A positive solution to a conjecture of A. Katok for diffeomorphism case
Xiongping Dai
本文利用Pesin理论和Liao理论，给出了A.卡托克
In this paper, using Pesin theory and Liao theory, we give a positive solution to a conjecture of A. Katok.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We construct a plethora of Anosov-Katok diffeomorphisms with non-ergodic generic measures and various other mixing and topological properties. We also construct an explicit collection of the set containing the generic points of the system with interesting values of its Hausdorff dimension.
Slow entropy for some Anosov-Katok diffeomorphisms
Anosov-Katok方法是构造熵为零的保体积光滑同态的最有力的工具之一。为了度量熵为零的系统的复杂性，引入了像慢熵这样的不变量。在这篇文章中，我们开发了几种机制，便于计算拓扑和测度论慢熵的Anosov-Katok同构。
Katok's Entorpy Formula of Unstable Metric Entropy for Partially Hyperbolic Diffeomorphisms
卡托克熵公式是熵理论中的一个重要公式。本文建立了部分双曲系统不稳定部分引起的不稳定度量熵的Katok熵公式。
An effective version of Katok's horseshoe theorem for conservative $C^2$ surface diffeomorphisms
对于保面积的$C^2$曲面同态，我们给出了一个显式的有限信息条件，即覆盖正比例空间所需的Bowen $(n,δ)-$球数的指数增长性，这足以保证正的拓扑熵.这可以被看作是在保守环境下Katok马蹄铁定理的一个有效版本。我们还证明了类似的结果在维数大于$3$时是错误的。
A symbolic representation of Anosov-Katok systems
本文是第1部分的一系列文件最终的结果，措施保持cruomorphisms的光盘或2-环面是不可分类的。它还解决了另一个经典的问题：抽象的措施保持系统是可实现的光滑仿射的一个紧凑的流形？本文的主要结果给出了Anosov-Katok同态的新的符号表示。
Non-statistical behavior via Statistical instability: Non-statistical Anosov-Katok diffeomorphisms
本文通过统计不稳定性形式化非统计动力学，提出充分条件，并在环面 Anosov-Katok 微分同胚空间中构造新的非统计映射。
Cohomological rigidity and the Anosov-Katok construction
我们提供了一个一般性的论据失败的Anosov-Katok样的建设（如在\cite{AFKo2015}和\cite{NKInvDist}），以产生上同调刚性同构在流形以外的环面。紧致流形$M$的$C^{\infty }$光滑同态$f $是上同调刚性的当且仅当线性上同调方程\begin{equation*} ψ\circ f - ψ= φ\end{equation*}在$C^{\infty } (M, \mathbb{C} )$的余维$1$闭子空间中对每个$φ$都有$C^{\infty }$光滑解$ψ$.作为应用，我们证明了在紧致型齐性空间中的拟周期上循环的几乎约化区域中不存在上同调刚性同态，即使在一般的此类系统上的线性上同调方程对于函数的稠密子集$φ$有解.因此，我们证实了M. Herman和A. Katok在这种情况下，并提供了一些见解的机制，阻碍建设的反例。
Katok's intermediate entropy conjecture for amenable group actions
本文证明具有可和群作用且满足specification性质、渐近熵扩张的动力系统，满足Katok中间熵猜想。
On the Greenfield-Wallach and Katok conjectures
本文综述了关于整体亚椭圆和上同调自由向量场的Greenfield-Wallach和Katok定理的最新进展，并给出了这两个定理在三维空间的证明.这一论点主要基于F.和J. Rodriguez Hertz，它使我们能够将问题简化为接触形式的Reeb流的情况。接触的情况是解决了调用温斯坦猜想（这是最近宣布的C。Taubes）。
Equilibrium states of intermediate entropies
在熵函数是上半连续的条件下，基于平衡态的唯一性，对Katok关于中间熵的猜想进行了研究.作为应用，我们证明了Katok关于Mañé同态的猜想。
High pointwise emergence and Katok's conjecture for systems with non-uniform structure
最近，Kiriki，Nakano和Soma引入了一个称为逐点涌现的概念，作为研究动力系统不存在平均值的一个新的定量视角。本文研究了非一致结构系统的点态涌现点集，证明了该点集具有全拓扑压力。为了证明这一结果，我们证明了这样的系统具有任意中间压力的遍历测度。
A Simple Example of Pathological Foliations in Skew-Product Diffeomorphisms
受Katok和Milnor的例子启发，研究者构造出斜积保体积微分同胚的简单病态中心叶状结构例子，其满测度集与任意中心叶交集至多含一点，构造机制比现有文献的更简单基础。
Katok's entropy conjecture near real and complex hyperbolic metrics
本文证明实或复双曲度量在负曲率度量空间中的局部邻域内，拓扑熵与 Liouville 熵相等当且仅当两度量相似，从而部分解决 Katok 熵刚性猜想，并推出双曲秩与 C^2 Anosov 叶状结构的局部刚性。
Large Deviation Properties in Some Nonuniformly Hyperbolic Systems Via Pesin Theory
利用Pesin理论研究了一类非一致双曲型方程组的第一水平大偏差性质。特别地，我们的结果可以应用于Katok描述的非一致双曲型同态和Anosov系统的其他几类非一致双曲型同态。
Horseshoes for diffeormorphisms preserving hyperbolic measures
我们给出了Katok马蹄结构的扩展，评论了相关结果，并提供了一个独立的证明。我们考虑一个保双曲测度的$C^{1+α}$纯同态或一个保双曲测度的$C^1$纯同态，其支撑允许支配分裂.
The Katok-Spatzier Conjecture and Generalized Symmetries
在光滑范畴内，不可约的高阶阿贝尔Anosov行动的n-环面和分类的平衡自由流的n-环面上具有非平凡的广义对称性的全球刚性之间的交织表现。
Symbolic dynamics for surface diffeomorphisms with positive topological entropy
设f是一个具有正拓扑熵的C^{1+ε}曲面亚纯映射.对于严格小于f的拓扑熵的正δ，我们构造一个不变的博雷尔集E，使得（a）f| E具有可数马尔可夫分割;（b）E具有关于熵大于δ的任何遍历不变概率测度的满测度。这使我们能够证明下面的猜想A。Katok：若f是C^ \infty且拓扑熵h>0，且P_n（f）=#{x：f^n（x）=x}，则limsup P_n（f）/exp（nh）>0.
Generic Points in Some Nonuniformly Hyperbolic Systems Via Pesin Theory
本文利用Pesin理论研究了非一致双曲组泛点的拓扑压力。特别地，我们的结果可以应用于Katok描述的非一致双曲型同态和Anosov系统的其他几类非一致双曲型同态。
Rigidity of Lyapunov exponents for derived from Anosov diffeomorphisms
本文研究同伦于线性 Anosov 自同构的保体积部分双曲微分同胚，证明其 Lyapunov 指数和受线性化界约束，涵盖 DA 与非一致双曲系统。
Extended flexibility of Lyapunov exponents for Anosov diffeomorphisms
Bochi-Katok-Rodriguez Hertz在[BKH 21]中提出了一个关于保守Anosov同态的李雅普诺夫指数柔性的程序，并得到了这方面的部分结果.对于具有强双曲性质的保守Anosov同态，我们建立了它们的李雅普诺夫指数的柔性结果.我们给出了Anosov同态的例子，其强不稳定指数大于线性部分的强不稳定指数。给出了由Anosov同构导出的度量熵大于线性部分熵的例子。这些结果依赖于一种新的类型的变形，超越了以前的Shub-Wilkinson和Baraviera-Bonatti技术的保守系统有一些不变的方向。为了估计李雅普诺夫指数，即使在打破不变丛，我们得到一个抽象的结果（定理3.1），它给出了一些特定的上循环的指数的界限，并可以应用于各种其他设置。我们还包括各种有趣的评论在附录中：我们的例子是$\mathcal{C}^2$鲁棒的，李雅普诺夫指数是连续的（相对于地图），即使在打破不变束，一个类似的结构可以得到的情况下，多个特征值。
Instability for rank one factors of product actions
本文通过反例反驳了Katok-Spatzier猜想的标准解释，并提出了替代性问题。
The Entropy Conjecture for Diffeomorphisms away from Tangencies
证明了每一个远离同宿切线的C1同态都是熵扩张的，且具有局部一致扩张常数。因此，这样的同调同态满足舒布熵猜想：熵从下到上由同调中的谱半径限定。此外，它们还允许主要的符号扩张，并且拓扑熵和度量熵随映射连续变化。相反，具有持久切线的泛超同态不是熵扩张的，也没有符号扩张。
On a Smale Conjecture for the existence of fixed points for Anosov diffeomorphisms
证明了连通紧致流形上Anosov同态的稳定叶理和不稳定叶理是$C^3$，则Anosov同态有不动点.这是对Anosov同构的一个不动点的Smale猜想的部分肯定回答。
Torus diffeomorphisms with parabolic and non-proper actions on the fine curve graph and their generalized rotation sets
本研究证明环面Anosov-Katok类的一般元素在精细曲线图上有抛物非真作用，且存在平面上任意点对称紧凸位似类型的广义旋转集。
Uniform bounds for diffeomorphisms of the torus and a conjecture of P. Boyland
我们考虑环面的$C^{1+ε}$同胚，记作$f,$同伦于恒等式，其旋转集具有内部.我们给一些统一的范围内的位移的点在平面上的迭代下的提升$f,$相对于在旋转集的边界向量，我们使用这些估计，以证明，如果这样的一个仿射$f$保持面积，然后旋转向量的面积测量是一个内点的旋转集。这解决了P. Boyland提出的一个猜想的一个强版本。我们还提出了一些新的结果实现的极值点的旋转集的紧$f$不变子集的环面。
Foliations and Conjugacy II: The Mendes Conjecture for Time-One Maps of Flows
平面上的双曲同态$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$是Anosov，如果它在平面上的每一点都有双曲分裂。这类自同构的两个已知拓扑共轭类是线性双曲自同构和平移（平面平移的Anosov结构的存在性最初由W.白色）。P.门德斯指出，这些是唯一的拓扑共轭类Anosov同构在平面上。我们证明了这一说法成立时，Anosov的同构是时间一个地图的流，通过一个定理下的一个时间一个地图的叶理不变。
On Herman's Positive Entropy Conjecture
我们发现，任何面积保持$C^r$ -同构的二维表面显示一个椭圆不动点可以$C^r$ -扰动到一个表现出混沌岛的度量熵是积极的，对于每个$1\le r\le \infty$。这证明了Herman的一个猜想，即圆盘的恒等映射可以被$C^\infty$ -扰动为具有正度量熵的保守双同态。这也意味着奇里科夫标准映射的大小参数值可以是$C^\infty$ -近似的保守的同构显示一个积极的度量熵（弱版本的西奈的积极度量熵猜想）。最后，这揭示了赫尔曼的问题上的密度的$C^r$ -保守的仿射显示一个积极的度量熵：我们显示存在一个稠密的集形成的保守仿射要么是弱稳定的（所以，从理论上讲，一致双曲）或显示一个混乱的岛屿的积极度量熵。
Berger And Turaev's Proof of Herman's Conjecture of Positive Entropy
给出Berger和Turaev关于Herman正熵猜想的证明。在二维圆盘的光滑辛同态集合的每一个单位元邻域中，存在一个具有正度量熵的辛同态。
Another proof of Burguet's existence theorem for SRB measures of $C^\infty$ surface diffeomorphisms
最近，Burguet在$C^\infty$曲面超同态的特殊情况下证明了Viana猜想的一个强形式.基于对文献[BCS]中熵和李雅普诺夫指数的分析，我们给出了另一个证明.
Birth of homoclinic intersections: a model for the central dynamics of partially hyperbolic systems
本文证明了J. Palis的一个猜想：紧致流形的任何一个单同态都可以用Morse-Smale单同态或有横同宿交的单同态来C1-逼近。---我们用J. Palis的一个猜想来证明：在拓扑C1中，通过Morse-Smale的不同同态或通过一个相交的同斜横交的不同同态，可以得到一个变量的不同同态。
SRB measures and Young towers for surface diffeomorphisms
给出了$C^{1+α}$曲面仿射的Sinai-Ruelle-Bowen（SRB）测度存在的充分必要几何条件，从而证明了Viana猜想的一个版本.作为我们的论点的一部分，我们给出了一个原始的方法来构建第一个返回杨塔，证明了每一个双曲措施，特别是每一个SRB措施，可以解除这样的塔。这种方法依赖于一个新的一般性结果的双曲分支和跟踪的伪轨道在非一致双曲集，这是独立的利益。
Godel Diffeomorphisms
光滑动力学中的一个基本问题是确定一个系统是否可以与其逆系统区分开，即，一个光滑的同构$T$是否同构于$T^{-1}$。我们表明，这个问题是足够普遍的，要求它的特定选择的$T$是等同于有效性的著名数论命题，包括黎曼假设和哥德巴赫猜想。此外，可以产生可计算的同构$T$，使得$T$是否同构于$T^{-1}$的问题与ZFC无关。
On Pesin's entropy formula for dominated splittings without mixed behavior
对于$C^1$拓扑同态，我们证明了Pesin的熵公式对任何拓扑吸引子上支持的不变测度成立，该拓扑吸引子允许支配分裂而不具有混合行为.我们还证明了Shub的熵猜想，具有这种分裂的同构。
On the generic Conley conjecture
本文针对闭辛流形上哈密顿微分同胚的一般性Conley猜想，证明了在非常广泛的辛流形类中，一般哈密顿微分同胚具有无穷多个简单可缩周期轨道。
On a weak Jelonek's real Jacobian Conjecture in $\R^n$
设$Y:\R^n\to\R^n$是多项式局部同态，$S_Y$表示$Y$的非真点集. Jelonek的实雅可比猜想指出，如果$\codim(S_Y)\geq2$，则$Y$是双射的。我们证明了一个弱版本的这样的猜想建立充分的必要条件的双射性。进一步地，我们将我们关于双射的结果推广到半代数局部双同态。
A new method for constructing Anosov Lie algebras
我们证明了每个容许Anosov同态的流形，直到同胚，都被一个nilmanifold覆盖。受此猜想的启发，一个重要的问题是确定哪些流形允许Anosov同构。本文的主要定理给出了在幂零流形上构造Anosov微分同胚的一般方法。作为结果，我们给出了反例的分类低维nilmanifold与Anosov同构的推论，并证明了这一说法的更正。这个方法也回答了一些公开的问题，存在的Anosov同构，这是在某种意义上是最小的。
Another look at the Hofer-Zehnder conjecture
我们给出了一个不同的和更简单的证明略有修改（和较弱）的变体最近的谢卢欣定理扩展弗兰克斯的“两个或无限多个”定理在更高的维度和建立一个足够一般的情况下的Hofer-Zehnder猜想的哈密顿同胚。我们的证明的几个成分是共同的谢卢欣的原始参数，其中的关键是赛德尔的等变对裤子产品，但新的证明突出了不同方面的周期轨道动力学的哈密顿同胚。
On the Hofer-Zehnder conjecture for non-contractible periodic orbits in Hamiltonian dynamics
本文研究哈密顿同胚在闭合辛流形上的周期轨道数量问题，证明非收缩周期轨道的霍弗-泽亨德猜想在广泛辛流形类别中成立。
The Conley Conjecture
证明了闭辛非球面辛流形的Conley猜想：这样的流形的Hamilton双同态有无穷多个周期点。更准确地说，我们证明了具有有限个不动点的Hamilton微分同胚具有任意大周期的简单周期点。这个定理推广，例如，最近的结果欣斯顿建立康利猜想环面。
Conley Conjecture Revisited
我们证明了：当闭辛流形中存在一个具有1/4个简单周期轨道的Hamilton同同态时，该流形存在一个具有正辛面积和第一类Chern积分的二次球面同调类.这个定理包括Conley猜想的所有已知情况（辛CY和负单调流形），也包括一些新的情况（例如，具有非零第一Chern类的弱正合辛流形）。证明铰链一般Lusternik-Schnirelmann型的结果，在一些自然的附加条件下，序列的平均谱不变量的迭代的哈密顿同胚从来没有稳定。我们还表明，对于迭代的哈密顿同胚与许多周期轨道之间的“最大”和“最小”的谱不变量的序列的行动差距仍然有界，因此，建立一些新的情况下的$C^\infty$ -通用存在无穷多个简单的周期轨道。
Franks' dichotomy for toric manifolds, Hofer-Zehnder conjecture, and gauged linear sigma model
本文利用规范线性sigma模型及其整体形变研究辛商空间的哈密顿动力学，证明了紧致环面辛流形上固定点同调计数超过总Betti数的哈密顿微分同胚必有无穷多个简单周期点，从而推广了Franks二分性并证实了Hofer-Zehnder猜想。
On the Shroer-Sauer-Ott-Yorke predictability conjecture for time-delay embeddings
Shroer，Sauer，Ott和Yorke在1998年证明了Takens延迟嵌入定理可以在概率上下文中得到改进。更确切地说，他们的猜想指出，如果$μ$是黎曼流形的光滑复同态的自然测度，并且$k$大于$μ$的信息维数，则一维可观测$μ$的$k$时延测度一般足以用于$μ$的可预测重建-几乎原始系统的每个初始点点。与标准（确定性）设置相比，这减少了一半的所需测量数量。我们证明了遍历测度的猜想，并表明，它持有的一般光滑同态，如果信息维被替换的Hausdorff之一。为此，我们证明了紧集上内射Lipschitz映射和任意Borel概率测度的可预测嵌入定理的一般形式。我们还构造了一个例子的$C^\infty$ -光滑的同态与自然的措施，其中猜想不成立，在其原来的配方。
Partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to the identity in dimension 3, Part I: The dynamically coherent case
我们研究3维动态相干部分双曲同伦的身份，专注于横向几何和拓扑的中心稳定和中心不稳定的叶理，和他们的叶子内的动态。我们发现一个结构二分法，这些叶理，我们用它来表明，每一个这样的双曲或塞弗特纤维3-流形的叶共轭的时间一个地图（拓扑）Anosov流。证明了Hertz-Hertz-Ures在双曲三维流形和Seifert流形恒等式的同伦类中的一个分类猜想.
The Arnold conjecture in $\mathbb C\mathbb P^n$ and the Conley index
本文给出了$\mathbb C\mathbb P^n$中Arnold猜想的另一种纯Conley指数证明，证明了赋Fubini-Study度量的$\mathbb C\mathbb P^n$的Hamilton同构至少有$n+1$不动点.
Zimmer's conjecture for lattice actions: the ${\rm SL}(n, \mathbb C)$-case
证明了${\rm SL}(n, \mathbb C)$中的余紧格的Zimmer猜想：对于${\rm SL}(n, \mathbb C)$中的任意余紧格，$n \geq 3$，紧致流形$M$上的任意$Γ$ -作用，其维数为：（I）如果$n \neq 4$小于$2n-2$，（II）如果$n = 4$小于$5$，通过有限作用的$C^{1+ε}$同态因子.
On the Hofer-Zehnder conjecture
本文证明了：如果具有半单量子同调的闭单调辛流形的Hamilton反同态的可压缩不动点的个数（同调数）大于该流形的同调维数，则它必有无穷多个可压缩周期点.这构成了1992年Franks的一个著名结果的高维同调推广，正如Hyndham和Zehnder在1994年所证明的那样。
Structure theorems for actions of homeomorphism groups
我们给一般的分类和结构定理的行动组同胚和同胚流形上，让人想起经典的结果（局部）紧群的行动。这给出了Ghys关于有边界流形的同态的“扩张问题”的一个否定答案，以及当dim（M）= dim（N）时所有同态$\mathrm{Homeo}_0(M) \to \mathrm{Homeo}_0(N)$的分类（以及关于同态的相关结果），以及$\mathrm{Homeo}_0(S^1)$在曲面上作用的一个完整分类。这解决了Ghys发起的一个程序中的许多问题，并对Militon和Hurtado的陈述以及Rubin的一个问题给出了明确的答案。
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