Lyapunov instability of rough hard-disk fluids
粗糙的硬盘流体在二维的动力学不稳定性的特点是通过李雅普诺夫谱和Kolmogorov-Sinai熵，$h_{KS}$，为广泛的密度和转动惯量$I$。对于小的$I$，光谱分成以自旋为主的部分和以自旋为主的部分。随着$I$的增加，以平移为代价的旋转主导部分逐渐被填充，直到这样的分离变得毫无意义。在任何密度下，由$h_{KS}$给出的相空间混合速率随着旋转对动力学的影响而变得越来越无效。然而，动力学混沌的程度，测量的最大李雅普诺夫指数，只是增强了高密度气体的旋转自由度，但减少了较低的密度。令人惊讶的是，没有痕迹的李雅普诺夫模式被发现在频谱的惯性矩较大。然而，对于任何$I$，与最大指数相关联的扰动矢量的空间局部化持续存在。
2009-04-02 nlin.CD
Localized behavior in the Lyapunov vectors for quasi-one-dimensional many-hard-disk systems
我们引入了一个“本地化宽度”的定义，其对数是由粒子分量振幅的分布在李雅普诺夫向量的熵。观察到不同类型的局部化宽度，例如，仅两个粒子的组分占主导地位的最小局部化宽度。我们可以区分与粒子贡献的随机分布相关联的离域，与均匀分布相关联的离域以及与Lyapunov向量中的波状结构相关联的离域。利用局域化宽度，我们证明了在多个硬盘的准一维系统中，对于较大的李雅普诺夫指数，局域化宽度对指数有两种依赖关系：一种是指数依赖关系，另一种是线性依赖关系.差异，由于这些种类的本地化也出现在形状的本地化的峰值的李雅普诺夫向量，李雅普诺夫谱和李雅普诺夫向量的空间和动量部分之间的角度。我们表明，Krylov关系的最大李雅普诺夫指数$λ\sim-ρ\lnρ$作为密度$ρ$的函数是满意的（除了一个因素）在同一密度区域的线性依赖的本地化宽度观察。它还表明，有不对称的空间和动量部分的李雅普诺夫向量，以及在其$x$和$y$ -组件。
2003-04-15 nlin.CD
Front propagation techniques to calculate the largest Lyapunov exponent of dilute hard disk gases
采用动力学方法来描述初始相空间点的一个小的偏差的指数增长，测量的最大李雅普诺夫指数，对于稀系统的硬盘，在平衡和均匀剪切流。我们推导出一个广义玻尔兹曼方程的扩展单粒子分布，包括偏离参考相空间点。该方程对非常低的密度n是有效的，并且需要1/2的幂的不寻常的展开。|ln n|.它再现和扩展的结果，从早期的，更启发式的时钟模型，并可能被解释为描述一个前传播到一个不稳定的状态。波前的渐近传播速度与系统的最大李雅普诺夫指数成正比。它的价值可能会发现通过应用标准的前速度选择机制拉前手头的情况下。对于平衡的情况下，最大的李雅普诺夫指数的显式表达式给出和剪切系统，我们给出明确的表达式，可以进行数值计算，以获得最大的李雅普诺夫指数的剪切速率依赖。
2002-07-02 nlin.CD
Backward and covariant Lyapunov vectors and exponents for hard disk systems with a steady heat current
协变李雅普诺夫分析是广义的系统连接到确定性的热库，创建一个热流通过系统和扰动它远离平衡。描述并解释了李雅普诺夫指数随热流的变化。分析和比较了非平衡向后和协变流体动力学李雅普诺夫模式。对于任何非平衡系统，收敛角随动力学自由飞行时间的移动都可以作为其指数的函数准确地预测。发现非平衡正、负$\LP$模的频率是不对称的，导致负模在正共轭模对中各模的两个函数形式之间振荡。这又导致共轭模式之间的角分布以正模式频率和负模式频率之间的差给出的速率关于$π/2$对称地振荡。
2014-05-28 nlin.CD
Orthogonal versus covariant Lyapunov vectors for rough hard disk systems
双曲动力系统的切空间到协变子空间的Oseledec分裂是通过计算协变李雅普诺夫向量的完整集合来数值实现的。本文分析了平面粗糙硬盘系统（RHDS）的协变李雅普诺夫向量、正交Gram-Schmidt向量以及相应的局部（时间相关）李雅普诺夫指数。这些结果进行了比较，为一个光滑的硬盘系统（SHDS）的各自的结果。我们发现圆盘的旋转对切空间的Oseledec分裂和切空间的结构有很大的影响。对于光滑和粗糙的硬盘，稳定，不稳定和中心流形是横向的彼此，虽然RHDS的不稳定和稳定流形之间的最小角度通常是非常小的。这两个系统都是双曲线的。然而，中心流形仅在光滑粒子的情况下与切空间的其余部分精确正交，而在粗糙圆盘的情况下则不然。我们还证明了旋转破坏了粗糙硬盘系统的哈密顿性质。
2012-05-22 cond-mat.stat-mech nlin.CD
The Lyapunov exponent in the Sinai billiard in the small scatterer limit
我们表明，李雅普诺夫指数为西奈台球是$λ= -2\log(R)+C+O(R\log^2 R)$与$C=1-4\log 2+27/(2π^2)\cdot ζ(3)$其中$R$是圆形散射体的半径。我们考虑标准配置的磁盘到磁盘映射，其中磁盘位于单位正方形内的中心。
1996-01-11 chao-dyn nlin.CD
Lyapunov spectra of billiards with cylindrical scatterers: comparison with many-particle systems
由许多球形硬粒子组成的系统的动力学可以被描述为单个点粒子在高维空间中运动，其具有固定的具有特定取向和位置的超圆柱形散射体。本文研究了多粒子系统和具有各向同性分布和均匀分布的圆柱形散射体的高维台球系统的李雅普诺夫指数的相似性。使用蒙特卡罗模拟计算各向同性台球的动力学，并使用再正交化过程来找到李雅普诺夫指数。结果进行了比较，许多硬粒子系统的数值结果以及高维洛伦兹气体的分析结果。最小的四分之三正指数的行为更像硬盘系统的指数，而不是洛伦兹气体的指数。这种相似性表明，硬盘系统可以近似为一个空间均匀和各向同性的散射体系统的计算较小的李雅普诺夫指数，除了与本地化相关的指数。部分拉伸因子的方法被用来计算这些指数解析，与硬盘和硬球的模拟结果进行比较。
2005-04-14 nlin.CD
Lyapunov Modes and Time-Correlation Functions for Two-Dimensional Systems
讨论了二维硬盘系统中的李雅普诺夫模（离域李雅普诺夫向量）与动量自相关函数之间的关系。我们展示了数值证据，最小的时间振荡周期的李雅普诺夫模式的时间振荡周期的两倍长的时间振荡周期的动量自相关函数的正方形和矩形的二维系统与硬壁边界条件。
2005-09-27 nlin.CD
Goldstone modes in Lyapunov spectra of hard sphere systems
在本文中，我们证明了如何接近零的李雅普诺夫指数的系统的许多硬球可以被描述为Goldstone模式，通过使用玻尔兹曼类型的方法。在低密度，正确的形式被发现的波数依赖的指数以及相应的特征向量在切空间。属于横向模式的李雅普诺夫指数的预测值在最近的模拟中发现的值的百分之几以内，纵向模式的传播速度在1%以内，但是属于纵向模式的李雅普诺夫指数的值偏离模拟30%。对于更高的密度，预测值偏离更多的模拟中计算的值。这些偏差可能是由于环碰撞和类似项的贡献，即使在低密度下，也可以对领先秩序做出贡献。
2004-04-29 nlin.CD
Equivalence of kinetic-theory and random-matrix approaches to Lyapunov spectra of hard-sphere systems
在许多硬球系统的混沌行为的研究中，小绝对值的李雅普诺夫指数表现出有趣的特性，导致对非平衡统计力学的连接的猜测。到目前为止，这些指数的分析方法可以分为两组，宏观取向的方法，使用动力学理论或流体力学，和更微观取向的随机矩阵方法在准一维系统。在本文中，我提出了一种方法，使用随机矩阵和弱无序展开在任意数量的维度。考虑了粒子后续碰撞之间的相关性。它示出的结果是相同的那些以前的方法的基础上扩展的Enskog方程。我的结论是，每一种方法都有其优点，并提供了不同的见解的近似，其中包括Stoßzahlanetum，连续极限，和长波长近似。比较还提供了洞察李雅普诺夫指数和波动之间可能的联系。
2010-03-30 nlin.CD
Time-oscillating Lyapunov modes and auto-correlation functions for quasi-one-dimensional systems
讨论了准一维多硬盘系统的李雅普诺夫谱阶数所对应的李雅普诺夫向量的时变结构及其基组表示。观察到两种类型的李雅普诺夫模式的时间振荡行为，一种与时间平移不变性和另一种与空间平移不变性，并指定它们的相位关系。结果表明，李雅普诺夫模的最长周期是纵向动量自关联函数周期的两倍。对这种关系提出了一个简单的解释。这一结果给出了第一个定量的李雅普诺夫模式之间的连接和实验可访问的量。
2004-04-29 nlin.CD
Lyapunov instabilities of Lennard-Jones fluids
近年来对许多粒子系统的研究揭示了最小正李雅普诺夫指数（LEs）所对应的规则集体扰动的存在，称为流体动力学李雅普诺夫模式。然而，到目前为止，这些模式只适用于硬核系统。在这里，我们报告新的结果的李雅普诺夫谱和李雅普诺夫向量（LV）的Lennard-Jones流体。通过对坐标涨落密度$u^{(α)}(x,t)$的傅里叶变换，发现具有$λ\approx 0$的LV高度地被具有低波数的少数分量所支配。这些数值结果提供了强有力的证据，流体动力学李雅普诺夫模式确实存在于软势系统，虽然集体李雅普诺夫模式是更模糊的比在硬核系统。在研究这些模式的密度和温度的依赖性，它被发现，当李雅普诺夫指数$λ^{(α)}$的值绘制为相应的LV的主波数$k_{max}$的函数，所有的数据从不同的密度和温度的模拟崩溃到一个单一的曲线。这表明，分散关系$λ^{(α)}$与$k_{max}$流体动力学李雅普诺夫模式似乎是普遍的粒子密度和温度的系统无关。尽管波状特征的LV，没有阶梯状结构存在于这里研究的系统的李雅普诺夫谱，在对比的硬核的情况下。进一步的数值模拟表明，有限时间LE波动强烈。我们还研究了LVs的局域化特征，并提出了一种新的长度尺度来表征Hamilton时空混沌态。
2004-04-14 nlin.CD
Time-dependent mode structure for Lyapunov vectors as a collective movement in quasi-one-dimensional systems
讨论了准一维多硬盘系统中与Lyapunov谱的阶跃结构相关的Lyapunov向量的时间相关模结构及其与动量自关联函数的关系。我们证明模式结构（李雅普诺夫模式）的所有组件的李雅普诺夫向量，其中包括纵向和横向分量的空间和动量部分，并指定其相位关系。这些模式结构建议从形式的李雅普诺夫向量对应的零李雅普诺夫指数。这些模式的空间节点结构的解释所使用的硬墙的反射特性的模型。我们的主要兴趣是李雅普诺夫模式的时间振荡行为。结果表明，李雅普诺夫模的最大振荡周期是纵向动量自关联函数振荡周期的2倍。无论粒子数和边界条件如何，都满足这个关系。基于李雅普诺夫向量的形式给出了这种关系的一个简单解释。
2004-06-04 nlin.CD
Stepwise structure of Lyapunov spectra for many particle systems by a random matrix dynamics
讨论了具有随机相互作用的多粒子系统的李雅普诺夫谱结构。切空间的动力学表示为一个主方程，这导致了一个公式，连接正的李雅普诺夫指数和粒子相互作用矩阵的时间相关性。将此公式应用于一维和二维模型，我们研究了出现在小的正李雅普诺夫指数区域的李雅普诺夫谱的阶梯结构。长程相互作用导致的李雅普诺夫谱的一个明确的分离成一部分，表现出逐步的结构和一部分变化顺利。包含阶梯结构的李雅普诺夫谱的一部分被粒子相互作用矩阵的本征态中的波状结构清楚地区分开。二维模型具有相同的步长，发现在一个确定性的混沌系统的许多硬盘数值。
2001-12-18 nlin.CD
Perturbed phase-space dynamics of hard-disk fluids
李雅普诺夫谱描述了无穷小相空间扰动的指数增长或衰减。与最大李雅普诺夫指数相关的扰动在空间中是强烈局部化的，并且在任何时刻，所有粒子中只有一小部分对扰动增长有贡献。在热力学大粒子数极限下，该分数收敛于零。对于硬磁盘和硬球系统，属于小的正指数和大的负指数的扰动相干地展开，并形成空间中的正交周期结构，即“李雅普诺夫模式”。有两种类型的模式偏振，横向和纵向。横模不传播，但纵模以声速的三分之一传播。我们描述了模式的对称性和简并性。在热力学极限下，李雅普诺夫谱在与横坐标的交点附近有一个发散的斜率。正指数不存在正下界。模式振幅与粒子数的平方根倒数成比例，正如从扰动向量的归一化所预期的那样。
2002-11-27 nlin.CD nlin.PS
Lyapunov Exponent Pairing for a Thermostatted Hard-Sphere Gas under Shear in the Thermodynamic Limit
我们证明了为什么剪切气体的硬球，所描述的SLLOD方程与等速高斯恒温器之间的碰撞，偏差的共轭配对规则的李雅普诺夫谱是预期的，采用以前的结果，对于大量的粒子$N$，等速高斯恒温器相当于一个恒定的摩擦恒温器，高达$1/\sqrt{N}$波动。我们还表明，这些偏差是在剪切速率的四次方的顺序。
2002-05-15 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Kinetic Theory Estimates for the Kolmogorov-Sinai Entropy and the Largest Lyapunov Exponents for Dilute, Hard-Ball Gases and for Dilute, Random Lorentz Gases
气体的动力学理论提供了计算李雅普诺夫指数和其他量的方法，如柯尔莫哥洛夫-西奈熵，它们表征了硬球气体的混沌行为。在这里，我们说明了使用这些方法来计算的Kolmogorov-Sinai熵，和最大的积极李雅普诺夫指数，稀释的硬球气体平衡。最大李雅普诺夫指数的计算与流体动力学前沿的传播理论有着有趣的联系。计算还提出了在二维和三维，这是相当简单的硬球气体的相应计算的稀释，随机洛伦兹气体的李雅普诺夫谱。文章最后简要讨论了一些有趣的开放性问题。
2000-03-06 chao-dyn cond-mat.stat-mech nlin.CD
An Elementary Proof of Lyapunov Exponent Pairing for Hard-Sphere Systems at Constant Kinetic Energy
Dettmann和Morriss [Phys. Rev. E { \bf 53}，R5545（1996）]首先用简单的几何方法证明了在总动能恒定时具有光滑粒子间相互作用的场驱动系统的李雅普诺夫指数的共轭配对。Wojtkowski和Liverani [Comm. Math. Phys. { \bf 194}，47（1998）]使用更复杂的方法，将他们的证明扩展到通过硬核粒子间势相互作用的系统。另一个更直接的硬球系统的证明版本由Ruelle [J. Stat. Phys.{ \bf 95}，393（1999）]。然而，硬球系统的这些方法有些难以遵循。本文基于一个非常简单的显式几何构造，给出了常动能下硬球系统的李雅普诺夫指数配对的一个证明.将这种构造推广到更高维度和任意形状的散射体或粒子是微不足道的。这种结构也适用于具有Nosé-Hoover恒温器的外场中的硬球系统。然而，也有物理上感兴趣的情况下，这些共轭配对规则的证明，通过硬核粒子间的潜力相互作用的系统打破。
2002-06-26 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Pairing of Lyapunov Exponents for a Hard-Sphere Gas under Shear in the Thermodynamic Limit
我们考虑剪切作用下的硬球稀气体。我们使用一个主要的模型来研究这个系统，即SLLOD运动方程，与一个等动力学高斯恒温器之间的碰撞，得到一个固定的总特有的动能。在非平衡定常状态下，当粒子数$N$变大时，代表SLLOD动力学的等动高斯恒温器的动摩擦系数随$1/\sqrt{N}$在固定值附近的波动而波动。基于这一结果，我们从分析的角度证明了：对于小剪切速率和大量球的硬球气体，预期在本体中恒定剪切速率的四次方处违反李雅普诺夫指数的共轭配对。
2002-05-30 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Lyapunov modes in three-dimensional Lennard-Jones fluids
最近对一维Lennard-Jones流体的相空间动力学的研究揭示了与系统的最小正李雅普诺夫指数相关的规则集体扰动的存在，称为流体动力学李雅普诺夫模式，这以前只能在硬核流体中识别。在这项工作中，我们提出了一个系统的研究李雅普诺夫指数和李雅普诺夫向量，即沿每个方向的相空间的扰动，三维Lennard-Jones流体。通过对李雅普诺夫矢量分量的坐标部分的空间密度进行傅立叶变换，然后对该结果进行时间平均，我们发现了纵向模式的令人信服的特征，对于所有研究的密度，横向模式的证据都是不确定的。此外，对于较高的密度值，可以更清楚地识别纵向模式。因此，根据我们的研究结果，混合的模式诱导的动力学和维数诱导一个迄今为止未知类型的顺序在这里研究的模型在高密度值的切线空间。
2008-07-15 nlin.CD
B. B. G. K. Y. Hierarchy Methods for Sums of Lyapunov Exponents for Dilute Gases
本文考虑了计算中等密度气体正李雅普诺夫指数和的一般方法。这种方法是基于以前使用的层次技术来推导出广义玻尔兹曼方程的时间相关的空间和速度分布函数，这样的系统。我们扩展广义玻尔兹曼方程中的变量，包括一组新的量，描述分离的轨迹在相空间中所需的计算的李雅普诺夫指数。这里描述的方法特别适合于计算系统的所有正李雅普诺夫指数的和，并且可以应用于平衡以及非平衡情况。对于低密度，我们得到了一个扩展的玻尔兹曼方程，从其中，在简化近似下，我们恢复的总和的正李雅普诺夫指数的硬盘和硬球系统，以前获得了一个更简单的方法。此外，我们指出如何改善这些结果，避免简化近似。对$d$维中的硬球系统的限制是为了使有点复杂的形式尽可能清楚，但该方法可以很容易地推广到与强短程力相互作用的粒子气体。
1998-01-12 chao-dyn nlin.CD
Largest Lyapunov Exponent for Many Particle Systems at Low Densities
通过映射到时钟模型来研究平衡状态下具有短程相互作用的稀释气体的最大李雅普诺夫指数$λ^+$，其中每个粒子都携带一个手表，其离散时间在碰撞时提前。这个模型有一个传播前的解决方案的速度，确定$λ^+$，我们发现一个密度依赖性预测Krylov，但有一个较大的前因子。时钟模型和硬球和硬盘系统的模拟证实了这些结果，并在良好的相互协议。结果表明，随着粒子数的增加，$λ^+$收敛缓慢，与Brunet和Derrida的预测一致。
1997-10-27 chao-dyn nlin.CD
Lyapunov instability and collective tangent space dynamics of fluids
许多具有简单流体特征的物体系统的相空间轨迹是高度不稳定的。我们量化这种不稳定性的一组李雅普诺夫指数，这是指数发散率，或收敛，沿仔细选择的方向在相空间中的初始（无穷小）扰动。证明了与最大李雅普诺夫指数相关的扰动在空间上是局部化的。无论相互作用势如何，这种局部化在大粒子极限下都是存在的。然而，属于最小正指数的扰动对势敏感。对于硬粒子，它们形成定义明确的长波长模式。对于与软势相互作用的系统，由于局部时变指数的波动大得惊人，因此无法观察到这些模式。
2002-10-23 nlin.CD
Hard Disks in Narrow Channels
对硬盘气体在窄通道中的热力学和动力学行为进行了理论和数值研究。使用维里展开，我们发现，压力和碰撞频率曲线表现出奇异性的通道宽度对应于磁盘直径的两倍。正如预期的那样，最大李雅普诺夫指数也显示出类似的行为。在高密度下，由于通道边界条件，这些曲线由不同于散装的固体状配置主导。
2004-01-28 cond-mat.stat-mech nlin.CD
The Lyapunov dimension and its computation for self-excited and hidden attractors in the Glukhovsky-Dolzhansky fluid convection model
各种流体力学现象的考虑涉及到Navier-Stokes（N-S）方程的研究，这对于解析和数值研究来说已经足够困难，因为已经在三维（3D）情况下，研究N-S解的极限行为是一项具有挑战性的任务。利用Galerkin方法从初始N-S方程导出低阶模型，克服了研究系统极限行为和吸引子存在性的困难。在具有混沌吸引子的简单LOMs中，有著名的Lorenz系统，它是二维对流的近似模型，Glukhovsky-Dolzhansky模型，它描述了三维旋转流体中的对流过程，可以被认为是世界海洋的近似模型。吸引子的一个广泛使用的维数特征是李雅普诺夫维数。在这项研究中，我们遵循严格的方法定义的李雅普诺夫维数和合理的计算Kaplan-Yorke公式，而不使用统计物理假设。得到了全局吸引子的精确的李雅普诺夫维数公式，并讨论了自激吸引子和隐吸引子的李雅普诺夫维数估计的特殊性。一个教程的数值估计的李雅普诺夫维数的例子Glukhovsky-Dolzhansky模型。
2016-11-19 nlin.CD
A comparative study of computation of Lyapunov spectra with different algorithms
在本文中，我们做了详细的数值比较三种算法的计算的完整的李雅普诺夫谱以及相关的特征向量的一般动力系统。它们是：（a）标准方法，（b）标准方法的微分公式化，和（c）不需要重新标度和重新正交化的新算法。并指出了这些方法之间的关系。此外，当系统维数为4时，我们给出了新算法的简化形式。我们发现，在大多数情况下，使用三种算法得到的李雅普诺夫谱之间有合理的协议。然而，标准方法似乎是最有效的，其次是新方法和标准方法的差分版本（按此顺序），就计算李雅普诺夫谱的CPU时间而言。新方法几乎不适用于求特征向量，而其他程序给出几乎相同的数值结果。
1999-09-17 chao-dyn nlin.CD
Escape Dynamics of Many Hard Disks
本文从动力系统的观点讨论了硬盘从方盒子中通过一个孔逃逸时的多粒子效应。从在初始时间盒子中的$N$盘开始，我们计算至少$n$盘在$n=1,2,\cdots,N$的时间$t$保持在盒子内的概率$P_{n}(t)$。在早期，概率$P_{n}(t)$、$n=2,3,\cdots,N-1$由指数衰减函数的叠加来描述。另一方面，在长时间之后，概率$P_{n}(t)$示出了$n\neq 1$的幂律衰减$\sim t^{-2n}$，与之形成对比的是，对于没有任何盘-盘碰撞的情况，概率$P_{n}(t)$以不同的幂律$\sim t^{-n}$衰减。利用有限时间最大李雅普诺夫指数的动力学性质讨论了逃逸系统的混沌与非混沌性质，其衰减特性与概率$P_{n}(t)$的衰减特性有关.
2014-12-27 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Wave packet autocorrelation functions for quantum hard-disk and hard-sphere billiards in the high-energy, diffraction regime
本文研究了一个波包的时间演化，波包代表一个量子粒子在一个几何上开放的台球中运动，台球由许多固定的硬磁盘或硬球散射体组成。利用多重碰撞展开技术，我们提供了高能衍射区中波包随时间变化的自相关函数的第一原理分析计算，其中粒子的德布罗意波长度虽然与散射体的尺寸相比很小，大到足以防止在粒子的自由飞行路径的数量级的距离上形成几何阴影。球散射系统必须被充分稀释，以便实现这种高能衍射状态。除了总的指数衰减之外，自相关函数表现出对应于波包的部分恢复的相对强的峰的一般复杂的序列。指数衰减（或逃逸）率和复兴峰结构主要由潜在的经典动力学决定。逃逸率之间的关系，和李雅普诺夫指数和Kolmogorov-Sinai熵对应的经典系统，以前已知的硬盘台球，加强推广到三个空间维度。含时自相关函数的量子力学计算结果与半经典周期轨道理论的预言一致。
2006-07-18 nlin.CD quant-ph
Revisiting Comins, Hassell, and May
在20世纪90年代初的一系列论文中，Comins，Hassell和May研究了空间扩散实现中的Nicholson-Bethesda动力学。他们描绘了四种类型的动态行为：晶格，空间混乱，螺旋和难以启动的螺旋。我们重新审视他们的结果与当前的计算方法，并开发一种采样技术来估计李雅普诺夫谱。我们发现空间混乱、螺旋和难以启动的螺旋不是单独的类别，而是行为谱的一部分。我们更彻底地研究了晶体结构。我们表明，李雅普诺夫抽样方法可以用来找到分歧曲线在参数空间，并展示了一个有趣的空间嵌合体。
2019-12-02 math.DS nlin.CD
