Dispersive estimates for the Schrodinger equation in dimensions four and five
Fernando Cardoso, Claudio Cuevas, Georgi Vodev
我们证明了薛定谔群$e^{it(-Δ+V)}$的最佳（即没有损失的衍生物）色散估计为一类实值的潜力$V\in C^k(R^n)$与$k>(n-3)/2$，其中$n=4,5$。
We prove optimal (that is, without loss of derivatives) dispersive estimates for the Schrodinger group $e^{it(-Δ+V)}$ for a class of real-valued potentials $V\in C^k(R^n)$ with $k>(n-3)/2$, where $n=4,5$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Dispersive decay for the mass-critical nonlinear Schrödinger equation
该研究证明了在空间维度1、2、3中，质量临界非线性薛定谔方程的解具有逐点时间上的色散衰减性质。
Dispersive Estimates for Schrödinger Operators with Measure-Valued Potentials in R^3
我们证明了与算子-Δ+ V相关的线性薛定谔发展的色散估计，其中势是分维至少为3/2的带号测度。
Dispersive estimates of fourth order Schrödinger operators with scaling-critical magnetic potentials in dimension two
本文通过构造预解核并运用稳相方法，获得了二维中具有尺度临界磁势的四阶Schrödinger算子的色散估计。
In this paper, we consider the Cauchy problem for the fractional Schrödinger equation $i D_t^αu + (-Δ)^{\fracβ{2}} u =0$ with $0<α<1$, $β>0$. We establish the dispersive estimates for the solutions. In particular, we prove that the decay rates are sharp.
Dispersive decay for the energy-critical nonlinear Schrödinger equation
本文针对空间维数 d=3,4 的能量临界非线性薛定谔方程，证明了其解在初值问题和终态问题中均具有逐时间点的色散衰减。
Dispersive Properties for Discrete Schrodinger Equations
本文证明了由两个耦合离散薛定谔方程组成的系统的色散估计。我们得到了离散算子的预解式的估计，并证明了它满足极限吸收原理。利用振荡积分的经典结果和一些新的结果证明了解的衰减性。
On dispersive blow-ups for the nonlinear Schrödinger equation
本文给出了构造非线性薛定谔方程色散爆破解的一种简单方法。我们的建筑主要遵循Bona、Ponce、Saut和Sparber [2]的方法。然而，我们利用色散估计享受薛定谔传播子的平滑效果中出现的积分项Duhamel的公式。这样，我们不仅简化了论证，而且降低了构造色散爆破的正则性要求。此外，我们通过构造在直线和球面上爆破的解，提供了更多的色散爆破的例子。
We study the dispersive behaviors of two-particles Schrödinger and wave equations in the Aharonov-Bohm field. In particular, we prove the Strichartz estimates for Schrödinger and wave equations in this setting. The key point is to construct spectral measure of Schrödinger operator with an Aharonov-Bohm type potential in $\R^4$. As applications, we finally prove a scattering theory for the nonlinear defocusing subcritical two-particles Schrödinger equation with Aharonov-Bohm potential.
The Fourth-order dispersive nonlinear Schrödinger equation: orbital stability of a standing wave
本文研究一维四阶色散立方非线性薛定谔方程的混合色散问题。在哈密顿系统的背景下，证明了一个特定的驻波解在能量空间中的轨道稳定性。通过构造适当的李雅普诺夫函数，建立了主要结果.
The initial value problem for the homogeneous Schrödinger equation is investigated for radially symmetric initial data with slow decay rates and not too wild oscillations. Our global wellposedness results apply to initial data for which Strichartz estimates fail.
Dispersive Estimates for Scalar and Matrix Schrödinger operators on $\mathbb{H}^{n+1}$
研究了$n \geq 1$的$\mathbb{H}^{n+1}$上的标量和矩阵Schrödinger型算子的预解估计、谱理论和长时间色散性质.
Dispersive estimates for Schrodinger operators in dimensions one and three
证明了一维和三维线性Schroedinger方程的L^1 --> L^ \infty估计.势只需要满足一些温和的衰变假设。没有规则性的潜在的假设。
Dispersive estimates for the Schrödinger operator on step 2 stratified Lie groups
本文证明了含次拉普拉斯算子的线性薛定谔方程在第二步的分层李群上的色散估计。结果表明，传播子在与群中心维数相同的p空间上表现得像波算子，在与正则斜对称形式的根维数相同的k空间上表现得像薛定谔算子，这表明它的衰变指数为-（k+p-1）/2。在这篇文章中，我们确定了一个典型的斜对称形式下，我们建立了最佳的色散估计与此速度的属性。这个属性的相关性进行了讨论，通过几个例子。
Non-dispersive vanishing and blow up at infinity for the energy critical nonlinear Schrödinger equation in R^3
我们考虑R^3中的能量临界聚焦NLS，并证明了对于任何足够小的$ν$，径向有限能量解的存在性，当$t\to\infty$表现为一个动态重新标度的基态加上一个辐射的和时，标度律的形式为$t^ν$。
Elementary Proofs for Kato Smoothing Estimates of Schrödinger-like Dispersive Equations
在本说明性注释中，我们用初等技巧证明了经典Kato型估计的一些扩展和改进。
Dispersive Bounds for the three-dimensional Schrodinger equation with almost critical potentials
证明了三维空间中与时间无关的Schrodinger算子H = -Δ+ V的色散估计.假设势V（x）位于交点L^p（R^3）\cap L^q（R^3），p < 3/2 < q，并且还满足一般的零能谱条件。这个类，包括具有逐点衰减的势|V（x）|< C（1+ |x|）^{-2-ε}对于拉普拉斯算子的自然缩放几乎是关键的。没有额外的规律性，衰减，或积极的V被假定。
For nonlinear dispersive systems, the nonlinear Schrödinger (NLS) equation can usually be derived as a formal approximation equation describing slow spatial and temporal modulations of the envelope of a spatially and temporally oscillating underlying carrier wave. Here, we justify the NLS approximation for a whole class of quasilinear dispersive systems, which also includes toy models for the waterwave problem. This is the first time that this is done for systems, where a quasilinear quadratic term is allowed to effectively lose more than one derivative. With effective loss we here mean the lo…
Schrödinger dispersive estimates for a scaling-critical class of potentials
本文证明了三维Schroedinger算子H = -Δ+ V（x）演化的色散估计.势函数应属于有界紧支函数关于golbal Kato范数的闭包。一些额外的谱条件，即没有共振或H的本征函数存在于任何地方的正半线。这个证明是维纳L^1反演定理的一个新版本的应用。
We study the $L^1-L^\infty$ dispersive estimate of the inhomogeneous fourth-order Schrödinger operator $H=Δ^{2}-Δ+V(x)$ with zero energy obstructions in $\mathbf{R}^{3}$. For the related propagator $e^{-itH}$, we prove that for $0<t\leq 1$, then $e^{-itH}P_{ac}(H)$ satisfies the $|t|^{-3/4}$-estimate. For $t>1$, we prove that:\,\, 1) if zero is a regular point of $H$, then $e^{-itH}P_{ac}(H)$ satisfies the $|t|^{-3/2}$- dispersive estimate.\,\, 2) if zero is a resonance of $H$, there exists a time dependent operator $F_{t}$ such that $e^{-itH}P_{ac}(H)-F_{t}$ satisfies the $|t|^{-3/2}$- disper…
We study the fourth order Schrödinger operator $H=(-Δ)^2+V$ for a short range potential in three space dimensions. We provide a full classification of zero energy resonances and study the dynamic effect of each on the $L^1\to L^\infty$ dispersive bounds. In all cases, we show that the natural $|t|^{-\frac34}$ decay rate may be attained, though for some resonances this requires subtracting off a finite rank term, which we construct and analyze. The classification of these resonances, as well as their dynamical consequences differ from the Schrödinger operator $-Δ+V$.
Smoothing And Dispersive Estimates For 1d Schrödinger Equations With BV Coefficients And Applications
我们证明了薛定谔方程$i\partial_t ϕ+\partial_x (a(x) \partial_x ϕ) =0$的光滑估计，其中$a(x)\in \mathrm{BV}$是具有有界全变差的函数空间，是实的，正的和下有界的。然后，我们自举这些估计，以获得最佳的Eschenhartz和最大函数的估计，所有这些原来是相同的常数系数的情况下。我们还提供了反例显示$a\in \mathrm{BV}$是一个最低要求。最后，我们提供了一个应用程序的广义Benjamin-Ono方程的尖锐适定性。
Dispersive estimates for 1D matrix Schrödinger operators with threshold resonance
本文研究含阈值共振的一维非自伴矩阵 Schrödinger 算子，通过减去有限秩共振项证明加权色散与局部衰减率恢复至正则情形，并发现聚焦三次 NLS 扰动方程二次非线性的有利结构。
Profiles for bounded solutions of dispersive equations, with applications to energy-critical wave and Schrödinger equations
考虑聚焦的能量临界波动方程的有界解，它不散射成线性解。我们证明了该解在某种弱意义下，沿着时间序列，直到尺度和空间平移，收敛到一个孤波的和。这个结果是一个新的一般紧凑性/刚性参数的基础上配置文件分解的后果。我们也给出了这种方法在能量临界薛定谔方程中的应用。
Dispersive decay for the Inter-critical nonlinear Schrödinger equation in $\mathbb{R}^3$
本文研究了三维空间中非临界非线性薛定谔方程的色散衰减问题，得出了初值在临界Sobolev空间中解的长期衰减估计。
Dispersive estimates for four dimensional Schrödinger and wave equations with obstructions at zero energy
我们调查$L^1(\mathbb R^4)\to L^\infty(\mathbb R^4)$色散估计薛定谔运营商$H=-Δ+V$时，有障碍物，共振或本征值，在零能量。特别是，我们表明，如果有一个共振或本征值在零能量，然后有一个不定常的，有限秩算子$F_t$满足$\|F_t\|_{L^1\to L^\infty} \lesssim 1/\log t$的$t>2$，使$$\|e^{itH}P_{ac}-F_t\|_{L^1\to L^\infty} \lesssim t^{-1},\,\,\,\,\,\text{for} t>2.$$我们还表明，运营商$F_t=0$，如果有一个本征值，但没有共振在零能量。然后，我们开发类似的色散估计的解决方案运营商的四维波动方程的潜力。
Dispersive estimates and optimality for Schrödinger equations on product cones
本文研究乘积锥上薛定谔传播子的时间衰减估计，证明当半径$\rho\geq1$时通常色散估计成立，否则不成立，方法基于调和分析，补充并优化了Jia-Zhang的微局部分析结果。
Dispersive estimates for wave and Schrödinger equations with a potential in non-trapping exterior domains
本文研究非捕获外部区域中带短程位势的波动方程与薛定谔方程，通过证明预解估计，得到局部能量可积性、光滑效应，并将自由方程的局部 Strichartz 估计推广为全局估计。
Dispersive effects for the Schrödinger equation on finite metric graphs with infinite ends
该研究针对带无穷端点的有限度量图上的自由薛定谔方程，给出了$L^1$到$L^\ty$时间衰减率至少为$t^{-1/2}$的充分条件，并探究了有界子图与无界端点间的概率流动态。
In this paper we consider linear, time dependent Schrödinger equations of the form ${\rm i} \partial_t ψ= K_0 ψ+ V(t) ψ$, where $K_0$ is a strictly positive selfadjoint operator with discrete spectrum and constant spectral gaps, and $V(t)$ a time periodic potential. We give sufficient conditions on $V(t)$ ensuring that $K_0+V (t)$ generates unbounded orbits. The main condition is that the resonant average of $V(t)$, namely the average with respect to the flow of $K_0$, has a nonempty absolutely continuous spectrum and fulfills a Mourre estimate. These conditions are stable under perturbations.…
Dispersive estimates for fractional order Schrödinger operators
研究分数阶薛定谔算子\(H = (-\Delta)^{\alpha}+V\)的色散界，通过推导预解算子逐点界、定量极限吸收原理等，在\(n\geq 2\)且\(\frac{n + 1}{4}\leq \alpha <\frac{n}{2}\)范围建立全局色散估计。
A weighted dispersive estimate for Schrödinger operators in dimension two
设$H=-Δ+V$，其中$V$是$\R^2$上满足$|V(x)|\les \la x\ra^{-3-}$的实值位势.证明了如果零是$H=-Δ+V$谱的正则点，则$$ \|w^{-1} e^{itH}P_{ac}f\|_{L^\infty(\R^2)}\les \f1{|t|\log^2(|t|)} \|w f\|_{L^1(\R^2)}, |t| >2, $$有$w(x)=\log^2(2+|x|)$ .这个衰减率是由村田在加权$L^2$空间的多项式增长的权重设置。
We study the fourth order Schrödinger operator $H=(-Δ)^2+V$ for a decaying potential $V$ in four dimensions. In particular, we show that the $t^{-1}$ decay rate holds in the $L^1\to L^\infty$ setting if zero energy is regular. Furthermore, if the threshold energies are regular then a faster decay rate of $t^{-1}(\log t)^{-2}$ is attained for large $t$, at the cost of logarithmic spatial weights. Zero is not regular for the free equation, hence the free evolution does not satisfy this bound due to the presence of a resonance at the zero energy. We provide a full classification of the different …
On the fractional abstract Schrodinger-type evolution equations on the Hilbert space and its applications to the fractional dispersive equations
本文基于自伴算子谱定理和 Mittag-Leffler 函数渐近行为，证明了 Hilbert 空间上时间分数阶抽象 Schrödinger 型发展方程及分数阶色散方程的局部和全局适定性，并给出了线性方程温和解的 Hölder 正则性与渐近行为。
Fractal solutions of linear and nonlinear dispersive partial differential equations
本文研究了环面上线性和非线性色散偏微分方程的分形解。第一部分回答了线性薛定谔方程和高阶色散方程的分形解的一些公开问题。我们还讨论了应用到他们的非线性同行，如立方薛定谔方程（NLS）和Korteweg-de Vries方程（KdV）。在第二部分中，我们研究了涡丝方程和相应的薛定谔映射方程（SM）的分形解。特别地，我们构造全局强解的SM在$H^s$的$s>\frac32$的曲率的演变是由一个周期性的非线性薛定谔演化。我们还构造了在能级上唯一的弱解。我们的分析遵循张{ \em et al.} \cite{csu}和Nahmod { \em等人} \cite{nsvz}。
We consider the fourth order Schrödinger operator $H=Δ^2+V$ and show that if there are no eigenvalues or resonances in the absolutely continuous spectrum of $H$ that the solution operator $e^{-itH}$ satisfies a large time integrable $|t|^{-\frac54}$ decay rate between weighted spaces. This bound improves what is possible for the free case in two directions; both better time decay and smaller spatial weights. In the case of a mild resonance at zero energy, we derive the operator-valued expansion $e^{-itH}P_{ac}(H)=t^{-\frac34} A_0+t^{-\frac54}A_1$ where $A_0:L^1\to L^\infty$ is an operator of r…
Dispersive estimates of solutions to the Schrodinger equation in dimensions $n\ge 4$
证明了具有实值位势$V\in L^\infty({\bf R}^n)$，$n\ge 4$的薛定谔方程解的色散估计，满足$V(x)=O(|x|^{-(n+2)/2-ε})$，$|x|>1$，$ε>0$ .
In this work, we consider the long-time asymptotics for the Cauchy problem of a fourth-order dispersive nonlinear Schrödinger equation with nonzero boundary conditions at infinity. Firstly, in order to construct the basic Riemann-Hilbert problem associated with nonzero boundary conditions, we analysis direct scattering problem. Then we deform the corresponding matrix Riemann-Hilbert problem to explicitly solving models via using the nonlinear steepest descent method and employing the $g$-function mechanism to eliminate the exponential growths of the jump matrices. Finally, we obtain the asympt…
Dispersive and Strichartz estimates for 3D wave equation with a class of many-electric potentials
本文针对三维空间中具有一类多电势的波动方程，基于Schrödinger算子谱性质证明其色散估计，并结合Keel-Tao标准论证得出Strichartz估计。
Dispersive estimates for matrix Schrödinger operators in dimension two
考虑非自伴算子[ \cH = [{array}{cc} -Δ+ μ-V_1 & -V_2 V_2 & Δ- μ+ V_1 {array}]，其中$μ>0$和$V_1,V_2$是实值衰减势.当线性化聚焦NLS方程时，这些算子出现在驻波周围。在自然谱假设下，我们得到了$e^{it\cH}P_{ac}$演化的$L^1(\R^2)\times L^1(\R^2)\to L^\infty(\R^2)\times L^\infty(\R^2)$色散衰减估计。我们还得到了以下加权估计$$ \|w^{-1} e^{it\cH}P_{ac}f\|_{L^\infty(\R^2)\times L^\infty(\R^2)}\les \f1{|t|\log^2(|t|)} \|w f\|_{L^1(\R^2)\times L^1(\R^2)},\,\,\,\,\,\,\,\, |t| >2, $$与$w(x)=\log^2(2+|x|)$。
High frequency dispersive estimates in dimension two
我们证明色散估计在高频二维波和薛定谔群的一个非常大的类实值的潜力。
Dispersive estimates for Schrödinger operators in the presence of a resonance and/or an eigenvalue at zero energy in dimension three: I
我们证明了色散估计的薛定谔算子在三维零能量没有任何假设。也就是说，我们允许共振和/或本征值在零能量。
Strong and Weak-Type Dispersive Estimates for the Energy-Critical Nonlinear Schrödinger Equation with an Inverse-Square Potential
本文证明带反平方势的三维能量临界非线性薛定谔方程的色散估计，涵盖非负势端点情形和负势强衰减及Lorentz估计，限制尖锐，方法结合自举、实插值和端点Sobolev-Lorentz估计。
Global solutions for 1D cubic defocusing dispersive equations, Part IV: general dispersion relations
本文证明了一类具有一般色散关系（非 Schrödinger 型）的一维三次散焦半线性色散方程在临界正则性小初值条件下具有全局解，并得到全局 Strichartz 估计和双线性界，首次将相关猜想推广到非 Schrödinger 型问题。
Low frequency dispersive estimates for the Schrodinger group in higher dimensions
我们证明色散估计的低频部分的薛定谔组的一大类潜在的尺寸大于或等于四。因此，我们将Cornene，Sofer和Sogge的结果推广到更大的一类势。在本修订版中，删除了估算证明（B.4）中的一个错误。
Existence of long time solutions and validity of the Nonlinear Schrödinger approximation for a quasilinear dispersive equation
考虑一类带拟线性二次项的非线性色散方程。我们建立了两个结果。首先，我们证明了这个方程的解决方案，初始数据的顺序$\mathcal{O}(\varepsilon)$在Sobolev规范存在的时间跨度为$\mathcal{O}(\varepsilon^{-2})$足够小的$\varepsilon$。其次，我们推导出非线性薛定谔（NLS）方程作为一个正式的近似方程描述慢的空间和时间调制的包络的一个潜在的载波，并证明这种近似的误差估计之间的精确解的准线性方程和通过NLS方程获得的正式近似的Sobolev范数的帮助。这两个结果的证明依赖于适当的能量的估计，其结构的灵感来自正规形式变换的方法。为了证明NLS近似，我们必须克服由共振的发生所引起的额外困难。我们希望，在本论文中开发的方法也将允许证明的NLS近似的有效性的一类较大的准线性色散系统的共振。
Dispersive decay estimates for the magnetic Schrödinger equations
本文通过引入带磁势的分数阶畸变傅里叶变换和分数阶微分算子，结合 Strichartz 估计，证明了线性和非线性磁薛定谔方程的色散衰减界，衰减率为 t^{-n/2}，从而揭示了解的扩散性质与长期动力学。
Dispersive estimate for the 1D Schrödinger equation with a steplike potential
本文证明了一维薛定谔方程$$ iu_{t}-u_{xx}+V(x)u+V_0 u=0, $$的一个锐色散估计$$ |P_{ac}u(t,x)|\le C|t|^{-1/2}\|u(0)\|_{L^1(R)} $$，其中$(1+x^2)V\in L^1(R)$和$V_0$是一个实值的阶梯函数，在正负实轴上一致.
Asymptotic Stability of Solitons to Nonlinear Schrodinger Equations on Star Graphs
本文证明了星图上非线性Schrodiger方程的渐近稳定性，部分解决了D。Noja \cite{DN}。我们证明的主要内容是基尔霍夫边界条件下孤子周围线性化算子的色散估计。为了得到色散估计，我们使用玻恩级数技术和线性化算子的散射理论。
A counterexample to dispersive estimates for Schrödinger operators in higher dimensions
在$n>3$维中，我们证明了在可微类$C^α$，$α< \frac{n-3}2$中存在一个紧支势，对于这个紧支势，线性薛定谔方程在$\R^n$，$$ -i\partial_t u = - Δu + Vu, \quad u(0)=f, $$中的解不服从通常的$L^1\to L^{\infty}$色散估计.这与已知的结果在尺寸$n \leq 3$，其中逐点衰减条件$V$一般足以暗示色散边界。
Global solutions for 1D cubic dispersive equations, Part III: the quasilinear Schrödinger flow
本文研究一维三次拟线性薛定谔方程，证明其尖锐局部适定性，并在相位旋转对称、保守且散焦条件下建立小 Sobolev 数据的全局散射解，同时证明无散焦条件时 ε 大小数据在 ε^{-8} 时间尺度上的长时间解猜想。
Dispersive estimates for higher order Schrödinger operators with scaling-critical potentials
本文针对具有尺度临界位势的高阶薛定谔方程，利用广义 Kato 范数和 Wiener 反演定理建立了 $L^1$ 到 $L^\infty$ 的色散估计，并证明了无正共振及更一般算子族的色散估计。
We use exponential sums to study the fractal dimension of the graphs of solutions to linear dispersive PDE. Our techniques apply to Schrödinger, Airy, Boussinesq, the fractional Schrödinger, and the gravity and gravity-capillary water wave equations. We also discuss applications to certain nonlinear dispersive equations. In particular, we obtain bounds for the dimension of the graph of the solution to cubic nonlinear Schrödinger and Korteweg-de Vries equations along oblique lines in space-time.
Numerical study of fractional Nonlinear Schrödinger equations
利用傅里叶谱方法，我们提供了一个详细的数值研究色散薛定谔型方程涉及分数拉普拉斯算子。通过适当地选择色散指数，可以仅在一个空间维度上计算质量和能量亚和超临界状态。这使我们能够研究有限时间爆破与整体存在的可能性，爆破的性质，非线性基态的稳定性和不稳定性，以及解决方案的长时间动力学。后者也在半经典环境中进行了研究。此外，我们数值构造了分数阶非线性薛定谔方程的基态解。
Zero Energy Scattering for One-Dimensional Schrödinger Operators and Applications to Dispersive Estimates
我们证明了对于一个具有（j+1）阶矩可积的势的一维薛定谔算子，散射矩阵的j阶导数在具有可积傅里叶变换的函数的Wiener代数中.我们利用这个结果改进了共振情形下一维薛定谔方程已知的具有可积时间衰减的色散估计。
High frequency dispersive estimates for the Schrodinger equation in high dimensions
我们证明了最佳色散估计在高频的薛定谔群与实值电位$V(x)=O(|x|^{-δ})$，$δ>n-1$，和$V\in C^k({\bf R}^n$，$k>k_n$，其中$n\ge 4$和$(n-3)/2\le k_n<n/2$。我们还给出了Duhamel公式形式迭代的$L^1\to L^\infty$界的一个充分条件，该条件对于正则性较差的势函数可能满足。
Weak dispersive estimates for fractional Aharonov-Bohm-Schrödinger groups
证明了二维Aharonov-Bohm磁场下分数阶薛定谔方程的局部光滑性、局部能量衰减性和加权Schehartz不等式.显式表示的流动方面的球形展开的哈密顿参与的研究。当磁场通过单位球的总磁通量不是整数时，证明了自由估计的一个改进。
Dispersive estimates for Schrödinger's and wave equations on Riemannian manifolds
本文证明了三维 Riemannian 流形上带标量势的 Schrödinger 和波动方程的 $L^p$ 衰减估计，主要针对常负截面曲率度规的小扰动，并基于波动传播子的直接估计在 $\mathbb S^3$ 和 $\mathbb H^3$ 上得出结论。
Dispersive equations with invariant measures
本文以带 Ornstein-Uhlenbeck 算子的 Schrödinger 方程 Cauchy 问题为模型，倡导研究具有不变测度、现有理论无法处理的新型可能退化色散方程。
Singular Levy processes and dispersive effects of generalized Schrödinger equations
本文引入了广义Schrödinger型方程的新模型，以研究依赖于传播方向的色散性质，并利用Morawetz型估计证明了波导流形上的大初始数据散射。
In this work, we use the classical moment method to find a practical and simple criterion to determine if a family of linearized Dispersive equations on a periodic domain is exactly controllable and exponentially stabilizable with any given decay rate in $H^{s}_{p}(\mathbb{T})$ with $s\in \mathbb{R}$. We apply these results to prove that the linearized Smith equation, the linearized dispersion-generalized Benjamin-Ono equation, the linearized fourth-order Schrödinger equation, and the Higher-order Schrödinger equations are exactly controllable and exponentially stabilizable with any given deca…
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