On the critical exponent of generalized Thue-Morse words
Alexandre Blondin-Massé, Srecko Brlek, Amy Glen, Sébastien Labbé
对于某些广义Thue-Morse词t，我们计算“临界指数”，即，上确界的集合的有理数是指数的权力在t，并确定确切的出现权力实现它。
For certain generalized Thue-Morse words t, we compute the "critical exponent", i.e., the supremum of the set of rational numbers that are exponents of powers in t, and determine exactly the occurrences of powers realizing it.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the longest common subsequence of Thue-Morse words
研究了$n$的Thue-Morse字及其按位补码的最长公共子序列的长度$a(n)$。Jean Berstel在2006年提出的一个开放问题是找到$a(n)$的公式。在本文中，我们证明了新的下界$a(n)$显式构造一个共同的子序列之间的Thue-Morse字和他们的按位补。我们得到了下限$a(n) = 2^{n}(1-o(1))$，即当$n$变大时，在第$n$个Thue-Morse字及其按位补码的最长公共子序列中省略符号的比例变为$0$。我们进一步推广到任何前缀的Thue-Morse序列，我们证明了类似的下界。
Subword complexity of the Fibonacci-Thue-Morse sequence: the proof of Dekking's conjecture
最近Dekking证明了Fibonacci-Thue-Morse序列的子字复杂度函数的形式。在这篇文章中，我们证明了他的猜想纯粹的计算手段，使用免费软件核桃。
Circular critical exponents for Thue-Morse factors
我们证明了各种结果的最大指数的重复在一个因素的Thue-Morse字，当该因素被认为是一个循环词。我们的结果证实并推广了Fitzpatrick和Aberkane & Currie的结果。
Computing the $k$-binomial complexity of the Thue--Morse word
两个字是$k$ -二项等价的，只要它们共享相同的子字，即，长度最多为$k$且多重性相同的双链。这是阿贝尔等价和西蒙同余的一个改进。无限字$\mathbf{x}$的$k$ -二项式复杂度通过该$k$ -二项式等价关系将整数$n$映射到在$\mathbf{x}$中出现的长度为$n$的因子的集合的商中的类的数目。这种复杂性度量还没有得到很多研究。在本文中，我们刻画了图厄-莫尔斯字的$k$ -二项式复杂性。与更熟悉的复杂性函数相比，结果是惊人的。虽然Thue-Morse字是非周期性的，但它的$k$ -二项式复杂度最终只取两个值。在本文中，我们首先获得了一般的结果出现在迭代的形式$Ψ^\ell(w)$的子字的出现次数为任意态射$Ψ$。我们还彻底描述的因素的Thue-莫尔斯词通过引入一个相关的新的等价关系。
A Separation of $γ$ and $b$ via Thue--Morse Words
证明了对于$n\geq 2$，$n$第四个Morse字$t_n$的最小双向方案的长度$b(t_n)$是$n+2$ .由于Kutsukake等人[SPIRE 2020]表明$t_n$的最小弦吸引子的大小$γ(t_n)$是$n \geq 4$的$4$，这首次表明最小弦吸引子$γ$的大小和最小双向方案$b$的大小之间存在分离，即，存在这样的字符串族：$γ= o(b)$。
Intertwining of Complementary Thue-Morse Factors
我们考虑的位置出现的一个因素$x$和它的二进制补充$\overline{x}$在星期四莫尔斯字${\bf t} = {\tt 01101001} \cdots$，并表明，这些事件是“交织”在本质上是两种不同的方式。我们的证明方法包括将所需的性质陈述为一阶逻辑公式$φ$，然后使用定理证明器来证明$φ$。
Sierpinski's triangle and the Prouhet-Thue-Morse word
谢尔宾斯基的三角形是一个分形，而普鲁赫-图-莫尔斯单词足够混乱，可以避免立方体。在这里，我们观察到它们之间至少有一种微妙的联系：谢尔宾斯基三角形在帕斯卡尔的模2三角形中是明显的，它的逆作为一个无限下三角形矩阵，涉及Prouhet-Thue-Morse字。
On the 2-Abelian Complexity of the Thue-Morse Word
我们证明了无限Thue-Morse字的2-阿贝尔复杂性是2-正则的，以及2-阿贝尔复杂性的其他性质，最值得注意的是它是一个不断增加的长度的回文串接。我们还显示了尖锐的界限的唯一扩展的大小为n的因素，发生在Thue-Morse字的长度。
On the structure of Thue-Morse subwords, with an application to dynamical systems
我们给出了一个深入的分析的Thue-Morse序列的子字。这使我们能够证明，有无穷多个内射原始替代Perron Frobenius特征值2生成一个符号动力系统拓扑共轭的Thue-Morse动力系统。
Permutation Complexity of the Thue-Morse Word
给定一个可数集X（通常取为自然数或整数），X的一个无限置换π是X的一个线性序。本文研究了与Thue-Morse字相关的自然数上的无穷置换的组合复杂性。通过研究子排列中的模式和Thue-Morse态射对子排列的作用，建立了复杂度的计算公式。
Palindromic length complexity and a generalization of Thue-Morse sequences
有限字和无限字的回文长度的概念最早由Frid、Puzynina和Zamboni \cite{FRID2013737}提出。他们证明，如果一个无限长的单词的回文长度是有界的，那么这个序列最终是周期性的。本文给出了Thue-Morse序列的回文长度的一个形式化表达式，并找出了所有与Thue-Morse序列回文长度相同的序列。
Factor frequencies in generalized Thue-Morse words
本文描述了广义Thue-Morse字t_{b,m}的因子频率，定义为b大于1，m大于0的整数，作为态射n_{b，m}从0开始的不动点，由n_{b，m}（k）=k（k+1）.（k+b-1），其中k = 0，1，.，m-1，其中字母以m为模表示。我们使用A的结果。Frid，On the frequency of factors in a D0L word，Journal of Automata，Languages and Combinatorics 3（1998），29-41 and the study of generalized Thue-Morse words by S. Starosta，Generalized Thue-Morse words and palindromic richness，arXiv：1104.2476v2 [math.CO].
Words avoiding 7/3-powers and the Thue-Morse morphism
在1982年，Seebold证明了唯一的无符号二进制词是非单位态射的不动点是Thue-Morse词和它的补语。我们加强Seebold的结果表明，同样的结果成立，如果长期'无'被替换为'7/3-无功率'。此外，7/3的数字是最好的。
On the abelian complexity of generalized Thue-Morse sequences
本文研究了广义Thue-Morse序列$\mathbf{t}^{(k)}$的阿贝尔复杂度$ρ_n^{ab}(\mathbf{t}^{(k)})$.对于每个整数$n\geq k$，我们得到了$ρ_n^{ab}(\mathbf{t}^{(k)})$的精确值。因此，$ρ_n^{ab}(\mathbf{t}^{(k)})$最终是周期性的，周期为$k$。此外，我们证明了一类无穷序列的阿贝尔复杂性是$k$ -自动的。
On the maximum order complexity of subsequences of the Thue-Morse and Rudin-Shapiro sequence along squares
自动序列，如Thue-Morse序列和Rudin-Shapiro序列是高度可预测的，因此不适用于密码学。特别是，它们具有小的扩展复杂性。然而，它们仍然具有较大的最大阶复杂度。自动序列的某些连续性不再是自动的，并且可能是密码学中应用的有吸引力的候选者。在本文中，我们表明，沿平方的某些模式序列，包括Thue-Morse序列和Rudin-Shapiro序列的连续性也有很大的最大阶复杂度，但不遭受小的扩展复杂度了。
On the additive complexity of a Thue-Morse like sequence
本文研究了具有态射$σ: 0\to 01, 1\to 12, 2\to 20$的类Thue-Morse序列$\mathbf{t}=σ^{\infty}(0)$的加法复杂度$ρ^{+}_{\mathbf{t}}(n)$.证明了$ρ^{+}_{\mathbf{t}}(n)=2\lfloor\log_2(n)\rfloor+3$对所有整数$n\geq 1$ .因此，$(ρ_{\mathbf{t}}(n))_{n\geq 1}$是$2$ -正则序列。
On the 2-binomial complexity of the generalized Thue-Morse words
本文研究了广义Thue-Morse字$\mathbf{t}_{m}$对任意整数$m\geq 3$的$2$ -二项式复杂度$b_{\mathbf{t}_{m},2}(n)$.对于每个整数$n\geq m^{2}$，我们得到了$b_{\mathbf{t}_{m},2}(n)$的精确值。因此，$b_{\mathbf{t}_{m},2}(n)$最终是周期性的，周期为$m^{2}$。这个结果部分回答了M. Lejeune，J. Leroy和M. Rigo [Computing the $k$ -binomial complexity of the Thue-Morse word，J. Comb. Theory Ser. A，{ \bf 176}（2020）105284].
Gowers norms for the Thue-Morse and Rudin-Shapiro sequences
我们估计了一些经典的自动序列，如Thue-Morse和Rudin-Shapiro序列的Gowers一致性范数。该方法也可以推广到其他自动序列。作为一个应用，我们渐近计数整数集合$\leq N$中的等差数列，其中Thue-Morse（分别为）。Rudin-Shapiro）序列采用值$+1$。
The Prouhet-Tarry-Escott Problem and Generalized Thue-Morse Sequences
我们提出了新的方法产生Prouhet-Tarry-Escott分区的任意大的正则性。其中一种方法将Thue-Morse序列的构造推广到多于两个字母的有限字母表。我们展示了如何使用这样的分区（理论上）将相同体积的咖啡从一个瓮倒入有限数量的杯子中，以便每个杯子获得几乎相同数量的咖啡因。
On the algebraicity of Thue-Morse and period-doubling continued fractions
给出了特征$2$中Thue-Morse序列和倍周期序列定义的连分数和Stieltjes连分数的代数性和超越性的几个一般性定理.我们提出了我们的猜测'n'证明方法，在该方法中，我们利用自动机的结构，在特殊情况下证明我们的一些命题。
$ϕ$-Thue-Morse sequences and infinite products
本文介绍了一种计算包含Thue-Morse序列的自动序列所定义的无穷乘积的新方法。作为例子，对于任何正整数$q$和$r$，使得$0 \leq r \leq q-1$，我们找到无穷多对有理函数$R(x)$和$S(n)$，使得$$\prod_{n=0}^{\infty}R(n)^{\frac{1+a_n}{2}}S(n)^{\frac{1-a_n}{2}}=2cos(\frac{2r+1}{2q}π),$$，其中$(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$是以$a_0=1,a_1= -1$开始的Thue-Morse序列。
Resolution of an integral equation with the Thue-Morse sequence
指数函数是积分方程$ \int_0^X f(x)dx + f(0) =f(X)$的解，这是一个经典的事实.如果我们将这个方程稍微修改为具有$α\in ]0,1[$的$ \int_0^X f(x)dx+f(0)=f(αX)$，似乎没有经典技术可以用于产生解。在本文中，我们考虑参数$α=1/2$。我们将证明一个解的存在性，该解取奇数上的Thue-Morse序列的值。
Privileged Factors in the Thue-Morse Word - A Comparison of Privileged Words and Palindromes
本文研究了Thue-Morse词的特权复杂度函数。我们证明了一个递归公式描述这个函数，并使用该公式，我们表明，该函数是无界的，该函数的值有任意大的差距为零。这表明无限词的特权复杂度函数可能与其回文复杂度函数有很大不同，尽管这些函数之间存在关系。进一步研究了无限词中的回文词和特权词的行为以及富词和特权词之间的关系。
A combinatorial proof of the non-vanishing of Hankel determinants of the Thue--Morse sequence
1998年，Allouche，Peyrière，Wen和Wen建立了与$\{-1, 1\}$上的Thue-Morse序列相关的Hankel行列式总是非零的。他们的证明依赖于一组十六个递归关系。我们提出了一个替代的，纯粹的组合证明相同的结果。我们还重新证明了最近的结果Coons的非零的Hankel行列式与其他两个经典的整数序列。
Prefix palindromic length of the Thue-Morse word
无限字$u$的前缀回文长度$PPL_u(n)$是表示$u$的长度为$n$的前缀所需的最小连接回文数目。在2013年与Puzynina和Zamboni的一篇论文中，我们提出了一个猜想，即对于每一个不是最终周期的无限字$u$，$PPL_u(n)$都是无界的。到目前为止，该猜想已被证明几乎所有的话，包括所有的话，避免一些权力$p$。然而，即使在这种简单的情况下，现有的最小数$n$的上限使得$PPL_u(n)>K$大于任何常数的$K$的幂。即使对于斐波那契数列这样最简单的例子，也不知道$PPL_u(n)$的精确值。在本文中，我们给出了第一个例子，这样一个精确的计算和计算的前缀回文长度的Thue-Morse字，一个著名的测试对象的所有功能无限的话的函数。碰巧这个序列是$2$ -正则的，这就提出了这个事实是否可以推广到所有自动序列的问题。
On two conjectures of Shallit about Thue-Morse-like sequences
本文研究Shallit引入的Thue-Morse类无限词$x_k$，证实了关于因子复杂度和临界指数的两个猜想对所有正整数$k$均成立。
Gaps in the Thue--Morse word
图厄-莫尔斯序列是一种典型的自动序列，在数学和计算机科学的各个领域都有发现。我们研究的因素$w$在这个序列中的出现，更准确地说，连续出现之间的间隙序列。该缺口序列是形态学的;我们证明了当$w$的长度至少为2时，它不是自动的，从而回答了J.~我同意。本文给出了一种计算Thue-Morse序列中块$\mathtt{01}$出现次数的\emph{discrepancy}的显式方法。我们证明了该序列的差异是一个特定的基地- $2$传感器的输出和序列。
On the maximum order complexity of Thue-Morse and Rudin-Shapiro sequences along polynomial values
Thue-Morse序列和Rudin-Shapiro序列都不是适合于密码学的序列，因为它们的扩展复杂度很小，并且它们的2阶相关度量很大。这些事实意味着这些序列是高度可预测的，尽管它们具有大的最大阶复杂度。Sun和Winterhof（2019）表明，沿着正方形的Thue-Morse序列保持了较大的最大阶复杂度。由于根据克里斯托定理，这个稀疏序列的扩展复杂度不再有界，这为密码学应用提供了一个潜在的更好的候选者。对于Rudin-Shapiro序列和更一般的模式序列，类似的结果是已知的。在本文中，我们将这些结果推广到任何多项式子序列（而不是平方），从而回答了一个公开的问题，太阳和温特霍夫。最后，我们总结了一些开放的问题。
A Matrix Related to Stern Polynomials and the Prouhet-Thue-Morse Sequence
由$s(0;x)=0$、$s(1;x)=1$定义的Stern多项式以及由$s(2n;x)=s(n;x^2)$和$s(2n+1;x)=x\,s(n;x^2)+s(n+1;x^2)$定义的用于$n\geq 1$的Stern多项式仅具有0和1作为系数。我们构造了一个与$s(n;x)$的系数相关的无限下三角形矩阵，并证明了它的逆矩阵只有0，1和$-1$作为元素，我们明确地发现了这一点。特别地，条目的符号分布由Prouhet-Thue-Morse序列确定。我们还获得了这个矩阵和一个相关的Pascal型矩阵，涉及加泰罗尼亚，斯特林，斐波那契，罚款，和帕多万数的其他属性。进一步的结果涉及组成的整数，Sierpierski矩阵，并身份连接斯特恩和Prouhet-图厄-莫尔斯序列。
The periodic complexity function of the Thue-Morse word, the Rudin-Shapiro word, and the period-doubling word
我们重新审视了由Mackisi和Restivo引入的周期复杂度函数$h_{\bf w}(n)$。该函数给出循环无限字${\bf w}$的第一个$n$局部周期的平均值。我们给出了一个不同的方法，比Mapposi和Restivo计算的Thue-莫尔斯字的周期复杂度函数的渐近性，并展示了如何将该方法应用于其他自动序列，如鲁丁-夏皮罗字和倍周期字。
Generalized Thue-Morse words and palindromic richness
我们证明了定义为$b \geq 2$和$m \geq 1$的广义Thue-Morse字$\mathbf{t}_{b,m}$为$\mathbf{t}_{b,m} = (s_b(n) \mod m)_{n=0}^{+\infty}$，其中$s_b(n)$表示整数$n$的基- $b$表示中的数字之和，在同构于由态射和反态射组成的$2m$阶二面体群的群$D_m$的所有元素下，它的语言是封闭的。考虑同时反态$Θ\in D_m$，我们表明，$\mathbf{t}_{b,m}$是饱和的$Θ$ -回文到最高可能的水平。利用作者和E。Pelantová，我们表明，$\mathbf{t}_{b,m}$是$D_m$丰富。我们还计算了$\mathbf{t}_{b,m}$的因子复杂度。
Net Occurrences in Fibonacci and Thue-Morse Words
本文研究 Fibonacci 词和 Thue-Morse 词中的净出现组合性质，通过引入重叠净出现覆盖概念，证明了 Fibonacci 词恰好含三个净出现、Thue-Morse 词恰好含九个净出现，并给出较小阶词中出现的精确刻画。
Binary patterns in the Prouhet-Thue-Morse sequence
本文证明Prouhet-Thue-Morse序列中除两个例外单词外，所有二元模式均可作为片段出现，并识别出有限多个非平凡出现的模式。
Formal inverses of the generalized Thue-Morse sequences and variations of the Rudin-Shapiro sequence
本文研究广义Thue-Morse序列及Rudin-Shapiro序列变体的形式逆，给出其递推关系与自动机，并分析连续相同字母串长度和字母频率，与原始序列比较。
On the maximum order complexity of the Thue-Morse and Rudin-Shapiro sequence
扩展复杂度和最大阶复杂度都是比线性复杂度更精细的伪随机性度量，线性复杂度是密码序列最重要的质量度量。$N$阶最大复杂度的期望值是$\log N$的数量级，而在$\log N$中很容易找到具有$N$阶扩展复杂度指数的序列族。这可能导致猜想，最大阶复杂度是一个比扩展复杂度更好的度量。然而，在本文中，我们提供了两个例子，Thue-Morse序列和Rudin-Shapiro序列具有非常小的扩展复杂度，但非常大的最大阶复杂度。更准确地说，我们证明了明确的公式，他们的$N$的最大阶复杂度都是最大可能的数量级$N$。我们提出的结果的Rudin-Shapiro序列在一个更一般的形式作为一个公式的最大阶复杂性的某些模式序列。
The Smallest String Attractors of Fibonacci, Period-Doubling, and Thue--Morse Words
研究斐波那契和周期倍增词的最小字符串吸引子的结构和数量，揭示其在相同大小下的差异。
The Thue-Morse sequence in base 3/2
讨论了自然数的基3/2表示。我们证明了该表示的数字和函数是无限字母表上2-块代换的不动点，这意味着该表示的数字和函数模2是$\{0,1\}$上2-块代换的不动点$x_{3/2}$.我们证明了$x_{3/2}$是镜像不变的，并给出了$x_{3/2}$的一系列我们认为很难证明的性质.最后，我们与基3/2表示的一个变体作了比较，并给出了关于$p$ - $q$ -块替换的一般结果.
Hankel Determinant Calculus for the Thue-Morse and related sequences
某些自动序列$f$的汉克尔行列式的评估，基于一个计算模一个素数。在大多数情况下，自动序列的Hankel行列式没有任何封闭形式的表达式，传统的方法，如$LU$ -分解和Jacobi连分数不能直接应用.我们的方法是基于一个简单的想法：每个序列$g$等于$f$模$p$的汉克尔行列式等于$f$模$p$的汉克尔行列式。然后，线索包括找到一个很好的序列$g$，其汉克尔行列式具有封闭形式的表达式。几个例子，包括一个结果说，汉克尔决定因素的Thue-Morse序列是非零的，首先证明了Allouche，Peyrière，温和温使用行列式操作。本方法大大缩短了后一结果的证明。证明了当定义$\pm 1$ Thue-Morse序列的无穷乘积中的幂$2^n$被$3^n$取代时，相应的Hankel行列式不为零.
Functions on Antipower Prefix Lengths of the Thue-Morse Word
我们说一个长度为$kn$的词$w$是一个$k$ - \textit{antipower}，如果它可以写成$w_1 \cdots w_k$的形式，其中每个$w_i$是一个长度为$n$的不同的词。我们分析了前缀的Thue-Morse字$\textbf{t}$和长度的反权力发生在他们身上。将$Γ(k)$定义为最大奇数$n$，使得长度为$kn$的$\textbf{t}$的前缀不是$k$ -反幂，将$γ(k)$定义为最小奇数$n$，使得对应的前缀是$k$ -反幂。我们提供了强界的渐近值的$γ(k)$和$Γ(k)-γ(k)$。我们在$γ(k)$上的界肯定地回答了Defant的一个猜想，并在回答Defant的第二个猜想方面取得了实质性的进展。以前已知$Γ(k)$和$γ(k)$在$k$中线性增长，但我们对$Γ(k)-γ(k)$的界限证明了$Γ(k)-γ(k)$在$k$中也线性增长。
On long arithmetic progressions in binary Morse-like words
本文研究了二进制Morse类词中的长等差数列存在性，提出了在Thue-Morse词及广义Thue-Morse词中的相关结果，其论证方法受启发于van der Waerden关于整数有限着色中单色等差数列存在性的证明。
On arithmetic index in the generalized Thue-Morse word
令$q$为正整数。考虑一个基数字母表$q$上的无限字$ω=w_0w_1w_2\cdots$。有限字$u$称为$ω$的算术因子，如果对于正整数$c$和$d$的某些选择，$u=w_cw_{c+d}w_{c+2d}\cdots w_{c+(|u|-1)d}$。我们称$c$为初始数，$d$为$u$之差。对于每个这样的$u$，我们通过$\lceil\log_q d\rceil$定义其算术索引，其中$d$是最小正整数，使得$u$作为具有差$d$的算术因子出现在$ω$中。在本文中，我们研究的算术指数的增长率的算术因子的推广的Thue-Morse字定义在一个字母的素基数。更准确地说，我们得到的最大值的算术指数在$ω$在所有的算术因子的长度$n$。
Anti-Power Prefixes of the Thue-Morse Word
最近，Fici、Restivo、Silva和Zamboni将$k$ -反幂定义为$w_1w_2\cdots w_k$形式的单词，其中$w_1,w_2,\ldots,w_k$是相同长度的不同单词。他们将$AP(x,k)$定义为所有正整数$m$的集合，使得单词$x$的长度为$km$的前缀是$k$ -反幂。令${\bf t}$表示Thue-Morse字，并令$\mathcal F(k)=AP({\bf t},k)\cap(2\mathbb Z^+-1)$。对于$k\geq 3$，$γ(k)=\min(\mathcal F(k))$和$Γ(k)=\max((2\mathbb Z^+-1)\setminus\mathcal F(k))$是定义良好的奇正整数。Fici等人推测$γ(k)$在$k$中呈线性生长。我们证明，这确实是通过显示，$1/2\leq\displaystyle{\liminf_{k\to\infty}}(γ(k)/k)\leq 9/10$和$1\leq\displaystyle{\limsup_{k\to\infty}}(γ(k)/k)\leq 3/2$的情况。此外，我们还证明了$\displaystyle{\liminf_{k\to\infty}}(Γ(k)/k)=3/2$和$\displaystyle{\limsup_{k\to\infty}}(Γ(k)/k)=3$ .
Some identities involving Prouhet-Thue-Morse sequence and its relatives
令$s_{k}(n)$表示整数$n$在基$k$中的位数之和。出于某些身份的Nieto，贝特曼和布拉德利涉及的形式$\sum_{i=0}^{2^{n}-1}(-1)^{s_{2}(i)}(x+i)^{m}$ $m=n$和$m=n+1$的总和，我们认为序列的多项式\begin{equation*} f_{m,n}^{\mathbf u}(x)=\sum_{i=0}^{k^{n}-1}ζ_{k}^{s_{k}(i)}(x+{\mathbf u}(i))^{m}. \end{equation*}定义的序列${\bf u}(i)$满足一定的递归关系。我们证明，计算这些多项式是计算其常数项基本上是等价的，我们找到了一个明确的公式，这个数字。这使我们能够证明几个有趣的身份涉及总和的二进制数字。我们还证明了一些相关的结果，这些结果是独立的，可以看作是某些涉及Prouhet-Thue-Morse序列和的进一步推广。
Thue-Morse at Multiples of an Integer
设（t_n）是经典的Thue-Morse序列，定义为t_n = s_2（n）（mod 2），其中s_2是n的二进制表示中的比特之和。众所周知，对于任何整数k>=1，字母“1”在子序列t_0，t_k，t_{2k}，.是渐近的1/2在这里，我们证明了，对于任何k，有一个n<=k+4，使得t_{kn} =1。此外，我们证明了n可以被选择为具有汉明重量<=3。这在双重意义上是最好的。首先，存在无穷多个k，使得t_{kn} =1意味着n具有汉明权重>=3。其次，我们刻画所有k，其中最小n等于k，k+1，k+2，k+3或k+4。最后，我们给出了推广问题的一些结果和定理，其中对任意基b>=2，用s_b代替s_2.
Univoque numbers and an avatar of Thue-Morse
Univoque数是实数$λ> 1$，使得数字1允许在基$λ> 1$中的唯一扩展，即，唯一的扩展$1 = \sum_{j \geq 0} a_j λ^{-(j+1)}$，每个$j \geq 0$都有$a_j \in \{0, 1, ..., \lceil λ\rceil -1\}$。2002年，Komornik和Loreti研究了这个定义的一个变体，以及称为{ \em容许序列}的序列。我们展示了第一作者1983年的一项研究如何给出Komornik和Loreti关于集合$\{0, 1, >..., b\}$上最小容许序列的结果，以及de Vries和Komornik（2007）关于属于区间$(b, b+1)$的最小univoque数的结果，其中$b$是任何正整数。我们还证明了最后一个数是超越数。Thue-Morse序列的化身，即态射$3 \to 31$、$2 \to 30$、$1 \to 03$、$0 \to 02$中以3开始的固定点，以“通用”方式出现。
Monochromatic arithmetic progressions in the Fibonacci, Thue-Morse, and Rudin-Shapiro words
本文研究 Fibonacci 词中固定公差最长单色等差数列的长度与位置，结合圆周旋转动力学与 Walnut 自动定理证明给出长度公式，并推广到 Thue-Morse 和 Rudin-Shapiro 词。
On additive properties of sets defined by the Thue-Morse word
本文研究了正整数集合$\nats$的子集的一些加法性质：$\nats$的子集$A$称为{ \it $k$ -summable}（其中$k\in\ben$），如果$A$对某些自然数的$k$ -项序列$x_1<x_2 < ... < x_k$包含$\textstyle \big{\sum_{n\in F}x_n | \emp\neq F\subseteq {1,2,...,k\} \big}$.我们说$A \subseteq \nats$是有限FS-大的，如果$A$对每个正整数$k$是$k$ -可和的。我们说$A \subseteq \nats$是无限FS-大的，如果对于每个正整数$k,$，$A$包含对于某个自然数的无限序列$x_1<x_2 < ... $的${\sum_{n\in F}x_n | \emp\neq F\subseteq \nats and #F\leq k}$。我们说$A\subseteq \nats $是一个IP集，如果$A$包含${\sum_{n\in F}x_n | \emp\neq F\subseteq \nats and #F<\infty}$，对于某个自然数的无穷序列$x_1<x_2 < ... $。根据有限和定理[5]，所有IP-集的集合是划分正则的，即，如果$A$是IP集，则对于$A$的任何有限分区，该分区的一个单元是IP集。这里我们证明了所有有限FS…
Symbols frequencies in the Thue--Morse word in base $3/2$ and related conjectures
本文研究了 base $3/2$ 中的 Thue--Morse 序列，证明了符号频率为 1/2，并展示了其因数集的均匀递归性和对称性，同时结合调和分析与替换动力学。
On formal inverse of the Prouhet-Thue-Morse sequence
设$p$是素数，考虑一个$p$ -自动序列${\bf u}=(u_{n})_{n\in\N}$及其生成函数$U(X)=\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}X^{n}\in\mathbb{F}_{p}[[X]]$ .此外，让我们假设$u_{0}=0$和$u_{1}\neq 0$，并考虑形式幂级数$V\in\mathbb{F}_{p}[[X]]$，它是$U(X)$的合成逆，即，$U(V(X))=V(U(X))=X$。本文研究了幂级数$V(X)$的系数序列的算术性质。我们主要感兴趣的情况下，当$u_{n}=t_{n}$，其中$t_{n}=s_{2}(n)\pmod{2}$和${\bf t}=(t_{n})_{n\in\N}$是Prouhet-Thue-Morse序列定义的两个字母表$\{0,1\}$。更确切地说，我们研究序列${\bf c}=(c_{n})_{n\in\N}$，这是序列${\bf t}$的生成函数的合成逆的系数序列。这个序列显然是2自动的。我们描述序列${\bf a}$表征方程$c_{n}=1$的解。特别地，我们证明了序列${\bf a}$是2-正则的。我们还证明了一个递增序列的方程$c_{n}=0$的解决方案是不$k$ -正规的任何$k$。此外，我们提出了一个结果有关的${\bf a}$序列的密度性质。
Subword complexity and power avoidance
本文系统地研究了无限词的子词复杂度与其幂回避之间的关系。除其他事项外，我们表明，-Thue-Morse字具有最小可能的子字复杂度超过所有的二进制字和所有$(\frac 73)$ -功率免费的二进制字，但不是所有的$(\frac 73)^+$ -功率免费的二进制字;--扭曲的Thue-Morse字在所有无符号二进制字中具有最大可能的子字复杂度，但是没有字具有超过所有$(\frac 73)$ -无幂二进制字的最大子字复杂度; -如果某个字达到超过所有无平方的三进制字的最小可能子字复杂度，则一个这样的字是三进制Thue字;--最近构造的1-2-bonacci字在所有\textit{symmetric}无平方的三进制字中具有最小可能的子字复杂度。
2-adic Valuations of Coefficients of the Fifth and Ninth Powers of the Thue--Morse Generating Function
本文证明了Thue-Morse生成函数的五次方和九次方系数的2-adic赋值的精确公式，验证了Gawron-Miska-Ulas的猜想，并证明了所有系数非零。
Normality of the Thue-Morse function for finite fields along polynomial values
设${\mathbb F}_q$是$q$元素的有限域，其中$q=p^r$是素数$p$的幂，$\left(β_1, β_2, \dots, β_r \right)$是${\mathbb F}_q$在${\mathbb F}_p$上的有序基。对于$$ξ=\sum_{i=1}^rx_iβ_i, \quad \quad x_i\in{\mathbb F}_p,$$，我们通过\[ T(ξ)=\sum_{i=1}^{r}x_i.%,\quad ξ=x_1β_1+\cdots +x_rβ_r\in {\mathbb F}_q. \]定义了${\mathbb F}_q$上的Thue-Morse或数字和函数$T(ξ)$。对于给定的模式长度$s$，具有$1\le s\le q$，子集${\cal A}=\{α_1,\ldots,α_s\}\subset {\mathbb F}_q$，次数为$d$的多项式$f(X)\in{\mathbb F}_q[X]$和向量$\underline{c}=(c_1,\ldots,c_s)\in{\mathbb F}_p^s$，我们将\[ {\cal T}(\underline{c},{\cal A},f)=\{ξ\in{\mathbb F}_q : T(f(ξ+α_i))=c_i,~i=1,\ldots,s\}. \]放入本文中，我们将看到，在某些自然条件下，~ ${\…
Computing the k-binomial complexity of generalized Thue--Morse words
本文研究广义 Thue--Morse 词的 k-二项式复杂度，通过刻画因子间的 k-二项式等价关系推导出显式公式，正面解决了其复杂度函数最终以 m^k 为周期的猜想，并发展了阿贝尔 Rauzy 图等工具。
Greedy Galois Games
我们表明，两个决斗者具有相似的，糟糕的射击技能（a.k.a.伽罗瓦决斗者）会选择按照著名的星期四-莫尔斯序列轮流射击，如果他们贪婪地要求对方获胜的先验概率超过自己时立即射击的机会。这与复变函数的逼近论的结果形成了鲜明对比，后者认为，如果更有耐心的决斗者真的关心尽可能公平，他们会做什么。我们注意到一个随之而来的解释的Thue-Morse序列在某些扩展的分数基地接近，但大于，1。
Linear independence of series related to the Thue--Morse sequence along powers
本文推广E. Miyanohara的结果，证明当β为大于√φ的Pisot数或Salem数时，与沿幂次的Thue–Morse序列相关的级数在ℚ(β)上线性无关，进而推出对应线性组合序列非最终周期。
Palindromic closures using multiple antimorphisms
广义伪标准字$\bf u$，由de Luca和De Luca在2006年引入，由字母表${\cal A}$中的字母的指令序列和作用于${\cal A}^*$的对合反态的指令序列给出。利用伪闭算子构造了长度递增的$\bf u$前缀。我们证明了广义Thue-Morse词${\bf t}_{b,m}$（带有$b, m \in \N$和$b, m \geq 2$）是广义伪标准词当且仅当${\bf t}_{b,m}$是周期词或$b \leq m$。这扩展了德卢卡和德卢卡的结果获得的经典Thue-Morse字。
Fair Duels after a False Start
本研究扩展公平决斗模型，证明强制任意有限前缀会改变序列极限行为：除非前缀符合Thue–Morse模式，否则序列最终周期化，周期为2的幂且不超过$4^{n+1}$。
Subword enumeration up to stack-sorting equivalence
本文探讨了堆排序等价下的子词计数，通过tortoise和hare操作扩展了无限序列的abelian复杂度函数，并应用于纸折叠词和图灵-莫尔斯词，揭示了堆排序与词组合学的交叉联系。
Composition inverses of the variations of the Baum-Sweet sequence
研究和比较一个给定的自动序列和相关的形式幂级数的合成逆（该序列的形式逆）的系数序列的算术性质是一个有趣的问题。这个问题以前研究的Thue-Morse序列。本文研究了与Baum-Sweet序列密切相关的两个序列的形式逆的算术性质。我们给出了它们的形式逆的递归关系，并确定了这些形式逆取值$0$和$1$的指数序列是否正则。我们还显示了一个意想不到的连接之间所获得的序列和形式逆的Thue-莫尔斯序列。
Note on a Fibonacci Parity Sequence
设ftm = 0111010010001.是斐波那契表示的Thue-Morse序列的类似物。在本说明中，我们将展示如何使用核桃定理证明，以获得其复杂性的措施，以前研究的Jamet，Popoli和斯托尔。我们加强了他们的一个定理，反驳了他们的一个论点。
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