。最近，Neininger [Random Structures Algorithms，46（2015），346-361]证明了随机二叉搜索树中路径长度的R{é}gnier鞅的鞅尾和的中心极限定理。Gr{ü}bel和Kabluchko [出现在Annals of Applied Probability，（2016），arXiv 1410.0469]给出了另一种证明，也证明了迭代对数的相应定律。本文证明了一类树族的中心极限定理，该树族包含二叉搜索树、递归树和面向平面的递归树，且具有高阶矩收敛性和重对数律.
The total path length of split trees
我们考虑由Devroye引入的随机树模型[SIAM J. COMPUT. 28（1999）409 - 432]。该模型包括许多重要的随机算法和数据结构。数据（项）以随机方式存储在树的节点中。总路径长度（项目深度之和）是算法/数据结构效率的自然度量。利用更新理论，我们证明了收敛分布的总路径长度向分布的特点是唯一的不动点方程。我们的结果涵盖，使用一个统一的方法，许多数据结构，如二叉搜索树，m元搜索树，四叉树，中位数的（2k +1）树，和单纯形树。
The Distribution Function of the Longest Path Length in Constant Treewidth DAGs with Random Edge Length
本文研究了有向无环图（DAG）$G=(V,E)$中最长路的长度$X_{\rm MAX}$，其中$|V|=n$和$|E|=m$为任意边长.当边长相互独立且均匀分布时，分布函数$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$的计算问题是$\#$ P-hard的，即使$G$是有向路，在这种情况下，$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$等于背包多面体的体积，背包多面体是被半空间截断的$m$维单位超立方体.在本文中，我们表明，有一个确定性的完全多项式时间近似计划（FPTAS）计算$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$的$G$的树宽的情况下，最多是一个常数$k$。我们的算法的运行时间是$O(k^2 n(\frac{16(k+1)mn^2}ε)^{4k^2+6k+2})$，以实现乘法近似比$1+ε$。在我们的FPTAS之前，我们提出了一个基本公式，该公式表示$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$至多为$n-1$定积分的重复。此外，在边长服从相互独立的标准指数分布的情况下，我们给出了一个$((4k+2)mn)^{O(k)}$时间精确算法。对于满足一定条件的随机边长，我们还表明，计算$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$是固定参数易处理的，如果我们选择树宽$k$，添加剂错误$ε'$，和$x$作为参数。
Lower density selection schemes via small universal hitting sets with short remaining path length
通用命中集是不可避免的词的集合：每个足够长的序列都被集合命中（即，它包含来自集合的单词）。泛碰集与极小化方案之间存在着紧密的联系，其中具有低密度的极小化方案（即，有效方案）对应于小尺寸的泛碰集。局部格式是极小化格式的推广，它可以代替极小化格式，从而有可能提高效率。我们建立有效的本地计划和最小长度的字符串，必须击中一个普遍的命中集之间的联系。我们给出了Mykkeltveit泛碰集的剩余路径长度的界。此外，我们创建了一个本地计划与最低的已知密度，只有一个对数因子远离理论下限。
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