A Union of Euclidean Metric Spaces is Euclidean
设度量空间$X$是两个度量子空间$A$和$B$的并，这两个度量子空间分别嵌入到具有畸变的欧几里得空间$D_A$和$D_B$中.我们证明，然后$X$嵌入到欧几里得空间有界失真（即失真最多$7D_A D_B + 2(D_A+D_B)$）。我们的结果解决了Naor提出的一个公开问题。此外，我们给出了这个结果的一些推论和推广。特别是，我们引入并研究了一个新的概念，“外部双Lipschitz扩张”。在文章的最后，我们列出了几个相关的开放问题。
2017-01-23 math.MG
Distortion from spheres into Euclidean spaces
University of Southern Maine（南缅因大学）
研究了将n维球面映射到n维欧几里得空间时的最小度量失真，通过Granas的固定点定理推导出偶数和奇数维情况下的下界公式。
2026-06-23 math.GN math.MG
Optimal Embeddings of Distance Regular Graphs into Euclidean Spaces
本文给出了距离正则图在欧几里得空间中的最小失真嵌入的一个下界。我们使用下界来寻找汉明图、约翰逊图和所有强正则图的最小失真。我们的技术涉及半定规划和利用最优化问题的代数结构，使找到最小失真的下界的问题减少到一个关于正交多项式的分析问题。
2007-05-24 math.CO math.MG
Embedding snowflakes of Carnot groups into bounded dimensional Euclidean spaces with optimal distortion
我们证明，对于任何卡诺群$G$，都存在一个自然数$D_G$，使得对于任何$0<\varepsilon<1/2$，度量空间$(G,d_G^{1-\varepsilon})$允许双Lipschitz嵌入到$\mathbb{R}^{D_G}$中，并带有失真$O_G(\varepsilon^{-1/2})$。这是通过建立在T. Tao（2021），他在$G$是海森堡群时，使用Nash-Moser迭代方案的新变体结合正交向量场的新扩展定理建立了上述断言。除了需要克服在卡诺群的更一般的设置中出现的几个技术问题之外，我们的证明与陶的证明不同的一个关键点是在正交向量场延拓定理的证明中，我们将Lovász局部引理和测量现象在球体上的集中代替了陶使用的定量同伦参数。
2023-03-14 math.AP math.MG
Dimension Distortion by Right Coset Projections in the Heisenberg Group
研究了海森堡群$\mathbb{H}^n$中纤维为水平面右陪集的垂直投影族。我们证明下界豪斯多夫维数失真的集合下，这些映射，相对于欧几里德度量，也是自然商度量，我们表现出的行为就像欧几里德度量在这方面。我们的边界是尖锐的，在很大一部分的尺寸范围内，我们给了尖锐的下界的其余范围。我们的方法还可以让我们提高已知的几乎必然的下界为标准的家庭的垂直投影$\mathbb{H}^n$为$n \geq 2$。
2020-09-21 math.MG
Bi-Lipschitz Quotient embedding for Euclidean Group actions on Data
该研究针对正交群与欧几里得群作用于k元向量组的场景，构造了失真度为√2的从轨道空间到欧几里得空间的双李普希茨商嵌入。
2024-09-10 math.AC math.MG
Euclidean embedding, randomized clustering, and Lipschitz extension for finite and doubling subsets of $L_p$ when $p>2$
Princeton University（普林斯顿大学）
论文证明了L_p空间中n点集的欧几里得扭曲为O(p^3(logn)^{1/2+o(1)})，并展示了双倍集的分离模和扩展性质。
2026-03-21 math.FA math.MG
Embedding the Heisenberg group into a bounded dimensional Euclidean space with optimal distortion
令$H := \begin{pmatrix} 1 & {\mathbf R} & {\mathbf R} \\ 0 & 1 &{\mathbf R} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$表示具有通常的卡诺-卡拉西奥多里度量$d$的海森堡群。众所周知（自从潘苏和塞姆斯的工作），度量空间$(H,d)$不能以bilipchitz的方式嵌入到希尔伯特空间中;然而，从Assouad的一般定理，对于任何$0 < \varepsilon < 1$，雪花度量空间$(H,d^{1-\varepsilon})$嵌入到具有失真$O( \varepsilon^{-1/2} )$的无限维希尔伯特空间中。Austin、Naor和Tessera证明了这种扭曲边界对于海森堡群$H$是尖锐的。Assouad的参数允许$\ell^2$在某些维度$D(\varepsilon)$依赖于$\varepsilon$时被${\mathbf R}^{D(\varepsilon)}$取代。Naor和Neiman表明，$D$可以独立于$\varepsilon$，代价是恶化了对$O( \varepsilon^{-1+c_D} )$的扭曲的界限，其中$c_D \to 0$为$D \to \infty$。在本文中，我们表明，人们实际上可以保留最佳的失真界$O( \varepsilon^{-1/2} )$，仍然嵌入到一个有…
2019-07-12 math.AP math.MG
Trees and Markov convexity
我们证明了一个无限加权树允许双Lipschitz嵌入到希尔伯特空间当且仅当它不包含任意大的具有一致有界失真的完全二叉树。我们还介绍了一个新的度量不变称为马尔可夫凸性，并展示了它如何可以用来计算任何度量树的欧几里德失真的普遍因素。
2007-06-04 math.FA math.MG
Metric spaces admitting low-distortion embeddings into all $n$-dimensional Banach spaces
对于固定的$K\gg 1$和$n\in\mathbb{N}$，$n\gg 1$，我们研究了度量空间，它允许带畸变嵌入$\le K$到每个$n$维Banach空间中.经典的例子包括可嵌入到$\log n$维欧几里得空间和等边空间中的空间。我们证明了在度量空间的度量合成运算下保持了良好的可嵌入性。特别地，我们证明了任何$n$ -点超度量都可以带一致有界畸变嵌入到任何$\log n$维的Banach空间中。本文的主要结果是一族有限度量空间的一个新例子，它不是经典例子的度量组合，而是以一致有界畸变嵌入到任何$n$维的Banach空间中.这部分回答了G.谢克曼
2015-08-18 math.FA math.MG
Lipschitz constants and quadruple symmetrization by Möbius transformations
本文研究了Möbius变换在对称化过程中引起的欧几里得几何扭曲，提出并证明了在欧几里得或弦度量下可用Lipschitz常数来度量该扭曲的若干情形。
2024-03-22 math.MG
Frequency of Sobolev dimension distortion of horizontal subgroups of Heisenberg groups
研究了定义在Heisenberg群上的Sobolev映射关于水平齐次子群的左陪集的叶理的行为。我们定量地估计，在欧氏豪斯多夫维数，规模的陪集集映射到集合的高维。我们的主要结果的证明结合了Gehring和Mostow关于拟共形映射的绝对连续性的思想以及Mattila的投影和切片机器。
2013-03-28 math.MG
On the optimality of gluing over scales
我们证明了对于每个$α> 0$，存在$n$ -点度量空间（X，d），其中每个“尺度”允许最多$α$的欧氏嵌入，但整个空间要求至少$Ω(\sqrt{α\log n})$的失真.这表明标度粘合引理[Lee，SODA 2005]是紧的，并反驳了那里的一个猜想。已知该匹配上限在两个端点处都是紧的，即当$α= Θ(1)$和$α= Θ(\log n)$时，但在两者之间没有任何地方。更具体地说，我们展示了$n$ -点空间与加倍常数$λ$需要欧几里德失真$Ω(\sqrt{\log λ\log n})$，这也表明，技术的“测量下降”[Krauthgamer等。例如，几何和功能分析]是最佳的。我们推广这一结果，得到了类似的紧的结果与$p > 1$的$L_p$空间。
2011-04-21 math.MG
Reconstruction of manifold embeddings into Euclidean spaces via intrinsic distances
针对由内蕴距离重构流形欧几里得嵌入的问题，本文指出 MDS 与 MVU 可能失效，并提出一种变分算法，可保证生成扭曲任意小的近似等距嵌入。
2024-01-25 math.MG math.OC
A threshold phenomenon for embeddings of Euclidean snowflakes and impossibility of dimension reduction
Princeton（普林斯顿大学）
该研究证明了欧几里得雪花嵌入存在阈值现象，当p超过阈值2/θ时，ℓₚ中点集的低失真嵌入需要超线性增长的维度，表明Johnson-Lindenstrauss降维引理对ℓₚ不成立
2026-09-02 math.MG
Markov convexity and nonembeddability of the Heisenberg group
我们计算了连续无限维海森堡群$\mathbb{H}_\infty$的马尔可夫凸不变量，证明了它是马尔可夫4-凸的，并且对任何$p < 4$都不能是马尔可夫$p$ -凸的.由于马尔可夫凸性是一个双李普希茨不变量，而希尔伯特空间是马尔可夫2-凸的，这给出了潘苏和塞姆斯经典定理的一个不同的证明，即海森堡群不允许双李普希茨嵌入到任何欧几里得空间中。马尔可夫凸性下界将遵循展示一个明确的嵌入Laakso图$G_n$到$\mathbb{H}_\infty$，有失真最多$C n^{1/4} \sqrt{\log n}$。我们用这个来表明，如果$X$是一个马尔可夫$p$ -凸度量空间，那么球的离散海森堡组$\mathbb{H}(\mathbb{Z})$半径$n$嵌入$X$失真至少有一些常数倍的$$\frac{(\log n)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\log \log n}}.$$最后，我们表明，马尔可夫4-凸性不给最佳失真嵌入二叉树$B_m$到$\mathbb{H}_\infty$的失真是在$\sqrt{\log m}$的顺序。
2016-01-31 math.FA math.MG
Embeddings of discrete groups and the speed of random walks
设α^* X（G）（分别为α^#X（G））是所有α \ge 0上的上确界使得存在Lipschitz映射（分别为等变映射）f：GPDMATHABMN X且c>0使得对所有x，yPDMATHABMO G有|f（x）-f（y）| \ge c \cdot d_G（x，y）^α.特别地，G的Hilbert压缩指数（即等变Hilbert压缩指数）为α^*（G）=α^* L_2}（G）（即α^#（G）= α L_2}^#（G））.证明了若X具有幂型p光滑模，则α^#_X（G）\le \frac{1}{pβ^*(G)} .这里β^*（G）是最大的β \ge 0，对于它存在G的生成元集合S且c>0，使得对于所有t个\in \N，我们有\E \big [d_G（W_t，e）\big ] \ge ct^β，其中\{W_t\}_{t=0}^ \infty是G的凯莱图上由S确定的标准简单随机游动，从单位元开始。这个结果在X=L_p时是尖锐的，推广了Guentner和Kaminker的一个定理，回答了Tessera提出的一个问题.我们还证明了如果α^*（G）\ge 1/2，则α^*（G \bwr \Z）\ge \frac{2α^*(G)}{2α^*(G)+1} .这改进了Stalder和Valette的前一个界限。我们推导出，如果我们写\Z_{(1)} = \Z和\Z_{(k+1)} \coloneqq \Z…
2007-09-02 math.FA math.GR math.MG
Bi-Lipschitz embedding metric triangles in the plane
Stevens Institute of Technology（史蒂文斯理工学院）；University of Hawaii at Manoa（夏威夷大学马诺阿分校）
本文研究了度量三角形在平面中的双-Lipschitz嵌入问题，证明了三脚架嵌入的精确失真界为$4\sqrt{7/3}$，并通过四个代表性示例验证其精确性与最优失真下界，同时证明该定理无法推广至度量四边形。
2025-11-05 math.MG
Approximation theorems in bilipschitz invariant theory
University of North Carolina Wilmington（北卡罗来纳大学温斯顿-塞勒姆分校）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文研究了双射不变量理论中低失真嵌入问题，证明了三种情况下的最小失真可通过最大滤波器组与线性变换的组合近似实现。
2026-03-24 cs.IT math.FA math.IT
Near Neighbor Search via Efficient Average Distortion Embeddings
Andoni、Naor、Nikolov、Razenshteyn和Waingarten最近发表的一系列论文（STOC 2018，FOCS 2018）为广泛的距离度量（包括所有范数）给出了近似近邻搜索（NNS）数据结构。特别地，这些数据结构实现了对于$\ell_p^d$范数的$p$阶的近似，其中空间复杂度在数据集大小$n$中接近线性，在维度$d$中接近多项式，并且查询时间在$n$中是次线性的，在$d$中是多项式的。其主要缺点是构造它们所需的$d$预处理时间是指数级的。在本文中，我们描述了一个更直接的框架，构造NNS数据结构的一般规范。更具体地说，我们表明，通过一个算法的减少，一个有效的NNS数据结构为一个给定的度量是隐含的一个有效的平均失真嵌入到$\ell_1$或到欧几里得空间。特别地，所得到的数据结构仅需要多项式预处理时间，只要嵌入可以在多项式时间内计算即可。作为该框架的一个具体实例，我们给出了一个NNS数据结构，用于$\ell_p$，并进行了有效的预处理，该数据结构与Andoni等人的上述数据结构的近似因子、空间和查询复杂度相匹配。（Analysis and Geometry in Metric Spaces，2014），并为$p \ge 2$提供了$\ell_p$的显式、有效可计算嵌入，转换成具有$p$量级的（二次）平均失真的$\ell_2$。我们希望我们的方法为所有规范构建高效…
2021-05-10 cs.CG cs.DS math.MG
Geometric embeddings of spaces of persistence diagrams with explicit distortions
本文为持久性图空间构造了显式的1-Lipschitz嵌入到希尔伯特或欧几里得空间，具有可控制的失真函数，以保留几何信息并支持统计分析。
2025-10-24 math.AT math.GT math.MG
The Sharp Dimension Bound in the Johnson--Lindenstrauss Lemma
University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
本文证实了Larsen和Nelson关于Johnson–Lindenstrauss引理最优目标维数的猜想，证明该上界可通过线性映射达到，且匹配下界对非线性嵌入也成立。
2026-08-24 cs.CG cs.DS math.MG
