Randomness, chaos, and structure
Fatihcan Atay, Sarika Jalan, Jürgen Jost
我们展示了一个简单的符号动力学方案如何区分混沌随机时间序列，以及它如何可以用来检测耦合动力学中的结构关系。这与复杂动力学中出现的尺度和模式的问题有关。
We show how a simple scheme of symbolic dynamics distinguishes a chaotic from a random time series and how it can be used to detect structural relationships in coupled dynamics. This is relevant for the question at which scale in complex dynamics regularities and patterns emerge.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Chaos: a bridge from microscopic uncertainty to macroscopic randomness
传统观点认为，宏观随机性与微观不确定性无关。此外，从物理和统计的角度，Lorenz混沌对初始条件的敏感依赖性（SDIC）从未与Lorenz方程所基于的所谓流体连续性假设一起考虑过。利用一种截断误差和舍入误差可以忽略的精细数值方法（Liao，2009），研究了Lorenz方程混沌解初始条件的微观不可避免的不确定波动（由流体连续性假设引起）的传播.基于1万个样本的CNS计算结果的统计分析表明，SDIC的存在使初始条件的微观统计涨落的不确定性转化为混沌的宏观随机性。这表明混沌可能是从微观层次的不确定性到宏观随机性的桥梁，因此可能是宏观随机性的起源。本文揭示了由于混沌的SDIC和初始数据的固有不确定性，混沌解的精确长期预测不仅在数学上是不可能的，而且也没有物理意义。这为我们深化和丰富对混沌SDIC的认识提供了一个新的、不同的视角。
Chaotic motion of three-body problem : an origin of macroscopic randomness of the universe
利用一种在足够长的时间间隔内数值噪声可以忽略不计的数值方法，即清洁数值模拟（CNS），对著名的三体问题进行了研究。从物理学的观点来看，任何物体的位置都包含着内在的微观不确定性。这种固有的微观层次的不确定度的评估准确地模拟了CNS。我们可靠的，非常准确的CNS结果表明，恒星/行星位置的内在微观不确定性可能会转化为宏观随机性。因此，物体内在的微观不确定性可能是宇宙宏观随机性的起源。另外，从物理学的角度来看，某些三体系统在大时间内的轨道是随机的，因此讨论混沌轨道的精确长期预测没有物理意义。请注意，这种不确定性和随机性与人类的能力无关。这些不仅丰富了我们对三体问题的认识，而且加深了我们对混沌的理解。
Quantifiers for randomness of chaotic pseudo random number generators
我们处理的随机性量词，并集中在他们的能力不辨别混沌的标志，在时间序列中使用的伪随机数发生器（PRNG）。在该领域的工作人员的动机是使用混沌映射生成PRNG，因为它们的实现简单。虽然存在非常有效的通用基准测试PRNG，我们觉得这里提供的分析揭示了混沌映射的主要统计特征的重要性，即i）其不变测度和ii）混合常数。这有助于回答应用中出现的两个问题，即（1）在现有的PRNG中，哪一个是最好的？以及（2）如果给定的PRNG证明不够好，并且仍然必须对其应用随机化程序，那么哪一个是最佳适用的随机化程序？。我们的答案提供了一个比较分析的几个量词先进的现存文献。
Improving the pseudo-randomness properties of chaotic maps using deep-zoom
提出了一种由给定的混沌映射构造新轨道的方法。该方法提供了一种方法来检查离散时间混沌映射在“深缩放”的方式，通过使用$k$ -数字的权利，从一个给定的点从底层的混沌映射的小数点分隔符。发现了一些有趣的现象。观察到快速随机化，即混沌模式往往变得难以区分，当与底层混沌映射的原始轨道相比时。我们的结果是使用不同的图形分析（即，时间演化、分岔图、李雅普诺夫指数、庞加莱图和频率分布）。此外，利用这种随机化的改进，我们提出了一个伪随机数发生器（PRNG）的基础上的$k$ -logistic映射。伪随机质量的建议PRNG成功地通过了两个测试，即DIEHARD和NIST，并与其他传统的PRNG，如梅森扭曲。结果表明，简单的地图，如逻辑斯蒂地图可以被认为是很好的PRNG方法。
On the inherent self-excited macroscopic randomness of chaotic three-body system
宏观随机性（不确定性）的起源是什么？这是人类面临的最基本的开放性问题之一。本文对10000个可靠样本进行了分析，（收敛），多尺度（从1.0E-60到100）对一个混沌三体系统的数值模拟表明，在没有任何外部扰动的情况下，微观的内在不确定性（在1.0E-60的水平上）由于三体系统初始位置的物理涨落，（在O（1）级），直到t=T*，即所谓的物理极限时间的预测，但传播代数此后时，准确的预测轨道是不可能的。请注意，这10000个样本使用的是初始位置的微观水平的固有物理波动，与人类无关。特别是，这10000个波动的差异在数学上是如此之小（在1.0E-60的水平上），以至于它们在物理上是最小的，因为根据弹簧理论，短于普朗克长度的距离在物理上是没有意义的。研究表明，在没有任何外力或干扰的情况下，混沌三体系统的宏观随机性是由其内在的微观不确定性所激发的。这为我们提供了新的概念“自激宏观随机性（不确定性）”。此外，还发现在没有外界干扰的情况下，混沌三体系统在t=1000时发生随机破缺的概率约为25%，这为我们提供了混沌三体系统的“自激随机破缺”、“自激随机逃逸”和“自激对称破缺”等新概念.这表明，一个混沌的三体系统可以在没有任何外力或干扰的情况下自行随机演化。
Randomness and disorder of chaotic iterations. Applications in information security field
混沌加密方案的设计和密码分析是提供安全信息系统的主要关注点。在前人研究的基础上，提出了一些满足Devaney混沌定义的离散混沌迭代。在这篇文章中，我们总结了这些贡献，并提出了在伪随机数生成，哈希函数和对称密码学领域的应用。对于所有这些应用，混沌特性的证明概述。
Algorithmic Chaos
许多物理学理论，如混沌理论，从根本上讲都是关于决定论和随机性之间的概念张力。Kolmogorov复杂性可以用确定性来表达随机性，并给出了一种描述混沌行为的方法。
A mechanism for randomness
我们调查明确的功能，可以产生真正的随机数。利用显函数的解析性质证明了一类自治动力系统可以产生随机动力学。这种动力学与已知的混沌系统有着根本的不同。我们提出了可以产生这种随机时间序列的真实物理系统。我们报告的结果与非线性电路包含直接证据，这一新现象的实际实验。特别是，我们表明，一个约瑟夫森结耦合到一个混沌电路可以产生不可预测的动态。一些应用进行了讨论。
Random Coupling of Chaotic Maps leads to Spatiotemporal Synchronisation
我们研究了耦合混沌映射网络的时空动力学，在耦合连接中具有不同程度的随机性。虽然严格的最近邻耦合永远不允许时空同步在我们的系统中，随机重新布线的一些连接稳定整个网络在$x^*$，其中$x^*$是强不稳定的不动点解的局部混沌映射。事实上，空间连接中最小程度的随机性为耦合参数空间中的同步不动点打开了一个稳定的窗口。此外，发生时空同步的起始处的耦合$ε_{bifr}$与重新布线的位点的分数p成比例，作为幂律，0.1 < p < 1。我们还表明，随机连接的正则化效果可以理解从系统的概率发展方程的稳定性分析，并获得近似的解析表达式的范围和$ε_{bifr}$。
Pseudo-random number generator based on asymptotic deterministic randomness
本文提出了一种由渐近确定随机系统产生伪随机序列的方法。研究了由分段线性映射和不可逆非线性变换构造的渐近确定随机性的多值对应特性，并给出了有限数字化状态空间中的离散化系统。数值研究了渐近确定性随机性的统计特性，如平稳概率密度函数和类随机行为。此外，我们分析了符号序列的动力学。理论和实验结果表明，渐近确定随机性的符号序列具有很好的密码学性质，提高了基于混沌的PRBG的安全性，增强了对熵攻击和符号动力学攻击的抵抗能力.
Non-invertible transformations and spatiotemporal randomness
我们将精确解推广到Bernoulli移位映射。在一定条件下，广义函数可以产生不可预测的动态。我们利用广义函数的性质来证明某些动力系统可以产生随机动力学。例如，混沌蔡氏电路耦合到具有不可逆I-V特性的电路可以产生不可预测的动态。一般而言，具有截断指数行为的非周期时间序列可以使用不可逆变换转换为不可预测的动态。利用一个新的混沌和随机性理论框架，我们研究了几类耦合映象格子。我们表明，在某些情况下，这些系统可以产生完全不可预测的动态。以类似的方式，我们解释了为什么一些著名的时空系统已被发现产生非常复杂的动力学数值模拟。我们将讨论能够产生随机动力学的真实物理系统。
Task-specific programming of chaos in neural circuits
本文研究了通过调节神经电路拓扑结构来实现任务特定的可编程混沌动力学，展示了网络拓扑如何影响混沌行为和延迟特性，为任务特定计算和可调随机性提供了新的设计自由度。
On the numerical simulation of propagation of micro-level inherent uncertainty for chaotic dynamic systems
本文提出了一种非常精确的数值算法，即“干净数值模拟”（CNS），用于精确模拟混沌动力学系统微观层次固有物理不确定性的传播。以平面内恒星绕银心运动的混沌Hamilton Hénon-Heiles系统为例，说明其基本思想和有效性.基于高阶Taylor展开和高精度MP数据，CNS方法可以给出混沌系统在有限区间$t\in[0,T_c]$内的可靠轨迹，并能精确估计临界时刻$T_c$ .此外，还对不同时间步长$Δt$、不同数据精度和不同阶数的泰勒展开式$M$的残差和舍入误差进行了详细的检验和估计。这样，CNS的数值噪声可以被降低到所需的水平，即CNS是严格的算法。结果表明，对于所考虑的问题，CNS的截断误差和舍入误差可以分别减小到$10^{-1244}$和$10^{-1000}$的水平，从而可以精确地研究Hénon-Heiles系统初始条件（在$10^{-60}$水平）的微观固有物理不确定性.研究发现，由于混沌对初始条件的敏感依赖性（SDIC），恒星的位置和速度的微观物理不确定性转化为运动的宏观随机性。因此，混沌可能是一个桥梁，从微观层次的固有的物理不确定性的宏观随机性的性质。这可能为混沌的SDIC提供一种新的物理解释。
Random number generation with a chaotic electromechanical resonator
混沌使得确定性物理系统中随机性的出现成为可能。因此，它可以用于经典密码学应用中强制性的真随机数生成器（RNG）的概念。与此同时，纳米机械振荡器，在许多板上功能的核心，如传感，显示作为优秀的候选人表现混乱。这是可能的，由于内在的机械非线性出现在纳米级。在这里，我们提出了一个平台，收集纳米机械振荡器及其集成的电容驱动。使用的电极诱导的谐振力的调制，我们证明了混沌动力学和研究它如何依赖于系统的耗散。从混沌时间轨迹产生的二进制序列的随机性进行评估和讨论，使成功的随机数生成的通用参数可以建立。该演示使用的概念是足够普遍的应用到下一代的纳米光电机械系统。
Signatures of Randomness in Quantum Chaos
我们研究了量子本征值序列中能级排斥的玩具动力学模型。我们专注于参数（相对于运行耦合或“复杂性”参数）随机过程，能够放松到一个平稳的制度（如。G.平衡，不变渐近测度）。考虑到遍历性，这使得它们适合于研究任何无序的、随机的谱序列中的短程涨落（如e。G.通过各种量子系统的经验最近邻间距直方图）。相关的马尔可夫扩散型过程（具有在间距空间中的值）共享向前漂移的一般形式$b(x) = {{N-1}\over {2x}} - x$，其中$x>0$代表间距值。这里$N = 2,3,5$对应于熟悉的（通用的）随机矩阵理论启发的情况下，基于维格纳表面的开发（通常被认为是一个近似公式）。N=4对应于（非通用的）非埃尔米特Ginibre系综。结果似乎是准确的上下文中的$2\times 2$随机矩阵，并表明其他非通用的$N>5$水平排斥法律的潜在有效性。
Coarse-Grained Probabilistic Automata Mimicking Chaotic Systems
相空间的离散化通常可以消除动力系统中的混沌。我们表明，如果随机性与离散化动态混沌可能会生存，是无法区分的，从原来的混沌系统，熵，粗粒度的分析时，进行。这种现象的量子混沌问题的相关性进行了讨论。
Spontaneous stochasticity in a 3d Weierstrass-ABC flow
针对混沌理论蝴蝶效应无法解释湍流随机性的问题，本文提出三维WABC粗糙流模型，通过蒙特卡洛模拟定量验证自发随机性存在且与随机正则化无关，为湍流随机性研究提供新工具。
Chaotic Turing Patterns displaying the beauty of chaos
图灵斑图形成问题在非线性科学以及物理、化学和生物学中引起了广泛的关注。到目前为止，所有的图灵模式都只在静止和振荡介质中观察到。在这封信中，我们首次发现，有序图灵模式存在于混沌扩展系统。混沌图灵模式的空间结构非常丰富和美丽。这些发现与混沌的伪随机性的直觉形成了鲜明的对比。混沌图灵模式的丰富性和美丽性归因于各种类型的部分混沌同步的自组织所实现的各种对称性。进行一些统计测量以确认和验证性地理解这些发现。
Increasing Average Period Lengths by Switching of Robust Chaos Maps in Finite Precision
Grebogi，Ott和Yorke（Phys.Rev.A38（7），1988）研究了有限精度对混沌映射平均周期长度的影响。他们表明，动力系统的周期轨道的平均长度（$T$）是计算机精度（$ε$）和混沌吸引子（$T \sim ε^{-d/2}$）的关联维数（$d$）的函数。在这项工作中，我们关注的是增加的平均周期长度，这是可取的混沌密码学的应用。我们的实验表明，随机和混沌切换的确定性混沌动力系统产生更高的平均周期轨道长度相比，简单的顺序切换或没有切换。为了说明开关的应用，首先介绍了一种新的广义的Logistic映射，表现出鲁棒混沌（缺乏吸引周期轨道）。然后，我们提出了一个伪随机数发生器的基础上的鲁棒混沌映射，成功地通过严格的统计测试的随机性之间的混沌切换。
Physical random bit generation from chaotic solitary laser diode
我们证明了在高比特率（> 100 Gb/s）的随机比特的物理生成使用从一个孤立的激光二极管的光学混沌，因此没有复杂的添加外部光反馈或注入。尽管激光混沌的低维度和相对小的带宽，即迄今为止被认为是限制基于光学混沌的应用的性能的两个特性，仍然获得了这个惊人的结果。我们毫不含糊地归因于成功的随机性在高速的激光混沌偏振动力学的物理和由此产生的增长率的动力学熵。
Physical limit of prediction for chaotic motion of three-body problem
半个世纪前，洛伦兹发现了混沌动力系统的“蝴蝶效应”，并提出了他的著名论断，即长期预测混沌是不可能的。然而，他的主张中“长期”的含义并不十分明确。本文提出了一个新的概念，即预测时间的物理极限，用$T_p^{max}$表示，它为我们提供了一个时间尺度，用来衡量对混沌动力学系统的轨迹进行数学上可靠的（数值）模拟在物理上正确的时间长度。以三体问题为例说明，由于$10^{-60}$（无量纲）微观层次上初始位置固有的物理不确定性，在$t > T_p^{max}$之后，混沌轨道在物理上本质上是不确定的，其中$T_p^{max}\approx 810$对于三体问题的这种特殊情况.因此，在物理上，在$t > T_p^{max}$之后谈论三体问题混沌轨道的“精确的、确定性的预测”是没有意义的。此外，我们对三个天体的混沌运动轨迹的数学模拟表明，由于混沌动力学系统的蝴蝶效应，初始条件的微观物理不确定性可能转化为宏观不确定性。这表明微观层面的不确定性可能是某些宏观不确定性的根源。此外，它还可以为我们解释宇宙中许多宏观现象，如湍流、恒星的随机分布等的不确定性（或随机性）的起源提供理论依据。
Revisiting chaos in stimulus-driven spiking networks: signal encoding and discrimination
高度连接的递归神经网络通常会产生混沌动力学，这意味着它们的精确活动对小扰动很敏感。这种网络如何编码时间刺激流的后果是什么？一方面，混沌是随机性的一个强大来源，这表明刺激的微小变化将被内在产生的可变性所掩盖。另一方面，最近的工作表明，尖峰网络中发生的混沌类型可能具有令人惊讶的低维结构，这表明可能存在精确解决精细刺激特征的“空间”。在这里，我们表明，强烈的混沌网络产生模式尖峰，可靠地编码时间依赖的刺激：使用解码器敏感的尖峰时间上的时间尺度为10毫秒，可以很容易地区分非常相似的输入的反应。此外，递归还可以在整个混沌网络中分配信号，这样一小群细胞就可以对到达其他地方的信号的大量信息进行编码。结论是，在递归网络中存在强混沌并不妨碍精确的刺激编码。
Random Delays and the Synchronization of Chaotic Maps
研究了具有随机延迟时间的Logistic映射序列的动力学性质。我们报告说，足够的耦合强度的阵列是能够同步，尽管随机延迟。具体来说，我们发现，同步状态是一个均匀的稳态，其中的混沌动力学的个人地图被抑制。这与瞬时和固定延迟耦合的同步有很大的不同，因为在那些情况下，动力学是混沌的。此外，与瞬时和固定延迟的情况下，同步不依赖于连接拓扑结构，只依赖于每个节点的平均链接数。我们发现了一个比例律，涉及的距离同步的随机性的延迟。我们还进行了统计线性稳定性分析，证实了数值结果，并提供了一个更好的理解随机延迟相互作用的非平凡的角色。
Dynamic Analysis of Digital Chaotic Maps via State-Mapping Networks
混沌动力学被广泛用于设计伪随机数发生器以及用于诸如保密通信和加密的其它应用。本文旨在研究离散时间混沌映射在数字（即，有限精度）域。与传统的将数字混沌映射视为黑箱并根据输出的测试结果给出不同解释的方法不同，本文首先以Logistic映射和Tent映射为例，采用定点运算，从一个新的角度，结合相应的状态映射网络（SMNs），研究了数字混沌映射的动力学性质.在SMN中，数字域中的每一个可能值都被认为是一个节点，任何一对节点之间的映射关系都是有向边。证明了Logistic映射的SMN的无标度性质。分析结果进一步推广到浮点运算和其他混沌映射的情况。在数字计算机中理解混沌映射的SMN的网络结构，有助于克服有限精度域中混沌动力学的退化，也有助于分类和改善由混沌映射迭代产生的伪随机数序列的随机性。
Quantum Mechanics with Chaos: Correspondence Principle, Measurement and Complexity
真正的动力学随机性是确定性量子系统的一个自然的基本性质。它提供了在普通半经典跃迁下量子混沌向经典动力学混沌的过渡，将对应原理推广到混沌系统。作为回报，人们应该接受量子形式主义的修正形式（由薛定谔方程提出），然而，它并不与量子力学的普通形式和主要假设相矛盾。它引入了基本的动态多值性（redundancy）的原则，将量子范式扩展到复杂的动力学行为。此外，我们还用同样的方法找到了量子力学的基础问题--量子不确定性和波约化问题的因果解。由此建立的基本动力学不确定度概念具有普遍性，并为任何起源的任意复杂系统提供了完整描述的统一方案（physics/9806002）。这个方案特别包括复杂性、（非）可积性和通解的普遍定义，以及概率的物理完整概念。因此，人们获得了一个自洽的世界分层图像，其特征是（高）非零复杂性，并包含内在的因果随机性，其中因果扩展的量子力学可以一致地解释为几个最低层次的复杂性（quant-ph/990215，16）。
Chiral Chaos Enhanced Sensing
本文提出利用耦合回音壁模式谐振器构建手性混沌器件，基于瑞利散射导致的时间反演对称破缺和 Lyapunov 指数量化手性，实现高灵敏、宽范围且鲁棒的片上传感。
Universal correlations in chaotic many-body quantum states: Fock-space formulation of Berrys random wave model
该研究将Berry随机波模型推广到多体Fock空间，通过多体半经典分析揭示混沌本征态中交叉关联与展开系数高斯分布的普适性，并用量子模拟验证，表明其超越随机矩阵理论且与本征态热化假说一致。
Exploring quantum signatures of chaos on a Floquet synthetic lattice
遍历性和混沌在多粒子系统的动力学行为中起着不可或缺的作用，并且对统计力学的表述至关重要。尽管如此，对封闭量子系统的动力学演化中随机性和混沌如何出现的一般理解仍然难以捉摸。在这里，我们开发了一个实验平台，实现规范量子混沌哈密顿的基础上量子模拟与合成格。我们将一个有效量子自旋的角动量投影态映射到$^{87}$ Rb玻色-爱因斯坦凝聚体的线性动量态上，这些线性动量态也可以被看作是合成维中的晶格位置。这种合成晶格，与本地和动态控制的紧束缚晶格参数，使新的能力相关的量子混沌的实验研究。特别是，我们的系统的能力让我们调整我们的自旋的有效大小，使我们能够说明经典混沌如何从离散量子系统中出现。此外，我们的合成晶格的光谱控制，使我们能够探索我们的自旋的动力学的独特方面，通过测量出的时间顺序的关联函数，并使未来的调查到全新类别的混沌系统。
Chaos in Quantum Dots: Dynamical Modulation of Coulomb Blockade Peak Heights
导电颗粒上的附加电子的静电能阻止电流流过颗粒，这种效应称为库仑阻塞。电流只有在两个电荷态具有相同能量的情况下才能流动;在这种情况下，电导有一个峰值。在具有量子化电子状态的小颗粒（称为量子点）中，电导峰值的幅度与点接触附近的波函数的幅度直接相关。由于点的形状通常是不规则的，电子的动力学是混沌的，并且库仑阻塞峰的特征反映了混沌系统中的波函数的特征。以前，峰值的统计理论是通过假设这些波函数是完全随机的来推导的。在这里，我们表明，特定的内部动态的点，即使它是混乱的，调制的峰值：因为所有的系统都有短时间的功能，混沌不等同于随机性。半经典的结果来自混沌和可积点，这是令人惊讶的相似，并进行了数值计算。我们认为，这种调制，虽然不受重视，已经在实验中看到。
Chaos and unpredictability in evolution of cooperation in continuous time
合作者通过付出成本使他人受益。合作的演变在很大程度上取决于合作的成本效益比，即$c$。在这项工作中，我们研究了无限重复的囚徒困境的各种值的$c$与四个代表性的记忆一策略，即，无条件合作，无条件背叛，针锋相对，赢-留-输-转移。我们考虑复制动力学，确定性地描述了如何随着时间的推移，在一个无限大的混合人口中的四个策略之间的实施错误和突变的存在下，每个策略的分数演变。我们的发现是，这种三维连续时间动力学表现出混沌通过一个类似的逻辑映射的分岔序列作为$c$变化。如果突变发生率为$μ\ll 1$，则发现$c$轴上分叉序列的位置在数值上与$μ^{0.1}$成比例，并且这种对$μ$的敏感性表明突变可能对进化路径具有非扰动效应。它展示了突变过程的微观随机性如何被演化动力学放大为宏观的不可预测性。
Randomness and Emerging Order in Nuclear Structure
为了研究偶-偶核的低激发态在多大程度上依赖于特定的核子-核子相互作用，我们考虑了玻色子系统，其中这些相互作用被看作是吸引或排斥的可能性相等的高斯随机数。我们发现L=0基态和其他相关性具有统计优势，我们根据平均场方法进行分析。
Chaos synchronization in networks of coupled maps with time-varying topologies
动态网络的复杂性不仅来自于拓扑结构的复杂性，而且来自于拓扑的时间演化。本文从解析和数值两个方面研究了时变复杂网络中耦合映射的同步运动。的时间变化是相当普遍的，并正式被驱动的度量动力系统。详细讨论了四种网络模型，其中顶点之间的互连随时间随机变化。这些模型是1）i.i.d.。具有固定布线概率的随机图序列，2）在各个图之间具有随机开关的图组，3）具有节点的临时随机故障的图，以及4）顶点被随机分组的Meet-for-dinner模型。我们表明，在许多情况下，连接拓扑的时间变化和随机性可以提高同步性，但是，也有一些情况下，他们减少同步性。在分析方面，耦合矩阵序列的Hajnal直径作为图拓扑的同步性的度量。从拓扑学的角度来看，耦合混沌映射同步的决定性判据是时变图的并集中包含一棵生成树。
Structure and Randomness of Continuous-Time Discrete-Event Processes
不严格地说，香农熵率用于衡量随机过程的内在随机性;统计复杂性给出了预测过程的成本。我们计算，第一次，熵率和统计复杂性的有限单线隐半马尔可夫模型-记忆，状态依赖版本的更新过程所产生的随机过程。计算这些量需要引入新的数学对象（隐半马尔可夫过程的ε-机）和新的随机过程信息论方法。
Measurement-Induced Randomness and Structure in Controlled Qubit Processes
当实验者测量量子位的时间序列时，结果会产生经典的随机过程。我们发现，测量在两个特定的意义上诱导这些过程中的高复杂性：它们本质上是不可预测的（正香农熵率），它们需要无限多的功能进行最佳预测（发散的统计复杂性）。我们确定nonunifilarity的机制所产生的复杂性，并检查测量选择的随机性和测量量子比特过程的结构的影响。我们引入新的定量措施，这种复杂性，并提供有效的算法，其估计。
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