Casimir operators, abelian subspaces and u-cohomology
Pierluigi Moseneder Frajria, Paolo Papi
这篇综述论文阐述了Kostant等人关于简单李代数的外代数与Casimir算子在其上的作用之间关系的新旧结果。我们的阐述依赖于u-上同调，并且基本上是自包含的。
This survey paper is an exposition of old and recent results of Kostant and al. on the relationships between the exterior algebra of a simple Lie algebra and the action of the Casimir operator on it. Our exposition relies on u-cohomology and it is basically self-contained.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Dirac cohomology for graded affine Hecke algebras
我们定义了分次仿射Hecke代数的Casimir和Dirac算子的类似物，并建立了Parthasarathy的Dirac算子不等式的一个版本。然后，我们证明了一个版本的沃根猜想狄拉克上同调。该猜想的公式化依赖于外尔群的旋量表示的一致几何参数化。最后，我们将所得结果应用于酉表示的研究。
Representation stability on the cohomology of complements of subspace arrangements
本文研究了实空间和复空间中线性子空间作为$S_n$ -模的排列的补的上同调群序列在Church和Farb意义下的表示稳定性。我们考虑由对角等式$x_i = x_j$定义的线性子空间的排列，并且在$S_n$置换坐标的作用下是不变的。我们提供的界限时，稳定发生的事实，稳定发生的另一种证明。后者是一个特殊的情况下，一个非常普遍的稳定结果的Gadish和纯辫子空间的结果是一部分的工作教会和Farb。对于这个空间更好的稳定界限获得了Hersh和Reiner。
Quasi-Coxeter algebras, Dynkin diagram cohomology and quantum Weyl groups
作者和De Concini独立地证明了单李代数g的Casimir联络的单值性是由量子群U_h（g）的量子外尔群算子描述的。本文及其续篇[TL 4]的目的就是证明这个猜想。证明依赖于使用拟Coxeter代数，这是广义辫群的Drinfeld的拟三角拟双代数是阿廷辫群B_n。使用适当的变形上同调，我们减少了猜想的存在准Coxeter，准三角准双代数结构的包络代数Ug之间插入的准Coxeter结构的Casimir连接和准三角准双代数的KZ方程。这种结构的存在将在[TL 4]中得到证明。
The split Casimir operator and solutions of the Yang-Baxter equation for the $osp(M|N)$ and $s\ell(M|N)$ Lie superalgebras, higher Casimir operators, and the Vogel parameters
我们在$osp(M|N)$和$s\ell(M|N)$李超代数的定义表示和伴随表示中找到了分裂Casimir算子的特征恒等式.当$T$是定义的和伴随的表示时，这些恒等式被用来建立$osp(M|N)$和$s\ell(M|N)$李超代数的表示$T^{\otimes 2}$的不变子空间上的投影。为了定义表达式，杨-巴克斯特方程的$osp(M|N)$ -和$s\ell(M|N)$ -不变解被表示为分裂Casimir算子的有理函数.对于伴随表示，从李超代数的Vogel参数化的泛描述出发，得到了特征恒等式和不变投影.我们还构造了伴随表示下$osp(M|N)$和$s\ell(M|N)$李超代数的高阶Casimir算子的通用生成函数。
Casimir elements associated with Levi subalgebras of simple Lie algebras and their applications
设$\mathfrak g$是单李代数，$\mathfrak h$是Levi子代数，$C_{\mathfrak h}\in U(\mathfrak h)$是通过对$\mathfrak g$的Killing形式的限制而定义的Casimir元.研究了$\mathfrak g/\mathfrak h$及相关$\mathfrak h$ -模中的$C_{\mathfrak h}$ -特征值.在不失一般性的情况下，可以假设$\mathfrak h$是最大Levi。然后，$\mathfrak g$配备有自然$\mathbb Z$分级$\mathfrak g=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}\mathfrak g(i)$，使得$\mathfrak g(0)=\mathfrak h$和$\mathfrak g(i)$是用于$i\ne 0$的简单$\mathfrak h$模块。我们给出了明确的公式$C_\mathfrak h$ -特征值在每个$\mathfrak g(i)$，$i\ne 0$，并与特征值的$C_\mathfrak h$在$\bigwedge^\bullet\mathfrak g(1)$的交换子空间的$\mathfrak g(1)$。我们还证明了，如果$\mathfrak a\subset\mathfrak g(1)$是阿贝尔，而$\mathfrak g(1)$不是，那…
Optimally defined Racah-Casimir operators for su(n) and their eigenvalues for various classes of representations
本文讨论了一个惊人的事实：从秩为$l$的单紧李代数$\g$的$i$阶李代数上同调上循环$i=1,2,... l$到其$m_i$阶本原Casimir算子$C^{(i)}$的定义，存在一条本质典范路径.因此，对于每个$\g$，我们得到一个完整的Rachah-Casimir算子集$C^{(i)}$，除此之外什么也没有。然后，该文件继续开发一个通用公式的特征值$c^{(i)}$的每个$C^{(i)}$有效的任何表示的$\g$，从而涉及$c^{(i)}$一个适当定义的广义Dynkin指数。$su(n)$的$c^{(i)}$的公式的形式已经足够明确地已知，可以清楚地说明一些有趣和重要的特征。为了说明的目的，显示了$su(n)$的某些表示类的详细结果，包括所有的基本表示和伴随表示。
Essential variational Poisson cohomology
在我们最近的文章[DSK 11]中，我们计算了任意阶的具有可逆首系数的拟常系数矩阵微分算子K的变分Poisson上同调的维数，条件是微分函数代数是正规的且是线性闭微分域上的代数.在本文中，我们证明了，对于K skewadjoint，这个上同调，被视为一个Z-分次李超代数，同构于有限维李超代数的Hamilton向量场在格拉斯曼代数。我们还证明了“本质”变分泊松上同调的子代数，包括类消失的卡西米尔的K，是零。这个消失的结果有双哈密顿结构和它们的变形理论的应用。在本文的最后，我们还考虑了平移不变的情况。
The Relative Lie Algebra Cohomology of the Weil Representation of SO(n,1)
在本文的第1部分中，我们构造了一个谱序列，它收敛于与辛群的任何子群$G$在Weil表示的多项式Fock模型上的作用相关联的相对李代数上同调，见第7节。这些相对李代数上同调群是令人感兴趣的，因为它们映射到$G$的对称空间$G/K$的适当算术子的上同调。我们将这个谱序列应用于第8、9和10节中的$G = \mathrm{SO}_0(n,1)$情形，以计算相对李代数上同调群$H^{\bullet} \big(\mathfrak{so}(n,1), \mathrm{SO}(n); \mathcal{P}(V^k) \big)$。这里$V = \mathbb{R}^{n,1}$是Minkowski空间，$\mathcal{P}(V^k)$是$L^2(V^k)$的子空间，由多项式与高斯的所有乘积组成。本文的第二部分利用谱理论和表示理论计算了上同调群$H^{\bullet}\big(\mathfrak{so}(n,1), \mathrm{SO}(n); L^2(V^k) \big)$。本文的第三部分计算了由包含$\mathcal{P}(V^k) \subset L^2(V^k)$诱导的多项式Fock与$L^2$上同调群之间的映射。
The Cohomology of the Grassmannian is a $gl_n$-module
$r$维复向量空间中参数化$r$维子空间的格拉斯曼簇的积分奇异上同调环自然是所有具有整数元的$n\times n$矩阵的李代数的不可约表示.使用Schubert导子的概念，一个杰出的Hasse-Schmidt导子的外代数，我们明确地描述这样的表示，指出它的关系，著名的玻色顶点表示的李代数的无限矩阵由于日期，Jimbo，Kashiwara和Miwa。
Exterior powers of the reflection representation in the cohomology of Springer fibres
设$H^*(\calB_e)$为单李代数$\g$中幂零元$e$的Springer纤维的上同调，Weyl群$W$作用于该单李代数上.令$Λ^i V$表示$W$的反射表示的$i$次外幂。在假定$e$在Levi子代数中是正则的并且满足一定的附加条件的情况下，我们确定了$Λ^i V$在分次表示$H^*(\calB_e)$中出现的次数，如果$\g$是A、B或C型的，则该附加条件自动成立.这部分地证实了Lehrer-Shoji的一个猜想，推广了Solomon在$e=0$情形下和Lehrer-Shoji在$i=1$情形下的结果.证明了$(H^*(\calB_e) \otimes Λ^* V)^W$是它的子空间$(H^*(\calB_e)\otimes V)^W$上的自由外代数。
Representation Stability for Families of Linear Subspace Arrangements
Church-Ellenberg-Farb利用FI-模的语言证明了具有Sn-作用的超平面排列序列的上同调满足表示稳定性。在这里，我们将他们的结果提升到安排本身的水平，并定义何时安排的集合是“随机生成的”。利用这个概念，我们大大扩大了稳定性结果：1）一般的线性子空间安排，不一定是超平面。2)一类广泛的群作用，用一般范畴C代替FI。我们表明，这样的集合的安排上同调满足一个强有力的形式的代表性的稳定性，与许多具体的应用。为此，我们发展了一个理论的代表性稳定性和广义特征多项式广泛的类组。我们应用这一理论得到了系数在某些可构造层中的线性子空间排列的同调子的经典上同调稳定性。
Quantum cohomology of the cotangent bundle of a flag variety as a Yangian Bethe algebra
我们解释了等变上同调代数H^*_{GL_PDMATHABMM \C^* }（T^*F_λ;参数化子空间链0=F_0 \subset的部分旗簇F_λ的余切丛（\C \subset F_1 \subset \dots \subset F_N = \C^n，\dim F_i/ F_{i-1} =λ_i，作为gl_N Yangian模的gl_N-权子空间的Yangian Bethe代数.在这种识别下，[TV 1]的动力学联系变成了[BMO]和[MO]的量子联系。作为这个证明的结果，我们将H^*_{GL_n \times \C^* }（T^*F_λ; \C）上的量子乘法代数描述为离散Wronski映射纤维上的函数代数.特别是这给发电机和关系的代数。这种识别也给了我们相关的量子微分方程的超几何解。这一事实证明了旗簇余切丛的朗道-金斯堡镜像对称性。
Quantization of cohomology in semi-simple Lie algebras
有限维李代数由一阶微分算子实现的空间自然同构于系数在函数模中的H^1。实现允许函数的有限维不变子空间的条件似乎是这个H^1上的一种量子化条件。已知这种上同调的量子化对2维齐性空间上的所有实现都成立，但上同调的量子化在多大程度上是真的，这是一个悬而未决的问题。本文给出了上同调量子化的第一个已知反例;它表明，即使李代数是半单的，即使所讨论的齐次空间是紧的，量子化也可能失败。在半单李代数的情况下给出了量子化现象的解释。证明了H^1中允许有限维不变子空间的类的集合是位于有限生成阿贝尔群内的半群。为了使这个阿贝尔群成为H^1的离散子集，也就是说，为了使量子化发生，需要在各向同性子代数上附加一些条件。两个不同的情况下，这种必要条件。
Quantum Groups and Quantum Cohomology
本文研究了一般代数Q的Nakajima簇的经典和量子等变上同调。利用一个几何R-矩阵形式，构造了一个作用于这些簇的上同调的霍普夫代数Y_Q，即Q的Yangian，并给出了关于它们的基本结构理论的几个结果.我们证明了一个公式的量子乘法因子在此杨的作用。量子联络可以用Y_Q的三角Casimir联络来表示，等价地，因子算子对应于Y_Q的Baxter子代数的某些元素。几何移位算子在其中起着关键的作用，它可以用量子KZ差联系来识别。在第二部分中，我们给出了在无穷远处框架中C^2上层的模空间的一般理论的一个扩展例子。在这里，杨的行动进行了分析，明确的自由场实现方面，相应的R-矩阵是密切相关的刘维域论的反射算子。我们证明了除子算子生成量子环，量子环与全Baxter子代数相同。作为我们构造的一个推论，我们得到了W-代数W（gl（r））在秩$r$模空间的等变上同调上的一个作用，它蕴涵了Alday，Gaiotto和Tachikawa的某些性质.
Casimir Operators and Monodromy Representations of Generalised Braid Groups
设g是复单李代数，其Cartan子代数h和外尔群W.我们构造了h上的一个单参数平坦联络族D，其值在任意有限维h-模V中，根超平面上有单极点。g型辫群B的相应单值表示是W在V上的作用的变形（W的有限扩张）。D的剩余是g的sl（2）-子代数对应于其根的Casimir。V的子空间U在这些下的不可约性意味着，对于参数的一般值，辫群B不可约地作用在U上。通过讨论Knutson和Procesi的一个问题，我们证明了当g是sl（3）时，这些Casimirs不可约地作用在所有简单g-模的权空间上，但当g不同构于sl（2）或sl（3）时，情况并非如此.我们利用这一点反驳了Kwon和Lusztig关于Artin辫群B_n在所有简单U_{q} sl（n）-模的零权空间上的量子外尔群作用的不可约性的一个猜想，其中n大于或等于4.最后，研究了Casimirs作用在自对偶g-模的零权空间上的不可约性，得到了g=sl（n）或g（2）的完全分类结果.
On the cohomology of meromorphic open-string vertex algebras
本文将Huang关于分次限制顶点代数的上同调理论推广到亚纯开弦顶点代数（MOSVAs），MOSVAs是Huang引入的分次限制顶点代数的非交换推广.这些代数的顶点算子满足结合性，但不一定满足交换性。此外，本文所考虑的MOSVA及其双模不一定有有限维齐次子空间，尽管我们要求它们有下界分次。本文的结构和结果将在黄和作者的联合论文中得到应用，给出分次限制顶点代数模的约化性的上同调判据
The first cohomology, derivations and the reductivity of a (meromorphic open-string) vertex algebra
利用亚纯开弦顶点代数$V$的第一上同调，给出了满足可组合条件的模的完全约化的一个判别准则。对于$V$ -双模$M$，令$\hat{H}^{1}_{\infty}(V, M)$是$V$与$M$中的系数的第一上同调。设$\hat{Z}^{1}_{\infty}(V, M)$是$\hat{H}^{1}_{\infty}(V, M)$的子空间，它正则同构于从权$1$元素的右顶点算子的零模得到的导子空间，使得左作用和右作用在这些元素上的反对称作用之间的差是变量的Laurent多项式.若对每个$\Z$ -分次$V$ -双模$M$有$\hat{H}^{1}_{\infty}(V, M)= \hat{Z}^{1}_{\infty}(V, M)$，则每个满足可组合性条件的左$V$ -模是完全可约的.特别地，由于下界$\Z$ -分次顶点代数$V$是一个特殊的亚纯开弦顶点代数，左$V$ -模实际上是所谓的具有下界权的广义$V$ -模（或下界广义$V$ -模），这个结果为这样的顶点代数的下界广义模的完全约化提供了一个上同调准则。我们猜想上述主要定理的逆定理也成立。证明了当分次限制顶点代数$V$包含一个满足某些常见条件的子代数时，分次限制广义$V$ -模的可组合性条件始终成立，并且在完全约化定理中，仅对由分次限制子空间生成的每个$\Z$ -分次$V$ -双模$M$，需要$\hat{H}^{1}_{\inft…
Loewy filtration and quantum de Rham cohomology over quantum divided power algebra
研究了量子除幂代数$\mathcal{A}_q(n)$在\cite{HU}中的不可分解子模结构及其截断对象$\mathcal{A}_q(n, \bold m)$ .建立了一种“交织提升”方法，证明了柱脚为非单的模的不可分解性。对所有的齐次子空间$\mathcal{A}^{(s)}_q(n)$或$\mathcal{A}_q^{(s)}(n, \bold m)$描述了Loewy滤子，确定了Loewy层和维数.证明了这些不可分解模的刚性。对于一类不可分解的$\mathfrak{u}_q(\mathfrak{sl}_n)$ -模，从我们的实现模型中导出了一个有趣的组合恒等式.同时，通过定义适当的$q$ -微分，构造了$\mathcal{A}_q(n)$上的量子Grassmann代数$Ω_q(n)$和量子de Rham复形$(Ω_q(n), d^\bullet)$，以及它的子复形$(Ω_q(n,\bold m), d^\bullet)$ .对于后者，相应的量子de Rham上同调模被分解为若干符号平凡$\mathfrak{u}_q(\mathfrak{sl}_n)$ -模的直和.
Total cohomology of solvable Lie algebras and linear deformations
给定有限维李代数$\mathfrak{g}$，设$Γ_\circ(\mathfrak{g})$是具有非零上同调的不可约$\mathfrak{g}$ -模的集合.我们证明了一个$\mathfrak{g}$ -模块$V$属于$Γ_\circ(\mathfrak{g})$只有当$V$是包含在可解根$\mathfrak{s}$的$\mathfrak{g}$的外代数，特别是显示$Γ_\circ(\mathfrak{g})$是一个有限集，我们推导出$H^*(\mathfrak{g},V)$是一个$L$ -模块，其中$L$是一个固定子群的连通分支的$\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$，其中包含一个Levi因子。我们描述$Γ_\circ$在一些基本的例子，包括Borel子代数，我们也确定$Γ_\circ(\mathfrak{s}_n)$的扩展$\mathfrak{s}_n$的2维阿贝尔李代数的标准filiform李代数$\mathfrak{f}_n$。为此，我们描述了$\mathfrak{f}_n$的上同调。引入了李代数$\mathfrak{g}$的\emph{total cohomology}，称为$TH^*(\mathfrak{g})=\bigoplus_{V\in Γ_\circ(\mathfrak{g})} H^*(\mathfrak{g},V)$，并进一步…
IFFT-Equivariant Quantizations
关于向量场的共形和射影李代数的等变量子化的存在性和唯一性最近由Duval，Lecomte和Ovsienko得到.为了做到这一点，他们计算了一些Casimir算子的谱。在Kobayashi和Nagano分类的IFFT-代数的一般框架下，我们给出了这些谱的一个显式公式。我们还定义了这些算子的特征空间的树状子集，在这些子集中，特征值可以进行比较，以表明IFFT-等变量化的存在性。我们应用我们的结果证明了量子化的存在性和唯一性，这些量子化是关于辛的无穷小作用的等变的。pseudo-orhocal）群的极大迷向子空间的相应Grassmann流形上。
Semisimple elements and the little Weyl group of real semisimple $Z_m$-graded Lie algebras
本文研究 Vinberg θ-表示的半单轨道，通过证明限制根超平面与小 Weyl 群复反射超平面相等的技术性结果，并利用 Galois 上同调分类实 Cartan 子空间及具有实代表元的轨道，推广了既有定理。
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