On the relation between the WRT invariant and the Hennings invariant
Qi Chen, Srikanth Kuppum, Parthasarathy Srinivasan
本文的目的是给出与量子sl_2有关的三维流形的Witten-Reshetikhin-Turaev SO（3）不变量与Hennings不变量之间的一个简单关系。
The purpose of this note is to provide a simple relation between the Witten-Reshetikhin-Turaev SO(3) invariant and the Hennings invariant of 3-manifolds associated to quantum sl_2.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Hennings type invariant of $3$-manifolds from a topological Hopf superalgebra
证明了展开超代数$\mathcal{U}_ξ^{H}\mathfrak{sl}(2|1)$有一个拓扑意义下的带状超代数的完备化，其中$ξ$是奇数阶的单位根.利用这个带状超代数，我们构造了它的环的泛不变量。利用它构造了Hennings型$3$ -流形的一个不变量.
Relationship of the Hennings and Chern-Simons Invariants For Higher Rank Quantum Groups
对于任意单李代数在单位根单位根上的小量子群的Hennings不变量，证明了与Chern-Simons场论中的Jones- Witten-Reshetikhin-Turaev不变量一致，在单位根上，对于同一个李代数和同一个单位根，在所有的整数同调三球面上，这两个不变量都被定义.这部分地推广了Chen，et al.（[CYZ 12，CKS 09]）的工作，该工作涉及任意有理同调三球面的SL（2）和SO（3）的Hennings和Chern-Simons不变量。
Chromatic spherical invariant and Hennings invariant of 3-dimensional manifolds
本文建立了三维流形的色球面不变量$\mathcal{K}$与亨宁斯-考夫曼-拉德福德不变量$\operatorname{HKR}$的关系，证明对球面霍普夫代数$H$，前者（关联有限维$H$-模枢轴范畴）等于后者（关联$H$的丁菲尔德双重$D(H)$）。
Renormalized Hennings Invariants and 2+1-TQFTs
我们构造了非半单$2+1$ -TQFT，得到了Lyubashenko空间中的映射类群表示.为了做到这一点，我们首先将Beliakova，Blanchet和Geer基于量子$\mathfrak{sl}_2$的对数Hennings不变量推广到有限维非退化单模带霍普夫代数的情形.用于此构造的工具是Hennings增强的Reshetikhin-Turaev函子和修改的迹。当霍普夫代数是可因子分解的时，我们进一步证明了Blanchet，Habegger，Masbaum和Vogel的泛构造在一个不完全刚性的monoidal子范畴上产生了一个$2+1$ -TQFT.
Modified graded Hennings invariants from unrolled quantum groups and modified integral
第二作者利用超李代数$\mathfrak{sl}(2|1)$的展开量子群构造了一个拓扑带状Hopf代数。我们将这一事实推广到展开量子群的情形，并构造了相应的拓扑带状霍普夫代数.然后利用这样的代数、离散傅里叶变换、对称化分次积分和修正迹定义了修正分次Hennings不变量。最后，我们使用修改后的积分的概念，将此不变量扩展到空流形，并证明它恢复了CGP不变量。
Unified Quantum SO(3) and SU(2) Invariants for Rational Homology 3-Spheres
在这篇论文中，我们给出了量子WRT不变量的统一。给定一个有理同调3-球面M和内部的一个链环L，我们定义了统一不变量，使得这些不变量在单位单位根处的求值等于相应的量子WRT不变量。在SU（2）情形下，我们假设流形的第一个同调群的阶为奇数。因此，对于有理同调3-球面，我们的不变量支配整个SO（3）量子WRT不变量集，对于阶为第一个同调群奇数的流形，支配整个SU（2）量子WRT不变量集。我们进一步证明了，统一不变量具有很强的完整性。
Weak Hopf Algebras unify the Hennings-Kauffman-Radford and the Reshetikhin-Turaev invariant
本文在弱霍普夫代数H的基础上，利用适当的左积分，给出了连通定向闭三维流形的一个不变量.我们的不变量可以被理解为推广到弱霍普夫代数的Hennings-Kauffman-Radford评估的无定向框架链接使用的对偶量子迹。该量子迹满足使得链接评估在Kirby移动下不变的条件。如果H是一个合适的有限维霍普夫代数（非弱），则我们的不变量退化为H的对偶的Kauffman-Radford不变量.若H是由模范畴C重构的弱霍普夫代数Tannaka-Krein，则我们的不变量与Reshetikhin-Turaev不变量一致.特别是，Reshetikhin-Turaev不变量的不变性证明变得像考夫曼-雷德福不变量一样简单。C的模性只使用一次，以表明不变量是非零的;除此之外，具有带状结构的融合范畴就足够了。我们对弱霍普夫代数H的考夫曼-雷德福不变量的推广和其有限维余模范畴C=M^H的Reshetikhin-Turaev不变量在构造上总是一致的。有没有必要考虑商的表示范畴模“可忽略态射”在任何阶段，我们的建设包含Reshetikhin-Turaev不变量的任意模范畴C，无论其与某些量子群的关系是已知的或没有。
Quantum Invariants, Modular Forms, and Lattice Points II
研究了具有M例外纤维的Seifert纤维同调球的SU（2）Witten-Reshetikhin-Turaev不变量.我们证明了WRT不变量可以用权为1/2和3/2的模形式的Eichler积分的微分表示。利用Eichler积分的近模性质，得到了WRT不变量在大N极限下的渐近展开。我们进一步揭示了在N -> \infinity中控制WRT不变量渐近性的平坦联络的规范等价类的数目与M维四面体内部的整数格点的数目有关。
Integrality and Gauge Dependence of Hennings TQFTs
本文基于有限Hopf代数构造整性TQFTs，展示其在Hennings不变量中的应用，并通过规范变换建立TQFT函子的同构，证明量子sl_2的不变量取值于循环整数。
Unified quantum invariants for integral homology spheres associated with simple Lie algebras
对于每个有限维的单复李代数$\mathfrak g$和每个单位根$ξ$（在阶上有一些温和的限制），可以定义定向3-流形$M$的Witten-Reshetikhin-Turaev（WRT）量子不变量$τ_M^{\mathfrak g}(ξ)\in \mathbb C$。在本文中，我们构造了一个积分同调球面$M$的不变量$J_M$，其值在多项式环$\mathbb Z [q]$的分圆完备$\widehat {\mathbb Z [q]}$中，使得在每个单位根上对$J_M$的求值给出了$M$在该单位根上的WRT量子不变量.这个结果推广了第一作者证明的${\mathfrak g}=sl_2$的情形。因此，$J_M$统一了与$\mathfrak g$相关的$M$的所有量子不变量，并将量子不变量表示为定义在单位根集合上的一种“解析函数“。例如，所有单位根的$τ_M(ξ)$由任何单位根处的“泰勒展开”确定，并且还由素数幂阶的无限多个单位根处的值确定。因此，所有单位根的WRT量子不变量$τ_M(ξ)$由Ohtsuki级数确定，Ohtsuki级数可以被视为$q=1$的泰勒展开，因此由Le-Murakami-Ohtsuki不变量确定。另一个结果是WRT量子不变量$τ_M^{ \mathfrak g}(ξ)$是代数整数。不变量$J_M$的构造是在量子群的水平上完成的，并且不涉及任何有限维表示，这与WRT量…
Quantum invariants of 3-manifolds associated to restricted quantum groups
我们证明了对于有理同调3-球面，与限制量子$sl_2$相关的Witten-Reshetikhin-Turaev SU（2）不变量和Hennings不变量本质上是相同的.
Notes on multiplier Hopf algebras and invariants of framed links and 3-manifolds
本文证明了由霍普夫代数得到的框架链环和3-流形的不变量的Hennings构造对于某些代数量子群也可以进行。
Integrality of quantum 3-manifold invariants and rational surgery formula
证明了任意3-流形M的Witten-Reshetikhin-Turaev（WRT）SO（3）不变量总是一个代数整数.此外，我们给出了有理同调3-球面在与挠率互素的单位阶根处的支配WRT SO（3）不变量的统一不变量的有理运算公式。作为应用，我们计算了塞弗特纤维空间的统一不变量和Dehn手术的扭曲结。我们表明，这个不变量分离积分同调塞弗特纤维空间，并可用于检测unknot。
Witten-Reshetikhin-Turaev Invariants, Homological Blocks, and Quantum Modular Forms for Unimodular Plumbing H-Graphs
Gukov-Pei-Putrov-Vafa为了对Witten-Reshetikhin-Turaev（WRT）不变量进行分类，用物理方法构造了称为同调块的$q$ -系列不变量，并证明了同调块的径向极限是WRT不变量.本文证明了他们关于幺模H-图的猜想。结果表明，H-图的WRT不变量在量子集$\mathbb{Q}$上产生深度为2、重量为1的量子模形式.在证明我们的主要定理的过程中，我们首先将不变量写成有理函数的有限和。其次，我们对加权高斯和进行了系统的研究，给出了加权高斯和的消失结果。结合这些结果，我们最终证明了上述猜想对H-图成立。
Genealogy of Nonperturbative Quantum-Invariants of 3-Manifolds: The Surgical Family
我们分别研究了Reshetikhin-Turaev，Hennings-Kauffman-Radford和Lyubashenko的不变量$τ_{RT}$，$τ_{HKR}$和$τ_L$之间的关系。特别是，我们明确讨论了$τ_L$专门$τ_{RT}$半简单的类别和$τ_{HKR}$ Tannakian类别。我们给出的参数，$τ_L$是最一般的不变量，源于一个扩展的TQFT。我们引入了一个规范的，中心元素，{ \sf Q}，准三角形的Hopf代数，$\A$，这使我们能够直接应用亨宁斯算法，以计算$τ_{RT}$，这是原来从半单迹子商的$\A-mod$。此外，我们推广亨宁斯规则的背景下，协边，为了获得一个TQFT的连通曲面兼容$τ_{HKR}\,$。作为应用，我们证明了对于透镜空间和$\A=U_q(sl_2)\,$，$τ_{HKR}$和$τ_{RT}$的比是第一同调群的阶.在本文的过程中，我们还概述了进入不变性证明的拓扑和代数，其中不包含对2-句柄幻灯片的引用，但对其他移动是本地的。最后，我们给出了一个开放的问题清单，关于细胞的不变量，定义的Turaev-Viro，Kuperberg，和其他人，他们之间的关系，以及他们的关系，从上面的手术不变量。
Quantum Invariants of 3-manifolds and NP vs #P
计算复杂性类#P捕获了对布尔公式的满意赋值进行计数的难度。本文利用量子计算的基本工具证明了3-流形的SO（3）Witten-Reshetikhin-Turaev（WRT）不变量是P-难计算的。然后，我们将这一结果应用到一个关于Heegaard分裂的组合学问题上，这个问题是由M.弗里德曼我们表明，如果$\#\text{P}\neq\text{FP}^\text{NP}$，那么存在无限多的Heegaard分裂，不能由局部WRT保持移动，除了可能通过一个超多项式的步骤。我们还概述了上述结果的两个扩展。首先，适应Kuperberg的结果，我们证明了WRT的任何表示独立的近似也是P-困难的。其次，我们勾勒出如何我们所有的结果可以被翻译为设置的三角剖分和Turaev-Viro不变量。
Bailey pairs, Eichler integrals and unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariants
本文利用Bailey对 machinery 和不完整二次高斯和的新型关系，构造了q-多和在单位根处与极限值Eichler积分的重量3/2模形式之间的无限族恒等式，涵盖了Hikami的结果和猜想以及Lawrence和Zagier结果的推广。
|Z_{Kup}|=|Z_{Henn}|^2 for Lens spaces
M. Hennings和G. Kuperberg基于某些霍普夫代数分别定义了闭定向三维流形的量子不变量Z_{Henn}和Z_{Kup}.我们证明了|Z_{Kup}| =| Z_{Henn}|对于透镜空间，当两个不变量都基于可因子分解的有限维带霍普夫代数时，是^2。
Homology TQFT's and the Alexander-Reidemeister Invariant of 3-Manifolds via Hopf Algebras and Skein Theory
我们开发了一个显式的绞理论算法来计算亚历山大多项式的3流形从手术介绍采用的方法在建设中使用的量子不变量的3流形。作为前提条件，我们建立并证明了Frohman和Nicas利用U（1）-表示簇的交同调构造的拓扑量子场论与基于拟三角Hopf代数${\cal N}=\Z/2\ltimes \ext *\R^2$组合构造的Hennings-TQFT之间的一个意想不到的等价性.我们发现，这两个TQFT的是$SL(2,\R)$ -等变函子，也因此同构。Hennings构造中的$SL(2,\R)$ -作用来自于$\cal N$上的自然作用，而在Frohman-Nicas理论的情况下，来自于U（1）-模空间的Hard-Lefschetz分解，假定它们是自然的Kähler。这个TQFT的不可约分量，对应于$SL(2,\Z)$和$Sp(2g,\Z)$的简单表示，因此通过求和和乘积产生了一个大的同调TQFT族。我们给出了几个例子TQFT的和不变量，似乎适合这个家庭，如米尔诺和Reidemeister扭转，塞伯格-威滕理论，卡森型理论的同源圈阿拉唐纳森，更高的秩规范理论以下Frohman和Nicas，和$\Z/r$减少Reshetikhin-Turaev理论的分圆整数$\Z[ζ_r]$。我们还推测量子- ${\mathfrak sl}_2$的Hennings TQFT是Reshetikhin-Turaev …
Non-semisimple invariants and Habiro's series
在本文中，我们建立了显式的关系哈比罗的分圆展开的有色琼斯多项式（在p次单位根评估）和Akutsu-Deguchi-Ohtsuki（ADO）不变量的双扭结。这使我们能够比较Witten-Reshetikhin-Turaev（WRT）和Costantino-Geer-Patureau（CGP）不变量的3-流形上的0-手术。它们之间的差由Habiro级数的p-1系数决定。我们期望这些对所有塞弗特1节属都成立。
BPS spectra and 3-manifold invariants
我们提供了一个新的同调不变量$\mathcal{H}_a (M_3)$的3-流形（可能，与结）标记的阿贝尔平坦的连接的物理定义。所讨论的物理系统涉及$M_3$上的6维五膜理论乘以2-圆盘，$D^2$，其BPS态的希尔伯特空间在3d $\mathcal{N}=2$理论$T[M_3]$的各种配分函数的分类中起着基本构建块的作用：$D^2\times S^1$半指数，$S^2\times S^1$超共形指数，和$S^2\times S^1$拓扑扭曲指数。第一个配分函数通过选择边界条件来标记，并提供了Chern-Simons（WRT）不变量的改进。它们在未加细极限下的线性组合给出了$M_3$的解析连续WRT不变量。最后两个可以分解为半指数的乘积。我们展示了这是如何明确的许多例子，包括透镜空间，黎曼曲面上的圆纤维化，和铅垂3-流形。
Witten-Reshetikhin-Turaev invariants and homological blocks for plumbed homology spheres
本文证明一类拼合三维流形上的 Gukov-Pei-Putrov-Vafa 猜想，通过比较有理函数与 false theta 函数渐近展开的新技术，由全纯性得到加权 Gauss 和消失。
$q$-Series Invariants of Three-Manifolds and Knots-Quivers Correspondence
本文验证了不同群下三维流形$\u2c6bZ$不变量的相等关系，并通过逆向工程MMR形式体系得到双扭结的箭图表示，推进了GPPV猜想与纽结-箭图对应猜想的研究。
Skein theory and Witten-Reshetikhin-Turaev Invariants of links in lens spaces
我们研究了L（p，q）中链环的Witten-Reshetikhin-Turaev SU（2）不变量作为水平r-2的函数的行为.它们由1除以r的平方根乘以在e处求值的p罗朗多项式之一除以2 π i除以4pr给出。r模p的同余类决定了哪个多项式是适用的。如果p是0模4，则L（p，q）的子午线在绞链模中是非平凡的，但具有平凡的Witten-Reshetikhin-Turaev SU（2）不变量。另一方面，我们表明，一个可以恢复的Kauffman括号skein模块L（p，q）表示的链接从收集的WRT不变量在所有级别，如果p是一个素数或两次奇素数的元素。通过一个更微妙的论证，这也被证明对p=9是正确的。
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