Diffusion determines the manifold
Wolfgang Arendt, Markus Biegert, A. F. M. ter Elst
证明了在弱光滑条件下，两个黎曼流形同构当且仅当存在与流形上的Dirichlet型热半群交织的序同构.
We prove under a weak smoothness condition that two Riemannian manifold are isomorphic if and only there exists an order isomorphism which intertwines with the Dirichlet type heat semigroups on the manifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Parabolic Equation with Nonlocal Diffusion without a Smooth Inertial Manifold
我们构造了一个一维抛物型非局部扩散积分微分方程的例子，该方程在相应的状态空间中不具有渐近有限维动力学。这个例子在抛物型演化方程类中比以前已知的更自然。
Inertial manifolds for 1D reaction-diffusion-advection systems. Part II: periodic boundary conditions
这是我们在\cite{KZI}中开始的一维反应扩散对流方程组惯性流形研究的第二部分，它致力于周期边界条件的情况。结果表明，与第一部分中所考虑的Dirichlet或Neumann边界条件的情形相反，在系统具有周期边界条件的情形下，惯性流形可能不存在。然而，如图所示，在标量反应扩散对流方程的情况下，惯性流形仍然存在。因此，这类耗散系统的惯性流形的存在或不存在强烈地依赖于边界条件的选择。
A nonlocal diffusion problem on manifolds
本文研究了流形上的一个非局部扩散问题。这类方程可以模拟存在长程效应的扩散问题，在欧几里得空间中得到了广泛的研究。我们首先证明解的存在唯一性和一个比较原理。然后，为了方便的重新标度，我们证明了所考虑的运营商收敛到一个多个通常的Heat-Beltrami运营商的流形上。接下来，我们通过研究算子的谱性质来研究紧流形上的长时间行为。最后，对于双曲空间的模型，我们研究了长时间渐近性，发现了一个不同的有趣的行为。
Aggregation-diffusion energies on Cartan-Hadamard manifolds of unbounded curvature
研究无界曲率Cartan-Hadamard流形上的聚集-扩散能量，通过建立新的对数Hardy-Littlewood不等式，导出了基态存在的吸引势显式充要条件。
Recovery of time-dependent coefficients for the convection-diffusion equation on conformally transversally anisotropic manifolds from partial data
该研究针对共形横截各向异性流形上的对流扩散方程反问题，利用部分输入-输出算子，在1-形式与函数的衰减测地射线变换单射的条件下，唯一确定时变对流项和密度系数。
Inertial manifolds for 1D reaction-diffusion-advection systems. Part I: Dirichlet and Neumann boundary conditions
这是我们研究一维反应-扩散-平流方程组惯性流形的第一部分，主要讨论Dirichlet或Neumann边界条件。虽然这个问题最初并不具有谱隙性质，它表明，这一性质是满足适当的非局部变化后的因变量。在我们研究的第二部分中考虑了周期边界条件的情况，其中情况主要不同，惯性流形可能不存在。
Reaction-diffusion problems on time-dependent Riemannian manifolds: stability of periodic solutions
研究了一类带Neumann边界条件的半线性抛物型方程的时间周期解的稳定性。这样的问题提出了紧凑的子流形上的时间周期性发展。讨论是基于周期抛物型算子的主特征值。这项研究的动机是生物模型的影响，增长和曲率的模式形成。里奇曲率起着重要的作用。
Approximation of the inertial manifold for a nonlocal dynamical system
考虑一类带非局部Laplacian算子的偏微分方程的惯性流形及其逼近，其中算子为$-(-Δ)^{\fracα{2}}$，算子为$0<α<2$ .非局部或分数拉普拉斯算子表示反常扩散效应。我们首先建立了惯性流形的存在性，并强调了参数$α$的影响。然后，当一个小的正态扩散$\varepsilon Δ$（带$\varepsilon \in (0, 1)$）进入系统时，我们对惯性流形进行了近似，得到了有和无正态扩散的惯性流形之间的Hausdorff半距离的估计.
Differential Harnack inequalities for a family of sub-elliptic diffusion equations on Sasakian manifolds
证明了Sasakian流形上一类次椭圆扩散方程在一定曲率条件下的微分Harnack不等式。
Gradient Estimates for the doubly nonlinear diffusion equation on Complete Riemannian Manifolds
本文在完备黎曼流形上利用非线性变换与Nash-Moser迭代得到双重非线性扩散方程正解的Cheng-Yau型梯度估计，并给出Liouville型结果与Harnack不等式，填补了b>0情形的空白。
Global existence for reaction-diffusion evolution equations driven by the $p$-Laplacian on manifolds
我们考虑由$p$ -Laplacian驱动的反应扩散方程，在非紧的无限体积流形上，假设支持Sobolev不等式，并且在某些情况下，具有远离零的$L^2$谱，我们考虑的主要例子是任意维的双曲空间。结果表明，在适当的参数条件和初始数据的小性条件下，存在时间上的全局解，并且在所有正时间上，解的$L^\infty$范数都有相应的光滑效应，即关于数据的$L^q$范数的显式界.这里讨论的几何设置需要进行重大修改w.r.t.欧几里德策略
Slow Manifolds for PDE with Fast Reactions and Small Cross Diffusion
本文结合几何与分析方法，将Fenichel理论扩展至无限维设置，证明了具有快反应和小交叉扩散的PDE的慢流形存在性，并通过一维非线性可逆反应验证了所需的强收敛性。
Diffusion determines the compact manifold
给出了两个紧致黎曼流形同构的充要条件是流形上的热半群之间存在一个交织的序同构.
Inverse problems for heat equation and space-time fractional diffusion equation with one measurement
给定一个连通的无边界紧致黎曼流形$\dim M\ge 2$，考虑一个支持在流形的开子集$V$上的带内源的时空分数阶扩散方程.方程的时间分数部分由$α\in(0,1]$阶的Caputo导数给出，空间分数部分由$(-Δ_g)^β$给出，其中$β\in(0,1]$和$Δ_g$是流形上的Laplace-Beltrami算子。对应于流形上标准热方程的情形$α=β=1$是一个重要的特例。我们构造了一个特定的源，使得测量$V$上相应解的演化确定了黎曼等距流形。
Global minimizers for fast diffusion versus nonlocal interactions on negatively curved manifolds
本文在Cartan-Hadamard流形上研究含快速扩散与非局部相互作用的自由能泛函，给出全局极小化子存在的充要条件，并推导新的Carlson-Levin型不等式。
Local Aronson-Bénilan estimates and entropy formulae for porous medium and fast diffusion equations on manifolds
在这篇工作中，我们得到了Aronson-Bénilan和Li-Yau型的局部梯度和Laplacian估计的正解的黎曼流形上的里奇曲率下界。对于某些快扩散方程，我们也证明了类似的结果。受Perelman工作的启发，我们发现了这些方程的一些新的熵公式。
Asymptotics of the principal eigenvalue of an elliptic operator on closed and orientable Riemannian manifolds: small diffusion
本文研究闭定向黎曼流形上椭圆算子主特征值在小扩散极限下的渐近性，在Morse函数假设下，确定其极限值由函数临界点及对应黎曼Hessian的相关参数完全刻画。
Control of reaction-diffusion equations on time-evolving manifolds
在生物体发育的主要参与者中，有形态发生素，其是在发育中的生物体中扩散并作用于细胞以产生局部反应的信号分子。因此，生长由这种信号的分布决定。同时，信号的扩散本身受到生物体形状和大小变化的影响。换句话说，在信号的扩散和形状的变化之间存在完全的耦合。在本文中，我们引入了一个数学模型来研究这种耦合。形状由流形给出，该流形随时间变化，作为由输运方程给出的变形的结果。信号由密度表示，通过扩散方程在流形上扩散。通过在扩散算子和输运算子之间引入一个新的李括号的概念，证明了输运和扩散演化的非交换性。我们还提供了数值模拟显示这种现象。
Geodesic random walks, diffusion processes and Brownian motion on Finsler manifolds
我们证明了在有界几何的完备Finsler流形上的测地线随机游动收敛到一个扩散过程，该扩散过程在漂移之前是对应于黎曼度量的布朗运动。
Ground states for aggregation-diffusion models on Cartan-Hadamard manifolds
本文研究Cartan-Hadamard流形上聚集-扩散模型自由能泛函的基态存在性，给出了截面曲率有界条件下基态存在的充要条件，并揭示了吸引势增长阶数对扩散行为的控制作用。
Gradient estimates for a nonlinear diffusion equation on complete manifolds
设$(M,g)$是一个完备的非紧黎曼流形，其$m$ -维Bakry-Émery里奇曲率由一个非正常数下界.本文给出了非线性扩散方程\[ u_t=Δu-\nablaϕ\cdot\nabla u-au\log u-bu, \]正光滑有界解的局部Hamilton型梯度估计，其中$ϕ$是$C^2$函数，$a\neq0$和$b$是两个实常数.这项工作概括了Souplet和Zhang的结果（Bull. London Math. Soc.，38（2006），pp. 1045-1053）和Wu（预印本，2008）。
Diffusion Hypercontractivity via Generalized Density Manifold
我们证明了一个单参数扩散超压缩族，并给出了相关的Log-Sobolev，Poincare和Talagrand不等式。提出了平均场型Bakry-Emery迭代演算和基于体积测度的积分公式（Yano公式）。我们的结果是基于散度泛函、广义扩散过程和广义最优输运度量之间的插值。得到了Pearson散度（P）、负Sobolev度量H^-1和广义Fisher信息泛函（I）之间的一个不等式，称为PH^{-1}I不等式.
Global existence of solutions and smoothing effects for classes of reaction-diffusion equations on manifolds
考虑黎曼流形上的具有类幂反应项的多孔介质方程。在（1.1）中关于$p$和$m$的某些假设下，对足够小的非负初值，证明了在流形上Sobolev不等式成立的条件下，整体及时解的存在性.此外，当Sobolev和Poincaré不等式都成立时，类似的结果在较弱的强迫项假设下成立。利用同样的泛函分析方法，研究了${\mathbb R}^n$中具有源项和变密度的多孔介质方程解的整体存在性。
Inertial manifolds for reaction-diffusion equations on genuinely high-dimensional thin domains
本文研究了薄空间区域上的一类半线性反应扩散方程，该方程靠近低维子流形$M$。当厚度趋于零时，畴塌陷到$M$（的子集）上。正如在以前的论文中所证明的那样（M。Prizzi，M. Rinaldi和K. P.Rybakowski，Curved thin domains and抛物型方程，Stud.Math.151），上述族有一个极限方程，它是定义在某个抽象极限相空间上的抽象半线性抛物型方程。本文的目标之一是给出极限相空间的更易处理的刻画。在附加的假设条件下，我们也给出了一个简单的描述的极限方程。此外，如果$M$是一个球体，并且上述方程的非线性是耗散的，则我们证明，如果厚度足够小，则相应的方程具有惯性流形，即包含方程吸引子的不变流形。因此，我们得到了在某些类型的真正高维的薄区域上的反应扩散方程的惯性流形的存在性。
Functional Inequalities for Brownian Motion on Riemannian Manifolds with Sticky-Reflecting Boundary Diffusion
本文在一般曲率假设下，利用边界与内部能量相互作用的插值方法，证明了具有粘性反射边界扩散的流形上布朗运动的Poincaré和对数Sobolev常数的几何上界，并附带得到Steklov特征值及边界迹算子的显式几何界。
Diffusion in small time in incomplete sub-Riemannian manifolds
对于不完全的子黎曼流形，并为相关的二阶亚椭圆算子，这不需要是对称的，我们确定了两个替代条件的有效性高斯型上界的热核和转移概率，最佳常数的指数。在类似的条件下，我们得到的热核的小时间对数渐近性，并显示附近的最小能量路径的扩散桥措施的浓度。第一个条件要求我们考虑两点之间的距离不大于它们到无穷远的距离之和。第二个条件只要求操作者不能太不对称。
Keller--Osserman conditions for diffusion-type operators on Riemannian Manifolds
本文得到了一类加权黎曼流形上$L u\geq b(x) f(u) \ell(|\nabla u|)$和$L u\geq b(x) f(u) \ell(|\nabla u|) - g(u) h(|\nabla u|)$形式的微分不等式的广义Keller-Osserman条件，其中$L$是非线性扩散型算子.这些算子的典型例子是$p$ -拉普拉斯算子和平均曲率算子。虽然我们集中在不存在的结果，在许多情况下，我们描述的条件实际上是必要的不存在。基础流形的几何形状不影响凯勒-奥瑟曼条件的形式，但通过修改后的Bakry-Emery Ricci曲率的边界，由函数$b$和$\ell$的增长条件反映出来。我们还描述了一个弱最大值原理与上述形式的不等式，扩展和改进了以前的结果有效的$\vp$ -拉普拉斯算子。
Blow-up versus global existence of solutions for reaction-diffusion equations on classes of Riemannian manifolds
由文[2]的工作可知，在双曲空间$\mathbb{H}^N$上不存在具有幂非线性项的反应扩散发展方程的Fujita现象，这与欧氏空间的情形有着显著的区别.我们表明，在类的流形，其中底部的$L^2$频谱的$-Δ$是严格的积极的（双曲空间因此被包括在内），一个不同版本的藤田现象发生的其他种类的非线性，其中的作用的临界藤田指数在欧几里德的情况下采取的$Λ$。这种非线性是与时间无关的，与[2]中研究的非线性相反。作为结果的结果，我们证明了，在一类比[2]中考虑的情形$M=\mathbb{H}^N$大得多的流形上，具有幂非线性$f(u)=u^p$，$p>1$且对应于足够小的数据的（1.1）的解在时间上是全局的。
Smoothing effects and extinction in finite time for fractional fast diffusions on Riemannian manifolds
针对黎曼流形上的分数阶快速扩散方程，研究其非负解的存在性、平滑效应、无限传播速度及有限时间熄灭，并给出尖锐熄灭速率。
Inverse problems for advection diffusion equations in admissible geometries
研究了可容许流形上对流扩散方程的反边值问题，可容许流形是一个边界维数为$\ge 3$的紧致黎曼流形，它共形地嵌入在欧氏实直线与简单流形的乘积中.利用流形边界上Dirichlet-to-Neumann映射的知识，证明了对流项类$H^1\cap L^\infty$和对流项类$H^{2/3}\cap C^{0,1/3}$的唯一可辨识性.这似乎是第一个全球可识别的结果可能不连续的平流条款。
Convergence rates of self-repelling diffusions on Riemannian manifolds
本文研究了黎曼流形上自排斥扩散的收敛速度，通过二阶提升框架和流波尔卡里亚不等式，得到了收敛速率的上下界，并在周期性情况下改进了已有结果。
Using global invariant manifolds to understand metastability in Burgers equation with small viscosity
利用不变流形描述了具有小粘性的Burgers方程解的长时间行为。特别是，几何解释被称为亚稳态的现象，这在本上下文中意味着，解决方案花了很长的时间附近的家庭的解决方案称为扩散N波最终收敛到一个稳定的自相似扩散波。更确切地说，它示出，在相似性，或缩放，在代数加权$L^2$空间中的变量，自相似扩散波对应于一个一维的全球中心流形的固定解决方案。通过这些不动点中的每一个，存在一个一维的，全局的，吸引的，不变流形对应于扩散N-波。因此，亚稳态对应于一个快速的瞬态，其中解决方案接近这个“亚稳态”的扩散N波流形，然后沿着这个流形缓慢衰减，最后，收敛到自相似扩散波。
On the heat diffusion for generic Riemannian and sub-Riemannian structures
在本文中，我们提供了小时间热核渐近割迹在三个相关的情况下：一般的低维黎曼流形，一般的3D接触子黎曼流形（接近的起点）和一般的4D拟接触子黎曼流形（接近的一个一般的起点）。作为一个副产品，我们表明，对于一般的低维黎曼流形，唯一的奇点的指数映射，作为一个拉格朗日映射，可以出现沿最小化测地线是$A_3$和$A_5$（在Arnol'd的学校的分类）。我们表明，在非通用的情况下，一个聚宝盆的渐近可能发生，即使是黎曼曲面。
Diffusion Maps for Embedded Manifolds with Boundary with Applications to PDEs
本文提出了一种求解椭圆型偏微分方程（PDE）的新方法，该方法只需要从嵌入在欧几里得空间中的黎曼流形上采样的点集.请注意，在未知流形上构建三角剖分可能既困难又昂贵，无论是在计算和数据要求方面，我们的目标是解决这些问题，而不需要这样的结构。相反，我们只依赖于使用样本点来定义未知流形上的求积公式。我们的主要工具是扩散映射算法。我们重新分析这个著名的方法在弱（变分）的意义。后者降低了对底层函数的光滑性要求，这对于逼近偏微分方程的弱解至关重要。作为一个副产品，我们还提供了一个严格的理由扩散映射和诺依曼本征值问题之间的众所周知的关系。然后，我们使用最近开发的方法估计的距离边界函数（注意，边界的位置被假定为未知的，必须从数据估计），以纠正扩散映射的建设中的边界误差项。最后，使用这个估计的距离，我们说明了如何施加狄利克雷，诺依曼，和混合边界条件的一些常见的偏微分方程的基础上的拉普拉斯算子。几个数值例子证实了我们的理论研究结果。
Upper bounds on the first eigenvalue for a diffusion operator via Bakry-Émery Ricci curvature II
设$L=Δ-\nablaφ\cdot\nabla$是完备黎曼流形上具有不变测度$dμ=e^{-φ}dx$的对称扩散算子.本文证明了完备流形上具有$|\nabla φ|\leqθ$和$\infty$维Bakry-Émery里奇曲率的加权椭圆方程的Li-Yau梯度估计.在此基础上，我们给出了这类流形上扩散算子$L$的第一特征值的一个上界，从而推广了Cheng在Laplacian情形下的一个结果（Math.Z.，143（1975）289-297）。
A Lagrangian perspective on nonautonomous advection-diffusion processes in the low-diffusivity limit
我们研究质量保持运输的被动示踪剂在低扩散率限制使用拉格朗日坐标。在有限时间区间上，非自治扩散方程的解算子近似为时间平均扩散方程的解算子。我们表明，领先的顺序渐近函数[Krol，1991]扩展到占主导地位的非平凡奇异值。这回答了[Karrasch & Keller，2020]中提出的问题。时间平均的扩散/热半群的生成元是与材料流形上的加权流形结构相关联的拉普拉斯算子。我们展示了如何这个加权流形的几何性质直接导致物理运输量的非自治方程的低扩散率限制。
Functional Inequalities for doubly weighted Brownian Motion with Sticky-Reflecting Boundary Diffusion
本文研究了具有粘性反射边界的流形上双重加权布朗运动的Poincaré和Logarithmic Sobolev常数上界，采用能量交互和加权Reilly公式进行插值分析，同时得到Steklov特征值和边界迹算子的上界。
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