Progress in Euclidean relativistic few-body quantum mechanics
讨论了相对论性少体量子力学欧几里德表述的最新进展。
2012-10-07 hep-th nucl-th
Similarity Renormalization Group for Few-Body Systems
通过流动方程演化的核子间相互作用产生软势,导致少体系统的快速变分收敛。
2007-11-24 nucl-th
Application of complex-scaling method for few-body scattering
基于复尺度法,提出了一种求解少粒子散射问题的形式化方法,该方法只需要简单的边界条件。几个应用程序证明效率的方法在描述弹性和三体断裂反应的哈密顿量,其中可能包括短期和长期的相互作用。
2011-04-12 nucl-th
Comments on some recent papers on the hyperspherical approach in few-body systems
Kievsky,Viviani和Rosati最近的论文被评论。它指出,在这些文件作为原始的超球方法的框架中,用于治疗少体反应和束缚态的技术实际上是已知的,并已被应用于以前。
1998-04-20 nucl-th
Hadronic few-body systems in chiral dynamics, -- Few-body systems in hadron physics --
强子复合态是强子物理学中的少体系统。$Λ(1405)$共振是强子少体系统的一个很好的例子。结果表明,$Λ(1405)$可以用耦合道么正性框架和手征动力学相结合的现代技术中的强子动力学描述。将$Λ(1405)$的强子$\bar KN$复合态的概念推广到了K介子少体态。我们的结论是,由于$K$和$N$在s波$\bar K$耦合中具有相似的相互作用性质,所以存在系统地低于分裂阈值的K介子的少体准基态,如$\bar KNN$、$\bar KKN$和$\bar KKK$,以及作为$\bar KN$准基态的$Λ(1405)$和作为$f_{0}(980)$和$a_{0}(980)$的$\bar KK$。
2012-10-06 nucl-ex nucl-th
Few-Body Physics -- Then and Now
本文对第十四届物理学中的少体问题国际会议(\underline{th})作了总结,着重介绍了最近解决的重要问题,并对该领域的未来作了展望。个人评论和“家庭作业”的问题分配。
1994-10-03 nucl-th
Symmetry violations in few-body reactions: old and new approaches
为了解决用传统方法计算的PV效应与实验数据之间的矛盾,本文分析了几体核系统对称性破坏效应的计算方法。本文综述了几体中子感生反应中PV和TRIV效应的计算方法,并对计算参数的取值及其精度进行了分析。
2010-12-21 nucl-th
Tensor-optimized few-body model for s-shell nuclei
作为处理核子-核子相互作用中张量相互作用的一种新方案,提出了一种用于研究中重核的张量优化壳模型(TOSM)。与严格的少体计算相比,TOSM包含了类氘张量相关,并提供了$^4$ He的结合能和尺寸的相当好的再现。在裸核子-核子相互作用的少体框架下,利用TOSM近似的思想,提出了一个张量优化的少体模型(TOFM)。我们发现,TOFM可以占张量相互作用的强度非常好,几乎再现了全部的能量和各种能量分量相比,严格的几个机构的计算。
2011-05-07 nucl-th
Few-body correlations in the QCD phase diagram
从统计物理的观点看,核物质是一个强关联的多粒子系统。QCD相图的几个区域应该表现出强相关性。在这里,我重点讨论了在相图中可能很重要的三体和四体相关性。
2002-10-01 nucl-th
Few-Body Lattice Calculations
我讨论了最近的进展,对计算少体观测使用数值晶格技术。重点介绍了格点量子色动力学计算的最新结果。我目前的初步结果,从晶格计算的中心和张量之间的B介子的重夸克极限的潜力。
2006-11-10 nucl-th
Photo and Electrodisintegration of Few Body Systems Revisited
在P.Sauer发表了最先进的束缚态三核子系统的Faddeev解的20年后,我重新审视了几个身体系统的照片和电去陷,特别强调了杰斐逊实验室开辟的前景。
2003-03-20 nucl-th
Nonperturbative Renormalisation Group: Applications to the few and many-body systems
我们考虑了泛函重整化群在多体和少体系统中的应用。作为少体动力学的一个应用,我们研究了非相对论费米子少系统的费米子-费米子散射长度与二聚体-二聚体散射长度的比值。我们发现一个强烈的依赖性的截断函数中使用的重整化流的两体截断的行动。增加一个简单的三体项可以大大减少这种依赖性。在多体物理的背景下,我们研究了对称和非对称的多费米子系统使用相同的功能重整化技术的动力学。结果表明,功能重整化群给出了合理可靠的结果,为今后的研究提供了坚实的理论基础。开放的问题,以及进一步发展的路线进行了讨论。
2009-12-18 nucl-th
Few-Body States in Fermi-Systems and Condensation Phenomena
许多粒子系统中的残余相互作用导致强关联。许多粒子系统中的许多现象都与关联效应有关,如配对、超导、超流、玻色-爱因斯坦凝聚等。
1999-11-02 nucl-th
Universality and Leading Corrections in Few-Body Systems
大的两体散射长度导致少体系统的普遍行为。特别是,三体系统显示出有趣的功能,如精确的离散尺度不变性的束缚态谱在无限散射长度的限制。在这里,我将讨论如何有效场论(EFT)可以用来研究这些功能,以及如何在EFT扩展的一阶的有限范围内的潜在的相互作用的影响的束缚态谱。
2008-12-30 nucl-th
Hadrons and Few-Body Physics
我们提出了一个精选的主题与强子和少体物理学的相互作用。这包括少核子系统,轻超核和重子和多夸克的夸克动力学。强调标准的夸克模型预言的稳定的多夸克很少。
2020-10-19 hep-ph nucl-th
Precise solution of few-body problems with the stochastic variational method
本文给出了$N$ =2- 6体问题的精确变分解。试验波函数被选择为相关高斯的组合,这便于矩阵元素的完全解析计算。试函数的非线性参数采用随机方法选取。研究了费米子和玻色子少体系统中不同类型的相互作用。与文献结果的比较表明,该方法是准确和有效的。
1995-03-08 nucl-th
Few-Body Descriptions of the piNN System in Three and Four Dimensions
我们总结了最近的理论进展,在少体描述的piNN系统。以前的描述,三维和四维,具有严重的理论不一致。我们说明了三维的方法如何遭受重正化问题,以及如何四维的描述包含多计数和少计数的图。然后,我们将展示如何最近已经克服了这些理论问题,导致新的实用的piNN系统的少体方程。
1995-11-17 nucl-th
Electromagnetic reactions of few-body systems with the Lorentz integral transform method
本文用洛伦兹积分变换(LIT)方法在微观上计算了各种电磁少体分裂反应进入多体连续介质的过程。对于三体和四体核,核哈密顿量包括两个和三个核子力,而半现实相互作用用于六体和七体系统。与实验数据的比较进行了讨论。此外,各种有趣的方面的$^4$他的光致蜕变进行了研究:调查的一个四面体对称性的$^4$他和测试的非本地核力模型通过诱导的两体电流。
2007-01-12 nucl-th
$q^2$-Dependence of Meson Mixing in Few-Body Charge Symmetry Breaking: $π^o-η$ Mixing to One Loop in Chiral Perturbation Theory
指出通常被认为是引起少体电荷对称性破缺的主要原因的介子混合矩阵元在QCD中是自然地依赖于$q^2$的。对于$π^o-η$混合,使用赝标量场的通常表示,可以使用手征微扰理论明确地计算主导的$q^2$依赖于一个循环,结果是在从类时到类空值的$q^2$的矩阵元素的幅度显着减少。由于它是后者的范围内的$q^2$是相关的NN散射和少体束缚态,这一结果调用到严重的问题的标准处理与$π^o-η$和$ρ-ω$混合少体电荷对称性破缺的贡献。
1992-11-10 nucl-th
Faddeev-type calculations of few-body nuclear reactions including Coulomb interaction
在描述少体核反应时,采用屏蔽重整化方法,考虑了带电粒子间的库仑相互作用。计算是在动量空间中的Faddeev型方程的框架内进行的。证明了该方法的可靠性。讨论了库仑效应对观测量的影响。
2008-10-24 nucl-th
Universality in Few-Body Systems
近年来,由于大的二体散射长度而引起的原子少体系统中的低能普适性引起了人们的广泛关注。在这里,我讨论了最近的进展,在描述冷原子的三体复合在一组有限的通用标度函数和审查结果的铯-133原子的复合长度与这些功能。此外,我将考虑包括有效范围的修正和原子和核物理学的进一步计算的相关性。
2007-12-21 nucl-th
Few-body Physics in a Many-body World
量子力学少体系统的研究是一个世纪的追求,涉及物理学的无数子领域。虽然两体问题通常被认为在理论上和数值上都得到了很好的理解,但冒险研究三个或更多个物体会带来复杂性,但也会带来许多有趣的现象。近年来,原子和分子的冷却和囚禁已经显示出极大的希望,为研究少体物理提供了一个高度可控的环境。然而,对于许多少体效应起重要作用的系统来说,少体态并不是与它们的多体环境隔离开的。于是,一个有趣的问题变成了,我们是否(或者更准确地说)应该把少体态看作是有效孤立的,以及什么时候我们必须考虑到与环境的耦合。使用一些简单的,但不平凡的例子,我将试图建议可能的方法,这条线的研究。
2014-07-29 cond-mat.quant-gas nucl-th quant-ph
Calculating few-body resonances using an oscillator trap
我们研究了利用振子陷阱边界条件计算少体共振参数的可能性。我们把少体系统的振子陷阱和计算的能量谱和强度函数的适当选择的过渡。更宽的共振被识别为强度函数中的洛伦兹峰。较窄的共振是通过避免交叉的模式作为陷阱的大小的函数的系统的频谱。作为一个例子,我们在3-α模型中计算12 C中的0+共振。
2009-02-06 nucl-th
Coulomb Effects in Few-Body Reactions
本文采用屏蔽重整化方法,在三体和四体核反应的动量空间描述中考虑了带电粒子间的库仑相互作用。论证了散射振幅重整化的必要性和方法的可靠性。讨论了库仑效应对观测量的影响。
2010-02-18 nucl-th
Realistic Calculations of Exclusive $A(e,e'p)X$ Processes off Few-Body Nuclei
用实际的少体波函数和用广义程函方法处理末态相互作用效应,计算了互斥过程2H(e,e'p)n、3He(e,e'p)^2H和3He(e,e'p)(pn)。
2003-12-13 nucl-th
Effective Range Corrections in Few-Body Systems with large Scattering Length
仅考虑接触相互作用的有效场论是计算大散射长度三体系统低能可观测量的有力工具。最近的计算,包括有效范围的修正进行了讨论和结果。
2006-10-18 nucl-th
Method of integral transforms for few-body reactions
对积分变换法进行了评述。在这个方法的框架下,反应观测量是用束缚态计算技术得到的。报告了新的事态发展。
1999-06-07 math-ph math.MP nucl-th
Universal few-body physics in a harmonic trap
具有共振短程相互作用的少体系统显示出不依赖于其结构或短距离相互作用的细节的普适性质。在三体系统中,这些性质包括三体Efimov态的几何谱和离散标度对称性的存在。类似的普适性质也出现在四体系统和可能更高的体系统中。建立了简谐势阱中少体系统的有效理论,研究了外约束条件下三粒子和四粒子系统的普适物理修正。特别是,我们专注于系统中的Efimov效应可能发生,并调查的4体光谱的实验调谐参数的依赖性。
2012-08-15 cond-mat.quant-gas nucl-th
Lambda(1405) and kaonic few-body states in chiral dynamics
本文综述了手性动力学中λ(1405)结构的研究现状。结果表明,λ(1405)共振可以用强子动力学来描述。将强子分子态的概念推广到了K介子少体态。结果表明,由于K和N在s波Kbar耦合中具有相似的耦合性质,在系统性地低于分裂阈值的情况下,存在KbarNN、KbarKN和KbarKK等少体准束缚态,以及KbarN的Lambda(1405)和KbarK的f0(980)和a0(980)等准束缚态.
2011-03-18 nucl-th
Light-front time picture of few-body systems
讨论了四维二体Bethe-Salpeter方程在光阵面超曲面上的投影。消除的相对时间进行使用准潜在的扩展,这被证明是相当于一个无限的耦合方程组的格林函数的不同的光前福克状态。
2003-08-30 nucl-th
The Coulomb Sum and Proton-Proton Correlations in Few-Body Nuclei
在核电荷算符的简单模型中,库仑和核的电荷形状因子的测量直接决定质子-质子关联。我们检查实验结果获得的几体核在贝茨和Saclay使用模型的电荷运营商,包括一个和两个身体条款。以前的分析只使用单体项,未能重现实验结果。然而,我们发现,已被用来成功地描述电荷形状因子相同的运营商也产生大量的协议与库仑和的测量。
1993-03-01 nucl-th
Systematic few-body analysis of eta-d, eta-3He and eta-4He interaction at low energies
用Alt-Grassberger-Sandhas N体理论研究了η介子与d、3 He和4 He的相互作用。采用子振幅的可分离展开将积分方程转化为准二体形式。由此产生的形式主义适用于适合现有的数据,低能量的eta生产的几个核子目标。在此基础上,得到了散射长度a_{eta d}、a_{eta 3He}、a_{eta 4He}以及基元η-N散射振幅的亚阈特性。
2018-01-30 nucl-th
The electro-disintegration of few body systems revisited
最近在JLab对少数身体系统的电分解的研究已经恢复了这一领域。不仅在Single Shot中确定了后坐动量分布。但它们也证实了我在25年前开发的图解方法与分析它们有关,只要使用在相同能量范围内确定的核子-核子散射振幅。它们为我们提供了一个坚实的出发点,以解决问题的奇异组分的强子在核物质的传播
2004-07-21 nucl-th
Precise solution of few-body problems with stochastic variational method on correlated Gaussian basis
精确的变分解决方案,涉及不同的费米子和玻色子$N=2-7$体系统的问题。试验波函数被选择为相关高斯的组合,其通过积分变换由单粒子高斯波包的乘积构造,从而便于矩阵元素的完全解析计算。通过随机技术选择试验函数的非线性参数。该方法已被证明是非常有效的,几乎精确的,它似乎是可行的任何少体束缚态问题出现在核或原子物理学。
1995-08-14 nucl-th
Method of integral transforms for calculating few-body reactions
提出了一种计算量子力学中反应的非常规方法。用束缚态计算技术得到了反应观测量。讨论了该方法计算少核子响应函数的精度。
1998-04-09 nucl-th
Neural-network quantum states for solving few-body problems: application to Efimov physics
University of Electro-Communications(电波大学)
本文利用神经网络量子态方法研究连续空间中强相互作用少数体问题,计算Efimov态及少数体束缚态,验证了该方法在三到六体系统中的有效性。
2026-04-06 cond-mat.quant-gas nucl-th physics.chem-ph
Universality in few-body systems with large scattering length
有效场论(EFT)提供了一个强大的框架,它利用物理系统中尺度的分离来执行系统地可改进的、与模型无关的计算。特别令人感兴趣的是具有短程相互作用和大的两体散射长度的少体系统。这种制度具有显著的普遍性。在多于两个粒子的系统中,需要一个具有极限环行为的三体力来实现已经处于首阶的一致重整化。我们将回顾这种EFT及其在冷原子物理和核物理中的一些应用。特别地,我们将讨论QCD中红外极限环的可能性。最近扩展的EFT方法的四体系统和N-玻色子液滴在两个空间维度也将得到解决。
2005-02-24 nucl-th
Unitary interaction geometries in few-body systems
我们考虑少体系统,其中只有一个特定的子集的粒子-粒子相互作用是共振的。我们用一个{ \it酉图}来刻画每个子集,其中顶点代表可区分的粒子,边代表共振2体相互作用。幺正图连通的少体系统将坍缩,除非包含排斥的三体相互作用。我们发现两类图,区分的3-体排斥必要的,以稳定相关的系统。每个类别的特征在于图是否包含回路:对于树状图(包含回路的图),使它们重整化的三体力与具有两(三)个共振相互作用的三体系统相同。我们数值表明,这一猜想是正确的四体的情况下,以及为少数5体配置。通过对波函数的Faddeev-Yakubovsky~分解施加Bethe-Peierls边界条件,我们定性地解释了这一结果。
2023-03-02 cond-mat.quant-gas nucl-th quant-ph
Reply to the paper of V.D. Efros: Comments in some recent papers on the Hyperspherical approach in few--body system
几天前,V.D. Efros向nucl-th提交了一份预印本,其中批评了我们最近对A=3,4核子的束缚态和散射态的研究活动。因此,我们不得不审查争议的实质和预印本中所载的评论。这就是本文的动机。
1998-04-29 nucl-th
Correlated Gaussian Hyperspherical Method for Few-Body Systems
我们开发了一种创新的数值技术来描述少体系统。相关高斯基函数被用来展开超球表示中的通道函数。该方法被证明是强大的和有效的相比,其他数值技术。该方法适用于短程相互作用的少体系统,包括三,四体系统的几个例子。具体来说,对于两个组件,四个费米子系统,我们提取的系数,表征其行为的么正性。
2009-04-08 cond-mat.quant-gas nucl-th physics.atom-ph
Relativistic Theory of Few-Body Systems
自从1983年我在汉诺威拜访了彼得·绍尔和他的小组以来,在少数体系统的相对论理论方面已经取得了非常重大的进展。这次演讲提供了一个机会来回顾自那时以来在这一领域的进展。本文简要地介绍了几种核子系统的相对论计算方法。作为一个例子,比较了七种相对论性的氘核弹性结构函数$A$、$B$和$T_{20}$的计算结果.协变旁观者理论,其中更成功和完整的这些方法,更详细地描述。
2002-12-06 nucl-th
Relativistic descriptions of few-body systems
本文对少体系统中的相对论效应、理论方法、最新进展和应用作了简要的评述。相对论效应在结合能、电磁形状因子和三体观测量中的表现形式被证明。本文还讨论了起源于相对论的三体力。
2010-12-01 hep-ph nucl-th
New general approach in few-body scattering calculations: Solving discretized Faddeev equations on a graphics processing unit
背景资料:具有真实相互作用的少体散射问题的数值解是一个困难的问题,通常必须在强大的超级计算机上解决,需要花费大量的计算机时间。这极大地限制了量子物理学不同分支中许多重要的少粒子问题的精确处理的可能性。目的:发展一种新的通用高效的方法,用于实际求解可在图形处理单元上实现的少体散射方程。研究方法:一般的方法是实现在三个步骤:(i)使用一个方便的分析形式的通道预解算子的散射方程的重新制定;(ii)一个完整的少体连续离散和投影的所有运营商和波函数到一个$L_2$基础上构建从固定的波包和(iii)超快速解决方案的矩阵方程使用图形处理器。结果如下:整个方法说明了由一个现实的$NN$潜力,这是在一个标准的PC上使用图形处理器与极短的运行时间的计算中子-氘核弹性散射截面低于和高于三体分裂阈值。结论:本文提出的一般方法为强子、核和原子物理学中非相对论和相对论形式的量子少体散射问题的快速实用解开辟了一条新的途径。
2014-07-01 nucl-th
Few-body physics in effective field theory
有效场论(EFT)提供了一个强大的框架,它利用物理系统中尺度的分离来执行系统地可改进的、与模型无关的计算。特别令人感兴趣的是具有短程相互作用和大的两体散射长度的少体系统。这种制度具有显著的普遍性。在多于两个粒子的系统中,需要一个具有极限环行为的三体力来实现已经处于首阶的一致重整化。我们将回顾这种EFT及其在冷原子物理和核物理中的一些应用。特别地,我们将讨论QCD中红外极限环的可能性。最近扩展的EFT方法的四体系统和N-玻色子液滴在两个空间维度也将得到解决。
2005-07-26 nucl-th
Three- and Four-body correlations in nuclear matter
探讨了有限密度和温度下核物质中的少核子关联。使用戴森方程的方法导致有效的少体方程,包括自能量校正和泡利阻塞因子在一个系统的方式。给出的例子是核子氘核在介质中的反应速率,少体束缚态,包括$\ga$ -粒子,和$\ga$ -粒子凝聚。
2001-10-17 nucl-th
Few-Body Systems and the Pionless Effective Field Theory
无介子有效场论(EFT)是适用于大散射长度的短程相互作用的低能EFT。它已成功地应用于原子、核和粒子物理学。我们给出了一个概述,最近的计算采用无π介子有效场论,并强调在三,四体部门的最令人兴奋的发展已经发生的应用。
2009-09-30 nucl-th
From few to many body degrees of freedom
在这里,我专注于使用显微镜,少体技术是相关的多体问题。这些方法可以分为间接和直接。特别是,间接方法涉及简化的多体问题,通过取代全部,微观相互作用的赝势,旨在重现碰撞信息在指定的能量,或结合能在少体部门。这些简化的相互作用产生了更易处理的多体问题理论,并且等价于相互作用的有效场论。直接方法,这是迄今为止最有用的在一个空间维度,有攻击的目标,一次通过使用少体信息的多体问题。在这里,我将介绍非微扰直接方法来研究一维费米子和玻色子气体在一维。
2018-01-24 cond-mat.quant-gas nucl-th quant-ph
Benchmark Results for Few-Body Hypernuclei
将非对称超球谐函数方法(NSHH)引入超核领域,并与辅助场扩散蒙特卡罗方法、Faddeev-Yakubovsky方法和高斯展开方法进行了比较.采用Bodmer-Usmani势的二体$Λ$ N分量和模拟NSC 97 f给出的散射相移的超子-核子相互作用,计算了三到五体超核的结合能和超子分离能.简要讨论了NSHH方法的适用范围。
2017-01-23 nucl-th
Few-Body Systems Composed of Heavy Quarks
在过去的十年中,许多新的强子态被实验观测到,其中一些不符合传统的夸克模型。我将讨论由重夸克组成的少体系统,包括粲偶素类态和一些松散束缚态。
2012-08-31 hep-ph nucl-th
Few-body hierarchy in non-relativistic functional renormalization group equations and a decoupling theorem
对于具有瞬时相互作用的少体极限的非相对论量子场论,在泛函重整化群形式主义中,传播子不是重整化的,并且单粒子不可约顶点函数的重整化群方程由层次结构支配。该层次结构允许求解n体扇区中的方程,而无需关于m体扇区的知识或假设,其中m>n。
2014-08-27 cond-mat.quant-gas hep-ph nucl-th
The in-medium few-body problem
本文研究有限温度和密度下费米子系统中的少粒子关联。在多体格林函数形式主义的描述相关性提供了戴森方程的方法,导致有效的少体方程。它们包含了主要的介质效应,即自能量修正和泡利阻塞效应。因此,准粒子之间的有效两体相互作用是动量/能量相关的,因此它们可以用于三体和四体系统的介质修正的动量空间积分AGS方程。为了研究四体以外的关联和集群,我们采用,而不是,配置空间的两个变量的积分微分方程(IDEA)的$A$体绑定系统,这是基于超球谐函数和Faddeev分解的波函数在两体振幅。这就需要将能量相关的两体相互作用转化为等效的局部的、能量无关的相互作用。为了实现这一点,我们使用逆散射技术所产生的相互作用,在-和(所有实际目的)关闭-壳等效的能量依赖的潜力。用这种方法,我们得到了2-,3-,4-和16-粒子在有限温度和各种密度的介质中的结合能结果。几个方面的问题进行了讨论,并在极端绝热近似下获得的潜在表面的行为,下面和上面的莫特过渡,进行了调查。
2004-08-31 nucl-th
Few-body decay and recombination in nuclear astrophysics
研究了与天体物理有关的轻核的三体连续体问题。我们专注于共振三体衰变或通过共振或连续背景的重组。讨论了宽度、衰变机制和动力学演化的概念。我们还讨论了三重$α$衰变与$2^+$共振和密度和温度依赖率的重组成轻核从$α$ -粒子和中子的结果。
2010-09-29 nucl-th
Neutron resonances in few-body systems and the EOS of neutron star crust
本文考虑了中子再散射在中子星壳晶格结点上固定的核之间形成的有效相互作用。在中子核子系统中的两体共振的情况下,在一定条件下,在过密晶体中会产生新的少体性质的中子共振。新共振态的能量和宽度与晶格参数有额外的依赖关系。有效相互作用导致对由引力、库仑力和核共振力的平衡所确定的状态方程的非线性校正。这就导致了地壳各层密度的共振振荡,并伴随着伽马辐射的振荡。这些现象可能解释了与中子星壳中的少体中子共振有关的一些过程,这些过程对脉冲星脉冲的微观结构有影响。
2012-12-03 nucl-th
Few-body resonances in light nuclei
我们已经在轻核中定位了几个少体共振,使用的方法可以适当地处理两体或三体共振态。在其他结果中,我们预言了三中子共振的存在,He-5和Li-5的低激发态之间的小自旋轨道分裂,He-6不存在软偶极共振,Li-8和B-8中新的1+态,以及C-12的0+ 2态存在非线性放大现象.
2000-10-31 nucl-th