About Brezis-Merle Problem with Lipschitz condition
Samy Skander Bahoura
我们给出了边界上的Brezis-Merle问题的爆破分析。在利普希茨条件和较弱的正则性假设下，证明了一个紧性结果。
We give blow-up analysis for a Brezis-Merle's problem on the boundary. Also we give a proof of a compactness result with Lipschitz condition and weaker assumption on the regularity of the domain (smooth domain or $ C^{2,α} $ domain).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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About Brezis-Merle Problem with holderian condition: the case of one or two blow-up points
本文给出了具有Holderian条件的Brezis-Merle问题的一个紧性结果。我们着眼于一两个爆发点的情况。
Uniform estimates and Brezis-Merle type inequalities for the $k$-Hessian equation
本文研究k-凸函数在边界上消失的Brezis-Merle型不等式，建立中间Hessian方程的Alexandrov-Bakelman-Pucci型估计，并提出k-Hessian方程解的集中-紧致原理。
About Brezis-Merle Problem with holderian condition: the case of three blow-up points
本文给出了具有Holderian条件的Brezis-Merle问题的一个紧性结果。我们来看看三个爆炸点的情况。
A blow-up approach for a priori bounds in semilinear planar elliptic systems: the Brezis-Merle critical case
本文提出了一种新的方法，用于研究半线性平面椭圆系统在临界情况下的先验界问题，并证明了正解的存在性。
A compactness result for an equation with Holderian condition
给出了一类具有Dirichlet和Holderian条件的Brezis和Merle问题的爆破分析。同时，我们还得到了一个紧性准则。
On the Brezis-Nirenberg type critical problem for nonlinear Choquard equation
建立了非线性Choquard方程$$-Δu =\left(\int_Ω\frac{|u|^{2_μ^{\ast}}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2_μ^{\ast}-2}u+λu\4.14mm\mbox{in}\1.14mm Ω, $$的Brezis-Nirenberg型问题解的存在性结果，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$的有界区域，具有Lipschitz边界，$λ$是实参数，$N\geq3$，$2_μ^{\ast}=(2N-μ)/(N-2)$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.
Sharp estimates, uniqueness and spikes condensation for superlinear free boundary problems arising in plasma physics
本文研究托卡马克等离子体平衡的Grad-Shafranov型自由边界问题，在二维情形得到超线性情形的锐估计与首个一般唯一性结果，并在高维次临界奇异摄动情形下建立了尖峰凝聚-量子化现象的分析，揭示了与临界问题类似的集中-紧性特征。
Blow--up Solutions of Liouville's Equation and Quasi--Normality
证明了具有象域$f(D)$的球面区域由$C π$一致有界的性质的整环$D\subseteq \mathbb{C}$上的亚纯函数族$\mathcal{F}_C(D)$是$\le C$级拟正规的.我们还讨论了这一结果和著名的Brézis和Merle关于刘维尔方程的爆破解的工作之间的密切关系。这些结果是完全的精神格罗莫夫的紧性定理，指出在文件的最后。
The Brezis-Nirenberg problem for the curl-curl operator
在有界Lipschitz域$Ω\subset\mathbb{R}^3$上寻找问题$$ \left\{ \begin{aligned} &\nabla\times(\nabla\times E) +λE = |E|^{p-2}E &&\quad \text{in }Ω&ν\times E = 0 &&\quad \text{on }\partialΩ\end{aligned} \right. $$的解$E:Ω\to\mathbb{R}^3$，其中$\nabla\times$表示$\mathbb{R}^3$中的旋度算子.该方程描述了时谐电场$\Re\{E(x)e^{iωt}\}$在具有$λ=-μ\varepsilon ω^2\leq 0$的非线性各向同性材料$Ω$中的传播，其中$μ$和$\varepsilon$代表材料的磁导率和介电常数的线性部分。非线性项$|E|^{p-2}E$与$p>2$是负责$Ω$的非线性极化和边界条件是由一个完美的导体包围的$Ω$。该问题具有变分结构，我们处理了临界值$p$，例如，在凸区域$Ω$或在具有$\mathcal{C}^{1,1}$边界的区域$p=6=2^*$是Sobolev临界指数，我们得到了方程的五次非线性。我们表明，存在一个圆柱对称的基态解和有限数量的圆柱对称的束缚态依赖于$λ\leq 0$。我们开发了一个新的临界点理论，允许解决这个问题，这使我们…
A Solution of Problem 2.5 by Brezis on the Planar Ginzburg--Landau Equation
本文肯定回答了Brezis提出的公开问题2.5：证明平面Ginzburg--Landau方程解的渐近性质蕴含有限势能估计，方法结合Kelvin反演、Morrey型能量衰减、相位形式$L^4$可积性及线性化振幅方程。
Concentration phenomena for a fourth order equations with exponential growth: the radial case
设$Ω$是$\mathbb{R}^4$的一个光滑有界整环，且函数序列$(V_k)_{k\in\mathbb{N}}\in C^0(Ω)$使得$\lim_{k\to +\infty}V_k=1$在$C^0_{loc}(Ω)$中.我们考虑一系列的功能$(u_k)_{k\in\mathbb{N}}\in C^4(Ω)$，使$$Δ^2 u_k=V_k e^{4u_k}$$在$Ω$为所有$k\in\mathbb{N}$。我们在本文中解决的问题的渐近行为的$(u_k)'s$时，$k\to +\infty$。Brézis-Merle和Li-Shafrir（以及其他人）考虑了2维中的相应问题，其中描述了爆破现象，并证明了这种爆破的量化。令人惊讶的是，正如Adimurthi，Struwe和作者所示，类似的量子化现象并不适用于这个四阶问题。假设$u_k$是径向对称的，我们进一步推进了前面的分析。我们证明了，正好有三种类型的爆破，我们描述了每一种类型中的一个非常详细的方式。
Bourgain-Brezis-Mironescu Domains
Bourgain等人（2001）证明了对$p>1$和光滑有界域$Ω\subseteq\mathbb{R}^N$，\begin{equation*} \lim\limits_{s\to1}(1-s)\iint \limits_{Ω\times Ω}\frac{\lvert f(x)-f(y) \rvert^p}{\lvert x-y \rvert^{N+sp}}dx dy=κ\int \limits_Ω\lvert \nabla f(x) \rvert^p dx \end{equation*}对所有$f\in L^p(Ω)$ .这仅通过$W^{s,p}(Ω)$规范给出了$W^{1,p}(Ω)$的表征。对于$p=1$，Dávila（2002）证明了当$Ω$是一个具有Lipschitz边界的有界域时，对于所有的$f\in L^1(Ω)$，有\begin{equation*} \lim\limits_{s\to1}(1-s)\iint \limits_{Ω\times Ω}\frac{\lvert f(x)-f(y) \rvert}{\lvert x-y \rvert^{N+s}}dx dy=κ[f]_{BV(Ω)} \end{equation*}。这根据$W^{s,1}(Ω)$的特性来表征$BV(Ω)$。本文将第一个结果和第二个结果部分地推广到扩张域。
Fractional Choquard Equation with Critical Nonlinearities
本文研究了含分数Laplacian算子\[ (-\De)^s u = \left( \int_{\Om}\frac{|u|^{2^*_{μ,s}}}{|x-y|^μ}\mathrm{d}y \right)|u|^{2^*_{μ,s}-2}u +\la u \; \text{in } \Om,\]的非线性Choquard方程的Brezis-Nirenberg型问题，其中$\Om $是$\mathbb R^n$中具有Lipschitz边界的有界区域，$\la $是实参数，$s \in (0,1)$，$n >2s$和$2^*_{μ,s}= (2n-μ)/(n-2s)$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.利用变分方法得到了上述方程解的存在性、多解性、正则性和不存在性结果。
Kazdan-Warner Problem on Compact Riemann Surfaces with Smooth Boundary
本文研究了带光滑边界紧致黎曼曲面上的Kazdan-Warner问题，通过证明Brezis-Merle型方程的存在性结果并利用单值化定理的推广，证明了任意光滑函数可实现为高斯曲率或测地曲率函数。
The Dirichlet problem for Kolmogorov-Fokker-Planck type equations with rough coefficients
在有界和无界Lipschitz型圆柱中，我们证明了强退化抛物型算子$U_X\times V_{Y,t}$的Cauchy- Dirichlet问题弱解的存在唯一性.假设$A=A(X,Y,t)=\{a_{i,j}(X,Y,t)\}$是实$m\times m$ -矩阵值可测函数，且$A(X,Y,t)$是对称的、有界的和一致椭圆的.随后，我们解决了连续的狄利克雷问题，并建立了解决方案的表示使用相关的抛物措施。本文的动机，通过我们最近的研究，arXiv：2012.03654，arXiv：2012.04278，arXiv：2012.07446，越来越多的需要和兴趣，以获得更深入的理解的狄利克雷问题的运营商$\mathcal{L}$在Lipschitz型域。我们的结果的关键思想是证明，沿着Brezis和Ekeland的路线，特别是在S。阿姆斯特朗和JC Arxiv：1902.04037，关于动力学Fokker-Planck方程的变分方法，该解可以作为一致凸泛函的极小值获得。
Nonlocal Tikhonov Regularization: Hilbert Scales, Explicit Rates, and the Classical Limit
该研究针对有界Lipschitz区域的线性逆问题，提出非局部吉洪诺夫正则化方法，推导显式收敛率，分析其经典极限，并通过数值实验验证了该方法的有效性。
The nonlocal Liouville-type equation in $\mathbb{R}$ and conformal immersions of the disk with boundary singularities
本文对分数阶Liouville方程在$1$维上进行了爆破和量子化分析。更准确地说，给定一个序列$u_k :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$的解决方案，以\begin{equation} (-Δ)^\frac{1}{2} u_k =K_ke^{u_k}\quad \text{in }\mathbb{R}, \end{equation}与$K_k$有界的$L^\infty$和$e^{u_k}$有界的$L^1$一致关于$k$，我们表明，直到提取一个子序列$u_k$可以爆破在（最多）许多点$B=\{a_1,\dots, a_N\}$和（i）$u_k\to u_\infty$在$W^{1,p}_{loc}(\mathbb{R}\setminus B)$和$K_ke^{u_k} \stackrel{*}{\rightharpoondown} K_\infty e^{u_\infty}+ \sum_{j=1}^N πδ_{a_j}$，或（ii）$u_k\to-\infty$在$\mathbb{R}\setminus B$和$K_k e^{u_k}\stackrel{*}{\rightharpoondown} \sum_{j=1}^N α_j δ_{a_j}$中局部一致，对于每个$j$具有$α_j\ge π$。这一结果是基于作者与T。里维耶尔和一个经典的工作空白约沉浸的磁盘到飞…
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