Coarse differentiation of quasi-isometries II: Rigidity for Sol and Lamplighter groups
Alex Eskin, David Fisher, Kevin Whyte
本文是[EFW 2]的继续，我们完成了Sol和点灯群的拟等距刚性的证明。结果在[EFW 1]中公布。
In this paper, which is the continuation of [EFW2], we complete the proof of the quasi-isometric rigidity of Sol and the lamplighter groups. The results were announced in [EFW1].
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Pattern preserving quasi-isometries in lamplighter groups and other related groups
该研究针对三类半直积结构群族，探究粗置换Z子群陪集的拟等距在B上的诱导映射，发现点灯群情形下不满足仿射映射结论，但仍有部分共性，拓展了群的几何代数关联研究。
Cross-wired lamplighter groups
给出了Diestel-Leader图的等距群中的局部紧群同构于闭余紧子群的一个充要条件.由于这个条件，我们看到，每一个共紧格的等距群的迪斯特-领袖图承认一个传递，适当的行动，其他一些迪斯特-领袖图。我们也给出了一些实际上不是点灯人的格的例子。这意味着类的离散群可dumblighter集团是不封闭的拟等距下，并结合工作的Eskin，Fisher和Whyte，给出了一个特征的拟等距类。
A measure-scaling quasi-isometry between two connected graphs is a quasi-isometry that is quasi-$κ$-to-one in a natural sense for some $κ>0$. For non-amenable graphs, all quasi-isometries are quasi-$κ$-to-one for any $κ>0$, while for amenable ones there exists at most one possible such $κ$. For an amenable graph $X$, we show that the set of possible $κ$ forms a subgroup of $\mathbb{R}_{>0}$ that we call the (measure-)scaling group of $X$. This group is invariant under measure-scaling quasi-isometries. In the context of Cayley graphs, this implies for instance that two uniform lattices in a giv…
This is a rather personal introductory outline of an interesting class of geometric, resp. graph- and group-theoretical structures. After an introductive section about their genesis, the general construction of horocyclic products is presented. Three closely related basic structures of this type are explained in more detail: Diestel-Leader graphs, treebolic spaces, and Sol-groups, resp. -manifolds. Emphasis is on their geometry, isometry groups, quasi-isometry classification and boundary at infinity. Subsequently, it is clarified under which parametrisation they admit discrete groups of isomet…
Coarse differentiation of quasi-isometries I: spaces not quasi-isometric to Cayley graphs
本文证明了某些空间与有限生成群的Cayley图不是拟等距的。特别是，我们回答了Woess的一个问题，并证明了Diestel和领导人的猜想，通过证明某些齐次图不是拟等距的一个有限生成群的凯莱图。本文是证明[EFW0]中宣布的结果的一系列论文中的第一篇。特别是，本文包含了许多步骤中的证明拟等距刚性的格在溶胶和拟等距分类的点灯人群体。这些结果的证明在[EFW1]中完成。这里使用的方法是基于[EFW0]中引入的“粗微分”的思想。
Quasi-isometries and rigidity of solvable groups
本文给出了非幂零多环群拟等距刚性的第一个结果。特别地，我们证明了任何与三维可解李群Sol拟等距的群实质上是Sol中的格。本文证明了与$R \ltimes R^n$拟等距的群的类似结果，其中半直积由行列式1的可对角化矩阵定义，在单位圆上没有特征值.我们解决这些问题的方法是首先对可解李群的所有自拟等距进行分类。我们对$R \ltimes \R^n$的自拟等距的分类证明了Farb和Mosher在[FM 4]中提出的一个猜想。我们的技术研究准等距扩展到其他一些类的群体和空间。特别是，我们的特点群体拟等距任何点灯组，回答一个问题的德拉Harpe [dlH]。证明了某些Diestel-Leader图对于任何有限生成群都不是拟等距的，从而验证了Diestel和Leader在[DL]中的一个猜想，并回答了Woess在[SW]，[Wo 1]中提出的一个问题.我们还证明了某些非幺模、非双曲可解李群不是有限生成群的拟等距群。本文的结果是对Gromov的分类程序的贡献有限生成群准等距[Gr 2]。我们介绍了一种新的技术研究拟等距，我们称之为“粗微分”。
Analytic, geometric and measured aspects of lamplighter-like groups
本论文从拟等距与度量角度研究类灯群，给出置换圈积的拟等距分类及刚性结果，并构造晕积的轨道等价耦合，改进等周轮廓估计。
Quasi-isometric rigidity for lamplighters with lamps of polynomial growth
本文证明多项式增长灯泡群的拟等距具有测度缩放刚性，缩放因子由增长次数决定，并应用于构造非双Lipschitz等价的群对及迭代圈积分类，首次给出灯泡刚性群例子。
We prove that for any prime $p\geq 3$ the minimal exponential growth rate of the Baumslag-Solitar group $BS(1,p)$ and the lamplighter group $\mathcal{L}_p=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\wr \mathbb{Z}$ are equal. We also show that for $p=2$ this claim is not true and the growth rate of $BS(1,2)$ is equal to the positive root of $x^3-x^2-2$, whilst the one of the lamplighter group $\mathcal{L}_2$ is equal to the golden ratio $(1+\sqrt5)/2$. The latter value also serves to show that the lower bound of A.Mann from [Mann, Journal of Algebra 326, no. 1 (2011) 208--217] for the growth rates of non-semidire…
Quadratic equations in the lamplighter group
论文研究 lamplighter 群中二次方程的求解复杂度，按方程亏格等特征完整划分 NP 完全与多项式时间可解情形，并证明共轭问题线性可解及整体问题属于 XP。
One variable equations over the lamplighter group
研究证明了灯光群中一元方程的可判定性，并提出了一种具有超指数时间复杂度的求解算法，同时指出在大多数情况下可高效判定。
Measure equivalence and sofic approximations
本文提出一种利用sofic逼近间的映射产生sofic群测度耦合的技术，证明了可解Baumslag-Solitar群、Lamplighters群和SOL群彼此指数测度等价，这与它们通常不拟等距形成鲜明对比。
Shifts on the lamplighter group
本文通过两个一般模拟定理证明了灯夫群具有强非周期SFT、不可判定的铺砖问题，并完全刻画了其SFT熵为非负上半天可计算实数，同时将结果推广到亚贝尔Baumslag-Solitar群。
The Poisson boundary of lamplighter random walks on trees
设T是有度数的齐次树，G是T是Cayley图的有限生成群.相关的灯群是r阶循环群与G的圈积。对于这个群上的一大类随机游动，我们证明了几乎必然收敛到一个自然的几何边界。若随机游动的概率律具有有限的一阶矩，则由该几何边界与随机游动的极限分布构成的概率空间是极大的，即Poisson边界.我们还证明了无穷远处的狄利克雷问题是可解的连续函数上的活动部分的边界，如果灯“在有界范围内操作”。
One-variable equations over the lamplighter group
研究了灯塔群上一元方程的可判定性，通过自动机理论框架和多项式可除性分析，证明了单变量方程的丢番图问题可判定，并揭示了最坏情况与典型计算行为的差异。
We prove that any finitely generated torsion free solvable subgroup of the group ${\rm IET}$ of all Interval Exchange Transformations is virtually abelian. In contrast, the lamplighter groups $A\wr \mathbb{Z}^k$ embed in ${\rm IET}$ for every finite abelian group $A$, and we construct uncountably many non pairwise isomorphic 3-step solvable subgroups of ${\rm IET}$ as semi-direct products of a lamplighter group with an abelian group. We also prove that for every non-abelian finite group $F$, the group $F\wr \mathbb{Z}^k$ does not embed in ${\rm IET}$.
Submonoid Membership in n-dimensional lamplighter groups and S-unit equations
本文证明了n维换灯泡群及半直积中的子半群成员资格问题可判定，通过将其归约为S-unit方程求解并扩展了解集有效p-automatic的结果，首次给出了子群可判定但全群不可判定的实例。
Parabolic isometries of CAT(0) spaces and CAT(0) dimensions
我们从CAT（0）几何中的维数间隙的观点来研究离散群。通过Brady-Crisp和Bridson的研究，我们证明了存在几何维数为2的非对称群，它们不能通过等距作用于任何适当的2维CAT（0）空间，尽管这种作用存在于3维CAT（0）空间。另一个例子是复维数n > 1的具有有限体积的完备非紧复双曲流形M的基本群G。群G作用在M的泛覆盖上，它与H^n_C等距。它是一个2n维的CAT（-1）空间。图G的几何维数为2n-1。我们证明了G不适当地作用于任何2n-1维的适当CAT（0）空间。我们还讨论了圆上环面丛的基本群和可解Baumslag-Solitar群。
A finitely-presented solvable group with a small quasi-isometry group
我们展示了一族无限的、有限表现的、幂零的阿贝尔群。这个群族的每个成员都是一个与Baumslag-Solitar群相关的可解S-算术群，并且这些群中的每个群都有一个准等距群，它实际上是一个可解实李群和一个可解p-adic李群的乘积。此外，我们提出了一个多环群的准等距群是一个可解的真正的李群的候选人，我们介绍了一个准等距刚性可解群，这是不确定的候选人。我们还记录了一些关于点灯人群体的大尺度几何的描述。
We consider Lie groups equipped with arbitrary distances. We only assume that the distance is left-invariant and induces the manifold topology. For brevity, we call such object metric Lie groups. Apart from Riemannian Lie groups, distinguished examples are sub-Riemannian Lie groups and, in particular, Carnot groups equipped with Carnot-Carathéodory distances. We study the regularity of isometries, i.e., distance-preserving homeomorphisms. Our first result is the analyticity of such maps between metric Lie groups. The second result is that if two metric Lie groups are connected and nilpotent th…
We approach the quasi-isometric classification questions on Lie groups by considering low dimensional cases and isometries alongside quasi-isometries. First, we present some new results related to quasi-isometries between Heintze groups. Then we will see how these results together with the existing tools related to isometries can be applied to groups of dimension 4 and 5 in particular. Thus we take steps towards determining all the equivalence classes of groups up to isometry and quasi-isometry. We completely solve the classification up to isometry for simply connected solvable groups in dimen…
Geometric rigidity of quasi-isometries in horospherical products
本文证明了超几何空间的horospherical products的准等距在几何上是刚性的，即它们接近于乘积映射。研究了可解李群R ___ (N 1 x N 2)的准等距不变量和分类。
Large scale geometry of certain solvable groups
本文给出了Eskin-Fisher-Whyte关于一类非幂零多环群的拟等距刚性的证明的最后步骤。为此，我们证明了某些负弯曲齐性空间边界上的一个刚性定理，并将它与Eskin-Fisher-Whyte和Peng关于某些可解李群的拟等距结构的工作相结合.
Approximating a group by its solvable quotients
一个群的可解Farb增长量化了这个群被它的有限可解子近似的程度。本文给出了实幂零多环群的一个新刻画。也就是说，我们表明，一个组有可解的Farb增长，这是在$\log(n)$多项式当且仅当该集团是多环和几乎幂零的。我们还给出了关于幂零元逼近定向曲面群的新结果。因此，我们证明了一个自然数$C$的存在，使任何非平凡元素的$Ck$长期的下中心序列的一个非平凡生成的定向表面群必须有字长至少$k$。这里，$C$仅取决于发电机组的选择。最后，我们给出了一些结果，给出了某些亚阿贝尔群（包括Lighter群）的可解Farb增长的新的下界。
Instability of the virtual solvability and the property of being virtually torsion-free for quasi-isometric groups
我们构造的例子表明，虚拟的可解性和属性是几乎无挠的不保留双Lipschitz映射，因此准等距群。
The geometry of surface-by-free groups
我们表明，每一个字双曲，表面由（非循环）自由群伽玛是尽可能刚性的：准等距群伽玛等于抽象的代数群Comm（伽玛），这反过来又包含伽玛作为一个有限的指数子群。作为推论，两个这样的群是拟等距的当且仅当它们是可分解的，并且任何与Gamma拟等距的有限生成群必须与Gamma弱可分解。我们使用准等距来显式计算Comm（Gamma），这是准等距如何实际检测有限索引信息的一个例子。这些定理的证明涉及粗拓扑，Teichmuller几何，伪Anosov动力学，奇异解几何的想法。
A Rigidity Property of Some Negatively Curved Solvable Lie Groups
证明了对于某些负曲可解李群，所有的自拟等距都是几乎等距的。我们证明了这一点，通过显示，所有的自拟对称映射的理想边界（的可解李群）是bilipschitz关于视觉度量。我们还定义了Gromov双曲空间理想边界上的抛物视觉度量，并将它们与视觉度量联系起来。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。