Biquandle longitude invariant of long virtual knots
Maciej Niebrzydowski
已知初始弧颜色固定的长虚纽结图的双点着色数是纽结不变量。在本文中，我们描述了一个更微妙的不变量：一个家庭的biquandle自同态的着色和纵向信息的集合。
It is known that the number of biquandle colorings of a long virtual knot diagram, with a fixed color of the initial arc, is a knot invariant. In this paper we describe a more subtle invariant: a family of biquandle endomorphisms obtained from the set of colorings and longitudinal information.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Biquandles for Virtual Knots
本文研究了虚纽结的一个代数不变式--双量子。双量子推广了基本群和虚纽结量子。在本文中采取的方法biquandle强调理解其结构方面的组合物的态射，其中基本态射相关联的定向经典和虚拟交叉的图。
The Gordian distance of handlebody-knots and Alexander biquandle colorings
利用Alexander双量子染色给出了拟体结的Gordian距离和解结数的下界.对于任意正整数$n$，我们构造了具有哥尔第距离$n$和解结数$n$的实体结.
An example of biquandle and an invariant of long virtual knots defined through it
本文引入双环面的一个例子，定义长虚拟纽结的不变量，并给出两个可交换长虚拟纽结的必要条件。
Minimum numbers of Dehn colors of knots and symmetric local biquandle cocycle invariants
本文提出利用对称局部双纽结圈上链不变量评估纽结 Dehn 染色最小数的方法，回答了前文遗留问题，并证明存在能被该最小数区分的纽结。
Matrices and Finite Biquandles
我们描述了一种方法表示有限biquandles与n个元素作为2n × 2n块矩阵。通过计算同态，任何有限双量子点都定义了虚纽结的不变量。非quandle双quandle的计数不变量可以揭示结quandle中不存在的信息，例如虚拟三叶和各种Kishino结的非平凡性。我们还展示了一个虚拟的结，这是区别于它的正面和它的反向有限biquandle计数不变量。我们分类biquandles的顺序2，3和4，并提供了一个URL为我们的Maple程序计算有限biquandles。
Update of "Biquandles of Small Size and some Invariants of Virtual and Welded Knots"
在本文中，我们给出了一个小尺寸的biracks的计算机搜索的结果，我们给这些调查结果的各种解释。该列表包括biquandles，机架和quandles连同新的不变量焊接结和焊接结的例子，这是不平凡的新的不变量。这些可以用来回答有关虚拟和焊接结的各种问题。作为应用，我们重新证明了从辫子到矩阵的Burau映射是非内射的结果，并给出了一个非平凡虚（焊）结的例子，该结不能通过任何线性双量子线与非结区分开来. (This是早期同名论文的修订版）
Kaestner Brackets
我们介绍\textit{Kaestner brackets}，推广的双括号的情况下，奇偶校验双。这个无限集的量子增强的双量子计数不变量的定向虚拟节点和链接，包括经典的量子不变量，量子和双量子$2$ -cocycle不变量和经典的双量子括号作为特殊情况下，符合他们为定向经典的节点和链接，但定义一般更强的不变量定向虚拟节点和链接。我们提供的例子来说明新的不变量的计算，并表明它是强于经典的biquandle括号不变量的虚拟节点。
Parity Biquandles
我们使用交叉宇称来构造一个广义的双量子点，我们称之为宇称双量子点。这些结构包括所有的双量子点作为标准示例，称为偶宇称双量子点。此外，我们发现所有的宇称倍对于一个特定的建设命名的z-奇偶亚历山大Biquandle，我们表明，相关的多项式产生一个下界的奇数交叉的数量，以及实际的交叉和虚拟交叉的虚拟结的总数。此外，我们将这种结构扩展到链接，以获得一个虚拟链路的组件之间的交叉点的数量的下界。
Biquandle Coloring Invariants of Knotoids
在本文中，我们考虑在$\mathbb{R}^2$或$S^2$的knotoid的双量子染色，我们构造了几个着色不变量的knotoid作为增强的双量子计数不变量。我们首先通过使用一个矩阵来增强双量子计数不变量，该矩阵是通过利用一个knotoid图被赋予的方向来构造的。我们推广Niebrzydowski的双量子经度不变的虚拟长节，获得新的不变量的knotoids。我们表明，biquandle不变量可以检测到的knotoids的镜像，并表明我们的增强是适当的，在这个意义上，knotoids这是不区分的计数不变量是由我们的增强区分。
Partially Multiplicative Biquandles and Handlebody-Knots
我们介绍了几种与双体-纽结相关的代数结构，包括$G$ -双量子数族，部分乘法双量子数和群可分解双量子数。这些结构可用于着色表示$S^1$定向的体-结的$Y$定向的空间三价图中的半弧，以获得体-结和体-链的可计算不变量。在$G$ -族的情况下，我们使用群$G$来增强计数不变量，以获得一个多项式不变量的体结。
The geometric realization of a normalized set-theoretic Yang-Baxter homology of biquandles
双racks和双quandles是集合论杨-巴克斯特方程的特殊解族，对纽结理论的研究很有用.集合论杨-巴克斯特方程的同调论是由Carter，Elhamdadi和Saito为了构造纽结不变量而发展的。本文构造了杨-巴克斯特方程的集合论解的正规（上）同调论。我们得到了Alexander双量子的非平凡$n$ -上圈的一些具体例子。对于双量子$X,$，讨论了它的几何实现$BX$，它具有建立链和纽结曲面不变量的潜力。特别地，我们证明了当双量子$X$是有限的时，$BX$的第二个同伦群是双量子生成的.
Picture-valued biquandle bracket
在[14]中，第二个命名的作者构造了括号不变式[]。图中取值的虚拟节点的值（省略了一些交叉信息的虚拟节点图的线性组合），使得对于许多图K，以下公式成立：[K]= K '，其中K'是图的基础图，即，图上的不变量的值等于图本身，省略了一些交叉信息。这一现象使人们可以将许多关于虚结的问题简化为关于它们的图的问题。在[25]中，作者发现了以下现象：具有某个结的双量子着色，可以通过使用依赖于颜色的各种系数来增强各种状态和不变量（例如，考夫曼括号）。考虑到奇偶性可以用双量子来处理，我们将这些论文中的两个思想结合起来，构造了经典和虚纽结的图值奇偶性双量子括号。这是一个不变量的虚结值的图片。奇偶括号和Nelson-Orrison-Rivera不变量都是这个不变量的部分情况，因此这个不变量具有许多不同的性质。
On biquandle-based invariant of immersed surface-links, Yoshikawa oriented fifth move, and ribbon 2-knots
该研究解决了吉川定向第五变换不可被其他变换替代的开放问题，扩展了浸入曲面链的代数工具包并开发了双quandle着色理论，还证明了无限多对群同构但结quandle不同的带边2-结。
Biquandle Brackets and Knotoids
双量子括号是一种类型的量子增强的双量子计数不变量的定向结和链接，定义了一组绞关系的系数是双量子颜色的函数在交叉。在本文中，我们使用biquandle括号来增强由前两位作者在arXiv：1803.11308中定义的biquandle计数矩阵不变量。我们提供的例子来说明的计算方法，并表明，新的不变量是强于以前的。
Parity Biquandle Invariants of Virtual Knots
我们使用宇称双量子点定义虚拟结的计数和上循环增强不变量。这些不变量是由一个双四元2-上循环和一个映射组成的对确定的，在一定的相容条件下，虚纽结的多项式不变量是单变量或双变量的。我们提供的例子表明，宇称上循环不变量可以区分虚拟的纽结，这是不区分相应的非宇称不变量。
Virtual Knot Invariants from Group Biquandles and Their Cocycles
通过和田的表示，群论的方法，提出区分岸野的虚拟结的unknot。利用Wada的辫群表示，对任意群构造双量子。这些biquandles的Cocycle不变量进行了研究。这些不变量被用来证明Alexander数和棋盘着色的不存在性。
Biquandles of Small Size and some Invariants of Virtual and Welded Knots
在本文中，我们给出了一个小尺寸的biracks的计算机搜索的结果，我们给这些调查结果的各种解释。该列表包括biquandles，机架和quandles连同新的不变量焊接结和焊接结的例子，这是不平凡的新的不变量。这些可以用来回答有关虚拟和焊接结的各种问题。作为应用，我们重新证明了从辫子到矩阵的Burau映射是非内射的结果，并给出了一个非平凡虚（焊）结的例子，该结不能通过任何线性双量子线与非结区分开来.
Quantum Enhancements and Biquandle Brackets
我们引入了一类新的量子增强，我们称之为biquandle括号，这是定制的绞链不变量的biquandle有色links.量子增强biquandle计数不变量形成一类结和链接不变量，其中包括biquandle上循环不变量和绞链不变量，如HOMFLY-PT多项式作为特殊情况，提供了一个明确的统一，这些显然无关类型的不变量。我们提供的例子表明，新的不变量是不确定的biquandle计数不变量，结quandle，纽结群或传统的绞不变量。
Virtual Biquandles
在本文中，我们描述了新的方法来构建虚拟结不变量。本文的主要背景来自制定和汇集的想法biquandle（考夫曼和雷德福）的虚拟quandle（曼图罗夫），四元数的想法由罗杰·芬和安德鲁·巴塞洛缪，概念和性质的长虚拟结（曼图罗夫），和其他想法之间的接口经典和虚拟纽结理论。在本文中，我们提出了一个新的代数结构的虚拟纽结不变量，它的各种表示，并研究了几个例子。文中还提出了几个问题和有待解决的问题。
Biquandle Bracket Quivers
双四边形括号使用双四边形着色的结和链接的绞链不变量来定义经典和虚拟结和链接的不变量。双量子着色箭图在定义箭图值增强的意义上对双量子计数不变量进行了分类，而箭图值增强对计数不变量进行了去分类。本文将这两种思想结合起来定义了双方括号箭图，给出了双方括号的新的表示方法。特别是，我们的建设提供了一个无限的家庭的Jones多项式和其他经典的绞不变量的deleterications。
Polynomial knot and link invariants from the virtual biquandle
虚纽结或虚链环的Alexander双量子是二元Laurent多项式环上的模，它是虚纽结或虚链环的不变量。这个模的基本理想则是虚合痕的不变量，它决定了虚结点的广义亚历山大多项式（也称为Sawollek多项式）和经典结点的经典亚历山大多项式。对于一个固定的单项序$<$，这些理想的Gröbner基是可计算的，可比较的不变量，它完全确定了基本理想，并推广和统一了经典和广义亚历山大多项式。我们提供的例子来说明这些不变量的有用性，并提出问题，为今后的工作。
Virtual Biquandle Cocycle Quiver Representations
本文针对定向虚拟纽结与链环，基于有限虚拟双quandle等结构引入箭图表示值不变量，并通过去范畴化得到新的无限族多项式不变量，为虚拟纽结理论提供了新的不变量构造方法。
Categorification of Biquandle Arrow Weight Invariants via Quivers
本文使用biquandle coloring quiver对biquandle arrow weight多项式不变量进行范畴化，为定向虚拟和经典纽结获得了新的无限族多项式不变量。
Generalised Biracks and the Birack Polynomial Invariant
本文将有限双量子着色不变量推广为基于有限双架标记纽结图的多项式不变量，并借此重新梳理相关广义纽结理论与广义双架理论。
Biquandle-Based Invariants of Virtual Knotoids and Connected Sum
本文研究虚拟纽结链环在连通和下基于双拟群的不变量，证明了基本双拟群为推出，并给出计数矩阵与虚拟括号不变量的连通和公式。
Biquandle Module Quiver Representations
本文提出了一种与有限双结点等结构相关的经典、虚拟和曲面-纽结与链环的无限族箭图表示值不变量，并以此定义了新的双变量多项式不变量无限族。
A note on longitudes of virtual knots
该研究指出经典纽结经度的换位子群性质可推广至虚拟纽结，为虚拟纽结的相关研究提供了新的结论
Biquandles, quivers and virtual bridge indices
本研究探讨双quandle着色、quiver增强与虚拟链环桥数的联系，证明存在虚拟链环满足b₁=m且b₂=n（m≤n）以回答Nakanishi和Satoh的问题，并构造出quiver不变量可区分双quandle计数不变量相同链环的链环族。
Biquandle Arrow Weight Quiver Representations
定义了一类与双箭袋、阿贝尔群、箭头权值等数据相关的无限族箭图表示值不变量，用于经典和虚拟纽结，并提取了四个新多项式不变量作为解范畴化。
Biquandle Arrow Weight Enhacements
本文提出双括号箭头权重这一新的无限族不变量，通过为高斯图中箭头交点赋予阿贝尔群权重来增强双括号同态集不变量，并证明其非平凡且严格。
The Structure of Biquandle Brackets
在他们题为“Quantum Enhancements and Biquandle Brackets”的论文中，Nelson、Orrison和Rivera介绍了biquandle Brackets，这是用于biquandle颜色链接的定制的绞链不变量。本文证明了：如果一个双四边形括号是另一个双四边形括号与某个函数$ϕ$的逐点积，则$ϕ$是一个双四边形2-上圈（直到常数倍）.作为一个应用，我们表明，一个新的不变量引入杨因子以这种方式，这使我们能够表明，新的不变量实际上是等价的琼斯多项式的结。此外，我们还提供了一些关于双量子括号的结构及其与双量子2-上环的关系的新结果。
On colored quandle longitudes and its applications to tangle embeddings and virtual knots
我们定义了新的不变量的纽结通过quandle着色和纵向信息。这些不变量可以应用于一个缠结嵌入问题和识别非经典的虚拟节点。
Bikei Invariants and Gauss Diagrams for Virtual Knotted Surfaces
标记顶点图提供了一种组合方式来表示$\mathbb{R}^4$中的打结表面;包括虚拟交叉允许虚拟打结表面和虚拟配边理论。Biquandle计数不变量的定义只为标记的顶点图表示打结可定向曲面，我们扩展这些不变量的所有虚拟标记顶点图考虑着色对合biquandles，也被称为bikei。我们引入了一种用高斯图表示标记顶点图的方法，并用它来刻画可定向性。
Biquandle Virtual Brackets
我们引入了一个无限的家庭的量子增强的双量子计数不变量，我们称之为双量子虚括号。定义在双角形着色定向纽结和链接图的绞不变量的交换环$R$中的值使用虚拟交叉作为平滑，这些不变量的形式的元素的多集合的$R$，并可以写在一个“多项式”的形式，以方便。本文定义的不变量家族包括所有quandle和biquandle 2-上循环不变量、所有经典的绞不变量（Alexander-Conway、Jones、HOMFLYPT和Kauffman多项式）和在以前的工作中定义的所有biquandle括号不变量以及在基本方式中使用虚交叉定义的新不变量，而没有明显的纯经典定义。
Biquandle Fares and Link Invariants
本文提出利用 Fare 构造双拟结的新型不变量，并探讨了1-Fare和2-Fare的应用及n>Fare的开放问题。
An example of semiquandle and u-polynomials for flat virtual knots via this semiquandle coloring
本文给出一个半拟群例子，利用其着色定义平坦虚纽结的不变量，并阐明其与u-多项式的联系。
Categorifying Biquandle Brackets
在他们题为“Quantum Enhancements and Biquandle Brackets”的论文中，Nelson、Orrison和Rivera介绍了biquandle Brackets，这是用于biquandle颜色链接的定制的绞链不变量。这些不变量推广了琼斯多项式，琼斯多项式由Khovanov同调分类。在论文的最后，Nelson、Orrison和Rivera询问了Khovanov同调的方法是否可以扩展到双括号的分类。我们在这里概述了Khovanov同源式的建设，是一种尝试，以获得这样一个分类的biquandle括号。由此产生的结不变量推广了Khovanov同调，但双括号并不总是可恢复的，这意味着该结构不是双括号的真正分类。然而，这种构造确实导致了一个定义，给出了一个与一个双量子括号相关联的“规范”双量子2-上循环，据作者所知，这是以前不知道的。
Bridging colorings of virtual links from virtual biquandles to biquandles
本文建立虚拟双拟群与双拟群着色不变量的联系，证明虚拟链环的虚拟双拟群着色数可由双拟群着色恢复，并引入新标记规则仅用经典交叉关系构造基本虚拟双拟群表示。
Universal cocycle Invariants for singular knots and links
给定一个二重$(X, S)$，一个具有一定相容性的函数$τ$和一对{ \em非交换上环} $f,h:X \times X\to G$，其值在一个非必然交换群$G$中，我们给出了奇异纽结/链环的一个不变量.给定$(X,S,τ)$，我们还定义了一个通用群$U_{nc}^{fh}(X)$和通用函数控制所有的2-上循环在$X$，并展示计算的例子。当目标群是阿贝尔群时，给出了{ \em阿贝尔上循环对}的概念，并定义了奇异纽结/链的“状态和”.给出了广义奇异纽结的环绕数的计算。对于虚结点，可以为奇异结点定义“自环绕数
Homology Theory for the Set-Theoretic Yang-Baxter Equation and Knot Invariants from Generalizations of Quandles
建立了集合论杨-巴克斯特方程的同调论，并利用双曲形和杨-巴克斯特上圈的广义着色构造了纽结不变量.
Hyperbolic covering knots
给定任意纽结k，存在一个体积任意大的双曲纽结波浪号k，使得纽结群pi k是pi波浪号k与一个映射的商，该映射将子午线发送到子午线，将经度发送到经度。纽结波浪线k可以选择为与k一致的带状，并且具有与k相同的亚历山大不变量。
An Affine Index Polynomial Invariant of Virtual Knots
本文描述了一个多项式不变量的虚拟节点，定义在一个整数标记的虚拟节点图。这个标签被认为是来自一个基本上独特的结构，仿射平面biquandle平面虚拟图。不变量详细讨论了许多例子，包括它与以前的这种类型的不变量，我们展示了如何从相同的数据构建瓦西里耶夫不变量。
The chord index, its definitions, applications and generalizations
本文研究虚拟结的弦指标，将其推广为有限型不变量，并引入指标Jones多项式和指标Quandle，讨论其在扭结理论中的应用。
Virtual Knot Groups
考夫曼定义的虚结是经典结的自然推广。结的大多数不变量以自然的方式扩展以给出虚拟结的不变量。在本文中，我们研究了虚纽结的基本群，并观察到一些新的和意想不到的现象。在经典的设定中，如果一个纽结的经度在纽结群中是平凡的，那么这个群是无限循环的。我们证明了对于任何经典的纽结群，都存在一个具有该群和平凡经度的虚纽结。众所周知，经典纽结群的第二同调是平凡的。我们提供了反例，这虚拟结。对任意群G，给出了存在一个虚纽结群的充要条件，该群在G的周边子群上具有特定的行为.这些条件简化了经典环境中出现的条件。
Psyquandle Coloring Quivers
我们提高了psyquandle计数不变量的奇异节点和pseudoknots使用类似的quandle染色抖动抖动。这使得我们能够将Quandle染色理论中的内次多项式不变量推广到奇异纽结和伪纽结的情形。作为一个副作用，我们获得双量子着色抖动和在度多项式不变量的经典和虚拟的结和链接。
Longitudinal Mapping Knot Invariant for SU(2)
将Reichermann在有限点群上定义的纽结染色多项式推广到无限点群上作为纽结的纵向映射不变量。反过来，这可以被认为是一个推广的quandle 2-上循环不变的有限quandles。如果群是拓扑群，则这个不变量可以被认为是2-上循环不变量的拓扑推广。纵向映射不变量是基于纽结群中的一个经纬度对。我们还给出了一个解释的不变量的quandle染色的1-tangle广义亚历山大quandles没有使用的一个quandle经度对的纽结群。具体地评估圆环结$T(2,n)$、其镜像和组$SU(2)$的8字形结的不变值。
Virtual Yang-Baxter cocycle invariants
我们扩展了杨-巴克斯特上循环不变量的虚拟节点，通过增加杨-巴克斯特2-上循环与上同调理论相关的虚拟biquandle结构。这些不变量与经典的杨-巴克斯特上循环不变量的经典节点，但提供额外的信息，虚拟的节点和链接。特别地，它们提供了一种用于检测虚拟节点和链接的非经典性的方法。
Skew Brace Enhancements
我们使用斜括号的结构，以提高从斜括号定义的有限biquandles的虚拟结和链接的biquandle计数不变量。我们引入了两个新的不变量：一个单变量多项式使用斜支撑理想和一个二元多项式使用斜支撑群结构。我们提供的例子表明，新的不变量是不确定的计数不变量，因此是适当的增强。
Cocycle Enhancements of Psyquandle Counting Invariants
我们把上循环增强理论应用到心理困惑的案例中。类似于我们以前的工作虚拟biquandle上循环增强，我们定义增强的psyquandle计数不变量通过对一个biquandle 2-上循环和一个新的功能，满足一定的条件。作为应用，我们定义了新的单变量和两个变量的多项式不变量的定向伪结和奇异结和链接。我们提供的例子表明，新的不变量是适当的计数不变量的增强是不是由Jablan多项式。
The crossing and the arc from the topological viewpoint
本文从拓扑视角研究纽结图元素，将弧和交叉点的等价类描述为探针的同痕类，探讨其同伦类在曲面tangle着色代数结构中的基础作用，并引入multicrossing complex统一多种同调理论。
Multi-switches and virtual knot invariants
本文介绍了一种一般的方法，即对于给定的虚拟双量子多开关$(S,V)$，在一个代数系统$X$（来自某个范畴）和一个给定的虚拟链路$L$上，构造一个代数系统$X_{S,V}(L)$（来自同一范畴），它是$L$的一个不变量。作为一个推论，我们引入了一个新的量子不变量的虚拟链接，推广以前已知的量子不变量的虚拟链接。
Virtual, Welded, and Ribbon Links in Arbitrary Dimensions
我们定义了一个推广的虚拟链接到任意尺寸的几何定义，由于卡特等人。我们表明，许多经典链接的伦型不变量扩展到虚拟链接的不变量。我们还定义了广义的虚拟链接图和高斯码来表示虚拟链接，并使用这样的图来构建一个组合biquandle不变量的虚拟$2$链接。在$2$ -链接的情况下，我们还探讨了福克斯米尔诺电影的虚拟情况下的概括。此外，我们还讨论了将焊接连接的概念扩展到更高维度的定义。对于在$4$维或更大的带状结，我们表明，结quandle是一个完整的分类不变的连接总和与平凡打结$S^1\times S^{n-1}$，所有涉及的同位素可以采取产生的带状结的稳定等价。
Psyquandles, Singular Knots and Pseudoknots
我们推广的概念biquandles的psyquandles，并使用这些来定义不变量的定向奇异链接和pseudolinks。除了psyquandle计数不变量，我们引入亚历山大psyquandle和相应的不变量，如亚历山大psyquandle多项式和亚历山大-Gröbner psyquandle不变量的定向奇异结和链接。我们考虑了伪链的Alexander psyquandle着色和伪链的p-着色之间的关系。作为一个特殊的情况下，我们定义了一个推广的亚历山大多项式为导向的奇异链接和伪链接，我们称之为Jablan多项式，并计算不变量的所有pseudoknots与多达5个交叉点和所有2束图与多达6个经典的交叉点。
Knot colouring polynomials
本文介绍了纽结着色数的一种自然扩张，称之为着色多项式，并研究了它们与Yang-Baxter不变量和Quandle 2-上循环不变量的关系。对于3-球面中的纽结K，设π_K是纽结补的基本群，（m_K，l_K）是π_K中的一个经纬度对.给定一个有限群G和G中的一个元素x，我们考虑从π_K到G的表示集ρ将子午线m_K映射到x，并定义着色多项式P（K）为所有经度像ρ（l_K）的和。由此产生的不变量将节点映射到群环Z[G]。它对于连通和是乘法的，对于纽结的对称运算是等变的。给出的例子表明，着色多项式区分结的其他不变量失败，特别是他们可以区分结从他们的突变体，正面，反转，或反转。证明了纽结的每一个Quandle 2-上循环状态和不变量都是某个纽结着色多项式的特殊化。这提供了一个完整的拓扑解释，这些不变量的纽结群及其周边系统。进一步证明了P可以表示为Yang-Baxter不变量，即表示为某个线性辫群表示的迹.这特别需要杨-巴克斯特不变量可以检测不可逆和不可逆的结。
Longitude Floer homology and the Whitehead double
我们定义了S ^3中纽结K的经度弗洛尔同调，并证明了它是K的一个拓扑不变量。得到了这些同调群的一些基本性质。特别是，我们表明，他们区分属K。我们还对（2，2n+1）环面结进行了显式计算。最后得到了K的经度弗洛尔同调与其Whitehead双K_L的Ozsvath-Szabo弗洛尔同调之间的对应关系。
Tribracket Modules
Niebrzydowski三括号是对满足从定向Reidemeister移动获得的条件的集合的三元运算，使得定向结或链接图的三括号着色的集合是定向结和链接的不变量。我们引入类似于quandle/biquandle/rack模块的三括号模块，并使用这些结构来增强三括号计数不变量。我们提供的例子来说明计算的不变量，并表明增强是适当的。
Knots and distributive homology: from arc colorings to Yang-Baxter homology
本文是我的论文《代数结构的同调论中的分配性与结合性》的续篇。44（4），2011，821-867（arXiv：1109.4850 [math.GT]）。我们从弧着色的朴素不变量开始，并调查了与纽结理论有关的缔合和分布岩浆及其同源性。我们概述了潜在的关系Khovanov同调和分类，通过杨巴克斯特运营商。我们在这里使用的事实，杨-巴克斯特方程可以被认为是一个推广的自分配。我们展示了如何定义和可视化杨巴克斯特同源，特别是给出了一个简单的描述同源的biquandles。
A Survey of Quantum Enhancements
本文综述新兴的量子增强纽结不变量领域的最新进展，说明该类不变量的定义方式，指出其涵盖的经典不变量类型与新增的新型不变量。
An extended symmetric union and its Alexander polynomial
针对素纽结群满同态保持子午线的序关系$K_1 \geq K_2$，构造了一族将$K_1$经线映射为平凡元的纽结对（为单全扭区域对称并的扩展），拓展了对称并亚历山大多项式性质，并验证其覆盖Kitano-Suzuki列表中10交叉以下除两个外的相关纽结。
Integral face-edge duality for knot triangulations
本文通过上链构造建立结三角剖分中面矩阵与粘合矩阵的对偶关系，证明零化度加倍及FAMED恒等式，并给出Wong猜想的拟议证明。
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