On Optimal Recovery and Information Complexity in Numerical Differentiation and Summation
本文针对单变量函数类，研究了数值微分与求和的最优恢复误差和信息复杂度，提出了基于截断法和切比雪夫多项式的算法，并给出了求和问题适定的条件。
2024-11-11 cs.NA math.NA
Numerical Differentiation of Functions of Two Variables Using Chebyshev Polynomials
Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）；University of Giessen（吉森大学）
本文提出了一种基于切比雪夫多项式和双曲交叉思想的新方法，用于高阶双变量函数的数值微分，并建立了误差估计。
2026-01-30 cs.NA math.NA
Challenges in automatic differentiation and numerical integration in physics-informed neural networks modelling
本文研究 PINNs 中自动微分与数值积分的隐蔽精度问题，通过三个微分方程用例分析双精度是否足够，并评估多种求积方法以指导方法选择。
2025-07-25 cs.NA math.NA
Error bounds for numerical differentiation using kernels of finite smoothness
Justus Liebig University of Giessen（吉森大学）
本文提出了一种基于有限光滑性核函数的改进误差界方法，通过考虑核导数的霍尔德类光滑性，提高了估计的阶数，并适用于缺陷点集。
2025-11-16 cs.NA math.NA
Finite difference and numerical differentiation: General formulae from deferred corrections
本文提供了一种新的方法来推导各种任意高阶有限差分公式，用于解析函数的数值微分。在这种方法中，给出了解析函数的各种数值逼近的一阶和二阶公式，并将误差项显式展开为解析函数的泰勒级数。这些低阶近似依次改进一个或两个（中心公式改进二阶），得到任意高阶的有限差分公式。新的方法允许恢复标准的向后，向前，和中心的有限差分公式，给出了正式的幂级数的有限差分算子。给出了适用于延迟校正法的新公式的实例。
2020-05-24 cs.NA math.NA
Construction of Laguerre pseudospectral differentiation matrices
Stellenbosch University（斯泰伦博斯大学）
本文提出一种稳定高效的构造拉格朗日伪谱微分矩阵方法，利用快速算法同时计算所有必要量，避免了经典方法中的灾难性抵消，提高了数值精度和鲁棒性。
2026-04-22 cs.NA math.NA
Equivalence Theorems in Numerical Analysis : Integration, Differentiation and Interpolation
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文提出并证明了数值方法中一致性、收敛性和稳定性之间的Lax-Richtmyer型等价定理，并通过多项式插值、数值微分、数值积分和蒙特卡洛积分等实例展示了其应用。
2007-09-26 cs.NA math.NA
An application of numerical differentiation formulas to discontinuity curve detection from irregularly sampled data
本文提出了一种从散乱数据中检测断点曲线（通常称为断层）的方法，通过数值微分公式近似梯度，提取靠近断点的点集，并利用局部回归线和二次最小二乘逼近重构断点形状，最后通过曲线插值算法完成重建。
2019-05-15 cs.NA math.NA
Convergence of Milstein Brownian bridge Monte Carlo methods and stable Greeks calculation
我们考虑了连续监控障碍期权的定价和敏感性计算。标准蒙特卡罗算法可以很好地为这些期权定价。因此，它们在数值微分方面不稳定。人们通常会求助于正则化的微分方案或导出精确微分的算法。对于障碍期权，布朗桥方法导致一个精确的，但非Lipschitz连续的，一阶导数。在这项工作中，我们将证明几乎一阶的弱收敛和布朗桥方法的方差界。然后，我们推广的一步生存的想法，首先介绍了由Glasserman和Staum，一般的标量随机微分方程，并将其与布朗桥的方法，导致一个新的一步生存布朗桥近似。我们表明，新的技术可以适应这样一种方式，其结果满足稳定的二阶希腊人。除了研究稳定性，我们将证明无偏性，导致一个一致收敛性属性和方差减少。此外，我们推导出允许适应路径灵敏度算法的偏导数。此外，我们开发了一个一步生存布朗桥多级蒙特卡罗算法，大大减少了计算量在实践中。
2021-04-13 cs.NA math.NA
Numerical differentiation of functions on the half-line in a weighted uniform metric
Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）；National University of Kyiv-Mohyla Academy（基辅-莫希拉国立学院）
本文研究半直线上函数在加权一致度量下的数值微分，利用受扰动的 Fourier--Laguerre 系数，构造了实现最优精度阶且信息量最少的方法类。
2026-09-22 cs.NA math.NA
Differentiation and regularity of semi-discrete optimal transport with respect to the parameters of the discrete measure
本文研究了半离散最优运输在离散测度参数下的二阶可微性条件及其数值应用，探讨了背景测度的最小条件以保证可微性，并通过点绘和蓝噪声问题展示了数值结果。
2018-03-02 cs.NA math.NA
Error Analysis of Truncation Legendre Method for Solving Numerical Differentiation
针对加权Wiener类函数的数值微分问题，提出可恢复任意阶导数的截断Legendre方法，推导多度量下的精确误差界与最优截断参数，证明其能达到最优收敛速率。
2025-06-13 cs.NA math.NA
Fractional differentiation matrices with applications
本文基于Jacobi-Gauss点推导了针对Caputo和Riemann-Liouville分数导数运算的分数微分矩阵，并通过数值分析其谱半径，展示了用于求解分数常微分方程和分数偏微分方程的谱格点方案，通过数值实例验证了方法的有效性。
2015-11-04 cs.NA math.NA
Numerical differentiation by the polynomial-exponential basis
University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）
针对噪声污染数据的导数计算易受高频噪声干扰的难题，提出基于多项式-指数基的傅里叶展开截断正则化方法，通过一维和二维数值算例验证了其有效性。
2023-04-12 cs.NA math.NA
Formulae of numerical differentiation
本文推导了适用于任意数量离散点的中心差分公式，无需构造插值多项式即可计算一阶和二阶导数，并通过谱特性分析评估了数值微分的精度。
2006-03-03 cs.NA hep-lat math-ph
Meshless moment-free quadrature formulas arising from numerical differentiation
针对Lipschitz域及其边界积分的求积权重生成问题，提出一种无需网格划分和矩计算的方法，通过求解稀疏欠定线性系统确定散乱节点权重，实验证明其在二维和三维域上鲁棒且高精度，与现有方案相比精度具竞争力。
2025-06-07 cs.NA math.NA
A new regularization approach for numerical differentiation
数值微分问题可以看作是一个逆问题，将其看作是求解一个Volterra方程。众所周知，这样的反积分问题是不适定的，需要正则化方法来近似的解决方案。通常实践的正则化方法是基于（外部）参数的，如Tikhonov正则化，其具有某些固有的困难，如选择正则化参数的最优值，特别是在没有噪声信息的情况下，这是一项重要的任务。一个有吸引力的替代方案是迭代正则化，其中以正则化的方式最小化相关联的泛函（即，在适当的迭代处停止）。然而，在大多数正则化方法中，相关的最小化泛函直接包含噪声数据，因此，恢复受到影响。在本文中，我们提出了一种迭代正则化方法，其中极小化泛函不直接包含噪声数据。除了避免直接使用噪声数据之外，其优点还在于，在下降过程中构造的函数（或曲线）序列不会强烈收敛于噪声数据，而是相当弱，因此避免了过拟合。此外，该方法对数据中的极端噪声水平以及具有非零均值的误差非常鲁棒。为了证明新方法的有效性，我们提供了一些例子，比较从我们的方法获得的数值结果与从一些流行的正则化方法，如Tikhonov正则化，全变差，平滑样条和多项式回归方法获得的结果。
2020-04-14 cs.NA math.NA
Stability and convergence of second order backward differentiation schemes for parabolic Hamilton-Jacobi-Bellman equations
Université Pierre et Marie Curie（巴黎第六大学）；Université Paris-Diderot（巴黎第七大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文研究了二阶BDF格式在抛物型HJB方程数值近似中的稳定性与收敛性，建立了非单调格式在非线性设置下的稳定性结果，并在特定情况下证明了收敛性，同时包含数值测试验证方法有效性。
2018-02-20 cs.NA math.NA
Backward Differentiation Formula finite difference schemes for diffusion equations with an obstacle term
本文研究了带障碍项的一维扩散方程的有限差分格式（BDF），格式为$$\min(v_t - a(t,x) v_{xx} + b(t,x) v_x + r(t,x) v, v- φ(t,x))= f(t,x).$$。对于建立在二阶BDF公式上的格式（BDF 2），我们讨论了无条件稳定性，证明了一个$L^2$ -误差估计，并在时间和空间上证明了二阶收敛性。无条件地取决于网格步长的比率。在分析中，障碍方程与Hamilton-Jacobi-Bellman方程的等价性被提及，并且在此背景下测试了Crank-Nicolson方案。用两个具有显式解的带障碍项的抛物型方程学术问题和金融数学中的美式期权问题进行了数值检验。
2020-03-06 cs.NA math.NA
On the uniform accuracy of implicit-explicit backward differentiation formulas (IMEX-BDF) for stiff hyperbolic relaxation systems and kinetic equations
许多双曲方程和动力学方程包含非刚性对流/输运部分和刚性弛豫/碰撞部分（由弛豫或平均自由时间$\varepsilon$表征）。为了解决这类问题，隐式-显式（IMEX）多步法已被广泛使用，其性能在非刚性区域（$\varepsilon=O(1)$）和限制区域（$\varepsilon\rightarrow 0$）得到了很好的理解。然而，在中间政权（说，$\varepsilon=O(Δt)$），统一的准确性已被报道数值没有一个完整的理论证明（除了一些渐近或稳定性分析）。本文证明了一类IMEX多步法--IMEX向后微分公式（IMEX-BDF）解刚性松弛线性双曲型方程组的一致精度--最优{ \it先验}误差界.证明是基于一个新的乘法器技术的能量估计。对于非线性双曲型和动力学方程，我们数值验证了相同的属性使用一系列的例子。
2020-08-17 cs.NA math.NA
A second-order Ensemble method based on a blended backward differentiation formula timestepping scheme for time-dependent Navier-Stokes equations
提出了一种基于混合三步向后差分公式（BDF）时间步长的二阶系综方法来计算Navier-斯托克斯方程系综.与现有的二阶系综方法相比，该方法结合了两步BDF时间步进格式和对流项的显式二阶Adams-Bashforth处理，该方法具有更高的精度，而计算成本略有增加。对该方法进行了全面的稳定性和误差分析。数值算例验证了理论结果，并证明了该方法的精度提高。
2021-05-11 cs.NA math.NA
High-order covariant differentiation in applications to Helmholtz-Hodge decomposition on curved surfaces
提出了一种新的高阶数值格式来计算任意曲面上的共变导数，特别是散度和旋度。该方法不需要构造曲线轴或度量张量，这会降低共变导数的精度，并阻碍其在复杂曲面上的应用。作为一个应用，亥姆霍兹-霍奇分解（HHD）适用于Galerkin方法的背景下，用于显示曲面上矢量的无旋、不可压缩和调和分量。
2020-04-27 cs.NA math.NA
A Taxonomy of Numerical Differentiation Methods
University of Washington（华盛顿大学）；University of Nevada, Reno（内华达大学里诺分校）；Autodesk Research（欧特克研究院）
本文对数值微分方法进行分类，介绍了各种计算导数的算法，比较了它们的优缺点，并提供了一个开源Python库PyNumDiff来处理噪声数据的微分。
2026-09-29 cs.CE cs.NA math.NA
A Novel Perspective Process Simulation Framework Based on Automatic Differentiation
本研究提出基于自动微分的热力学计算框架，在不改变算法逻辑下获取精确导数，显著提升了过程模拟的收敛性与计算效率，并展现出更强的通用性。
2023-11-18 cs.CE cs.NA cs.SE
Automatic differentiation for solid mechanics
自动微分（AD）是允许评估以计算机编程语言表达的数学函数的精确数值导数的技术的集合。本文用AD表述和求解固体力学问题。在给定的有限元离散域中，将自由能作为其应变能密度的积分，利用AD直接求出问题的残余力矢量和切线刚度矩阵，分别作为自由能的梯度和Hessian。其结果是一个显着的简化的声明和解决复杂的问题，涉及非平凡的约束系统和几何和材料的非线性。连同连续介质力学的理论基础，并通过具体的AD技术的描述，本文说明了一些固体力学问题的解决方案，其目的是提出一个方便的数值实现方法，很容易通过最近的编程语言，固体力学社区。
2020-01-21 cs.NA math.NA
Spectral Properties of Numerical Differentiation
本文研究任意节点数网格上数值微分公式的谱性质，重点分析无限节点情形下权重系数序列的谱，并推导一阶导数的单侧近似及其谱特性。
2007-06-25 cs.NA hep-lat math-ph
Fast numerical derivatives based on multi-interval Fourier extension
针对有界区间含噪均匀采样数据的稳定数值微分问题，提出结合多区间 Fourier 延拓与自适应递归二分的快速算法，显著提升导数重构精度与计算效率。
2025-08-28 cs.NA math.NA
Algorithmic differentiation of hyperbolic flow problems
我们感兴趣的是开发一个算法微分框架，用于计算标量切向量和双曲型偏微分方程系统的近似值。这种数值方法的主要困难是存在的冲击波，通过提出一个数值离散的微积分介绍Bressan和Marson [Rend. Sem等Mat.帕多瓦大学，94：79-94，1995]。给出了一维Burgers方程和Euler方程的数值结果。使用一个国家的最先进的计算流体动力学（CFD）的代码作为出发点的基本例程，需要三个修改，以应用所介绍的微积分。首先，修改CFD代码以求解用于激波位置的附加方程。第二，我们自定义激波位置的相应切线的计算。最后，通过微分算法对改进后的方法进行了改进。将引入的微积分应用于Burgers方程和Euler方程的问题，发现可以计算正确的灵敏度，而黑盒算法微分的应用失败。
2020-07-10 cs.MS cs.NA math.NA
A note about high-order semi-implicit differentiation: application to a numerical integration scheme with Taylor-based compensated error
本文提出一种三阶半隐式微分器，作为已有互连半隐式 Euler 双微分器算法的对偶方案，并结合 Taylor 细化用于数值积分以改善全局收敛性。
2024-08-01 cs.NA cs.SY eess.SY
Automatic Differentiation for All-at-once Systems Arising in Certain PDE-Constrained Optimization Problems
本文提出基于Firedrake的自动化框架，用于高效求解稳态和非稳态PDE约束最优控制问题，并通过先进预处理技术显著加速大规模求解。
2024-08-30 cs.NA math.NA
Curvature Aligned Simplex Gradient: Principled Sample Set Construction For Numerical Differentiation
本文提出曲率对齐单纯形梯度（CASG），在均方误差目标下可证明地选择最优样本集，并引入利用历史求值的框架，在灵敏度分析和无导数优化中表现优于或匹配前向差分，且与需两倍求值的中心差分相当。
2023-10-19 cs.NA math.NA math.OC
Numerical Differentiation using local Chebyshev-Approximation
在应用数学中，特别是在最优化中，函数通常仅被提供为由软件包提供的所谓的“黑盒”，或者非常复杂的算法，这使得自动微分非常复杂甚至不可能。因此人们寻求导数的数值逼近。不幸的是，数值微分本身就是一项困难的任务，并且众所周知，它是数值不稳定的。有许多关于这个主题的作品，包括（全局）切比雪夫近似的使用。切比雪夫近似有一个很大的特性，即如果函数是光滑的，则它们收敛得非常快。然而，这些方法有几个缺点，因为在实践中的函数是不光滑的，和一个整体的近似需要许多功能评估。尽管如此，还是有希望的。由于在现实世界中的应用程序的功能是大多数时间光滑的有限点，角落或边缘。这促使使用局部切比雪夫方法，其中函数仅局部近似，因此切比雪夫近似仍然产生期望函数的快速近似。我们将在这项工作中研究这种方法，并将提供一个数值例子
2021-02-03 cs.NA math.NA math.OC
Differentiation by integration with Jacobi polynomials
INRIA Lille-Nord Europe（法国国家信息与自动化研究所里尔北欧分部）；Université de Lille 1（里尔第一大学）；Arts et Métiers ParisTech centre de Lille（巴黎国立高等工艺美术学院里尔中心）；École Centrale de Lille（里尔中央理工学院）
本文重新审视了基于雅可比多项式的积分数值微分方法，在中心积分窗情形下，证明了无噪声时偏差误差为O(h^{q+2})，有噪声时收敛速度为O(δ^{(q+1)/(n+1+q)})，并通过数值例子验证了方法的稳定性和有效性。
2011-03-03 cs.NA math.NA
Higher order numerical differentiation on the Infinity Computer
University of Calabria（卡拉布里亚大学）；Institute of High Performance Computing and Networking of the National Research Council of Italy（意大利国家研究委员会高性能计算与网络研究所）
本文提出一种在无限计算机上对计算机程序表示的函数进行高阶导数数值逼近的新方法，并证明该计算机能自动、精确地计算任意阶导数。
2012-03-14 cs.ET cs.NA math.NA
A Robust Hyperviscosity Formulation for Stable RBF-FD Discretizations of Advection-Diffusion-Reaction Equations on Manifolds
提出了一种新的高粘性格式，用于稳定余维流形$\mathbb{M} \subset \mathbb{R}^3$上对流扩散反应方程的径向基函数-有限差分（RBF-FD）离散。我们的技术涉及自动添加人工高粘度阻尼虚假模式对应于表面梯度的微分矩阵，在这个过程中克服了技术上的限制，最近开发的欧几里德制定。与欧几里德公式类似，流形公式依赖于在辅助微分算子上进行的冯·诺依曼稳定性分析，辅助微分算子模仿由RBF-FD微分矩阵引起的伪解增长。我们证明了高阶收敛速度的问题，涉及表面对流和表面对流扩散。最后，我们证明了我们的配方对流扩散反应方程的流形上描述纯粹的点云的适用性。我们的表面离散化使用最近开发的RBF-LOI方法，并添加高粘度，现在经验高阶准确，稳定，无停滞误差。
2020-04-24 cs.CE cs.NA math.NA
Mini-symposium on automatic differentiation and its applications in the financial industry
Murex（穆雷克斯）；Capital Fund Management（资本基金管理）；Imperial College（帝国理工学院）；Maynooth University（梅努斯大学）；Natixis
本文探讨自动微分在金融行业中的应用，介绍如何通过反向自动微分算法计算金融敏感性，并指出需要专门工具和理论支持以应对复杂计算需求。
2017-06-07 cs.CE cs.NA math.NA
CAN-PINN: A Fast Physics-Informed Neural Network Based on Coupled-Automatic-Numerical Differentiation Method
Agency for Science, Technology and Research (A*STAR)（新加坡科技研究局（A*STAR））；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
在这项研究中，新的物理通知神经网络（PINN）的方法耦合相邻的支持点和它们的衍生条款，这是通过自动微分（AD），提出了允许有效的训练，提高精度。在配置点处PINN损失评估所需的微分算子的计算通常通过AD获得。虽然AD具有能够计算任何点处的精确梯度的优点，但是这样的PINN只能在大量配置点的情况下实现高精度，否则它们倾向于朝着非物理解决方案进行优化。为了使PINN训练速度更快，采用数值微分法和AD耦合的双重思想来定义损失函数。基于ND的训练损失公式可以强有力地连接相邻的配置点，以实现稀疏样本区域的有效训练，但其精度受到插值方案的限制。被标记为can-PINN的所提出的耦合自动数值微分框架结合了AD和ND的优点，提供了比基于AD的PINN更鲁棒和更有效的训练，同时相对于基于ND的PINN进一步提高了高达1-2个数量级的精度。为了验证该can格式在流体动力学问题中的概念性，推导了两个包含对流项和压力梯度项的can-PINN格式的数值实例，并将其用于求解不可压N-S方程。在几个具有挑战性的问题，包括流动混合现象，盖驱动的流动在一个腔体中，和通道流后向台阶上的can PINNs的优越性能被证明。结果表明，对于这些具有挑战性的问题，can-PINN可以始终实现非常好的精度，而传统的基于AD的PINN则会失败。
2022-03-27 cs.CE cs.LG cs.NA
A differentiation formula, with application to the two-dimensional Schrödinger equation
JILA, NIST & Department of Physics, University of Colorado（JILA，美国国家标准与技术研究院与科罗拉多大学物理系）
本文提出了一种基于改进除法差的求导公式，用于高效求解二维薛定谔方程的本征值问题。
2014-10-20 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Forward-Mode Differentiation of Maxwell's Equations
我们提出了一个以前未探索的麦克斯韦方程组的前向模式微分法，在灵敏度分析领域的应用。这种方法产生精确的梯度，是类似于流行的伴随变量方法，但提供了一个显着的改善，在内存和速度缩放的问题，涉及几个输出参数，因为我们分析的背景下，时域有限差分（FDTD）模拟。此外，它提供了一个精确的替代数值导数方法，基于有限差分近似。为了证明该方法的实用性，我们进行了两个问题的敏感性分析。首先，我们计算了散射体的空间近场强度分布随其介电常数的变化。然后，我们计算了表面光栅耦合器的光谱功率和耦合效率随其填充因子的变化。
2019-08-28 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Bringing PDEs to JAX with forward and reverse modes automatic differentiation
Aalto University（阿尔托大学）；VTT Technical Research Centre of Finland（芬兰国家技术研究中心）
本文通过扩展JAX自动微分库并接入Firedrake有限元库，利用切线线性方程和伴随方程实现偏微分方程求解器的前向和反向模式自动微分，使其能与任意可微程序高效组合。
2023-08-31 cs.LG cs.MS cs.NA
