Fullerene graphs have exponentially many perfect matchings
Frantisek Kardos, Daniel Král', Jozef Miskuf, Jean-Sébastien Sereni
富勒烯图是一个平面立方3-连通图，它只具有五边形和六边形的面。我们表明，富勒烯图有指数许多完美匹配。
A fullerene graph is a planar cubic 3-connected graph with only pentagonal and hexagonal faces. We show that fullerene graphs have exponentially many perfect matchings.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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At least half of the leapfrog fullerene graphs have exponentially many Hamilton cycles
富勒烯图是具有五边形和六边形面的3连通立方可平面图。可平面图的蛙跳变换产生给定图的对偶图的结构。如果一个富勒烯图可以通过蛙跳变换从另一个富勒烯图得到，则称该图为蛙跳图。证明了$n=12k-6$顶点上的蛙跳富勒烯图至少有$2^{k}$ Hamilton圈.
Asymptotic enumeration of perfect matchings in $m$-barrel fullerene graphs
一个连通的平面三次图称为$m$ -桶富勒烯，记为$F(m,k)$，如果它具有以下结构：第一个圈是$m$ -边形。则$m$ -边形以$m$五边形为界。在那之后，我们有额外的k层六边形。在最后一个圆上，$m$ -五边形连接到第二个$m$ -边形。本文用两种不同的方法渐近地计算了$m$ -桶富勒烯图中六角层数较多时的完美匹配数，并证明了结果是相等的。
The fullerenes with a perfect star packing
图$G$的一个生成子图称为$G$中的完美星填充，如果生成子图的每个分支都同构于星图$K_{1,3}$ .图$G$的一个有效控制集是$G$的一个顶点子集$D$，使得$G$的每个不在$D$中的顶点与$D$中的一个顶点相邻，并且$G$的任意两个顶点在$G$中不相邻.富勒烯图是一个只有五角和六角面的连通平面三次图，是碳富勒烯的分子图。显然，在一个富勒烯图$G$中，$n$顶点上的完美星填充将存在当且仅当$G$具有一个有效的基数控制集$\frac{n}{4}$。寻找有效支配集的问题在算法上是困难的\cite{Alg_hard}。本文给出了富勒烯图具有完美星填充的一个刻划。并主要说明了具有理想星型堆积的富勒烯$G$必须具有可被$8$整除的有序性。这回答了Doslić et.并且证明了具有有效控制集的富勒烯图具有$8n$顶点.另外，我们还找到了定理$14$在\cite{Doslic}中的必要性的反例，并列出了排除$P0$型完美星堆积存在的一些禁止构型.
Star and Semi-Star Transformations in Fullerene Graphs
图G中的完美星填充是指G的一个生成子图，它的每个分支都同构于星图$K_{1,3}$ .如果富勒烯图G的所有星的中心都位于G的六边形上，则称G的完美星填充是P0型的。许多富勒烯图是通过应用一些变换从较小的富勒烯图产生的。本文介绍了具有P0型完美星填充的富勒烯图的两种变换，并研究了由这种变换得到的图的一些性质。
Upper bounds for perfect matchings in pfaffian and planar graphs
本文给出了pf图中加权完美匹配的上界。这些上界比Bregman的上界更好的完美匹配的数量。我们证明了我们的一些上界对于3-和4-正则pf-图是尖锐的。我们将我们的结果应用到富勒烯图。
On k-resonant fullerene graphs
一个富勒烯图$F$是一个3-连通的平面三次图，它正好有12个五边形和其余的六边形。令$M$是$F$的完美匹配。如果$C$的边缘交替地出现在$M$内和外，则$F$的循环$C$是$M$ -交替的。如果$F$有一个完美匹配的$M$，使得$\mathcal H$中的所有六边形都是$M$ -交替的，则$F$的不相交六边形的集合$\mathcal H$被称为共振模式（或六重模式）。如果$F$的任意$i$（$0\leq i \leq k$）个不相交六边形形成一个共振模式，则富勒烯图$F$是$k$ -共振的.本文证明了富勒烯图的每一个六边形都是共振的，所有蛙跳富勒烯图都是2-共振的。进一步，我们证明了一个3-共振富勒烯图最多有60个顶点，并构造了所有9个3-共振富勒烯图，它们对每个整数$k>3$都是$k$ -共振的.最后，计算了3-共振富勒烯图的六重多项式。
2-extendability of (4,5,6)-fullerenes
本文刻画(4,5,6)-富勒烯的2-可扩性，证明非2-可扩图恰由四个零散图和五类图构成，并给出反Kekulé数及任意偶数阶存在性的推论。
On the anti-forcing number of fullerene graphs
一个连通图的反强迫数$G$是使删除这些边后得到的图具有唯一完美匹配的最小边数。本文证明了每个富勒烯的反强迫数至少为4。我们给出了构造所有反强迫数达到下界4的富勒烯的方法。进一步证明了对于每个偶数$n\geq20$（$n\neq22,26$），存在一个反强迫数为4的$n$顶点富勒烯，以及一个反强迫数为5的26顶点富勒烯.
Characterizing the fullerene graphs with the minimum forcing number 3
图$G$的最小强迫数是指图$G$的唯一完美匹配中同时包含的最小边数。Zhang，Ye和Shiu \cite{HDW}证明了任何富勒烯图的最小强迫数都是由$3$下有界的.然而，我们发现，存在一个具有最小强迫数$2$的例外富勒烯$F_{24}$。本文用构造的方法刻画了所有具有最小强迫数$3$的富勒烯。这也解决了Zhang等人提出的一个公开问题。我们还发现，除了$F_{24}$之外，所有具有反强迫数$4$的富勒烯都具有最小强迫数$3$。特别地，$(4, 2)$型纳米管富勒烯是这样的富勒烯。
2-Resonant fullerenes
一个富勒烯图$F$是一个平面三次图，它正好有12个五边形面和其他六边形面。如果$F$有一个完美匹配的$M$，使得$\mathcal{H}$中的每个六边形都是$M$ -交替的，则$F$的不相交六边形的集合$\mathcal{H}$被称为共振模式（或六重模式）。如果$F$的任何$i$（$0\leq i\leq k$）不相交六边形形成谐振图案，则称$F$是$k$ -谐振的。我们知道每个富勒烯图都是1-共振的，所有的3-共振富勒烯都是9个图。在本文中，我们证明了不包含子图$L$或$R$如图1所示的富勒烯图是2-共振的，除了特定的十一个图。这个结果意味着每个IPR富勒烯是2-共振的。
Extremal fullerene graphs with the maximum Clar number
一个富勒烯图是一个三次3连通的平面图，它有（正好12个）五边形面和六边形面。设$F_n$是具有$n$顶点的富勒烯图.如果$F_n$有一个完美的匹配，它在$\mathcal H$中的每个六边形上和下交替，则$F_n$的一组互不相交的六边形$\mathcal H$是一个六位体模式。$F_n$的六位模式的最大基数是$F_n$的Clar数。结果表明，Clar数不超过$\lfloor\frac {n-12} 6\rfloor$。许多有实验证据的富勒烯都达到了这个上界，例如$\text{C}_{60}$和$\text{C}_{70}$。本文刻画了Clar数等于$\frac{n-12} 6$的极富勒烯图.通过刻画，我们证明了包含$\text{C}_{60}$在内的60个顶点的富勒烯图中，有18个达到最大Clar数8，并且我们构造了所有这些极值富勒烯图.
On Cyclic Edge-Connectivity of Fullerenes
一个图被称为循环$k$ -边连通的，如果至少$k$的边必须被删除，以断开它成两个组件，每个组件包含一个循环。这样的一组$k$边称为循环$k$边割集，如果得到的两个分量中的至少一个引起单个$k$ -循环，则称为平凡循环$k$ -边割集。众所周知，富勒烯，即所有面都是五边形和六边形的3-连通立方可平面图，是循环5-边连通的。本文证明了含有非平凡循环5边割集的富勒烯$F$有两个对映五边形面，即两个对映五边形面的相邻面也是五边形。此外，它表明，$F$有一个Hamilton圈，因此至少$15\cdot 2^{\lfloor \frac{n}{20}\rfloor}$完美匹配，其中$n$是$F$的顺序。
Exponentially many perfect matchings in cubic graphs
我们证明了每一个立方无桥图G至少有2^（|V（G）|/3656）完美匹配。这证实了Lovasz和Plummer的一个古老猜想。这个版本的文件使用了不同的定义节从期刊版本的文件和不同的证明引理18。这简化了我们在整篇论文中的论点的阐述。
The number of almost perfect nonlinear functions grows exponentially
几乎完美非线性函数在分组密码设计中起着重要的作用，因为它们提供了最强的抵抗差分密码分析的能力。尽管有超过25年的研究，只有有限数量的APN功能是已知的。本文证明了Taniguchi最近的一个构造在具有${2^{2m}}$元素的有限域上至少提供了$\frac{φ(m)}{2}\left\lceil \frac{2^m+1}{3m} \right\rceil$不等价的APN函数，其中$φ$表示欧拉函数.这是对以前结果的一个很大改进：对于偶数$m$，最好的已知下界是$\frac{φ(m)}{2}\left(\lfloor \frac{m}{4}\rfloor +1\right)$，对于奇数$m$，根本没有这样的下界。此外，我们确定了Taniguchi APN函数的自同构群。
Characterization of co-blockers for simple perfect matchings in a convex geometric graph
考虑$2m$顶点上的完全凸几何图$CGG(2m)$，即，平面凸$2m$边形$P$的所有边界边和对角线的集合。在[C. Keller和M. Perles，On the Smallest Sets Blocking Simple Perfect Matchings in a Convex Geometric Graph]，刻画了满足$CGG(2m)$中所有简单完美匹配（SPM）的最小边集（称为“Blockers”），并证明了这些边集都是具有特殊结构的毛虫图，其总数为$m \cdot 2^{m-1}$ .在本文中，我们的特点，共阻滞剂的SPM在$CGG(2m)$，即满足所有的阻滞剂的最小集的边缘。我们发现，协同阻断剂正是那些完美的匹配$M$在$CGG(2m)$，其中所有的边缘是奇数阶，和两个边缘的$M$，从两个邻顶点的$P$从来没有交叉。特别地，虽然SPM的数量和阻断剂的数量随着$m$呈指数增长，但是共阻断剂的数量超指数增长。
Perfect Matchings in Inhomogeneous Random Bipartite Graphs in Random Environment
本文研究随机环境中的非齐次随机二部图。这些图可以被认为是经典Erdös-Rényi随机图在随机环境中的扩展。我们表明，期望的完美匹配数服从精确的淬火渐近，它可以近似使用迭代过程，指数收敛速度快。
Perfectly packing graphs with bounded degeneracy and many leaves
证明了如果所有的退化图都有最大度$o(\frac{n}{\log n})$，并且其中的$Ω(n)$最多有$(1-Ω(1))n$顶点和$Ω(n)$叶，则可以将退化图完美地包装成完全或稠密的$n$ -顶点拟随机图.这证明了林格尔猜想和Gyárfás树填充猜想，除了指数小部分的树（或序列的树，分别）。
A superlinear bound on the number of perfect matchings in cubic bridgeless graphs
Lovasz和Plummer在20世纪70年代提出，立方无桥图有指数级的完美匹配。Voorhoeve在1979年对二部图验证了这个猜想，Chudnovsky和Seymour在2008年对可平面图验证了这个猜想，但一般来说只有线性边界是已知的。本文给出了一般情况下的第一超线性界。
The resonance graphs of nanotubes and toroidal polyhexes
本文针对一般纳米管和环面多六边形，通过加强割集流和梯子条件，给出了两个完美匹配位于同一共振图连通分量的有效判据，并利用环面上简单环的同伦类简化了交替六边形情形。
On the expected number of perfect matchings in cubic planar graphs
20世纪70年代，Lovász和Plummer提出了一个著名的猜想：一个无桥立方图有指数级的完美匹配。Esperet等人（Adv. Math. 2011）以肯定的方式解决了该问题。另一方面，Chudnovsky和Seymour（Combinatorica 2012）在三次可平面图的特殊情况下证明了该猜想。在我们的工作中，我们考虑随机无桥立方可平面图的均匀分布的图的$n$顶点。在此模型下，我们证明了标号无桥三次可平面图中完美匹配的期望数是渐近的$cγ^n$，其中$c>0$和$γ\sim 1.14196$是一个显式的代数数.我们还计算了（不一定是无桥的）三次可平面图中完美匹配的期望数，并为无标号图提供了下界。我们的出发点是一个对应的计数完美匹配在有根三次平面地图和分拆函数的伊辛模型在有根三角剖分。
Low-degree functions without non-essential arguments
本文研究 Hamming 图上无非本质自变量的完美着色，构造出参数 $n$ 随商矩阵非对角部分指数增长的例子，并得到本质变量数随次数指数增长的不平衡 Boolean 函数。
On the number of perfect matchings in planar graphs
本文研究平面图中非零完美匹配的最小数量，证明在最小度为3的2连通平面图和3连通平面图中该数为常数，并给出无限族，最后构造反例反驳Zaks猜想。
Exponential Lower Bounds for the Pfaffian Number of Graphs
研究问题：图的Pfaffian数目的下界；核心方法：通过构造特定图示例；主要贡献：证明了图的Pfaffian数目需要指数级Pfaffians，且改进了完全图的下界结果。
Hamilton paths and cycles in flip graphs of (almost-)perfect matchings
研究图匹配间的翻转操作及对应翻转图的哈密顿性。组合情形下证明翻转图是哈密顿连通或哈密顿可穿的；几何情形下证明路径会错过指数多个顶点，无哈密顿路径或圈，还为凸点集和几乎完美匹配构造了几乎遍历所有顶点的圈。
The matching polytope has exponential extension complexity
组合优化中的一种流行方法是将可能具有指数级多个面的多面体P表示为线性规划的解，该线性规划使用很少的额外变量来将约束的数量减少到多项式。经过二十年的停滞，近年来带来了惊人的进展，在显示下界的所谓的扩展复杂性，这对于一个多面体P表示最小数量的不平等必要的描述一个高维多面体Q，可以线性投影在P.然而，在这个领域的中心问题仍然是开放的：可以完美匹配的多面体被写为一个LP与多项式许多限制？我们对这个问题的回答是否定的。实际上，在一个完全n结点图中，完美匹配多面体的扩张复杂度是2^Omega（n）。通过已知的约简，这也将TSP多面体的扩展复杂度的下限从2^Omega（n^1/2）提高到2^Omega（n）。
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