The spectral radius of subgraphs of regular graphs
Vladimir Nikiforov
给出了给定阶数和直径的正则图的子图的谱半径的一个界。给出了给定阶和直径的非二部正则图的最小特征值的一个下界。
We give a bound on the spectral radius of subgraphs of regular graphs with given order and diameter. We give a lower bound on the smallest eigenvalue of a nonbipartite regular graph of given order and diameter.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The existence of biregular spanning subgraphs in bipartite graphs via spectral radius
本文利用谱半径证明二部图中存在双正则二部生成子图，并进一步研究度数受限生成树与边不相交生成树的存在条件。
The signless Laplacian spectral radius of subgraphs of regular graphs
设$q(H)$是图$H$的无符号拉普拉斯谱半径。在本文中，我们证明了1。设$H$是$Δ$ -正则图$G$的一个真子图，其顶点数为$n$，直径为$D$ .然后是$$2Δ- q(H)>\frac{1}{n(D-\frac{1}{4})}.$$ \\2.设$H$是具有$n$顶点的$k$ -连通$Δ$ -正则图$G$的真子图，其中$k\geq 2$ .然后是$$2Δ-q(H)>\frac{2(k-1)^{2}}{2(n-Δ)(n-Δ+2k-4)+(n+1)(k-1)^{2}}.$$最后，我们比较了两个边界。当$k>2\sqrt{\frac{(n-Δ)(n+Δ-4)}{n(4D-3)-2}}+1$时，第二界总是优于第一界.另一方面，当$k<\frac{2(n-Δ)}{\sqrt{n(4D-3)-2}}+1$时，第一个界限总是优于第二个界限。
We improve the estimates of the subgraph probabilities in a random regular graph. Using the improved results, we further improve the limiting distribution of the number of triangles in random regular graphs.
The spectral radius of $1$-planar graphs without complete subgraphs
本文研究了1-平面图的谱极值问题，确定了不含K3或K4的1-平面图的唯一谱极值图，并将不含K5的1-平面图的候选图限制在特定小家族中。
k-regular subgraphs near the k-core threshold of a random graph
我们证明了$G_{n,p=c/n}$ whp有一个$k$ -正则子图，如果$c$至少是$e^{-Θ(k)}$以上的阈值的出现，最小程度至少$k$的子图，即一个非空的$k$ -核心。特别地，这将$k$正则子图的出现的阈值固定到大小为$e^{-Θ(k)}$的窗口。
Largest 2-regular subgraphs in 3-regular graphs
对于图$G$，令$f_2(G)$表示$G$的$2$正则子图中的最大顶点数.我们确定了$3$ -正则$n$ -顶点简单图$G$上的$f_2(G)$的最小值.为此，我们证明了每一个$3$ -正则多重图的$c$切边恰好有一个$2$ -正则子图，它省略了最多$\max\{0,\lfloor (c-1)/2\rfloor\}$顶点。更一般地说，每一个具有最大度$3$和$m$边的$n$ -顶点多重图都有一个至多省略$\max\{0,\lfloor (3n-2m+c-1)/2\rfloor\}$顶点的$2$ -正则子图.这些界限是尖锐的，我们描述的极值多重图。
Given feasible strongly regular graph parameters $(v,k,λ,μ)$ and a non-negative integer $d$, we determine upper and lower bounds on the order of a $d$-regular induced subgraph of any strongly regular graph with parameters $(v,k,λ,μ)$. Our new bounds are at least as good as the bounds on the order of a $d$-regular induced subgraph of a $k$-regular graph determined by Haemers. Further, we prove that for each non-negative integer $d$, our new upper bound improves on Haemers' upper bound for infinitely many strongly regular graphs.
Regular spanning subgraphs of bipartite graphs of high minimum degree
设G是一个简单的平衡二部图，其顶点为$2n$，$δ= δ(G)/n$和$ρ={δ+ \sqrt{2 δ-1} \over 2}$ .如果$δ> 1/2$，则它有一个$\lfloor ρn \rfloor$ -正则生成子图。这份声明几乎是严格的。
Vertex-deleted subgraphs and regular factors from regular graph
令$k$、$m$和$r$是三个整数，使得$2\leq k\leq m\leq r$。设$G$是一个奇阶$2r$ -正则、$2m$ -边连通图.得到了$G-v$对所有$v\in V(G)$都含有$k$ -因子的充分条件.
Decomposition of Augmented Cubes into Regular Connected Pancyclic Subgraphs
本文考虑了将增广立方体$AQ_n$分解为两个生成的正则连通泛圈子图的问题。我们证明了对于$ n \geq 4$和$ 2n - 1 = n_1 + n_2 $与$ n_1, n_2 \geq 2,$的增广立方体$ AQ_n$可以分解为两个生成子图$ H_1$和$ H_2$，使得每个$ H_i$是$n_i$ -正则的和$n_i$ -连通的。此外，如果$ n_i \geq 3.$
The first k-regular subgraph is large
证明了当k足够大时，存在$0\leσ_k\le\eps_k\to 0$作为$k\to\infty$，使得每次增加一条边的随机图过程中出现的第一个k正则子图的大小几乎必然在$(1-\eps_k)|\K_k|$和$(1-σ_k)|\K_k|$之间，其中$\K_k$表示图的$k$ -核.
Regular subgraphs of uniform hypergraphs
本文证明了：对于任意整数$r\geq 2$，如果$k\geq r+1$和$n$足够大，则不含$r$ -正则子图的$n$ -顶点$k$ -均匀超图$H$至多有$(1+o(1)){{n-1}\choose{k-1}}$边.而且，如果$r\in\{3,4\}$，$r\mid k$和$k,n$都足够大，则不含$r$ -正则子图的$n$ -顶点$k$ -均匀超图的最大边数恰好是${{n-1} \choose {k-1}}$，只有当所有边都含有一个特定的顶点$v$时，才相等.我们也会问一些相关的问题。
Eigenvalues of subgraphs of the cube
本文考虑给定阶的超立方体$Q_d$的子图的最大特征值问题。我们相信，在大多数情况下，汉明球是最大化，我们的结果支持这一信念。我们证明了半径为$o(d)$的Hamming球具有最大的本征值，该本征值在最大值的$1 + o(1)$内。我们还证明了固定半径的汉明球最大化的最大特征值准确，而不是渐近，当$d$是足够大的。我们的证明依赖于压缩的方法。
Walks, infinite series and spectral radius of graphs
该研究探究图的谱半径与子图行走的关系，在图含完全多部图作为生成子图时，用子图行走的无穷级数给出谱半径公式，成果可用于谱极值问题。
In this paper we completely resolve the well-known problem of Erdős and Sauer from 1975 which asks for the maximum number of edges an $n$-vertex graph can have without containing a $k$-regular subgraph, for some fixed integer $k\geq 3$. We prove that any $n$-vertex graph with average degree at least $C_k\log \log n$ contains a $k$-regular subgraph. This matches the lower bound of Pyber, Rödl and Szemerédi and substantially improves an old result of Pyber, who showed that average degree at least $C_k\log n$ is enough. Our method can also be used to settle asymptotically a problem raised by Erdő…
Turán type extremal problem is how to maximize the number of edges over all graphs which do not contain fixed forbidden subgraphs. Similarly, spectral Turán type extremal problem is how to maximize (signless Laplacian) spectral radius over all graphs which do not contain fixed subgraphs. In this paper, we first present a stability result for $k\cdot P_3$ in terms of the number of edges and then determine all extremal graphs maximizing the signless Laplacian spectral radius over all graphs which do not contain a fixed linear forest with at most two odd paths or $k\cdot P_3$ as a subgraph, respe…
Two-regular subgraphs of odd-uniform hypergraphs
令$k\ge 3$为奇数，令$n$为足够大的整数。证明了不含$2$ -正则子图的$n$ -顶点$k$ -一致超图的最大边数为$\binom{n-1}{k-1} + \lfloor\frac{n-1}{k} \rfloor$，且等式成立当且仅当$H$是一个中心为$v$且最大匹配不含$v$的全$k$ -星.这证实了穆巴伊和韦斯特拉特的一个猜想。
Subgraphs of 4-regular planar graphs
我们将给出一个判定给定的可平面图H是否能成为4-正则可平面图的子图的算法。该算法的运行时间为O（|H| ^{2.5}），并且可以用来寻找一个包含H的显式4-正则可平面图G，如果这样的图存在的话.我们是否指定H和G必须是单图或允许它们是重图都无关紧要。
Ramsey numbers for regular induced subgraphs
本文研究正则诱导子图的最小顶点数问题，给出k≤5的精确值及k=6,7的下界，并改进了Alon等人的一般下界。
Spectral extremal results with forbidding linear forests
图兰型极值问题要求最大化所有不包含固定子图的图的边数。类似地，谱Turán型极值问题要求最大化所有不含固定子图的图的谱半径。本文确定了所有不含线性森林作为子图的图的最大谱半径，并刻画了所有相应的极图。此外，还得到了不含$k\cdot P_3$的二部图的最大边数和谱半径，并刻画了所有极图。此外，还讨论了Tuán型极值问题与谱Turán型极值问题之间的一些关系.
The Subgraphs of Order Six of the Family of Strongly Regular Graphs with Parameters $λ=1$ and $μ=2$
本文研究了参数为 $λ=1$ 和 $μ=2$ 的强正则图族的结构，确立了该图族的所有六阶子图。
Tensor networks and the enumeration of regular subgraphs
我们提出了一个通用的方法来解决一系列的图中的计数问题。关键点是收缩适当选择的对称张量，这些张量放置在图的顶点处，沿着边。特别地，这导致了一个算法，该算法计算任意图的d-正则子图的数量，包括d-因子的数量（之前我们考虑了d=2的情况，特别强调了哈密顿圈的枚举;参见图1）。math.CO/0403339).我们简要地讨论了该算法的计算复杂性问题。
Let $G$ be a graph of size $m$ and $ρ(G)$ be the spectral radius of its adjacency matrix. A graph is said to be $F$-free if it does not contain a subgraph isomorphic to $F$. In this paper, we prove that if $G$ is a $K_{2,r+1}$-free non-star graph with $m\geq (4r+2)^2+1$, then $ρ(G)\leq ρ(S_m^1)$, with equality if and only if $G\cong S_m^1$. Recently, Li, Sun and Wei showed that for any $θ_{1,2,3}$-free graph of size $m\geq 8$, $ρ(G)\leq \frac{1+\sqrt{4m-3}}{2}$, with equality if and only if $G\cong S_{\frac{m+3}{2},2}$. However, this bound is not attainable when $m$ is even. We proved that if …
Maximizing the spectral radius of graphs of given size with forbidden a subgraph
本文研究边数固定且不含扇形图 $H_7$ 的图的最大谱半径，证明当 $m\geq33$ 时上界为 $1+\sqrt{m-2}$，并刻画唯一极值图。
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. XII. Distant stars
Gyarfas-Sumner猜想认为，如果H是树，则每一个团数有界且色数很大的图都包含H作为诱导子图.这仍然是开放的，虽然它已经证明了一些简单的家庭的树，包括树的半径2，一些特殊的树的半径3，和细分的明星。这些树都有这样的性质，即它们的度大于2的顶点非常紧密地聚集在一起。本文证明了两个树族的猜想不受此限制。作为特殊情况，这些族包含所有双头扫帚和两条腿的毛毛虫。
Sharp thresholds for spanning regular subgraphs
本文证明了 $G(n,p)$ 中出现 Hamilton 圈平方的锐阈值，并求出了与固定 $d$-正则图同构的支撑子图阈值的精确渐近性，证实了相关猜想。
An Induced Subgraph Paradigm for Strongly Regular Graph Constructions
该研究针对强正则图构造问题，提出诱导子图范式，给出依赖边界顶点数的上下界，推广Lou-Murin结果，通过计算机搜索明确部分情形无法施加额外自然条件。
Induced 2-Regular Subgraphs in k-Chordal Cubic Graphs
本文证明了一个阶为$n$的三次图$G$有一个阶至少为a）$2$的诱导正则子图，如果$G$没有长度大于$k$的诱导圈，b）$\frac{5n+6}{8}$，如果$G$没有长度大于$4$和$n>6$的诱导圈，c）$\left(\frac{1}{4}+ε\right)n$，如果$G$的独立数至多为$\left(\frac{3}{8}-ε\right)n$ .为了证明第二个结果，我们给出了三次$4$ -弦图的精确结构描述。
Decomposability of regular graphs to $4$ locally irregular subgraphs
针对局部不规则边分解猜想的反例，本文证明所有度数 $d\geq 54000$ 的 $d$-正则图均可分解为 $4$ 个局部不规则子图。
We prove that the maximum number of edges in a 3-uniform linear hypergraph on $n$ vertices containing no 2-regular subhypergraph is $n^{1+o(1)}$. This resolves a conjecture of Dellamonica, Haxell, Luczak, Mubayi, Nagle, Person, Rödl, Schacht and Verstraëte. We use this result to show that the maximum number of edges in a $3$-uniform hypergraph on $n$ vertices containing no immersion of a closed surface is $n^{2+o(1)}$. Furthermore, we present results on the maximum number of edges in $k$-uniform linear hypergraphs containing no $r$-regular subhypergraph.
Edge correlations in random regular hypergraphs and applications to subgraph testing
与经典的二项随机（超图）模型相比，随机正则超图的研究由于不同边的出现之间的相关性而变得更具挑战性。我们开发了一种超图的边切换技术，使我们能够证明这些相关性是有限的，在很大范围内的密度。这推广了Kim，Sudakov和Vu关于图的一些结果.从我们的结果中，我们推出了随机$d$ -正则超图中子图计数的几个推论。我们还证明了Dudek，Frieze，Rucienski和Šileikis关于随机$r$-正则$d$-图中存在$\ell$ -重叠Hamilton圈的阈值的一个猜想.此外，我们应用我们的结果证明的界限上的查询复杂度测试子图的自由。一般图模型中的无子图测试问题首先由Alon，Kaufman，Krivelevich和Ron研究，他们得到了测试无三角图的查询复杂度的几个界。我们扩展了这些以前的结果超出了三角形设置和超图设置。
If $G$ is a graph and $\mathcal{H}$ is a set of subgraphs of $G$, we say that an edge-coloring of $G$ is $\mathcal{H}$-polychromatic if every graph from $\mathcal{H}$ gets all colors present in $G$ on its edges. The $\mathcal{H}$-polychromatic number of $G$, denoted $\operatorname{poly}_\mathcal{H} (G)$, is the largest number of colors in an $\mathcal{H}$-polychromatic coloring. In this paper we determine $\operatorname{poly}_\mathcal{H} (G)$ exactly when $G$ is a complete graph on $n$ vertices, $q$ is a fixed nonnegative integer, and $\mathcal{H}$ is one of three families: the family of all m…
A wheel graph is a graph formed by connecting a single vertex to all vertices of a cycle. A graph is called wheel-free if it does not contain any wheel graph as a subgraph. In 2010, Nikiforov proposed a Brualdi-Solheid-Turán type problem: what is the maximum spectral radius of a graph of order $n$ that does not contain subgraphs of particular kind. In this paper, we study the Brualdi-Solheid-Turán type problem for wheel-free graphs, and we determine the maximum (signless Laplacian) spectral radius of a wheel-free graph of order $n$. Furthermore, we characterize the extremal graphs.
Highly edge-connected regular graphs without large factorizable subgraphs
本文构造了高度边连通的 r-正则图，证明其中不存在 r-2 个两两不交的完美匹配，部分回答了 Thomassen 关于正则图因子分解的问题。
Large nearly regular induced subgraphs
对于实c \geq 1和整数n，设f（n，c）表示最大整数f，使得n个顶点上的每个图都包含至少f个顶点上的诱导子图，其中最大度至多是最小度的c倍.因此，特别地，n个顶点上的每个图包含至少f（n，1）个顶点上的正则诱导子图。估计$（n，1）的问题很久以前由Erdos，Fajtlowicz和Staton提出。本文得到了f（n，c）渐近性态的上、下界：（i）对于固定的c>2.1，n^{1-O（1/c）} \leq f（n，c）\leq O（cn/ \log n）. (ii)对于固定的c=1+ε，且ε>0足够小，f（n，c）\geq n^{Ω（ε^2/ \ln（1/ε））}。(iii)Ω（\ln n）\leq f（n，1）\leq O（n^{1/2} \ln^{3/4} n）.一个类似的问题，不一定诱导子图也被简要考虑。
Largest $2$-regular Subgraphs in complete $S$-partite Graphs
研究完全S-部图中最大2-正则子图问题，提出通过整数线性规划求解，并证明该问题可在O(|V(S)|^3)时间内高效解决，同时通过模拟验证随机S-部图中存在与完整图相同阶数的最大2-正则子图。
Counting degree-constrained subgraphs and orientations
这篇短文的目的是宣传在统计物理和计算机科学中广为人知的规范变换方法（又名全息约化，重新参数化），但在组合学中鲜为人知。作为它的一个应用，我们给出了A. Schrijver证明了$d$ -正则图在$n$顶点上的欧拉方向数至少为$\left(\frac{\binom{d}{d/2}}{2^{d/2}}\right)^n$ .我们还表明，$d$ -正则图，甚至$d$总是至少有尽可能多的欧拉方向的$(d/2)$ -正则子图。
Regular induced subgraphs of a random graph
一个老问题的Erdensys，Fajtlowicz和Staton要求的阶的最大诱导正则子图，可以找到在每个图的n个顶点。受这个问题的启发，我们考虑在n个顶点上的典型图中这样的子图的阶，即，在二项随机图G（n，1/2）中。我们证明了G（n，1/2）的最大导出正则子图很可能有n^{2/3}个顶点.
Induced Subgraphs in Strongly Regular Graphs
本论文主要研究强正则图中诱导子图个数的理论和算法，以及这些个数的进一步应用。我们更详细地考虑这些图的一类限制，特别是那些没有三角形。在这种特殊情况下，SRG有无穷多个可行的参数集。尽管如此，已知的这种图的例子只有七个。我们开发了一种算法，该算法产生描述SRG中阶$o$和$o-1$的诱导子图的数量之间的各种关系的线性方程。我们也将我们的结果应用于$srg(3250,57,0,1)$（它的存在性是一个著名的公开问题）。在这种情况下，在$10$顶点上同构于给定图的诱导子图的数目仅取决于诱导Petersen图的数目。此外，我们提供了新的见解的自同构的$srg(3250,57,0,1)$以及在一般的三角形自由SRG的诱导$K_{3,3}$的数量的界限。在论文的最后，我们讨论了我们的方法的可能的扩展，所谓的$t$ -顶点条件的研究。
On the threshold for k-regular subgraphs of random graphs
图的$k$ -核是最小度至少为$k$的最大子图。证明了当$k$充分大时，随机图$\G(n,p)$的$(k + 2)$ -核几乎必然有一个生成$k$ -正则子图.因此，随机图的$k$ -正则子图的出现的阈值至多是$(k+2)$ -核心的阈值。特别地，这将$\G(n,p)$中的$k$ -正则子图的出现点固定到用于$p$的窗口，该窗口对于大$n$和中等大的$k$具有大致$2/n$的宽度。
Regular Graphs with Forbidden Subgraphs of $K_n$ with $k$ Edges
在本文中，我们提出了一个变种的极值图论中的一个经典问题，这是由分数重复码的设计，在分布式存储系统中的一个模型的动机。对任意可行正整数$d\geq 3$，$n \geq 3$，$k$，其中$n-1 \leq k \leq \binom{n}{2}$，若一个$d$正则无向图的顶点数不超过$k$，则该图的最小顶点数是多少？本文的目标是给出问题的每个实例的确切顶点数，并提供$n$，$d$和$k$的一般值的一些界限。对于这个Turán型问题，给出了一些具有精确值的一般界。我们提出了一个几乎完整的解决方案，$3 \leq n \leq 5$。
In this paper we disprove a conjecture of Lidický and Murphy about the number of copies of a given graph in a $K_r$-free graph and give an alternative general conjecture. We also prove an asymptotically tight bound on the number of copies of any bipartite graph of radius at most $2$ in a triangle-free graph.
We consider the following random model for edge-colored graphs. A graph $G$ on $n$ vertices is fixed, and a random subgraph $G_p$ is chosen by letting each edge of $G$ remain independently with probability $p$. Then, each edge of $G_p$ is colored uniformly at random from the set $[n-1]$. A result of Frieze and McKay (Random Structures and Algorithms, 1994) implies that when $G = K_n$ and $p = (2 + ε) \frac{\log n}{n}$ for some constant $ε> 0$, then $G_p$ almost surely contains a rainbow spanning tree. In this paper, we show that if $G$ is a $d$-regular $Ω(n)$-edge-connected graph, then when $p…
Regular subgraphs at every density
该研究解决了Erdős-Sauer问题，证明了无r-正则子图的图边数上限，并展示了在不同r范围内的一般结果。
Consider the random process in which the edges of a graph $G$ are added one by one in a random order. A classical result states that if $G$ is the complete graph $K_{2n}$ or the complete bipartite graph $K_{n,n}$, then typically a perfect matching appears at the moment at which the last isolated vertex disappears. We extend this result to arbitrary $k$-regular bipartite graphs $G$ on $2n$ vertices for all $k = ω\left( \frac{n}{\log^{1/3} n} \right)$. Surprisingly, this is not the case for smaller values of $k$. Using a construction due to Goel, Kapralov and Khanna, we show that there exist bip…
On regular induced subgraphs of generalized polygons
笼问题要求$k$中顶点的最小数目$c(k,g)$-围长$g$的正则图和满足此界限的图被称为笼。虽然笼是已知存在的所有整数$k \ge 2$和$g \ge 3$，$c(k, g)$的确切值是已知的，只有一些小值的$k, g$和三个无限的家庭，其中$g \in \{6, 8, 12\}$和$k - 1$是一个素数的权力。这些无限族来自广义多边形的关联图。通过构造这些笼的小正则诱导子图，得到了$g \in \{6, 8, 12\}$的一些最著名的上界。本文首先利用Expander混合引理给出了正则二部图的导出PDMATHAMN-正则子图的大小的一个一般下界，该下界是关于主图的第二大特征值的.我们使用这个界限表明，已知的建设$(k,6)$ -图使用Baer子平面的Deskwesian投影平面是最好的可能。对于广义四边形和六边形，我们的边界是新的。特别是，我们改进了经典广义四边形$\mathsf{Q}(4,q)$的$q$ -正则诱导子图大小的已知下界，并证明了已知构造是渐进尖锐的。对于素数幂$q$，我们还分别给出了辛广义四边形$\mathsf{W}(3,q)$和分裂Cayley六边形$\mathsf{H}(q)$中$q$正则诱导子图的几何构造，从而改进了已知的$c(q,8)$和$c(q,12)$的上界.我们的结构表明，\[c(q,8) \le 2(q^3 - q\sqrt{q} - q)\]…
Almost regular subgraphs under spectral radius constrains
本文解决了Erdős和Simonovits几乎正则子图结果的谱对应问题，确定了谱半径约束下几乎正则子图存在的ε范围，并将结果应用于谱Turán型问题，建立了边数极值与谱半径极值的等价关系。
Critical subgraphs and the regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs
本文通过t-可接受子图确定图的覆盖理想t次符号幂的正则性，并应用于双部单环图的覆盖理想幂的正则性计算。
We study optimal minimum degree conditions when an $n$-vertex graph $G$ contains an $r$-regular $r$-connected subgraph. We prove for $r$ fixed and $n$ large the condition to be $δ(G) \ge \frac{n+r-2}{2}$ when $nr \equiv 0 \pmod 2$. This answers a question of M.~Kriesell.
Nearly Spanning Regular Subgraphs
本文肯定回答了Alon和Mubayi关于正则图包含近生成正则子图的猜想，对一般k和r给出ε=O_k(r^{-1/2})的结果，并证明k=2时ε=1/(r^2-3)为最优。
Chromatic number and regular subgraphs
本文否定了Erdős和Hajnal关于高色数图必含同顶点集上多条边不相交环的猜想，构造了分数色数较高但不含4-正则子图的图，并证明该界在Harris猜想下最优。
Regularity inheritance in pseudorandom graphs
提出了稀疏正则性方法，证明了双混乱图的子图的单侧和双侧正则性继承引理，改进了Conlon、Fox和Zhao [Adv. Math. 256（2014），206--290]的结果。这些继承引理也意味着改进的$H$计数引理的子图的双混杂图，对于某些$H$。
Irregular subgraph in a regular graph
研究正则图中不规则子图问题，证明了对于固定d且n足够大时，阿隆和魏的猜想成立，即满足特定条件的q，存在生成子图H使m(H,i)=qi (0≤i≤d) 。
Spanning subgraphs and spectral radius in graphs
本文研究了图$G$的谱半径下界条件，分别保证了图存在叶距离至少为$d$的支撑树以及图具备分数$k$-可扩性。
The Gyárfás-Sumner conjecture says that for every forest $H$ and every integer $k$, if $G$ is $H$-free and does not contain a clique on $k$ vertices then it has bounded chromatic number. (A graph is $H$-free if it does not contain an induced copy of $H$.) Kierstead and Penrice proved it for trees of radius at most two, but otherwise the conjecture is known only for a few simple types of forest. More is known if we exclude a complete bipartite subgraph instead of a clique: Rödl showed that, for every forest $H$, if $G$ is $H$-free and does not contain $K_{t,t}$ as a subgraph then it has bounded…
Packing subgraphs in regular graphs
研究证明正则图中存在覆盖所有顶点的子图打包方法，解决了Kühn和Osthus提出的双图覆盖问题。
The Asymptotic Distributions of 3-star factors in random d-regular graphs
利用小子图条件化方法研究了随机\emph{d} -正则图中各类正则生成子图的几乎必然存在性及其个数的渐近分布.本文利用该方法确定了随机$d \geq 4$-正则图中3-星因子数的渐近分布
Measurable Regular Subgraphs
该研究刻画了d-正则二部Borel图存在Baire可测k-正则生成子图的充要条件，给出首个Borel图上有Baire可测解但高度可计算图上无可计算解的局部可检验着色问题，并证明超有限图测度情形下的类似结论。
Maximizing subgraph counts in regular graphs
研究正则图中最大化子图密度的问题，通过图的特征值连续优化方法，针对不同类型的图给出最优结构结论。
Let $ρ(G)$ be the spectral radius of a graph $G$ with $m$ edges. Let $S_{m-k+1}^{k}$ be the graph obtained from $K_{1,m-k}$ by adding $k$ disjoint edges within its independent set. Nosal's theorem states that if $ρ(G)>\sqrt{m}$, then $G$ contains a triangle. Zhai and Shu showed that any non-bipartite graph $G$ with $m\geq26$ and $ρ(G)\geqρ(S_{m}^{1})>\sqrt{m-1}$ contains a quadrilateral unless $G\cong S_{m}^{1}$ [M.Q. Zhai, J.L. Shu, Discrete Math. 345 (2022) 112630]. Wang proved that if $ρ(G)\geq\sqrt{m-1}$ for a graph $G$ with size $m\geq27$, then $G$ contains a quadrilateral unless $G$ is o…
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