Global Results on the Classification of Two-Component Integrable Evolutionary Systems
Ningbo University（宁波大学）；Loughborough University（拉夫堡大学）；University of Leeds（利兹大学）
本文推导了(1+1)维奇阶二分量多项式演化系统的可积性充要条件，证明了24种可能的谱类，并完成了3阶和5阶最低阶齐次可积层次的完全分类。
2026-06-25 nlin.SI
Integrable hyperbolic equations of sin-Gordon type
给出了具有三阶广义可积x-和y-对称性的非线性单域双曲方程的完整列表。该列表包括sin-Gordon型方程和微分代换线性化方程。
2009-12-27 nlin.SI
On the classification of scalar evolutionary integrable equations in $2+1$ dimensions
我们考虑$u_t=F(u, w)$形式的发展方程，其中$w=D_x^{-1}D_yu$是非定域性，右侧的$F$是$u$和$w$的导数的多项式.最近的文件\cite{FMN}提供了一个完整的列表，可积三阶方程的这种。在这里，我们扩展到五阶方程的分类。除了已知的Kadomtsev-Petviashvili（KP），Veselov-Novikov（VN）和Harry Dym（HD）方程的例子，以及五阶类似物和修改，我们的列表包含一些显然是新的方程。我们猜想，我们的例子用尽列表的标量多项式可积方程的非局部性$w$。分类程序包括两个步骤。首先，我们分类准线性系统可能（潜在）发生的可积标量发展方程的无色散极限。在此基础上，我们重建的色散项的继承的要求的流体动力学减少的无色散极限的全色散方程。
2010-11-09 nlin.SI
Evolutionary Hirota Type (2+1)-Dimensional Equations: Lax Pairs, Recursion Operators and Bi-Hamiltonian Structures
证明了（2+1）维Hirota型发展Euler-Lagrange方程具有辛Monge-Ampère形式.我们认为这种类型的可积方程的意义上，他们承认无限多的流体动力学减少，并确定拉克斯对。对于两个七参数可积方程族，我们构造了拉格朗日量、递归算子和双Hamilton表示。我们还提出了一个六参数族的三哈密顿系统。
2018-03-07 gr-qc math-ph math.MP
Hodge integrals and tau-symmetric integrable hierarchies of Hamiltonian evolutionary PDEs
对于任意半单Frobenius流形，我们构造了Hamilton偏微分方程的Hodge可积族.在量子上同调的特殊情况下，解的τ-函数产生了Gromov-Witten类及其后代的相交数，以及稳定映射的模空间上的霍奇丛的特征类。对于一维Frobenius流形的霍奇层次是一个变形的Korteweg-de Vries层次取决于一个无限数量的参数。猜想这个族是具有τ-函数的纯量Hamilton可积族中的一个泛对象。
2014-09-16 math.AG nlin.SI
Integrable systems with quadratic nonlinearity in Fourier space
利用傅立叶空间中的拉克斯对表示，得到了一列具有二次非线性项的可积标量发展方程。这类著名的系统如KdV、中间长波方程（ILW）、Camassa-Holm和A. Degasperis系统在此列表中列出。还得到了一些新的体系。对二维离散系统的推广进行了讨论。
2002-07-11 math-ph math.MP nlin.SI
Perturbative Symmetry Approach for Differential-Difference Equations
本文提出了一种新的方法来求解任意阶发展微分差分方程的可积性问题。它使我们能够产生必要的可积性条件，确定给定方程是否可积，并推进可积方程的分类。本文定义并发展了差分多项式环、差分算子和形式级数的符号表示。为了给出必要的可积性条件，我们引入了一个新的差环的拟局部扩张。它使我们在任意阶可积微分-差分发展方程的分类方面取得了进展。特别是，我们解决了问题的分类可积方程的顺序$(-3,3)$的重要子类的拟线性方程，并产生一个列表的17个方程满足必要的可积性条件。对于列表中的每一个方程，我们都给出了一个可积高阶相关方程的无限族。得到的一些方程是新的。
2021-08-26 math-ph math.MP nlin.SI
Algebraic properties of Gardner's deformations for integrable systems
给出了完全可积双Hamilton演化系统Gardner变形的代数定义。所提出的方法扩展了变形方程类，并产生新的可积演化和双曲Liouville型系统。一个精确可解的两个组件的刘维方程的扩展被发现。
2007-02-10 nlin.SI
Towards the theory of integrable hyperbolic equations of third order
并以两个自变量的三阶可积双曲型方程为例进行了讨论。特别是，发现一个方程，承认作为进化对称的Krichever-Novikov方程和修改后的Landau-Lifshitz系统。讨论了双曲型方程动力变量的选择问题。
2012-06-19 math-ph math.AP math.MP
Integrable Systems and Metrics of Constant Curvature
在这篇文章中，我们提出了一个拉格朗日表示的演化系统的哈密顿结构确定的微分几何泊松括号的一阶常曲率度量。Kaup-Boussinesq系统有三个局部Hamilton结构和一个与常曲率度量有关的非局部Hamilton结构。证明了达布定理（Darboux theorem），即通过微分代换和互逆变换将Hamilton结构化为标准型“d/dx "。
2001-11-05 nlin.SI
Classification of integrable super-systems using the SsTools environment
提出了一个超对称演化偏微分方程的分类问题，该方程满足非线性和非退化的假设。在均匀性假设|f| = |b| = |D_t| =1/2下，发现了四类非线性耦合玻色子-费米子系统.的Reduce包SsTools，这是用于中间计算的语法，其程序的适用性的超级PDE演算的描述。
2007-02-10 math-ph math.MP nlin.SI
Remarks on intersection numbers and integrable hierarchies. II. Tau-structure
本文证明在非退化条件下tau-结构的存在性蕴含演化偏微分方程组的可积性，并以此给出任意Kac--Moody代数对应Drinfeld--Sokolov层级结构可积性的新证明。
2024-11-26 math-ph math.MP nlin.SI
On solutions to a novel non-evolutionary integrable 1+1 PDE
研究一类C可积非演化标量守恒律偏微分方程，通过对称约化将其与Painlevé III方程关联，在系数约束下获得精确解，并讨论奇点、初始轮廓演化及有理极点解。
2023-12-21 nlin.SI
On matrix Lax representations for (1+1)-dimensional evolutionary differential-difference equations
Center of Integrable Systems, P.G. Demidov Yaroslavl State University（可积系统中心，P.G. 杰米多夫雅罗斯拉夫尔国立大学）
本文探讨了(1+1)维演化微分差方程的矩阵Lax表示、规范变换及离散Miura型变换，提出如何通过规范变换简化Lax表示，利用Lax表示和规范变换构造Miura型变换，以及判断Lax表示是否为假表示的方法。
2026-04-29 math-ph math.DS math.MP
Variational symmetries and pluri-Lagrangian structures for integrable hierarchies of PDEs
研究了$2$维偏微分方程的多拉格朗日族与其变分对称之间的关系。我们的目的是推广到偏微分方程的情况下，最近的研究结果在[Petrera，Suris。J. Nonlinear Math.Phys.24：sup 1，121- 145（2017）]用于常微分方程。我们认为层次的$2$维拉格朗日偏微分方程（其中许多有一个自然的$(1+1)$维时空解释），并表明，如果每个PDE的流动是一个变分对称的所有其他的，那么存在一个多拉格朗日2-形式的层次。相应的多时间Euler-Lagrange方程与原系统一致，原系统具有由变分对称性诱导的交换演化流。
2020-12-16 math-ph math.MP nlin.SI
Grassmannian flows and applications to non-commutative non-local and local integrable systems
本文给出了一类具有局部和非局部非线性的矩阵值非线性偏微分方程的线性化方法。事实上，我们一般化的线性化过程最初开发的Pöppe基于解决相应的基本线性偏微分方程，以产生一个进化的汉克尔算子的“散射数据”，然后解决一个线性Fredholm方程类似的Marchenko方程，以产生进化的解决方案的非线性偏微分系统。我们的推广涉及膨胀的散射数据的基本线性偏微分系统，以纳入相应的伴随，逆时间或逆时空数据，它也允许汉克尔算子与矩阵值内核。用这种方法，我们展示了如何线性化矩阵非线性薛定谔和修改Korteweg de Vries方程，以及这些系统的非局部逆时和/或逆时空版本。此外，我们制定了一个统一的线性化程序，将所有这些系统作为特殊情况。更进一步，我们证明了所有这样的系统是例子Fredholm格拉斯曼流。
2020-09-07 math-ph math.AP math.MP
On the relationship between nonlinear equations integrable by the method of characteristics and equations associated with commuting vector fields
最近的研究表明，矩阵场的Frobenius约化揭示了非线性偏微分方程（$S$ -可积偏微分方程）、非线性偏微分方程（$C$ -可积偏微分方程）和非线性偏微分方程（$Ch$ -可积偏微分方程）之间有趣的关系。然而，目前研究的$S$ -可积偏微分方程只有两类：一类是孤立子方程，如Korteweg-de Vries，Nonlinear Shrödinger，Kadomtsev-Petviashvili和Davey-Stewartson方程;另一类是$GL(N,\CC)$自对偶型偏微分方程，如Yang-Mills方程。本文考虑了另一类$S$ -可积偏微分方程的简单五维非线性偏微分方程，即向量场对交换条件下的标量非线性偏微分方程。我们发现它的起源从（1+1）维层次的$Ch$ -可积偏微分方程后，一定的组成Frobenius型和微分减少施加在矩阵领域。上述标量非线性偏微分方程的矩阵推广也将得到。
2009-06-04 nlin.SI
Recursion operators and bi-Hamiltonian representations of cubic evolutionary (2+1)-dimensional systems
我们构造了所有的（2+1）维偏微分方程只依赖于未知的二阶导数，具有Euler-Lagrange形式，并确定相应的拉格朗日量。我们将这些方程和拉格朗日方程的两个组成部分的形式，并找到所有这些系统使用狄拉克的理论约束的哈密顿表示。我们考虑三参数可积方程是三次的偏导数未知应用我们的方法斜因式分解的对称条件。对于单分量和双分量形式，确定了对称性的拉克斯对和递归关系。对于二分量形式的三次三参数方程，我们得到了$2\times 2$矩阵形式的递归算子和双Hamilton表示，从而发现了三个新的双Hamilton（2+1）系统.
2022-05-12 gr-qc math-ph math.MP
Classification of evolutionary equations on the lattice. I. The general theory
本文提出了一种改进的对称方法，用于对$$ u_{n,t} = f_n(u_{n-1}, u_n, u_{n+1}), $$形式的可积微分差分方程进行分类，其中$n$是一个离散的整数变量（著名的Volterra方程和Toda方程可以写成这种形式）.如果以前在对称性方法的框架中仅考虑与$$ u_{n,t} = f(u_{n-1}, u_n, u_{n+1}), $$类似的方程，即由函数$f$定义的方程，那么现在我们就有了先验完全不同函数的无限集合$f_n$。
1995-11-16 nlin.SI solv-int
Completely Integrable Replicator Dynamics Associated to Competitive Networks
本文构造并证明一族无限多个 Liouville–Arnold 可积的竞争网络复制者方程，据此分类低维锦标赛复制者，并揭示 Allesina–Levine 模型图示具有拟周期动力学。
2023-05-06 math.DS nlin.SI
Differential reductions of the Kadomtsev-Petviashvili equation and associated higher dimensional nonlinear PDEs
我们提出了一种算法，允许一个部分可积的多维非线性偏微分方程（PDE）的特殊类型的解决方案的（1+1）维的非线性偏微分方程的线性化矩阵的霍普夫-科尔替代（Bürgers层次）开始，以构建新的类。我们推导出四维非线性矩阵偏微分方程的例子，连同他们的标量和三维减少。Kadomtsev-Petviashvili型和Korteweg-de Vries型方程的变体在其中表示。我们的算法是基于两个Frobenius型减少和特殊的微分减少施加在可积偏微分方程的矩阵字段的组合。结果表明，所导出的四维非线性偏微分方程的解空间中可以存在任意二元函数，从而阐明了这些偏微分方程的可积性。
2009-09-18 nlin.SI
Applications of Grassmannian flows to integrable systems
我们展示了有多少类局部和非局部非线性的偏微分系统是线性化的，在这个意义上，他们是可实现的Fredholm格拉斯曼流。换句话说，这种系统的时间演化解可以通过求解线性Fredholm方程，从相应的基本线性偏微分系统的解构造出来。例如，众所周知，经典可积偏微分系统的解可以通过求解散射数据的相应线性偏微分系统，然后求解被称为Gel'fand-Levitan-Marchenko方程的线性Fredholm（或Volterra）积分方程来生成。在本文和Doikou等人的配套论文[DMSW：graphflows]中，我们都调查了可实现为Fredholm Grassmannian流的非线性系统类别，并提出了此类流的新示例应用。我们也证明了这种代表性的有用性。在这里，我们扩展了Poppe的工作，并演示了如何解决流动的非对易潜在Korteweg德弗里斯和非线性薛定谔系统的例子，这样的格拉斯曼流。在配套文件中，我们使用这种格拉斯曼流的方法，以及扩展到非线性图流，解决Smoluchowski凝聚和相关方程。
2022-01-14 math-ph math.AP math.MP
Integrable vs Nonintegrable Geodesic Soliton Behavior
研究1+1时空中一类发展偏微分方程的限制解。我们研究的偏微分方程是定义在实直线上向量场李代数的对偶上的二次Hamilton的Lie-Poisson Hamilton系统。这些系统也是理想流体Arnold程序意义下的同形群上测地线运动的欧拉-庞加莱方程，但其中的动能度量不同于速度的L2范数。这些偏微分方程拥有一个有限维不变流形的粒子状（测度值）的解决方案，我们称之为"脉冲。"我们将双脉冲相互作用的粒子动力学解析地求解为具有两个自由度和守恒动量的测地线运动的正则哈密顿系统。这两个脉冲相互作用的后端碰撞的结果是弹性散射与相移，发生与孤子。相反，正面反对称碰撞的脉冲子倾向于形成奇点。
1999-03-04 nlin.SI solv-int
Non-uniform continuity of periodic Holm-Staley b-family of equations
本文考虑一类非演化偏微分方程，称为Holm-Staley b -族，它包括可积的Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程。我们证明了解映射不是一致连续的。证明依赖于一个建设的平滑周期性行波与小振幅。
2010-10-19 nlin.SI
Two-component generalizations of the Camassa-Holm equation
通过微扰对称性方法对类似于Camassa-Holm方程的非演化偏微分方程的可积两分量系统进行了分类。独立地，相容的哈密顿算子对的分类进行，这导致双哈密顿结构相同的方程组。还构造了系统的一些精确解和拉克斯对。
2016-02-10 nlin.SI
Integrability of Nonabelian Differential-Difference Equations: the Symmetry Approach
本文提出基于对称方法的符号形式体系，用于研究自由结合代数上非阿贝尔微分-差分方程的可积性，并完成三类斜对称拟线性方程的分类，发现若干新可积方程。
2024-04-02 nlin.SI
Differential transformations of parabolic second-order operators in the plane
本文将Darboux关于双曲型方程微分替换变换的经典结果推广到抛物型方程$L u = \big(D^2_{x} + a(x,y) D_x + b(x,y) D_y + c(x,y)\big)u=0$的情形。我们证明了一个一般定理，提供了一种方法来确定上述抛物方程的转换。结果表明，高阶变换算子$M$总是可以表示为连续定义一系列变换的一阶算子的组合。逆变换的存在意味着对初始算子系数的一些微分约束。我们表明，这些关系可以暗示著名的可积方程，特别是Boussinesq方程。
2008-12-17 nlin.SI
