Weil-Petersson度量几何快速概述
Weil-Petersson Metric Geometry Quick Overview
摘要：
简要介绍了WP度量几何的当前发展。
英文摘要：
A quick overview is provided on the current development of the WP metric geometry.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Weil-Petersson联络的推广
Extension of the Weil-Petersson connection
研究了穿孔Riemann曲面的Teichmüller空间上Weil-Petersson测地线的凸性.给出了双曲度量的Weil-Petersson Levi-Civita联络的一个规范形.规范形用于建立边界空间中测地线的近似。考虑到结合建立凸性沿Weil-Petersson测地线的功能horocycles之间的距离为双曲度量。
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Weil-Petersson度量几何
The Weil-Petersson metric geometry
对Weil-Petersson度量空间几何作了一个简要的介绍。Teichmueller空间和它的增广被描述在Fenchel-Nielsen坐标。给出了测地线长度函数的梯度和海森公式。申请被考虑。给出了Fenchel-Nielsen坐标系下Weil-Petersson度量的描述。描述了在增强点处的亚历山德罗夫切锥。给出了一个平环面空间几何与Teichmueller空间几何的Weil-Petersson度量的比较字典。
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Weil-Petersson测地线的瓶颈
Bottlenecks for Weil-Petersson geodesics
介绍了在Teichmüller空间中构造具有一定性质的Weil-Petersson（WP）测地线的方法.这使我们能够研究路线的测地线之间的地层的WP完成和它的关系，地下投影系数的结束不变量。作为一个应用，我们证明了WP测地线上的泛曲线中的短曲线与相关的双曲$3$ -流形中的短曲线之间的差异。
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Teichmuller空间中Weil-Petersson测地线的平均曲率
Average curvatures of Weil-Petersson geodesics in Teichmuller space
本文计算了Teichmuller空间中由Weil-Petersson测地线构成的三流形的曲率。
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五次穿孔球体的Weil-Petersson几何
The Weil-Petersson geometry of the five-times punctured sphere
给出了Teichmüller空间上Weil-Petersson度量的完备化是Gromov-双曲的一个新的证明，如果曲面是五次穿孔球面或二次穿孔环面.我们的方法利用合成几何的Weil-Petersson度量。
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一类Weil-Petersson测地线的渐近性和Weil-Petersson测地线的发散性
Asymptotics of a class of Weil-Petersson geodesics and divergence of Weil-Petersson geodesics
证明了具有窄端不变量和有界环系数的Weil-Petersson（WP）测地线的强渐近类是由前端层决定的。这推广了Brock-Masur-Minsky的递归终结层合定理。作为应用，我们给出了模空间中WP测地线发散的一个符号条件。
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Weil-Petersson观点
Weil-Petersson perspectives
本文重点介绍了有限维Teichmüller空间的Weil-Petersson（WP）几何研究的最新进展。对于最近的进展和理解无限维Teichmüller空间的读者是针对最近的工作特奥Takhtajan。作为亮点的一部分，我们还提出了未来调查的可能方向。
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关于Calabi-Yau流形模空间的Weil-Petersson体积和第一个Chern Class
On the Weil-Petersson volume and the first Chern Class of the moduli space of Calabi-Yau manifolds
本文证明了Calabi-Yau模的Weil-Petersson体积是一个有理数。我们还证明了Weil-Petersson度量的里奇曲率的不变量关于Weil-Petersson体积形式的积分都是有理数。
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广义希钦-小林对应与韦伊-彼得森流
Generalized Hitchin-Kobayashi correspondence and Weil-Petersson current
本文沿全纯纤维空间推广希钦-小林对应，证明存在带韦伊-彼得森扭曲的广义厄米-爱因斯坦度量，推广了向量丛的宋-田纲领。
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Weil-Petersson sectional curvatures消失率
The vanishing rate of Weil-Petersson sectional curvatures
黎曼曲面的模空间的Weil-Petersson度量具有负截面曲率。表示在模空间中的紧集的补中的曲面具有短测地线。在这样的曲面上，Weil-Petersson度量近似为乘积度量。几乎乘积度量具有曲率几乎为零的截面。我们约束截面曲率远离零的产品的长度短测地线的黎曼曲面。我们给出的例子和期望的实际消失率。
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Teichmuller空间上Weil-Petersson度量的渐近平坦性
Asymptotic flatness of the Weil-Petersson metric on Teichmuller space
已知Teichmuller空间上Weil-Petersson度量的截面曲率为负。我们表明，这外-彼得森截面曲率是不是从上面捏任何负常数，即，没有负的上界。
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关于Calabi-Yau模的Weil-Petersson几何
On the Weil-Petersson Geometry of Calabi-Yau Moduli
本文证明了Calabi-Yau流形模空间上任意阶Chern类的Weil-Petersson体积是一个有理数。在多元情形下，我们也得到了Weil-Petersson度量不完备的充要条件。
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双曲锥Riemann Surfaces族的Weil-Petersson几何
Weil-Petersson geometry for families of hyperbolic conical Riemann Surfaces
研究了具有唯一常曲率圆锥度量的全纯黎曼曲面族的Weil-Petersson几何。
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极化Calabi-Yau流形的模空间上的Weil-Petersson几何
Weil-Petersson geometry on moduli space of polarized Calabi-Yau manifolds
本文定义并研究了Weil-Petersson几何。在Weil-Petersson几何的框架下，我们研究了Weil-Petersson度量和Hodge度量.在其他结果中，我们表示的Hodge度量的Weil-Petersson度量和里奇曲率的Weil-Petersson度量的Calabi-Yau四倍模。我们还证明了模空间的Hodge体积是有限的。最后，证明了当Hodge度量完备且模空间的维数为1时，Hodge度量的曲率是有界的。
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Weil-Petersson度量的渐近性
Asymptotics of the Weil-Petersson metric
本文研究了亏格为$γ>1$的紧致曲面上共形结构的黎曼模空间$\mathcal M_γ$及其Weil-Petersson度量$g_{\mathrm{WP}}$ .我们的主要结果是：$g_{\mathrm{WP}}$允许一个关于短测地线长度的幂的完全多齐次展开，直到$\mathcal M_γ$的Deligne-Mumford紧化的奇异因子为止.
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Weil-Petersson等距的分类
Classification of Weil-Petersson Isometries
本文包含两个主要结果。第一个问题是在Teichmueller空间中对任意伪Anosov映射类都存在等变Weil-Petersson测地线。因此，人们获得了映射类群的元素的分类，作为与Thurston分类平行的Weil-Petersson等距。第二个结果涉及这些测地线的渐近行为。它示出，测地线是相对于独立的伪Anosov发散等变。由此可见，子群的映射类群，其中包含独立的伪Anosov的行为在一个还原的方式相对于威尔-彼得森几何。这意味着等变调和映射到度量完备的存在性定理。
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关于Weil–Petersson拓扑的Epstein曲面间重正化体积的连续性
Comparison between renormalized volume and area in the Weil--Petersson topology
该研究证明了Weil–Petersson拟圆生成的两个Epstein曲面间的重正化体积关于Weil–Petersson拓扑连续，并推导得出通用Liouville作用量与该体积成正比。
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Teichmuller-Coxeter复形的Weil-Petersson几何及其有限秩性质
Weil-Petersson geometry of Teichmuller-Coxeter complex and its finite rank property
以Teichmuller空间为非线性非齐次基本区，通过Coxeter复形的形式构造了Teichmuller空间的Weil-Petersson测地完备化.我们证明了度量完备化和测地完备化都满足有限秩性质，这与半单李群的非紧对称空间具有相似性。
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Weil-Petersson几何的局部和整体性质
Local and Global Aspects of Weil-Petersson Geometry
这是一篇关于Teichmuller空间的Weil-Petersson几何的综述论文。尽管历史上这门学科已经发展成为复分析的一个分支，但这里的处理是从微分几何的观点出发的，这在很大程度上受到了Eells、Earle、Fischer、Tromba和Wolpert几十年来的著作的影响。Weil-Petersson几何具有负的截面曲率，本文的主题是利用黎曼几何方法以及CAT（0）几何和Coxeter理论的方法，研究由曲率的负性引起的Weil-Petersson距离函数的凸性.
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Teichmüller空间的Weil-Petersson完备化几何
Geometry of the Weil-Petersson completion of Teichmüller space
我们提出了一个观点，目前的理解几何Weil-Petersson（WP）测地线上完成的Teichmüller空间。我们草图收集的结果由其他作者，然后继续发展的WP CAT（0）几何的属性。我们的方法包括简化证明的Masur-Wolf定理，分类单位和测地线限制。
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Riemann Surfaces模空间厚部上的Weil-Petersson几何
The Weil-Petersson Geometry On the Thick Part of the Moduli Space of Riemann Surfaces
在黎曼曲面的模空间的厚部分上，当曲面的收缩存在正的下界时，我们证明了所有的Weil-Petersson黎曼曲率都是有界的，与曲面的亏格无关.
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Weil-Petersson圆周同胚的调和延拓
Harmonic extension of Weil-Petersson circle homeomorphisms
Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501, Université de Strasbourg et CNRS（斯特拉斯堡大学数学高级研究所）；YMSC, Tsinghua University（清华大学高等研究院）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）
从调和映射角度研究Weil-Petersson圆周同胚，证明其等价于到双曲盘的拟共形调和延拓具有平方可积Beltrami微分，并引入反全纯L²能量。
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Weil-Petersson距离的一个新的一致下界
A new uniform lower bound on Weil-Petersson distance
本文研究了Weil-Petersson测地线上基于不动点的内射半径。我们证明了在Teichmüller空间上，基于不动点的内射半径的平方根是$ 0.3884$ -Lipschitz.作为应用，我们重新证明了在具有Weil-Petersson度量的Teichmüller空间上收缩函数的平方根是一致Lipschitz，其中Lipschitz常数可以选择为$0.5492$ .本文也将讨论黎曼曲面的大亏格的模空间在渐近几何中的应用。
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理解Weil-Petersson曲率
Understanding Weil-Petersson curvature
提供了Weil-Petersson曲率研究的简史和Teichmüller理论的总结。本文报告了用Weil-Petersson度量和测地线长度函数描述内禀几何的程序。给出了度量、共变导数和曲率张量的计算公式。方法的讨论包括在内。最近和新的应用概述，包括刘孙丘的工作，山田模型度量的检查和描述的Jacobi字段沿测地线的边界的结果。
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模空间的Weil-Petersson半径的增长性
Growth of the Weil-Petersson inradius of moduli space
本文研究心脏收缩函数沿Weil-Petersson测地线的性质。我们证明了心脏收缩函数的平方根在具有Weil-Petersson度量的Teichmüller空间上是一致Lipschitz的.作为应用，我们研究了亏格为$g$的具有$n$穿刺的黎曼曲面的模空间的Weil-Petersson内半径的增长性，它是$g$和$n$的函数.我们表明，Weil-Petersson内半径是可比的$\sqrt{\ln{g}}$相对于$g$，并与$1$相对于$n$。此外，我们还研究了Teichmüller空间中有限半径测地球的Weil-Petersson体积随$g$趋于无穷大的渐近行为.我们证明了它们的行为类似于$o((\frac{1}{g})^{(3-ε)g})$和$g\to \infty$，其中$ε>0$是任意的。
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关于Riemann Surfaces的Teichmüller空间的渐近Weil-Petersson几何
On Asymptotic Weil-Petersson Geometry of Teichmüller Space of Riemann Surfaces
本文研究了Riemann曲面的Teichmuller空间的渐近几何，给出了Teichmuller空间的Weil-Petersson截曲率的界，并给出了它的界的定义.这也将意味着截面曲率不会从上方或下方被任何负常数挤压。
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通过裤子复合体的Weil-Petersson等距
Weil-Petersson isometries via the pants complex
本文推广了Masur和Wolf的一个定理，即给定一个双曲曲面S，S的Teichmuller空间中具有Weil-Petersson度量的每一个等距都是由S的映射类群中的一个元素导出的.我们的论证处理了以前未处理过的四孔球面、单孔环面和双孔环面的情形。
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Teichmueller空间的Weil-Petersson完备化与映射类群作用
Weil-Petersson Completion of Teichmueller Spaces and Mapping Class Group Actions
给定一个高亏格的曲面，我们将研究该曲面的Teichmuller空间的Weil-Petersson完备化，并研究映射类群在其上的等距作用，主要观察结果是该集的几何特征与非紧对称空间上的半单李群作用的几何特征有很强的相似性.
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泛Teichmüller空间上的Weil-Petersson曲率算子
The Weil-Petersson curvature operator on the universal Teichmüller space
泛Teichmüller空间是经典Riemann曲面的Teichmüller空间的无限维推广。它带有一个自然的希尔伯特结构，在这个结构上可以定义一个自然的黎曼度量，即Weil-Petersson度量。本文研究了具有Hilbert结构的泛Teichmüller空间的Weil-Petersson Riemannian曲率算子$\tilde{Q}$，证明了：（i）$\tilde{Q}$是非正定的。(ii)$\tilde{Q}$是一个有界算子。(iii)$\tilde{Q}$不是紧致的; $\tilde{Q}$的谱集不是离散的。作为应用，我们证明了四元数双曲空间和Cayley平面都不能完全测地线浸入赋Weil-Petersson度量的泛Teichmüller空间.
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Weil-Petersson测地线的极限集
Limit sets of Weil-Petersson geodesics
本文证明了在Teichmüller空间的Thurston紧化中，任何具有唯一遍历终结层的Weil-Petersson测地线的极限集是单点.另一方面，我们构造的例子Weil-Petersson测地线最小的非唯一遍历结束层和极限集的Thurston紧化的一个圆。
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Calabi-Yau流形的模空间上的数值Weil-Petersson度量
Numerical Weil-Petersson metrics on moduli spaces of Calabi-Yau manifolds
我们介绍了一个简单的和非常快速的算法，计算Weil-Petersson度量上的模空间极化Calabi-Yau流形。此外，通过使用唐纳森的量子化链接之间的无限维和有限维的G.I.T矩阵，描述模空间的品种，我们定义了一个自然序列的Kaehler度量。我们证明了序列收敛到Weil-Petersson度量。我们还开发了一个算法，数值上近似这样的度量，因此Weil-Petersson度量本身。CP ^[4]中提供了关于一族卡-丘五次超曲面的明确例子。我们的第二个算法的范围要广得多，同样的技术可以用来近似度量的零空间的狄拉克算子耦合到埃尔米特杨米尔斯连接。
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关于大亏格Riemann surfaces模空间的Weil-Petersson曲率
On the Weil-Petersson curvature of the moduli space of Riemann surfaces of large genus
设$S_g$是亏格$g$的闭曲面，$\mathbb{M}_g$是赋予Weil-Petersson度量的$S_g$的模空间.本文研究了大亏格$g$的$\mathbb{M}_g$的Weil-Petersson曲率.首先，我们研究了$\mathbb{M}_g$中的极值Weil-Petersson全纯截面曲率在某些厚曲面上的渐近行为，即$g \to \infty$。然后用概率的方法证明了全空间$\mathbb{M}_g$作为$g\to \infty$的两个曲率性质。
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Weil-Petersson平移距离与映射环面的体积
Weil-Petersson translation distance and volumes of mapping tori
给定一个闭双曲3-流形T_n，它以单值性S：S-> S在圆上纤维化，单值性$ψ$确定Teichmuller空间的等距，其Weil-Petersson度量的平移距离||ψ|| WP是积极的。我们证明了存在一个常数K>= 1，它只依赖于S的拓扑，使得T_∞的体积满足||ψ||_WP/K <= vol（T_K）<= K|| ψ||_WP.
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Bridgeland稳定性条件空间上的Weil-Petersson几何
Weil-Petersson geometry on the space of Bridgeland stability conditions
受镜像对称的启发，我们研究了Calabi-Yau三角化范畴上Bridgeland空间稳定性条件的一些微分几何方面。目的是发展弦Kähler模空间上的Weil-Petersson几何理论。一些基本的例子进行了研究。特别是，我们确定我们的Weil-Petersson度量与Bergman度量的西格尔模品种的情况下，自产品的椭圆曲线。
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Weil-Petersson辛形式的几何方法
Geometric Approach to the Weil-Petersson Symplectic Form
在一族紧的、正则极化的复流形中，计算了闭测地线长度的一阶变分。作为应用，我们用纯几何的方法证明了紧Riemann曲面的Teichmueller空间上的Fenchel-Nielsen和Weil-Petersson辛形式的重合性.该方法也可以应用于加权穿孔黎曼曲面的模空间等情形，其中Kleinian群的方法不可用。
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Weil-Petersson Isometry集团
The Weil-Petersson Isometry Group
本文证明了Teichmuller空间T（g，n）的每一Weil-Petersson等距都是由扩充的映射类群的一个元素诱导的，这里3g-3+n > 1且（g，n）不是（1，2）.我们的方法如下伊万诺夫的证明罗伊登的类似定理的Teichmuller度量：我们研究的行动isometric前沿的度量完成的Teichmuller空间，并表明，isometric然后诱导自同构的相关复杂的曲线。Weil-Petersson度量的一些合成几何完成了证明。
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标量曲率、体积与Weil-Petersson平移长度
Scalar curvature, volume, and Weil-Petersson translation length
本文在伪阿诺索夫映射环面上构造满足特定条件的度量，改进了相关不等式的常数，给出了伪阿诺索夫映射环面双曲体积与Weil-Petersson平移长度关系的新证明。
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模形式Weil-Petersson度量渐进行的模解释
Modular interpretation of the Weil-Petersson metric asymptotics for abelian varieties
本文研究了abelian varieties的Weil-Petersson度量渐近行为，通过多尺度塌缩极限与Odaka的分类联系，提供模形式的解释。
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拟Fuchsian流形的对偶体积与Weil-Petersson距离
The dual volume of quasi-Fuchsian manifolds and the Weil-Petersson distance
利用对偶Bonahon-Schläfli公式，证明了拟Fuchsian流形$M$的凸核的对偶体积由一个仅依赖于$M$的拓扑的显式常数乘以$M$凸核的上下边界分量上的双曲结构之间的Weil-Petersson距离有界.
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高阶直像层的曲率及其在Weil-Petersson度量负曲率判据中的应用
Curvature of higher direct image sheaves and its application on negative-curvature criterion for the Weil-Petersson metric
我们将证明Kähler全空间$\mathcal X$上的向量丛$E$的$q$ -半正性蕴涵$\mathcal O(K_{\mathcal X/B}\otimes E)$的第$q$个直接象的Griffiths-半正性。作为应用，我们给出了基流形上广义Weil-Petersson度量的负曲率判据.
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Weil-Petersson度量的等界性
Equiboundedness of the Weil-Petersson metric
在Teichmüller空间和模空间中，得到了$2$维常负曲率方程解的导数和Weil-Petersson度量的一致界.的依赖关系的边界上的几何基础的黎曼曲面进行了研究。分析了调和Beltrami微分的$C^0$、$C^{2,α}$和$L^2$范数之间的比较.给出了Weil-Petersson曲率张量的共变导数的一致界，该界是根据基本Riemann曲面的收缩和微分方向在{ \it pinching方向}上的投影给出的.主要分析结合Schauder和位势论估计与分析隐函数定理。
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调和Beltrami微分与Weil-Petersson曲率的一致界
Uniform bounds on harmonic Beltrami differentials and Weil-Petersson curvatures
本文证明了对任何$(g,n)$型的有限面积双曲曲面$X$和$X$上的任何调和Beltrami微分$μ$，则$μ$在小内射半径的任何点处的大小由$μ$的Weil-Petersson范数与$X$收缩的平方根之比从上到上一致有界，直到一致的正常数乘法.我们应用上述的一致界来证明限制在模空间中任何短收缩期的双曲曲面上的Weil-Petersson里奇曲率，从下到上由收缩期的负倒数一致地有界到一致的正常数乘法。作为一个应用，我们表明，平均总Weil-Petersson数量曲率的模空间是一致可比的$-g$作为亏格$g$走向无穷大。
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无穷共形型曲面的Weil-Petersson Teichmüller理论
Weil-Petersson Teichmüller theory of surfaces of infinite conformal type
在过去的二十年里，Weil-Petersson度量理论已经被推广到无限型的一般Teichmüller空间，包括例如泛Teichmüller空间。本文综述了无限维Teichmüller空间的Weil-Petersson几何的主要结果。这包括复杂希尔伯特流形结构的严格定义，凯勒几何和整体分析，以及周期映射的推广。我们还讨论了在表示论和物理学在20世纪80年代开始的理论的动机。文中还提供了Weil-PetersonTeichmüller空间在流体力学和二维共形域论等领域中出现的一些例子。
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与Weil-Petersson度量扭曲的广义Sasaki-Einstein度量
Generalized Sasaki-Einstein metric twisted with Weil-Petersson metric
本文针对基本第一陈类不确定的Sasaki流形，利用Fujino极小模型纲领，提出在其典范模型上构造典范度量的方案。
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欧氏几何和Weil-Petersson几何中的凸体
Convex bodies in Euclidean and Weil-Petersson geometries
在欧几里得空间中的凸体上，我们引入了Funk度量的一个新的变分形式，Funk度量是一个与凸体的重言式Finsler结构相容的Finsler度量.利用Weil-Petersson距离函数将度量推广到Teichmuller空间上.一组相似之处，由此产生的度量结构与瑟斯顿的非对称度量的股份。
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Weil-Petersson曲率的一致界
Uniform Bounds for Weil-Petersson Curvatures
我们发现的界限韦尔-彼得森全纯截面曲率，和韦尔-彼得森曲率算子在几个政权，不依赖于拓扑结构的基础表面。在其他结果中，我们表明，最小（最负）的特征值的曲率算子在任何点的Teichmüller空间$\Teich(S_g)$的闭曲面$S_g$属$g$是一致有界远离零。限制到一个厚的部分$\Teich(S_g)$，我们表明，最小特征值是一致有界的一个明确的常数，不依赖于拓扑的表面，但只对给定的内射半径。我们还表明，一个足够厚的双曲曲面的最小Weil-Petersson全纯截面曲率是可比的$-1$。
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Weil-Petersson 圆同胚、极小拉格朗日微分同胚以及反德西特空间中的最大曲面
Weil--Petersson homeomorphisms, minimal lagrangian diffeomorphisms, and maximal surfaces in anti-de Sitter space
本文研究了Weil-Petersson圆同胚在三维反德西特空间中的性质，证明了同胚与其边界上的渐近边界关系，以及其在Teichmüller理论中的应用。
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Weil-Petersson完备化的层分离和长度函数的梯度估计
Strata Separation for the Weil-Petersson Completion and Gradient Estimates for Length Functions
一般来说，很难在Teichmüller空间上用Weil-Petersson度量距离。这里我们考虑有限型曲面Teichmüller空间的Weil-Petersson完备化中的层间距离。Wolpert表明，地层的封闭不相交，有一个明确的分离独立的拓扑结构的表面。我们证明了这个最小分离的最优值是一个常数$δ_{1,1}$，并表明它是实现的节点相交一次的地层。我们也给了一个几乎尖锐的估计$δ_{1,1}$和$δ_{1,1}$和其他距离之间的差距的大小给出了一个下界。一个主要组成部分的文件是一个有效的版本Wolpert的上界$ \langle \nabla \ell_α,\nabla \ell_β\rangle$，内积的威尔-彼得森梯度的长度函数。我们进一步用曲面收缩期的长度来限定双曲曲面到Teichmüller空间边界的距离。我们还获得了新的下界收缩的Weil-Petersson度量的模空间的穿孔环面。
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Weil-Petersson度量的黎曼Sectional Curvature算子及其应用
The Riemannian Sectional Curvature Operator Of The Weil-Petersson Metric and Its Application
固定一个数$g>1$，设$S$是亏格$g$的闭曲面，$Teich(S)$是赋予Weil-Petersson度量的$S$的Teichmüller空间.本文证明了$Teich(S)$的黎曼截面曲率算子是非正定的。作为应用，我们证明了从秩一双曲空间$H_{Q,m}=Sp(m,1)/Sp(m)\cdot Sp(1)$或$H_{O,2}=F_{4}^{-20}/SO(9)$到$Teich(S)$的扭调和映射是常数.
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具有非极小终止叠层的Weil-Petersson测地线的极限集
Limit sets of Weil-Petersson geodesics with nonminimal ending laminations
本文在Teichmüller空间的Thurston紧化中构造了具有非极小终止层且具有一维极限集的Weil-Petersson测地线的例子。
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Riemann surfaces族和Weil-Petersson几何
Families of Riemann surfaces and Weil-Petersson geometry
提供了2008年关于Weil-Petersson几何的一般概述。随后在中央康涅狄格州立大学CBMS讲座的初步计划包括在内。Mirzakhani的解决方案维滕-Kontsevich不包括在内-这项工作基本上需要自己的讲座。2011年在帕克城数学研究所举行了关于米尔扎哈尼的维滕-孔采维奇的讲座。2008年以后对WP几何的研究包括Brock-Masur-Minsky的第二篇论文，WP测地线的渐近性II：有界几何和无界熵; Burns-Masur-Wilkinson，WP测地流是遍历的;和Wolpert，测地线长度函数和WP曲率张量。
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Weil-Petersson平移长度与多纤维填充流形
Weil-Petersson translation length and manifolds with many fibered fillings
证明了任意具有有界归一化Weil-Petersson平移长度的伪Anosov映射类的映射环面都包含有限个横向和水平闭曲线集，钻取这组曲线得到有限个尖点双曲三维流形中的一个.有限列表中流形的数目只取决于归一化平移长度的界。我们还证明了一个补充的结果，解释了删除水平曲线的必要性，产生新的估计的Weil-Petersson翻译长度的组成的伪Anosov映射类和任意权力的Dehn扭曲。
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Riemann模空间上Weil-Petersson Laplacian的Spectral theory
Spectral theory for the Weil-Petersson Laplacian on the Riemann moduli space
研究了亏格为$γ> 1$的曲面的黎曼模空间$\mathcal M_γ$上与Weil-Petersson度量$g_{\mathrm{WP}}$相关的标量Laplace-Beltrami算子的谱几何性质.这个空间具有关于$g_{\mathrm{WP}}$的奇异紧化，并且这个度量具有沿着简单正规交叉因子的有限集合的交叉尖边奇异性。我们首先证明了标量拉普拉斯算子本质上是自伴的，这意味着它的谱是离散的。第二个定理是这个谱的计数函数的外尔渐近公式。
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作为Weil-Petersson形式的复双曲形式
The complex hyperbolic form as a Weil-Petersson form
本文在穿孔球面模空间上建立了复双曲形式（Kähler形式）与Weil-Petersson形式之间的新等式，通过将模空间元素解释为球面上的奇异欧几里得度量来实现。
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随机理想三角剖分与删余Riemann surfaces有限度覆盖间的Weil-Petersson距离
Random ideal triangulations and the Weil-Petersson distance between finite degree covers of punctured Riemann surfaces
我们证明了任何两个有限面积的非紧双曲黎曼曲面S和T有有限的覆盖是任意接近的规范化的Weil-Petersson度量，其中我们规范化的度量平方除以面积的表面。在T是模曲面的情况下，这简化为表明S具有有限覆盖，该覆盖具有适当的理想三角剖分，其中大多数剪切坐标都很小;我们将从S中浸入的理想三角形的随机集合中构造这样的覆盖。
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Weil-Petersson势的连续性
Continuity of the Weil-Petersson potential
令$\mathcal{M}_{\rm KSB}$（分别$\mathcal{M}_{\rm KSB}'$）是$n$维凯勒-爱因斯坦流形（分别）的模空间。品种）$X$与$K_X$样品。我们证明了$\mathcal{M}_{\rm KSB}$上的Weil-Petersson度量唯一地扩展到射影簇$\mathcal{M}_{\rm KSB}'$，作为一个具有连续局部势的闭合正流.这推广了Wolpert处理$n=1$情形的一个定理，也证实了Berman-Guenancia的一个猜想。此外，我们还得到了Kähler-Einstein势子级集体积的一致估计
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Fano Kähler-Ricci 孤立子空间上的一类 Weil-Petersson 型度量
A Weil-Petersson Type Metric on the Space of Fano Kaehler-Ricci Solitons
本文在收缩 Fano Kähler-Ricci 孤立子空间上引入 Weil-Petersson 型度量，刻画其与孤立子度量选择无关的条件，证明其在 Kuranishi 空间上为 Kähler 度量，并通过一阶、二阶形变揭示其几何来源。
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模空间 $\overline{\cal M}_g$ 上 Weil-Petersson 度量平均标量曲率的估计
Estimates for the average scalar curvature of the Weil-Petersson metric on the Moduli space $\overline{\cal M}_g$
本文研究了模空间 $\overline{\cal M}_g$ 上 Weil-Petersson 度量的平均标量曲率，在 $g\to\infty$ 时给出了精确到 $1/g^2$ 阶的估计。
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带边界的三角剖分Riemann surfaces与Weil-Petersson Poisson结构
Triangulated Riemann surfaces with boundary and the Weil-Petersson Poisson structure
给定一个具有边界S的黎曼曲面，S上垂直于S的边界开始和结束的不相交简单测地弧的极大系统的长度是Teichmueller空间T（S）上的坐标。我们在这个坐标系中计算T（S）上的Weil-Petersson Poisson结构，并证明了它逐点限制于Kontsevich在S的弧复形上定义的分段线性Poisson结构。作为证明的一个副产品，我们得到了一个公式的两个闭测地线之间的距离在Fenchel-Nielsen变形的一阶变化。
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Teichmuller空间上长度的Weil-Petersson Hessian
The Weil-Petersson Hessian of Length on Teichmuller Space
我们提出了一个简短的，但几乎自包含的证明公式的韦尔-彼得森海森的测地线长度的闭曲线（无论是简单的或不简单的）的双曲曲面。该公式是两个自然定义的正函数在测地线上的积分之和，证明了该泛函在Teichmuller空间上的凸性（由于Wolpert（1987））。然后，我们从下面的局部量和沿测地线的距离来估计这个海森。该公式推广到穿孔双曲曲面上的真弧以及叠层的估计。Wolpert的结果，瑟斯顿度量是Weil-Petersson度量的倍数，直接遵循在适当的曲线序列上对公式进行限制。我们给出了进一步的应用上界的Hessian，特别是附近的捏轨迹，并恢复通过几何参数Wolpert最近的结果的凸长度的一半权力。
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