On the maximum order complexity of Thue-Morse and Rudin-Shapiro sequences along polynomial values
Thue-Morse序列和Rudin-Shapiro序列都不是适合于密码学的序列，因为它们的扩展复杂度很小，并且它们的2阶相关度量很大。这些事实意味着这些序列是高度可预测的，尽管它们具有大的最大阶复杂度。Sun和Winterhof（2019）表明，沿着正方形的Thue-Morse序列保持了较大的最大阶复杂度。由于根据克里斯托定理，这个稀疏序列的扩展复杂度不再有界，这为密码学应用提供了一个潜在的更好的候选者。对于Rudin-Shapiro序列和更一般的模式序列，类似的结果是已知的。在本文中，我们将这些结果推广到任何多项式子序列（而不是平方），从而回答了一个公开的问题，太阳和温特霍夫。最后，我们总结了一些开放的问题。
2020-11-06 math.CO math.NT
Rudin-Shapiro Sums Via Automata Theory and Logic
本文利用逻辑与自动机理论提供的统一框架，重新获得Brillhart和Morton关于Rudin-Shapiro求和的经典结果，并为新结果提供了简易证明。
2023-04-02 cs.DM cs.FL math.CO
Some properties of a Rudin-Shapiro-like sequence
我们引入由$i_n = (-1)^{inv_2(n)}$定义的序列$(i_n)_{n \geq 0}$，其中$inv_2(n)$表示反转的数目（即，作为分散子序列的10的出现）在n的二进制表示中。我们发现，这个序列有许多相似之处，经典的Rudin-Shapiro序列。特别地，如果S（N）表示序列$(i_n)_{n \geq 0}$的第N个部分和，我们证明了$S(N) = G(\log_4 N)\sqrt{N}$，其中G是在$\sqrt{3}/3$和$\sqrt{2}$之间周期性振荡的某个函数。
2014-08-10 cs.FL math.CO math.NT
Formal inverses of the generalized Thue-Morse sequences and variations of the Rudin-Shapiro sequence
本文研究广义Thue-Morse序列及Rudin-Shapiro序列变体的形式逆，给出其递推关系与自动机，并分析连续相同字母串长度和字母频率，与原始序列比较。
2020-04-30 math.CO math.NT
On the abelian complexity of the Rudin-Shapiro sequence
本文研究了Rudin-Shapiro序列及其相关序列的阿贝尔复杂度。我们证明了这两个序列具有相同的复杂性函数$ρ(n)$，满足一定的递归关系。因此，阿贝尔复杂度函数是$2$ -正则的。进一步证明了渐近函数$λ(x)$的图的盒维数是$3/2$，其中对任意$x> 0$，有$λ(x)=\lim_{k\to\infty}ρ(4^{k}x)/\sqrt{4^{k}x}$和$ρ(x)=ρ(\lfloor x\rfloor)$.
2016-06-22 math.CA math.CO
On maximal autocorrelations of Rudin-Shapiro sequences
本文给出了另一种证明，证明了$m$阶Rudin-Shapiro序列的最大非周期自相关与$λ^{m}$的阶数相同，其中$λ$是$x^{3} + x^{2} - 2x - 4$的实根.这个结果最初是由Allouche，Choi，Denise，Erdélyi，and Saffari（2019）和Choi（2020）通过将问题转化为线性代数来证明的。我们的方法简化了这种线性代数翻译，并提供了另一种方法来处理由崔给出的计算。此外，我们证明了一个类似的结果的最大周期自相关的$m$ th Rudin-Shapiro序列。最后，我们讨论的证明和联合谱半径理论之间的联系，以及一对夫妇的自相关最大的图表。
2022-10-20 cs.IT math.CO math.IT
Peak Sidelobe Level and Peak Crosscorrelation of Golay-Rudin-Shapiro Sequences
具有低非周期自相关和互相关的序列用于通信和遥感。Golay和Shapiro独立设计了一种递归构造，可以产生二元序列的互补对族。在最简单的情况下，该构造产生Rudin-Shapiro序列，并且通常它产生我们称为Golay-Rudin-Shapiro序列的序列。Littlewood的计算表明Rudin-Shapiro序列具有低的均方自相关。一个序列的峰值旁瓣电平是它在所有非零移位上的最大自相关幅度。Høholdt、Jensen和Justesen证明了存在一些待定的正常数$A$，使得长度为$2^n$的Rudin-Shapiro序列的峰值旁瓣电平上界为$A(1.842626\ldots)^n$，其中$1.842626\ldots$是$X^4-3 X-6$的正实根。我们证明了峰值旁瓣电平的上界为$5(1.658967\ldots)^{n-4}$，其中$1.658967\ldots$是$X^3+X^2-2 X-4$的实根。任何具有较低基数的指数界限对于几乎所有$n$都不为真，并且任何具有相同基数但具有较低常数前因子的界限对于至少一个$n$都不为真。我们提供了一个类似的约束上的峰值互相关（最大幅度的互相关在所有的移位）之间的序列在每个鲁丁-夏皮罗对。我们使用的方法，推广到所有家庭的互补对所产生的Golay-Rudin-Shapiro递归，我们获得的峰值旁瓣电平和峰值互相关的界限与相同的指数增长率…
2021-11-14 cs.DM cs.IT eess.SP
Bounds on Rudin-Shapiro polynomials of arbitrary degree
令$P_{<n}(z)$为次数为$n-1$的Rudin-Shapiro多项式。我们证明了$|P_{<n}(z)|\le \sqrt{6n-2}-1$对所有的$n\ge0$和$|z|=1$，证实了一个长期存在的猜想。当$n=(2\cdot 4^k+1)/3$和$z=1$。我们还表明，对于$n\ge m\ge0$，$|P_{<n}(z)-P_{<m}(z)|\le \sqrt{10(n-m)}$，这是渐近尖锐的意义上说，对于任何$\varepsilon>0$存在$n>m\ge0$和$z$与$|z|=1$和$|P_{<n}(z)-P_{<m}(z)|\ge\sqrt{(10-\varepsilon)(n-m)}$，蒙哥马利的猜想相矛盾。
2019-09-19 math.CA math.CO math.NT
The Rudin-Shapiro polynomials and The Fekete polynomials are not $L^α$-flat
我们建立了Rudin-Shapiro多项式不是$L^α$平坦的，对于任何$α\geq 0$。进一步证明了对于任何$α\geq 0$，“截断”Rudin-Shapiro序列都不能生成$L^α$ -平坦多项式序列.在附录中，我们提出了一个简单的证明的事实，即Fekete多项式和修改或移位的Fekete多项式不是$L^α$ -平坦的，任何$α\geq 0$。
2016-04-15 math.CO math.CV math.DS
Integrals Involving Rudin-Shapiro Polynomials and Sketch of a Proof of Saffari's Conjecture
从2004年开始，我们继续Christophe Doche和Laurent Habsieger的开创性工作，开发了计算机代数算法，在Maple中实现，用于找到Rudin-Shapiro多项式的任何积的积分（特别是矩）的生成函数。我们产生了大量的输出，并再次证实了萨法里的猜想的渐近小（和不那么小）的权力。我们还证实，对于小的权力，一个相关的，更一般的，猜想，休蒙哥马利。最后，我们概述了证明萨法里的充分猜想，我们相信可以变成一个充分的证明。[In这个版本，我们报告说，布拉德罗杰斯已经独立地发现了一个（完整！）Saffari猜想的证明http：//arxiv.org/abs/1606.01637]。
2016-06-07 math.CO math.NT
Discrete correlations of order 2 of generalised Rudin-Shapiro sequences: a combinatorial approach
我们介绍了一个家庭的块加自动序列，这是通过分配一个重量的每对数字，并定义的序列的$n$的第$n$的总重量写在基地$k$的整数。在权函数的一个额外的差异条件下，这些序列可以被解释为广义的Rudin-Shapiro序列，我们证明了它们具有相同的相关性的顺序为2的符号序列均匀和独立地随机选择。收敛速度非常快，并且与$k$的素因子分解无关。这延伸了Tahay最近的工作。证明依赖于对整数的基$k$表示的直接观察和组合考虑。我们还提供了我们的结果扩展到高维块加性序列。
2020-06-23 cs.DM math.CO math.DS
Substitution-based sequences with absolutely continuous diffraction
通过修改Rudin的Rudin-Shapiro序列的原始构造，我们得到了一个新的具有纯绝对连续衍射谱的替换序列。
2016-11-14 math-ph math.CO math.DS
Closed, Palindromic, Rich, Privileged, Trapezoidal, and Balanced Words in Automatic Sequences
我们证明了封闭的性质（分别是，回文的、丰富的、特权梯形的、平衡的）可在自动（和一些相关的）序列的一阶逻辑中表达。因此，可以得出，对于自动序列x具有闭（分别，回文的、特权的、丰富的、梯形的、平衡的）长度n的因子是自动的。对于特权词，这需要对特权属性进行新的表征。我们计算了各种著名的序列，如Thue-Morse序列，Rudin-Shapiro序列，普通折纸序列，倍周期序列和Fibonacci序列的相应特征函数。最后，我们还表明，在一个前缀长度为n的k-自动序列的回文因子的总数计数的功能是不k-同步。
2015-11-30 cs.DM cs.FL math.CO
Extremal words in morphic subshifts
给定字母表A上的无限字X，字母b出现在X中，A上的全序为σ，我们称X的移位轨道闭包中关于σ的以b开始的最小字为X的极值字。本文研究形态词的极端词。若X = g（f^ω（a））对某些态射f和g，我们给出了关于f和g的两个简单条件，保证了所有的极值词都是态射的.特别是当X是一个原始形态词或二元纯形态词时，会发生这种情况。我们的技术提供的周期加倍字和Chacon字的极值字的特征，并给出了一个新的证明的形式的字典最少的字的移位轨道封闭的Rudin-Shapiro字。
2013-07-19 cs.DM cs.FL math.CO
On prefix palindromic length of automatic words
无限字$\mathbf{u}$的前缀回文长度$\mathrm{PPL}_{\mathbf{u}}(n)$是表示$\mathbf{u}$的长度为$n$的前缀所需的最小连接回文数目。自2013年以来，仍然不知道$\mathrm{PPL}_{\mathbf{u}}(n)$是否对每个非周期无限字$\mathbf{u}$都是无界的，尽管这已经对几乎所有非周期字得到了证明。与此同时，唯一著名的非平凡的无限字的功能$\mathrm{PPL}_{\mathbf{u}}(n)$已被精确计算是星期四莫尔斯字$\mathbf{t}$。这个词是$2$ -自动的，可以预见的是，它的功能$\mathrm{PPL}_{\mathbf{t}}(n)$是$2$ -规则的，但这是所有自动词的情况吗？本文证明了对于每个$k$ -只包含有限个回文的自动词，这个函数是$k$ -正则的.对于两个这样的词，即折纸词和Rudin-Shapiro词，我们推导出这个函数的公式。我们的计算实验表明，一般来说这是不正确的：对于倍周期字，前缀回文长度看起来不像$2$ -正则的，对于斐波那契字，它看起来不像斐波那契-正则的。如果得到证实，这些结果将给出罕见的（如果不是第一个）例子，一个自动词的自然功能是不规则的。
2021-06-09 cs.DM cs.FL math.CO
