Elation generalised quadrangles of order (s,p), where p is prime
John Bamberg, Tim Penttila, Csaba Schneider
我们证明了一个在每个点上有p+1条线的广义四边形，对于某个素数p，是经典四边形或源于一群二次锥（即，是羊群四边形）。
We show that an elation generalised quadrangle which has p+1 lines on each point, for some prime p, is classical or arises from a flock of a quadratic cone (i.e., is a flock quadrangle).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Classifying pseudo-ovals, translation generalized quadrangles, and elation Laguerre planes of small order
本文分类了阶不超过 64 的平移广义四边形及相关关联几何，并给出 n=3、4 时 PG(3n-1,2) 全部伪卵形，以及 n=5、6 时带 Desargues 关联平面条件的伪卵形分类。
Central aspects of skew translation quadrangles, I
除了埃尔米特建筑物$\mathcal{H}(4,q^2)$之外，直到对偶、平移对偶或佩恩积分的组合，每个已知的有限建筑物类型$\mathbb{B}_2$都满足一组一般综合性质，通常放在术语“斜平移广义四边形”（STGQ）中。在本系列论文中，我们对有限斜平移广义四边形进行了分类。在第一部分中，作为本文所建立的机制的推论，我们得到了令人惊讶的结果：任何奇数阶斜平移四边形$(s,s)$都是辛四边形;我们确定了所有具有不同的群的斜平移四边形（佩恩在一个不太一般的环境中提出的问题）;（c）发展了斜平移四边形根的结构理论，这也将在后面的部分中使用，它本质上告诉我们，一个非常一般的斜平移四边形类允许每个成员的理论最大根数，因此所有成员都是"中心"的。（控制STGQ所需的主要属性，如下文所示）;（d）我们解决了一类STGQ的主参数猜想，这类STGQ包含前一项的类，并且与所有STGQ的类在理论上一致。
A generalised quadrangle is a point-line incidence geometry G such that: (i) any two points lie on at most one line, and (ii) given a line L and a point p not incident with L, there is a unique point on L collinear with p. They are a specific case of the generalised polygons introduced by Tits, and these structures and their automorphism groups are of some importance in finite geometry. An integral part of understanding the automorphism groups of finite generalised quadrangles is knowing which groups can act primitively on their points, and in particular, which almost simple groups arise as au…
Point-primitive, line-transitive generalised quadrangles of holomorph type
设$G$是有限厚广义四边形$Γ$的一组直射变换。设$G$在$Γ$的点集$\mathcal{P}$上连续作用，在$Γ$的直线上传递.我们证明了$G$对$\mathcal{P}$的本原作用不能是全像简单型或全像复合型的。在联合工作中，我们以前分类的例子$Γ$的$G$对$\mathcal{P}$的行动是仿射型。因此，分类问题的广义四边形与点原始，线传递直射变换群的情况下，有一个唯一的最小正规子群$M$和$M$是非阿贝尔。
Simple groups, product actions, and generalised quadrangles
旗传递广义四边形的分类问题是有限几何与置换群理论之间的一个长期悬而未决的问题。假设所有已知的旗传递广义四边形也是点本原的（直到点-线对偶），寻求点本原例子的分类也是很自然的。工作朝着这个目标，我们导致调查广义四边形，承认一个直射变换群$G$保持笛卡儿积分解的一组点。它表明，在一般的假设下，$G$，这样的笛卡儿积的因子的数量可以是最多四个。这个结果然后被用来处理各种类型的原始和quasiprimitive点的行动。特别地，它表明，$G$不能有全形化合物O 'Nan-Scott型。我们的论点也提出纯粹的群论问题的共轭类在非阿贝尔有限单群，和有关的不稳定性的原始置换群。
Every flock generalised quadrangle has a hemisystem
我们证明，每一个羊群广义四边形包含一个半球，我们提供了一个建设方法，统一我们的结果与例子Cossidente和Penttila在经典的情况下。
Locally Repairable Codes (LRC's) based on generalised quadrangles were introduced by Pamies-Juarez, Hollmann and Oggier in \cite{PaHoOg2013}, and bounds on the repairability and availability were derived. In this paper, we determine the values of the repairability and availability of such LRC's for a large portion of the currently known generalised quadrangles. In order to do so, we determine the minimum weight of the codes of translation generalised quadrangles and characterise the codewords of minimum weight.
Point regular groups of automorphisms of generalised quadrangles
我们研究了一些已知的广义四边形的自同构的点正则群。特别是，我们确定所有的点正则群的厚经典广义四边形的自同构。我们还构造了由经典辛四边形$\mathsf{W}(3,q)$通过Payne导子得到的$(q-1,q+1)$阶广义四边形的自同构的点正则群。对于$q=p^f$与$f\geq 2$，当$p\geq 5$时得到至少两个非同构群，当$p=2$或$3$时得到至少三个非同构群。我们的群包括非交换2-群、指数为9的群和非特殊的$p$ -群。我们还列举了一些小的广义四边形的自同构的所有点正则群。
Generalised quadrangles with a group of automorphisms acting primitively on points and lines
本文证明了：若G是一个厚有限广义四边形Q的自同构自同构群，且Q的自同构作用在Q的点和线上，则G是几乎单的.此外，如果G也是旗传递的，则G是李型的。
Intriguing sets of partial quadrangles
称为\textit{partial quadrangle}的点-线几何（由Cameron在1975年引入）具有这样的性质，即对于每个点/线非关联对$(P,\ell)$，最多有一条线通过$P$与$\ell$并发。特别是，被称为\textit{generalised quadrangles}的研究对象都是部分四边形。广义四边形的\textit{intriguing set}是一个点集，它能诱导强正则图的大小为2的公平划分。我们扩展的理论有趣的套广义四边形的班贝格，法律和Penttila部分四边形，这令人惊讶地提供了深入了解结构的半系统和其他有趣的套广义四边形。
Generalised quadrangles and transitive pseudo-hyperovals
射影空间$\PG(3n-1,q)$的伪超椭圆，甚至$q$，是一组$n-1$维的$q^n+2$子空间，使得任意三个子空间跨越整个空间。证明了具有不可约传递稳定子的伪超卵形是初等的。然后，我们从这个结果推导出一个分类的厚广义四边形$\mathcal{Q}$，承认一个点本原，线传递自同构群的点正则阿贝尔正规子群。具体来说，我们表明，$\mathcal{Q}$是标志传递和同构的$T_2^*(\mathcal{H})$，其中$\mathcal{H}$是定期超椭圆的$\PG(2,4)$或Lunelli-Sce超椭圆的$\PG(2,16)$。
A code $C$ in a generalised quadrangle ${\mathcal Q}$ is defined to be a subset of the vertex set of the point-line incidence graph $\varGamma$ of ${\mathcal Q}$. The minimum distance $δ$ of $C$ is the smallest distance between a pair of distinct elements of $C$. The graph metric gives rise to the distance partition $\{C,C_1,\ldots,C_ρ\}$, where $ρ$ is the maximum distance between any vertex of $\varGamma$ and its nearest element of $C$. Since the diameter of $\varGamma$ is $4$, both $ρ$ and $δ$ are at most $4$. If $δ=4$ then $C$ is a partial ovoid or partial spread of ${\mathcal Q}$, and if, …
A note on relative hemisystems of Hermitian generalised quadrangles
本文给出了构造Hermite空间$\mathrm{H}(3,q^2)$的相对半系的一组充分判据，统一了所有已知的无限族。我们使用这些条件提供新的证据的存在性的已知的无限家庭的相对半系统。这些结果使我们能够重新发现新的相对半系统密切相关的无限家庭Cossidente的，并开发技术，可能是有用的，在未来寻找相对半系统。
On codewords in the dual code of classical generalised quadrangles and classical polar spaces
在[9]中，刻画了Q（4，q）的点、线码的对偶码中的小权码字。受这一结果的启发，利用几何参数，我们刻画了点码与Q+（5，q）和H（5，q2）的生成元的对偶码中的小权重码字，并给出了经典极空间的点码与k-空间的对偶码中码字权重的下界。此外，我们调查的码字与最大的重量在这些代码中，其中q甚至和k足够小，我们确定的最大重量和最大重量的码字。证明了存在一个区间，使得对于该区间中的每个偶数w，Q+（5，q），q偶数的对偶码中存在一个码字，其权重为w，并且证明了Q（4，q），q偶数的对偶码的权重分布中存在一个空区间.为了证明这一点，我们证明了Q（4，q）的一个大小为q2 + 1 +r（其中0 < r <（q +4）/6）的阻塞集（q为偶数）包含Q（4，q）的一个卵形体，改进了[5，定理9].
Every special set of the Hermitian surface $\mathsf{H}(3,q^2)$ is classical
研究厄米特曲面\\(\mathsf{H}(3,q^2)\\)特殊集，通过证明其特殊集仅已知的一个示例，该示例产生经典广义四边形，从而得出不存在其他特殊集的结论。
A $pseudo$-$oval$ of a finite projective space over a finite field of odd order $q$ is a configuration of equidimensional subspaces that is essentially equivalent to a translation generalised quadrangle of order $(q^n,q^n)$ and a Laguerre plane of order $q^n$ (for some $n$). In setting out a programme to construct new generalised quadrangles, Shult and Thas asked whether there are pseudo-ovals consisting only of lines of an elliptic quadric ${Q}^-(5,q)$, non-equivalent to the $classical$ $example$, a so-called $pseudo$-$conic$. To date, every known pseudo-oval of lines of ${Q}^-(5,q)$ is proje…
In this paper we show that if $θ$ is a $T$-design of an association scheme $(Ω, \mathcal{R})$, and the Krein parameters $q_{i,j}^h$ vanish for some $h \not \in T$ and all $i, j \not \in T$ ($i, j, h \neq 0$), then $θ$ consists of precisely half of the vertices of $(Ω, \mathcal{R})$ or it is a $T'$-design, where $|T'|>|T|$. We then apply this result to various problems in finite geometry. In particular, we show for the first time that nontrivial $m$-ovoids of generalised octagons of order $(s, s^2)$ do not exist. We give short proofs of similar results for (i) partial geometries with certain or…
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